Théorie des graphes: Algorithmes et Structures

Théorie des graphes:
Algorithmes et Structures
Bernard Ries
Maître de conférences
LAMSADE
Pôle Optimisation combinatoire, algorithmique, données
Journée de la recherche LAMSADE
15 mars 2012
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
1 / 20
Outline
1
ASPECT ALGORITHMIQUE
2
ASPECT STRUCTUREL
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
2 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
Outline
1
ASPECT ALGORITHMIQUE
2
ASPECT STRUCTUREL
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
3 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMATIQUE
considérer un problème de décision P
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
4 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMATIQUE
considérer un problème de décision P
montrer que P est N P -complet en général
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
4 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMATIQUE
considérer un problème de décision P
montrer que P est N P -complet en général
diérentes approches:
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
4 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMATIQUE
considérer un problème de décision P
montrer que P est N P -complet en général
diérentes approches:
développer des algorithmes polynomiaux d'approximation
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
4 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMATIQUE
considérer un problème de décision P
montrer que P est N P -complet en général
diérentes approches:
développer des algorithmes polynomiaux d'approximation
exhiber des classes de graphes dans lesquelles
P
peut être résolu en
temps polynomial
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
4 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMATIQUE
considérer un problème de décision P
montrer que P est N P -complet en général
diérentes approches:
développer des algorithmes polynomiaux d'approximation
exhiber des classes de graphes dans lesquelles
P
peut être résolu en
P
est
temps polynomial
exhiber des classes de graphes dans lesquelles
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Théorie des graphes
N P -complet
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4 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMES
problème du pompier
(en collaboration avec C. Bazgan, M. Chopin)
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Théorie des graphes
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5 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMES
problème du pompier
(en collaboration avec C. Bazgan, M. Chopin)
problème de la coloration sélective
(en collaboration avec M. Demange, T. Ekim, J. Monnot, P. Pop)
Bernard Ries (LAMSADE)
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15 mars 2012
5 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
PROBLEMES
problème du pompier
(en collaboration avec C. Bazgan, M. Chopin)
problème de la coloration sélective
(en collaboration avec M. Demange, T. Ekim, J. Monnot, P. Pop)
problème de d -bloqueurs chromatiques
(en collaboration avec C. Bazgan, C. Bentz, C. Picouleau)
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5 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
COLORATION SELECTIVE
Dénition
Soit G = (V , E ) un graphe et soit V = (V , . . . , Vp ) une partition de V .
Une coloration sélective de V est une application c : V ∗ → {1, 2, . . .}, où
V ∗ ⊆ V tel que |V ∗ ∩ Vi | = 1 pour i = 1, 2, . . . , p, telle que c (u ) 6= c (v ) si
uv ∈ E .
1
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6 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
COLORATION SELECTIVE
Dénition
Soit G = (V , E ) un graphe et soit V = (V , . . . , Vp ) une partition de V .
Une coloration sélective de V est une application c : V ∗ → {1, 2, . . .}, où
V ∗ ⊆ V tel que |V ∗ ∩ Vi | = 1 pour i = 1, 2, . . . , p, telle que c (u ) 6= c (v ) si
uv ∈ E .
1
Le nombre chromatique sélective χ(G, V) est le plus petit entier k tel
que G admet une coloration sélective utilisant au plus k couleurs.
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
6 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
COLORATION SELECTIVE
Dénition
Soit G = (V , E ) un graphe et soit V = (V , . . . , Vp ) une partition de V .
Une coloration sélective de V est une application c : V ∗ → {1, 2, . . .}, où
V ∗ ⊆ V tel que |V ∗ ∩ Vi | = 1 pour i = 1, 2, . . . , p, telle que c (u ) 6= c (v ) si
uv ∈ E .
1
Le nombre chromatique sélective χ(G, V) est le plus petit entier k tel
que G admet une coloration sélective utilisant au plus k couleurs.
Problème
Etant donnés un graphe G = (V , E ) et une partition V de V , déterminer le
nombre chromatique sélective χ(G , V).
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ASPECT ALGORITHMIQUE
d -BLOQUEURS CHROMATIQUES
Dénition
Soit G = (V , E ) un graphe. Un d -bloqueur chromatique est un
ensemble B ⊆ E tel que χ(G − B ) ≤ χ(G ) − d .
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7 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
d -BLOQUEURS CHROMATIQUES
Dénition
Soit G = (V , E ) un graphe. Un d -bloqueur chromatique est un
ensemble B ⊆ E tel que χ(G − B ) ≤ χ(G ) − d .
Un d -bloqueur chromatique minimum est un d -bloqueur chromatique
de taille minimum.
Bernard Ries (LAMSADE)
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7 / 20
ASPECT ALGORITHMIQUE
d -BLOQUEURS CHROMATIQUES
Dénition
Soit G = (V , E ) un graphe. Un d -bloqueur chromatique est un
ensemble B ⊆ E tel que χ(G − B ) ≤ χ(G ) − d .
Un d -bloqueur chromatique minimum est un d -bloqueur chromatique
de taille minimum.
Problème
Etant donné un graphe G = (V , E ), déterminer un d -bloqueur chromatique
minimum.
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Théorie des graphes
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7 / 20
ASPECT STRUCTUREL
Outline
1
ASPECT ALGORITHMIQUE
2
ASPECT STRUCTUREL
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8 / 20
ASPECT STRUCTUREL
CLASSES DE GRAPHES
considérer un problème de décision P
montrer que P est N P -complet en général
diérentes approches:
développer des algorithmes polynomiaux d'approximation
trouver des classes de graphes dans lesquelles
P
peut être résolu
en temps polynomial
trouver des classes de graphes dans lesquelles
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Théorie des graphes
P
et
N P -complet
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9 / 20
ASPECT STRUCTUREL
CLASSES DE GRAPHES
Pourquoi P peut être résolu en temps polynomial dans une classe
de graphes C ?
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10 / 20
ASPECT STRUCTUREL
CLASSES DE GRAPHES
Pourquoi P peut être résolu en temps polynomial dans une classe
de graphes C ?
⇒ C a des
propriétés particulières
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10 / 20
ASPECT STRUCTUREL
CLASSES DE GRAPHES
Pourquoi P peut être résolu en temps polynomial dans une classe
de graphes C ?
propriétés particulières
⇒ les graphes dans C ont une structure particulière
⇒ C a des
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10 / 20
ASPECT STRUCTUREL
CLASSES DE GRAPHES
Pourquoi P peut être résolu en temps polynomial dans une classe
de graphes C ?
propriétés particulières
⇒ les graphes dans C ont une structure particulière
⇒ C a des
Exemples:
problème de coloration dans les graphes triangulés;
problème du stable max pondéré dans les graphes sans grie;
problème de la clique maximum dans les graphes d'intervalles;
...
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10 / 20
ASPECT STRUCTUREL
PROPRIETES STRUCTURELLES
Les propriétés structurelles d'une classe de graphes C peuvent permettre
de:
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11 / 20
ASPECT STRUCTUREL
PROPRIETES STRUCTURELLES
Les propriétés structurelles d'une classe de graphes C peuvent permettre
de:
1
résoudre un problème en temps polynomial dans C ;
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11 / 20
ASPECT STRUCTUREL
PROPRIETES STRUCTURELLES
Les propriétés structurelles d'une classe de graphes C peuvent permettre
de:
1
résoudre un problème en temps polynomial dans C ;
2
améliorer la complexité d'algorithmes pour C ;
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
11 / 20
ASPECT STRUCTUREL
PROPRIETES STRUCTURELLES
Les propriétés structurelles d'une classe de graphes C peuvent permettre
de:
1
résoudre un problème en temps polynomial dans C ;
2
améliorer la complexité d'algorithmes pour C ;
3
trouver d'autres propriétés intéressantes pour C ;
Bernard Ries (LAMSADE)
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15 mars 2012
11 / 20
ASPECT STRUCTUREL
PROPRIETES STRUCTURELLES
Les propriétés structurelles d'une classe de graphes C peuvent permettre
de:
1
résoudre un problème en temps polynomial dans C ;
2
améliorer la complexité d'algorithmes pour C ;
3
trouver d'autres propriétés intéressantes pour C ;
4
...
Bernard Ries (LAMSADE)
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ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
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12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Exemples
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Exemples
F = {intervalles sur une droite}: graphes d'intervalles
Bernard Ries (LAMSADE)
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12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Exemples
F = {intervalles sur une droite}: graphes d'intervalles
F = {sous-arbres dans un arbre}: graphes triangulés
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Exemples
F = {intervalles sur une droite}: graphes d'intervalles
F = {sous-arbres dans un arbre}: graphes triangulés
F = {chemins dans un arbre}: graphes de chemins ("path graphs"),
graphes VPT
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
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12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Exemples
F = {intervalles sur une droite}: graphes d'intervalles
F = {sous-arbres dans un arbre}: graphes triangulés
F = {chemins dans un arbre}: graphes de chemins ("path graphs"),
graphes VPT
F = {segments entre deux lignes parallèles}: graphes de permutation
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES D'INTERSECTION
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Exemples
F = {intervalles sur une droite}: graphes d'intervalles
F = {sous-arbres dans un arbre}: graphes triangulés
F = {chemins dans un arbre}: graphes de chemins ("path graphs"),
graphes VPT
F = {segments entre deux lignes parallèles}: graphes de permutation
...
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
12 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES EPG
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
13 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES EPG
Soit G une grille rectangulaire et soit P une collection de chemins simples
dans G . On dénit le graphe d'intersection EPG(P ) de P de la manière
suivante:
sommets ⇔ chemins dans P
arête uv
⇔
Pu et Pv s'intersectent sur au moins une arête de G
de la grille
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Théorie des graphes
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13 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
14 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Un changement de direction d'un chemin dans un sommet de la grille est
appelé une exion et le sommet de la grille est appelé un point de
exion.
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
14 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Un changement de direction d'un chemin dans un sommet de la grille est
appelé une exion et le sommet de la grille est appelé un point de
exion.
Une EPG représentation est dite Bk -EPG si chaque chemin a au plus k
exions. Un graphe qui possède une Bk -EPG représentation est appelé un
graphe Bk -EPG.
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
14 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Un changement de direction d'un chemin dans un sommet de la grille est
appelé une exion et le sommet de la grille est appelé un point de
exion.
Une EPG représentation est dite Bk -EPG si chaque chemin a au plus k
exions. Un graphe qui possède une Bk -EPG représentation est appelé un
graphe Bk -EPG.
Remarques
1
Borner le nombre de exions fait du sens car chaque graphe est un
graphe EPG.
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
14 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Un changement de direction d'un chemin dans un sommet de la grille est
appelé une exion et le sommet de la grille est appelé un point de
exion.
Une EPG représentation est dite Bk -EPG si chaque chemin a au plus k
exions. Un graphe qui possède une Bk -EPG représentation est appelé un
graphe Bk -EPG.
Remarques
1
2
Borner le nombre de exions fait du sens car chaque graphe est un
graphe EPG.
Les graphes B -EPG sont exactement les graphes d'intervalle.
0
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
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14 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Questions:
(en collaboration avec A. Asinowski, E. Cohen, M. Golumbic)
caractérisation des graphes Bk -EPG?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
15 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Questions:
(en collaboration avec A. Asinowski, E. Cohen, M. Golumbic)
caractérisation des graphes Bk -EPG?
complexité de problèmes (coloration, stable max, . . .) dans les
graphes Bk -EPG?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
15 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Questions:
(en collaboration avec A. Asinowski, E. Cohen, M. Golumbic)
caractérisation des graphes Bk -EPG?
complexité de problèmes (coloration, stable max, . . .) dans les
graphes Bk -EPG?
soit C une classe de graphes:
quel est l'entier
Bk -EPG?
k
minimum tel que tout graphe de
quels sont les graphes de
Bernard Ries (LAMSADE)
C
qui sont
C
Bk -EPG pour un k
Théorie des graphes
est un graphe
donné?
15 mars 2012
15 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES
Bk -EPG
Questions:
(en collaboration avec A. Asinowski, E. Cohen, M. Golumbic)
caractérisation des graphes Bk -EPG?
complexité de problèmes (coloration, stable max, . . .) dans les
graphes Bk -EPG?
soit C une classe de graphes:
quel est l'entier
Bk -EPG?
k
minimum tel que tout graphe de
C
Bk -EPG pour un k
autres propriétés intéressantes des graphes Bk -EPG?
quels sont les graphes de
Bernard Ries (LAMSADE)
C
qui sont
Théorie des graphes
est un graphe
donné?
15 mars 2012
15 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES DE DISQUE UNITE
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
16 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES DE DISQUE UNITE
Dénition
Soit F une famille d'ensembles non vides. Alors le graphe d'intersection
de F est obtenu en représentant chaque ensemble dans F par un sommet
et en connectant deux sommets par une arête si et seulement si les
ensembles correspondants s'intersectent.
si F ={disques de rayon 1 dans le plan} ⇒ graphes de disques unités
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
16 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES DE DISQUES UNITES
Questions:
(en collaboration avec H. Bruhn-Fujimoto, D. Cornaz, E.J. Kim)
structure de ces graphes?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
17 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES DE DISQUES UNITES
Questions:
(en collaboration avec H. Bruhn-Fujimoto, D. Cornaz, E.J. Kim)
structure de ces graphes?
complexité de la clique max pondérée?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
17 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES DE DISQUES UNITES
Questions:
(en collaboration avec H. Bruhn-Fujimoto, D. Cornaz, E.J. Kim)
structure de ces graphes?
complexité de la clique max pondérée?
quelle est la plus petite constante c telle que χ(G ) ≤ c · ω(G )?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
17 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES DE DISQUES UNITES
Questions:
(en collaboration avec H. Bruhn-Fujimoto, D. Cornaz, E.J. Kim)
structure de ces graphes?
complexité de la clique max pondérée?
quelle est la plus petite constante c telle que χ(G ) ≤ c · ω(G )?
...
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
17 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Dénition
Un graphe G = (V , E ) est fortement parfait si pourP
tout sous-graphe
induit G 0 de G il existe w : V (G 0 ) → {0, 1} telle que v ∈K w (v ) = 1 pour
toute clique maximale K dans G 0 .
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
18 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Dénition
Un graphe G = (V , E ) est fortement parfait si pourP
tout sous-graphe
induit G 0 de G il existe w : V (G 0 ) → {0, 1} telle que v ∈K w (v ) = 1 pour
toute clique maximale K dans G 0 .
Dénition
Un graphe G = (V , E ) est fractionnairement fortement parfait si pour
0
0
tout
P sous-graphe induit G de G il existe w : V (G ) → 0[0, 1] telle que
v ∈K w (v ) = 1 pour toute clique maximale K dans G .
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
18 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Théorème
"Si un graphe G = (V , E ) est tel que son complément est
fractionnairement fortement parfait, alors l'algorithme A est optimal."
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
19 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Théorème
"Si un graphe G = (V , E ) est tel que son complément est
fractionnairement fortement parfait, alors l'algorithme A est optimal."
Problème
Quels sont les graphes dont les compléments sont fractionnairement
fortement parfaits?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
19 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
caractérisation des "line-graphes" dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
caractérisation des "line-graphes" dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits
⇒ algorithme linéaire de reconnaissance
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
caractérisation des "line-graphes" dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits
⇒ algorithme linéaire de reconnaissance
généralisation aux graphes sans grie
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
caractérisation des "line-graphes" dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits
⇒ algorithme linéaire de reconnaissance
généralisation aux graphes sans grie
autres classes de graphes?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
caractérisation des "line-graphes" dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits
⇒ algorithme linéaire de reconnaissance
généralisation aux graphes sans grie
autres classes de graphes?
partitionner le graphe en composantes dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits?
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20
ASPECT STRUCTUREL
GRAPHES FORTEMENT PARFAITS
Résultats/Questions
(en collaboration avec B. Birand, M. Chudnovsky, P. Seymour, G.
Zussman, Y. Zwols)
caractérisation des "line-graphes" dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits
⇒ algorithme linéaire de reconnaissance
généralisation aux graphes sans grie
autres classes de graphes?
partitionner le graphe en composantes dont les compléments sont
fractionnairement fortement parfaits?
...
Bernard Ries (LAMSADE)
Théorie des graphes
15 mars 2012
20 / 20