Analyse de FOURIER - Ma Prépa concours

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Analyse de FOURIER
I. Analyse de Fourier :
·Décomposition harmonique : toute fonction périodique (son musical) peut être décomposé en
une somme (infinie) de fonctions sinus et cosinus.
Un signal est la somme de plusieurs sinusoïdes d’amplitude différentes, et décalées en phase,
appelées : harmoniques (); la fréquence de chaque fonction est un multiple de la
fondamentale
()=+[()+()]+[()+()]+⋯
…+[()+()]
Intérêt : il est plus facile de connaître les propriétés de la fonction résultante en analysant les propriétés
de chacune des composantes ; de plus, connaître un nombre limité de composantes suffit à bien
représenter (voire « reconstruire » : synthétiseur) le signal
·Analyse spectrale : il est utile de présenter les résultats de l’Analyse de Fourier d’une fonction
périodique f(t) au moyen de son spectre () qui est soit :
Øun diagramme Fréquence-Amplitude : pour le spectre en amplitude (en abscisse les
fréquences des différentes harmoniques, en ordonnée leur amplitude)

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Øun diagramme Phase-Amplitude : pour le spectre de phase (en abscisse les fréquences des
différentes harmoniques, en ordonnée leur phase à l’origine –décalage initial-)
« Une fonction du temps peut être entièrement décrite par son spectre de fréquence
et son spectre de phase (et son amplitude) »
Intérêt : la conversion du signal dans le domaine des fréquences peut rendre l'interprétation des
informations qu'il contient beaucoup plus aisée –audition, spectrométrie RMN,…-)

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Timbre : pour un signal périodique, le spectre est discontinu (spectre discret), il est formé de « raies
spectrales » ; l’analyse spectrale permet de rendre compte immédiatement de la richesse en
harmoniques d’un son : notion de timbre.
(Remarque : un son pur ne contient qu’une seule raie : la fondamentale, et aucune harmonique ; sinon
c’est un son complexe)
exemple : la fonction créneau/carré :
Plus il y a d’harmoniques impaires, plus ça ressemble à une fonction crêneau/carrée. Plus précisément,
plus on met de fonctions cosinus avec des coefficients impairs, ou plus il y a de fonctions sinus avec
des coefficients impairs, plus ça ressemble à une fonction créneau :
Notons que l’amplitude des harmoniques d’une fonction carré décroît avec la fréquence :

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II. Transformation de Fourier :
La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non-périodiques
(signaux non-musicaux, ex : bruits…). Elle permet alors également d’associer à toute fonction son
spectre en fréquences.
En fait, une fonction non-périodique est assimilée à une fonction périodique de période infinie
(⟶∞) ; or, si T est très grande, l’ensemble des fréquences est un ensemble qui couvre presque tout
le spectre des fréquences ⟹ le spectre discret passe en spectre continu : il faut passer à l’intégrale :
()=().
La fonction f(t) est en général réelle ⟹ sa T.F () est en général complexe
⟶ la fréquence fondamentale est nulle (alors qu’un son « musical » est caractérisé par sa
fondamentale )
⟶ le spectre est continu (alors qu’un son « musical » a un spectre discret de fréquences) ;
écart nulle entre les harmoniques
a) La fonction porte : (modélise l’apparition d’un signal sur une durée finie )
La fonction porte dont l’amplitude  est définie sur –
; vaut (attention ne représente pas une
période) vaut :
()= −
≤≤
⟹ La Transformée de Fourier d’une fonction porte est une fonction sinus cardinal :
()= ()
 = ()

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Øla fonction sinus cardinal est paire
Øla fonction sinus cardinal s’annule pour les valeurs entières de  car : = ±
Øl’amplitude de () est nulle lorsque ⟶±∞ :
Ø() est maximale pour =0 ; sin(0)=1 ⟹( )
=
Ø() est nulle lorsque ⟶±∞
convolue de la fonction porte : la fonction sinus cardinal
Relation entre largeur temporelle d’une fonction et la largeur de son spectre :
Largeur de la porte : 
Largeur à mi-hauteur du lobe central : 2/
⟹    
(Rem : la largeur à mi-hauteur sert à rendre compte du plus ou moins grand étalement de la
fonction ; caractérise le profil d’une gaussienne ou une lorentzienne)
ØSi la porte () est très large (fonction qui dure « longtemps »),  sera grand, et 2
 sera
petite : la largeur du spectre sera étroit ⟹ « une fonction qui dure longtemps a un spectre
étroit »