Algorithme - ChingAtome

Terminale S/Algorithme
1. Suites : boucles itératives :
Exercice 5804
On considèr e la suite numérique vndéfinie par :
v0= 1 ;vn+1 =9
6−vn
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un en-
tier naturel ndonné, tous les termes de la suite, du rang
0au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme 1
Variables :
vest un réel.
iet nsont des entiers
naturels
Début algorithme :
Lire n
vprend la valeur 1
Pour iallant de 1àn
faire
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
Algorithme 2
Variables :
vest un réel.
iet nsont des entiers
naturels
Début algorithme :
Lire n
Pour iallant de 1àn
faire
vprend la valeur 1
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
Algorithme 3
Variables :
vest un réel.
iet nsont des entiers
naturels
Début algorithme :
Lire n
vprend la valeur 1
Pour iallant de 1àn
faire
Afficher v
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
2. Pour n=10, on obtient l’affichage suivant :
11;800 2;143 2;333 2;455 2;538 2;600 2;647 2;684 2;714
Pour n=100, on obtient l’affichage suivant :
2,967 2;968 2;968 2;968 2;969 2;969 2;969 2;970 2;970 2;970
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite
vn?
Exercice 6891
On considère l’algorithme suivant :
Variables : ket psont des entiers naturels
uest un réel
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement : Affecter à ula valeur 5
Pour kvariant de 1àp
Affecter à ula valeur 0;5u+0;5k−1−1;5
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p=2 en indiquant les
valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on
en sortie ?
Exercice 5839
On considère la suite undéfinie par u0=1 et, pour tout
entier naturel n:
un+1 =2·un
On considère l’algorithme suivant :
Variables : nest un entier naturel.
iest un entier naturel.
uest un réel positif
Initialisation : Demander la valeur de n
Affecter à ula valeur 1
Traitement : Pour ivariant de 1àn:
Affecter à ula valeur 2·u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
1. Donner une valeur approchée à 10−4près du résultat
qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n=3.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées ob-
tenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs
de n:
n 1 5 10 15 20
Valeur
affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999
Quelle conjectures peut-on émettre concernant la suite
un?
Exercice 5842
On considère l’algorithme suivant :
Variables : Aet Bdes nombres réels
Ket Ndes nombres entiers
Initialisation : Affecter à Ala valeur 1
Affecter à Bla valeur 1
Traitement :
Entrer la valeur de N
Pour Kvariant de 1àN
Affecter à Ala valeur A+A2+B2
3
Affecter à Bla valeur B
3
Fin Pour
Afficher A
On exécute cet algorithme en saisissant N=2. Recopier et
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compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables
au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les va-
leurs calculées à 10−4près)
K A B
1
2
Exercice 6887
On considère la suite définie par :
u0= ln 2 ;un+1 =1
n+ 1 −un
1. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il
affiche en sortie le terme de rang nde la suite unoù n
est un entier saisi en entrée par l’utilisateur.
Variables : iet nsont des entiers naturels
uest un réel
Entrée : Saisir n
Initialisation : Affecter à ula valeur . . .
Traitement : Pour ivariant de 1à . . .
Affecter à ula valeur : : :
Sortie : Afficher u
2. A l’aide de l’agorithme, on a obtenu le tableau des va-
leurs suivant :
n0 1 2 3 4 5 10 50 100
un0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050
Quelles conjectures concernant le comportement de la
suite unpeut-on émettre ?
2. Suites : boucles conditionnelles à étudier :
Exercice 5836
On définit la suite dnpar :
d0= 1 ;dn+1 =1
2·dn
2pour tout n∈N
Voici un algorithme :
Variables : net psont des entiers naturels
dest un réel.
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de p.
Initialisations : Affecter à dla valeur 1.
Affecter à nla valeur 0.
Traitement : Tant que : d>10−p.
Affecter à dla valeur 0;5·d2
Affecter à nla valeur n+1
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.
Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5?
Exercice 6899
Soit fla fonction définie sur 0 ; +∞par :
f(x) = 2x·e−x
On admet que la fonction fadmet la limite : lim
x7→+∞f(x)=0
On donne l’algorithme suivant :
Initialisation : tprend la valeur 3;5
pprend la valeur 0;25
Cprend la valeur 0;21
Traitement : Tant que C >5×10−3faire
tprend la valeur t+p
Cprend la valeur f(t)
Fin Tant que
Sortie Afficher t
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécu-
tant cet algorithme.
Arrondir les valeurs à 10−2près.
Initialisation Etape 1 Etape 2
p0;25
t3;5
C0;21
Exercice 5838
On considère la suite pndéfinie par :
p1= 0 ;pn+1 = 0;2·pn+ 0;04 pour tout n∈N∗
On admet que la suite pnest croissante et converge vers
0;05.
On considère l’algorithme suivant :
Variables : Ket Jsont des entiers naturels
Pest un nombre réel.
Initialisation : Pprend la valeur 0
Jprend la valeur 1
Entrée : Saisir la valeur de K
Traitement : Tant que P <0;05−10−K
Pprend la valeur 0;2×P+0;04
Jprend la valeur J+1
Fin tant que
Sortie : Afficher J
1. A quoi correspond l’affichage final J?
2. Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
3. Suites : boucles conditionnelles à construire :
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Exercice 5362
On considère la suite undéfinie par :
un=ln(n)
npour tout n∈N∗
On admet que :
La suite unest strictement décroissante à partir du
terme de rang 2.
La suite vnest convergente et converge vers 0.
Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier n0su-
périeur ou égal à 2tel que un0⩽10−2
Exercice 6894
Une socièté produit des bactéries pour l’industrie. En labora-
toire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié,
la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de
20 % en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement
1kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on rem-
place le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette
opération, 100 gde bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bacté-
ries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la
cuve par la suite undéfinie de la façon suivante :
u0= 1 000 ;un+1 = 1;2·un−100
L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la
masse de bactéries dépassera 30 kg.
On peut utiliser l’algorithme suivant pour répondre au pro-
blème posé.
Recopier et compléter cet algorithme.
Variables : uet nsont des nombres.
Traitement : uprend la valeur 1 000
nprend la valeur 0
Tant que . . . . . . faire
uprend la valeur . . .
nprend la valeur n+1
Fin Tant que
Sortie : Afficher . . . . . .
4. Suites et boucles :
Exercice 5363
On considère l’algorithme suivant où les variables sont le réel
Uet les entiers naturels ket N:
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N.
Traitement
Affecter à Ula valeur 0
Pour kallant de 0àN−1
Affecter à Ula valeur 3·U−2k+3
Fin pour
Sortie
Afficher U
1. Quel est l’affichage en sortie lorsque N=3 ?
2. On considère la suite undéfinie par :
u0= 0 ;un+1 = 3·un−2·n+ 3 pour tout n∈N
On admet que la suite unest croissante et admet pour
limite :
lim
n7→+∞un= +∞
Proposé un algorithme qui, pour une valeur donnée pen
entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0
tel que :
Pour tout n⩾n0, on ait : un⩾10p
5. Suites définies conjointement :
Exercice 5841
On définit les suites unet vnsur l’ensemble Ndes entiers
naturels par :
u0= 0 ;v0= 1 ;
un+1 =un+vn
2
vn+1 =un+ 2·vn
3
, pour tout n∈N
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites
unet vn.
1. Calculer u1et v1.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables : u,vet wdes nombres réels
Net kdes nombres entiers
Initialisation : uprend la valeur 0
vprend la valeur 1
Début de l’algorithme :
Entrer la valeur de N
Pour kvariant de 1àN
wprend la valeur u
uprend la valeur w+v
2
vprend la valeur w+2·v
3
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l’algorithme
a. On exécute cet algorithme en saisisant N=2. Reco-
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pier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant
l’état des variables au cours de l’exécution de l’algo-
rithme :
k w u v
1
2
b. Pour un nombre Ndonné, à quoi correspondent les
valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la si-
tuation étudiée dans cet exercice ?
Exercice 6000
On considère les deux suites xnet yndéfinies par :
x0=−1
xn=5
4·x+3 4·y;y0= 5
yn=3
4·x+5 4·y
On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coor-
données de ces images successives.
Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu’il
permette d’afficher ces coordonnées :
Entrée : Saisir un entier naturel non nul N
Initialisation : Affecter à xla valeur −1
Affecter à yla valeur 5
Traitement : POUR iallant de 1àN
Affecter à ala valeur 5
4x+3 4y
Affecter à bla valeur 3
4x+5 4y
Affecter à xla valeur a
Affecter à yla valeur b
FIN POUR
Sortie : Afficher x, Afficher y
Exercice 6893
On considère deux suites de nombres réels dnet andéfi-
nies par d0=300,a0=450 et, pour tout entier naturel n⩾0:
dn+1 =1
2·dn+ 100
an+1 =1
2·dn+1 2·an+ 70
1. Calculer d1et a1.
2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher
en sortie les valeurs de dnet anpour une valeur entière
de nsaisie par l’utilisateur.
l’algorithme suivant est proposé :
Variables : net ksont des entiers naturles
Det Asont des réels.
Initialisation : Dprend la valeur 300
Aprend la valeur 450
Saisir la valeur de n.
Traitement : Pour kvariant de 1àn
Dprend la valeur D
2+100
Aprend la valeur A
2+D 2+70
Fin pour
Sortie : Afficher D
Afficher A
a. Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme
pour n=1 ?
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la
question 1. ?
b. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il
affiche les résultats souhaités.
Exercice 5377
On considère l’algorithme suivant :
Entrée Saisir un réel strictement positif non nul a.
Saisir un réel strictement positif non nul b
(b>a)
Saisir un entier naturel non nul N
Initialisation Affecter à ula valeur a
Affecter à vla valeur b
Affecter à nla valeur 0
Traitement TANT QUE : n<N
Affecter à nla valeur n+1
Affecter à ula valeur a+b
2
Affecter à vla valeur a2+b2
2
Affecter à ala valeur u
Affecter à bla valeur v.
Sortie Afficher u, afficher v
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonc-
tionner cet algorithme pour a=4,b=9 et N=2. Les valeurs
successives de uet vseront arrondies au millième.
n a b u v
049
1
2
6. Vers les probabilités :
Exercice 5364
On considère l’algorithme :
Aet Csont des entiers naturels,
Cprend la valeur 0
Répéter 9fois
Aprend une valeur aléatoire entière entre 1et 7
Si A>5alors Cprend la valeur de C+1
Fin Si Fin répéter
Afficher C
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Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précé-
dent, on appelle Xla variable aléatoire prenant la valeur C
affichée.
Quelle loi suit la variable X? Préciser ses paramètres.
7. Prévoir le fonctionnement d’un algorithme :
Exercice 5361
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés
de 1à50, participe à une course cycliste qui comprend 10
étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté.
A la fin de chaque étape, un groupe de 5coureurs est choisi au
hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations
de 5coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépen-
dantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de
plusieurs étapes.
1. A l’issue de chaque étape, combien peut-on former de
groupes différents de 5coureurs ?
2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :
“rand(1,50)” permet d’obtenir un nombre entier aléa-
toire appartenant à l’intervalle 1 ; 50;
l’écriture “x:=y” désigne l’affectation d’une valeur yà
une variable x.
Variables :a,b,c,d,esont des variables du type entier
Initialisation :a:= 0 ;b:= 0 ;c:= 0 ;d:= 0 ;e:= 0
Traitement : Tant que (a=b)ou (a=c)ou (a=d)ou
(a=e)ou (b=c)ou (b=d)ou (b=e)ou
(c=d)ou (c=e)ou (d=e)
Début du tant que
a:= rand(1;50) ;b:= rand(1;50) ;
c:= rand(1;50) ;d:= rand(1;50) ;
e:= rand(1;50)
Fin du tant que
Sortie : Afficher a,b,c,d,e.
a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont
pu être obtenus avec cet algorithme :
L1=2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15;L2=8 ; 17 ; 41 ; 34 ; 6
L3=12 ; 17 ; 23 ; 17 ; 50;L4=45 ; 19 ; 43 ; 21 ; 18
b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la
course cycliste ?
Exercice 5939
Voici un algorithme applicable à des nombres de trois chiffres
dont le chiffre des centaines n’est pas égal à celui des unités :
Etape 1:Inverser l’ordre des chiffres (par exemple 275
devient 572)
Etape 2:Calculer la différence du plus grand et du plus
petit de ces deux nombres.
Etape 3:Ré-itérer l’étape 1sur le nombre obtenu.
Etape 4:Additionner ces deux derniers nombres
1. a. Appliquer l’algorithme aux nombres 123,448 et 946.
b. Que peut-on conjecturer ?
2. Pour implémenter cet algorithme, l’étape 2, implicite
lorsqu’on effectue les calculs “à la main”, nécessite de dis-
socier l’entier saisi d’en isoler le chiffre des unités, celui
des dizaines puis celui des centaines.
Compléter l’algorithme suivant dont le rôle est d’effec-
tuer cette dissociation. Dans cet algorithme aest le
chiffre des centaines, bcelui des dizaines et ccelui des
unités du nombre nque l’on souhaite décomposer.
Entrée :
nest un entier naturel.
Initialisation :
Donner à ala valeur 0
Donner à bla valeur 0
Donner à cla valeur 0
Traitement :
Tant que n⩾100
Affecter à ala valeur a+1
Affecter à nla valeur n−100
Fin Tant que
Tant que n::::::
Affecter à bla valeur : : : : : :
Affecter à : : : : : : la valeur : : : : : :
Fin Tant que
Affecter à cla valeur : : : : : :
Sortie :
Afficher a
Afficher b
Afficher c
Exercice 6895
Soit met m′deux entiers relatifs.
On considère l’équation (E)définie par :
m·m′
42
+m−1·m′−1+m·m′
4= 0
On donne l’algorithme suivant :
Variables
met m′entiers relatifs
Traitement
Pour mallant de −10 à10
Pour m′allant de −10 à10
Si m·m′2+16·m−1·m′−1+4·m·m′=0
Alors Afficher m;m′
Fin du Pour
Fin du Pour
1. Quel est le rôle de cet algorithme ?
2. Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont −4 ; 1,
0 ; 1et 5 ; −4.
Ecrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algo-
rithme.
8. Utilisation de la calculatrice :
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