1 Exercices sur la théorie du consommateur, partie 2 (types de biens

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Exercices sur la théorie du consommateur, partie 2 (types de biens et
courbe d’Engel)
PROBLÈME 4
Supposons qu’il y ait seulement deux biens, le bien 1 et le bien 2. On dénote la quantité
de bien 1 par x1et le prix du bien 1 par p1. De manière analogue, on dénote la quantité
de bien 2 par x2et le prix du bien 2 par p2. Considérons un consommateur dont le
revenu est m. Le consommateur choisit le panier de biens qui maximise son utilité sous
sa contrainte budgétaire.
Supposons que les préférences sont représentées par la fonction d’utilité suivante :
u(x1, x2) = min(2x1,3x2)(1)
a) Trouvez les fonctions de demande pour les deux biens.
Solution :
La condition de budget s’écrit :
p1x1+p2x2=m(2)
La condition de "tangence" (adaptée aux compléments parfaits) s’écrit :
2x1= 3x2(3)
⇐⇒ x2=2x1
3(4)
En substituant cette dernière expression dans la condition de budget, on obtient :
p1x1+p2x2=p1x1+p2
2x1
3=p1x1+2p2x1 3=m(5)
⇐⇒ x1 p1+2p2
3!=m(6)
⇐⇒ x1 3p1+ 2p2
3!=m(7)
⇐⇒ x1=3m
3p1+ 2p2
(8)
En substituant cette dernière expression dans la condition de "tangence" (4), on ob-
tient :
x2=2x1
3(9)
⇐⇒ x2=2
3
3m
3p1+ 2p2
(10)
⇐⇒ x2=2m
3p1+ 2p2
(11)

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Bref, la fonction de demande pour le bien 1 s’écrit :
x1(p1, p2, m) = 3m
3p1+ 2p2
(12)
Et la fonction de demande pour le bien 2 s’écrit :
x2(p1, p2, m) = 2m
3p1+ 2p2
(13)
Suggestion :
Pour vous pratiquer, vous pouvez refaire cette sous-question en fixant p1= 1,p2= 3,
et m= 6 (ce que je vous ai demandé au numéro 10 du quiz !), ce qui vous donnera les
demandes suivantes :
x1= 2 (14)
et
x2=4
3= 1.33 (15)
b) Le bien 1 est-il un bien ordinaire ou un bien de Giffen ?
Solution :
La fonction x1(p1, p2, m) = 3m
3p1+2p2est décroissante en p1, car si p1augmente, x1diminue.
Donc, le bien 1 est un bien ordinaire.
c) Le bien 1 est-il un substitut ou un complément du bien 2 ?
Solution :
La fonction x1(p1, p2, m) = 3m
3p1+2p2est décroissante en p2, car si p2augmente, x1diminue.
Donc, le bien 1 est un complément du bien 2. (évidemment, ce sont des compléments
parfaits à cause de cette fonction d’utilité ! ! ! ! !)
d) Supposons que p1= 1 et que p2= 3. Écrivez les équations des courbes d’Engel pour
chacun des deux biens.
Solution :
La demande pour le bien 1 s’écrit :
x1(p1, p2, m) = 3m
3p1+ 2p2
(16)
En fixant p1= 1 et p2= 3, on obtient :

3
x1(1,3, m) = 3m
3(1) + 2(3) =3m 9=m 3(17)
La demande pour le bien 2 s’écrit :
x2(p1, p2, m) = 2m
3p1+ 2p2
(18)
En fixant p1= 1 et p2= 3, on obtient :
x2(1,3, m) = 2m
3(1) + 2(3) =2m 9(19)
L’équation de la courbe d’Engel pour le bien 1 s’écrit :
x1(m) = m
3(20)
L’équation de la courbe d’Engel pour le bien 2 s’écrit :
x2(m) = 2m
9(21)

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d) En représentant le revenu msur l’axe horizontal et les quantités demandées sur l’axe
vertical (vous pourriez très bien inverser les deux axes, il n’y a rien de grave en autant
que vous soyez cohérents !), représentez graphiquement chacune de ces deux courbes,
en n’oubliant pas d’indiquer la pente de la courbe.
Solution :
La courbe d’Engel pour le bien 1 est une droite de pente 1
3passant par l’origine et le
point (1,1
3).
La courbe d’Engel pour le bien 2 est une droite de pente 2
9passant par l’origine et par
le point (1,2
9).

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e) Le bien 1 et le bien 2 sont-ils des biens normaux ou inférieurs ?
Solution :
Les pentes des courbes d’Engel des deux biens étant toutes les deux positives, les deux
biens sont des biens normaux, car pour les deux biens, la quantité demandée croît si m
augmente.
PROBLÈME 5
Supposons qu’il y ait seulement deux biens, le bien 1 et le bien 2. On dénote le panier de
consommation d’un individu par (x1, x2)où x1représente la quantité consommée de bien
1 et x2dénote la quantité consommée de bien 2. Les préférences d’un consommateur
pour ces deux biens sont représentées par la fonction d’utilité suivante : u(x1, x2) =
(x1+x2)7. Supposons que p1< p2. Trouvez les fonctions de demande pour les deux
biens.
Solution :
Soit la fonction d’utilité w(x1, x2) = x1+x2. Alors, la fonction d’utilité u= (x1+x2)7=
w7est une transformation monotone croissante de la fonction d’utilité w. Donc, urepré-
sente les mêmes préférences que wet leurs T mS respectifs, ainsi que leurs fonctions de
demande respectives, sont identiques. Il suffit donc de trouver les fonctions de demande
induites par la fonction d’utilité w, qui représente des préférences pour des substituts
parfaits avec T mS =−1comme nous avons vu au cours.
Étant donné que p1< p2et que T mS =−1, nous avons vu que le consommateur
consomme uniquement le bien le moins cher (attention, cette conclusion n’est pas né-
cessairement vraie pour d’autres fonctions d’utilité liées à des substituts parfaits !), i.e.
le bien 1.
Donc, la fonction de demande pour le bien 1 s’écrit :
x1(p1, p2, m) = m
p1
(22)
Et la fonction de demande pour le bien 2 s’écrit :
x2(p1, p2, m)=0 (23)