Analyse - Université Lyon 1

Analyse
Master de Mathématiques
Université Lyon 1
Drago³ Iftimie
Table des matières
1 Séries de Fourier
1.1
1.2
1.3
1.4
Noyaux trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régularité d'une fonction et décroissance de ses coecients de Fourier
2 Distributions tempérées et transformation de Fourier
2.1 Espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonctions à décroissance rapide . . . . . . . . . . . .
2.3 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Opérations sur les distributions tempérées . .
2.3.2 Support d'une distribution tempérée . . . . .
2.4 Distributions tempérées et transformation de Fourier
3 Analyse complexe
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Formule de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions d'ordre ni . . . . . . . . . . . . . . .
Localisation des zéros d'une fonction entière . .
Zéros d'une fonction holomorphe sur un ouvert .
Représentation conforme . . . . . . . . . . . . .
4 Opérateurs bornés dans des espaces de Banach
4.1
4.2
4.3
4.4
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3
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Spectre des opérateurs bornés dans les espaces de Banach. . . . . . . .
Généralités dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème spectral et décomposition spectrale d'un opérateur compact .
1
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16
1
Séries de Fourier
Dénition. Soit f ∈ L1 (0, 2π). On dénit les coecients de Fourier de f par
1
cn (f ) =
2π
2π
Z
f (x)e−inx dx,
n ∈ Z.
0
La série de Fourier associée à f est la série
∞
X
cn (f )einx .
−∞
Nous désignerons par Sn (f ) les sommes partielles de la série de Fourier de f , i.e.
Sn (f ) =
n
X
ck (f )eikx
k=−n
et par Sn (f, x) la valeur en x de cette somme partielle.
Nous utiliserons dans la suite les espaces Lp (0, 2π) (notés simplement par Lp s'il n'y a pas de
risque de confusion), 1 ≤ p ≤ ∞, dont la norme est donnée par
kf kLp
p1
1 Z 2π
|f |p
=
2π 0
si p < ∞ et
kf kL∞ = sup ess |f |
si p = ∞. Les fonctions de Lp seront étendues à R tout entier par périodicité de période 2π . On
utilisera fréquemment dans la suite que l'intégrale d'une fonction périodique de période 2π sur un
intervalle de longueur 2π est indépendante du choix de l'intervalle. On désignera enn par Cper
l'espace des fonctions continues périodiques de période 2π muni de la norme de la convergence
uniforme (sous-espace de L∞ ).
L'inégalité de Hölder arme que kf gkLr ≤ kf kLp kgkLq dés lors que 1r = p1 + 1q . En particulier
Lq ⊂ Lp et k · kLp ≤ k · kLq si p ≤ q .
Proposition 1.1. L2 est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
1
hf, gi =
2π
Z
2π
fg
0
et les fonctions einx , n ∈ Z, forment un système orthonormal.
Lemme 1.2 (Riemann-Lebesgue). Les coecients de Fourier d'une fonction de L1 forment une suite
bornée qui tend vers 0 lorsque |n| → ∞.
Proposition 1.3. Soit f ∈ L1 .
a) Si f est continue, périodique et C 1 par morceaux, alors cn (f 0 ) = incn (f ).
b) cn (f (−x)) = c−n (f ).
c) cn (f ) = c−n (f ).
d) Si
N
X
αn einx → f uniformément lorsque N → ∞, alors f est continue périodique et les coe-
−N
cients de Fourier de f sont les αn .
2
Dénition (convolution). Si f, g ∈ L1 , on dénit la convolution f ∗ g par
1
f ∗ g(x) =
2π
2π
Z
f (x − t)g(t) dt.
0
Le théorème de Fubini nous assure que f ∗ g(x) est bien déni pour presque tout x et f ∗ g ∈ L1 .
Proposition 1.4. Soient f, g, h ∈ L1 .
a)
b)
c)
d)
f ∗ g = g ∗ f.
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
f ∗ einx = cn (f )einx .
Inégalité de Young : si 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ sont tels que 1 +
f ∗ g ∈ Lr et kf ∗ gkLr ≤ kf kLp kgkLq .
1
r
=
1
p
+
1
q
et si f ∈ Lp et g ∈ Lq alors
Nous nous intéressons maintenant à la convergence de la série de Fourier. Pour cela, nous avons
besoin d'étudier un certain nombre de noyaux trigonométriques.
1.1 Noyaux trigonométriques
Noyau de Dirichlet :
n
X
Dn (x) =
eikx
k=−n
Proposition 1.5.
b)
1
2π
Z
2π
a) Dn est pair.
Dn = 1.
0
c) Si |x| ≤ π alors Dn (x) = 2 sinxnx + rn (x) où rn est uniformément borné en x et n.
d) kDn kL1 = π42 ln n + O(1) quand n → ∞.
e) Sn (f ) = f ∗ Dn .
Noyau de Fejér :
Kn =
Proposition 1.6.
a) Kn =
n
X
(1 −
k=−n
D0 + D1 + · · · + Dn−1
n
|k| ikx
sin2 (nx/2)
)e =
.
n
n sin2 (x/2)
b) kKn kL1 = 1.
c) Si 0 < δ ≤ π alors
Z
Kn → 0 quand n → ∞.
δ<|x|<π
n
X
S0 + S1 + · · · + Sn−1
|k|
d) f ∗ Kn =
=
(1 −
)ck (f )eikx .
n
n
k=−n
On désignera dans la suite par σn (f ) les sommes de Fejér suivantes :
σn (f ) =
S0 + S1 + · · · + Sn−1
n
3
Noyau de Gibbs :
Gn (x) =
n
X
sin kx
k=1
k
Proposition 1.7.
a) kGn kL∞ ≤ π2 + 1.
b) Si 0 < x < 2π alors Gn (x) → G(x) =
c) lim inf kGn kL∞ ≥
n→∞
Z
π
0
π−x
2
lorsque n → ∞.
sin t
π
= 1, 85 · · · > = kGkL∞ .
t
2
Noyau de Jackson :
Jn =
Proposition 1.8.
Kn2
kKn2 kL1
a) Jn ≥ 0, kJn kL1 = 1 et Jn est un polynôme trigonométrique de degré inférieur
à 2n.
R
b) Pour tout k ∈ {0, 1, 2} nous avons que 02π xk Jn (x) = O(n−k ).
Noyau de Poisson :
Pz (x) =
∞
X
z n e−inx +
0
∞
X
z n einx − 1
0
où z ∈ C, |z| < 1, est un paramètre
Proposition 1.9.
a) Pz (x) =
1 − |z|2
.
|eix − z|2
b) kPz kL1 = 1.
c) Si 0 ≤ r < 1 alors Pr (x) =
Z
1 − r2
et pour tout 0 < δ < π nous avons que
1 − 2r cos x + r2
Pr (t) → 0 quand r % 1.
δ<|t|<π
d) Pz est un noyau reproduisant pour les fonctions harmoniques au sens que si u est une fonction
harmonique pour |z| < 1 et continue pour |z| ≤ 1, alors
1
u(z) =
2π
Z
2π
u(eit )Pz (t) dt.
0
pour tout z ∈ C, |z| < 1.
1.2 Théorèmes de convergence
Le travail fait sur les noyaux trigonométriques nous permet maintenant de montrer des théorèmes
de convergence pour les séries de Fourier. D'abord un résultat négatif.
Théorème 1.10. Pour tout x0 , il existe une fonction continue périodique f telle que Sn (f, x0 ) soit
non borné.
4
Ainsi, au moins pour les fonctions continues et périodiques, la série de Fourier ne converge pas
toujours vers la fonction considérée. Cependant, le théorème de Fejér qui suit nous dit que cette
convergence a quand même lieu mais au sens de Cesàro.
Théorème 1.11 (Fejér).
f uniformément.
a) Si f est continue et périodique, alors kσn (f )kL∞ ≤ kf kL∞ et σn (f ) →
b) Si f ∈ Lp avec 1 ≤ p < ∞, alors kσn (f )kLp ≤ kf kLp et σn (f ) → f dans Lp .
Le théorème suivant nous donne un critère pratique pour la convergence ponctuelle de la série de
Fourier.
Théorème 1.12 (Dirichlet). Soit f ∈ L1 et x0 ∈ R. On suppose qu'il existe f− , f+ ∈ C tels que
Z
0
Alors Sn (f, x0 ) →
1
|f (x0 + t) − f+ |
dt < ∞
t
f+ +f−
2
et
Z
0
1
|f (x0 − t) − f− |
dt < ∞.
t
lorsque n → ∞.
En pratique, f+ et f− sont les limites à gauche et à droite de f en x0 .
1.3 Applications
Phénomène de Gibbs. Les singularités d'une fonction peuvent s'amplier dans la série de Fourier.
En eet, pour la fonction G(x) = π−x
pour 0 < x < 2π , on a démontré dans la proposition 1.7 que
2
les normes L∞ des sommes de Fourier de G sont strictement supérieures à la norme L∞ de G plus
une constante. Cela est dû au saut qu'on observe dans la fonction G en x = 0. On s'aperçoit que les
sommes de Fourier oscillent très fortement au voisinage de 0. Ces oscillations ne sont pas perceptibles
en norme Lp , p < ∞, mais deviennent visibles en norme L∞ .
On peut lire dans Wikipédia le paragraphe suivant sur le phénomène de Gibbs : Le phénomène
fut mis pour la première fois en évidence en 1848 par Wilbraham, mais cette découverte ne connut
guère d'écho. En 1898, Albert Michelson développa un système mécanique capable de calculer et
sommer la série de Fourier d'un signal donné en entrée. Il observa alors un eet d'amplication des
discontinuités, qui persistait malgré l'augmentation du nombre de coecients calculés. Alors que
Michelson soupçonnait un défaut dans la fabrication de son engin, Gibbs montra que le phénomène
était d'origine mathématique et se produisait dans des conditions très générales. En 1906, Maxime
Bôcher donna la première interprétation satisfaisante du phénomène auquel il donna le nom de
phénomène de Gibbs. Autres applications. Les divers théorèmes de convergence des séries de Fourier nous permettent
de montrer les applications suivantes.
Théorème 1.13.
a) Pour tout Λ ⊂X
Z, l'ensemble des polynômes trigonométriques à support dans
λ (c'est-à-dire les sommes nies
an einx ) sont denses dans l'espaces des fonctions continues
n∈Λ
périodiques dont les coecients de Fourier s'annulent pour n 6∈ Λ.
b) Si f est continue et périodique et Sn (f, x0 ) → l, alors l = f (x0 ).
c) Si f ∈ L1 est telle que ses coecients de Fourier forment une suite de `1 , alors f est somme
de sa série de Fourier presque partout.
d) les fonctions einx forment une base orthonormale de L2 .
5
e) Si f est C 1 par morceaux, continue et périodique, alors les coecients de Fourier forment une
suite de `1 et f est somme de sa série de Fourier.
f) Deux fonctions de L1 avec les mêmes coecients de Fourier sont égales presque partout.
g) (Théorème de Weierstrass) Toute fonction continue sur un intervalle compact est limite uniforme d'une suite de polynômes.
1.4 Régularité d'une fonction et décroissance de ses coecients de Fourier
Il existe un lien très fort entre la régularité d'une fonction et les propriétés de décroissance de ses
coecients de Fourier. Nous savons déjà que l'appartenance d'une fonction à L2 se traduit par le fait
que les coecients de Fourier doivent être de carré sommable. Le théorème qui suit nous donne des
caractérisations de type C k . Dénissons, pour 0 < α < 1, la classe de Hölder C α (parfois notée C 0,α )
de la manière suivante :
C α = {f ∈ Cper ; ∃C > 0, |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α ∀x, y}.
Théorème 1.14. Soit f une fonction continue et périodique.
a) Si f ∈ C k alors lim nk cn (f ) = 0.
|n|→∞
b) Si k ≥ 2 et |cn (f )| ≤ C|n|−k pour tout n, alors f ∈ C k−2 .
c) On a que f ∈ C ∞ si et seulement si pour tout k ∈ N il existe une constante C = C(k) telle que
|cn (f )| ≤ C|n|−k pour tout n.
2
.
d) Si f ∈ C α , alors ses coecients de Fourier sont dans `p pour tout p > 2α+1
e) Soit ω(δ) = sup{|f (x) − f (y)| ; |x − y| ≤ δ} le module de continuité de f . Si ω(1/n) ln n → 0
quand n → ∞, alors la série de Fourier de f converge uniformément.
f) Si f ∈ C α alors la série de Fourier de f converge uniformément.
g) Soit Pn = {
n
P
−n
ak eikx } l'ensemble des polynômes trigonométriques de degré ≤ n. Nous avons
que f ∈ C α si et seulement si d∞ (f, Pn ) = sup |f (x) − P (x)| ≤ Cn−α pour une certaine
x,P ∈Pn
constante C .
2
Distributions tempérées et transformation de Fourier
2.1 Espaces de Fréchet
D'où vient le besoin d'avoir un espace de Fréchet ? Si on prend un espace de fonctions très simple
comme C 0 (R) il n'est pas clair quelle topologie doit-on lui associer. Ce n'est pas un espace normé car
les fonctions continues sur R ne sont pas forcément bornées. Mais elles sont néanmoins bornées sur
tout compact. Il faut donc faire intervenir les quantités pn (f ) = sup |f |. On verra que la topologie
[−n,n]
+∞
P
associée est une topologie d'espace métrique avec distance d(f, g) =
n=1
de Fréchet.
pn (f −g)
2−n 1+p
; c'est un espace
n (f −g)
Dénition. Soit X un espace vectoriel sur K = R ou C. Une application p : X → R est dite
semi-norme si :
a) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ X
6
b) p(λx) = |λ|p(x) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ X
c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y
Remarque. Une semi-norme peut s'annuler en dehors de 0. C'est ce qui la distingue d'une norme.
Dénition. Soit X un ev et (pi )i∈I une famille de semi-normes sur X. On dit que la famille de
semi-normes est séparée si et seulement si ∀x 6= 0 ∃i, pi (x) 6= 0.
Exemple. Une seule semi-norme est séparée ssi c'est un norme.
Proposition 2.1. Soit X un espace vectoriel et {pn }n∈N une famille dénombrable et séparée de
semi-normes. La quantité
d(x, y) =
∞
X
2−n
n=0
pn (x − y)
1 + pn (x − y)
dénit une distance sur X.
Dénition. La topologie d'espace métrique engendrée par la distance ci-dessus est appelée topologie
d'espace vectoriel métrique localement convexe (evmlc). Un espace de Fréchet est un evmlc complet.
Théorème 2.2. Soit X un evmlc de semi-normes (pn )n∈N . Alors :
a) xn → x quand n → ∞ si et seulement si pour tout i ∈ N on a pi (xn − x) → 0 quand n → ∞.
b) xn est une suite de Cauchy si et seulement si pour tout i ∈ N on a pi (xn − xm ) → 0 quand
m, n → ∞.
c) Soit f une forme linéaire sur X (f : X → K est linéaire). Alors
f est continue ⇔ ∃C > 0 et N ∈ N tels que |f (x)| ≤ C max pn (x) ∀x ∈ X.
0≤n≤N
d) Même énoncé que ci-dessus en remplacant f linéaire par f semi-norme.
e) Soit Y un autre evmlc de semi-normes (qj )j∈N . Soit f : X → Y linéaire. Alors
f est continue ⇔ qj ◦ f est continue ∀j
⇔ ∀j ∃C > 0 et N ∈ N tels que qj (f (x)) ≤ C max pn (x) ∀x ∈ X.
0≤n≤N
Dénition. Soit X un espace vectoriel et (pn )n∈N , (p0n )n∈N deux familles dénombrables et séparées
de semi-normes sur X. On dit que les familles (pn ) et (p0n ) sont équivalentessi et seulement si chaque
semi-norme d'une famille se majore par un nombre ni de semi-normes de l'autre famille :
∀n ∈ N ∃N ∈ N, C > 0 tels que pn (x) ≤ C max p0i (x)
0≤i≤N
∀n ∈ N ∃N ∈ N, C > 0 tels que
p0n (x)
≤ C max pi (x)
0≤i≤N
La proposition suivante est une application immédiate de ce qui précède.
Proposition 2.3. Deux familles dénombrables et séparées de semi-normes sont équivalentes si et
seulement si les topologies engendrées sont identiques.
Nous montrerons dans le reste de cette partie le théorème de Banach-Steinhaus dans le cadre des
espaces de Fréchet. Introduisons d'abord la notion d'ensemble borné.
Dénition. Soit X un evmlc avec semi-normes (pn )n∈N . Un ensemble A ⊂ X est dit borné si
l'ensemble pn (A) est borné pour tout n ∈ N.
7
Théorème 2.4 (Banach-Steinhaus). Soit F une famille d'applications linéaires et continues de
X → Y où X est un espace de Fréchet de semi-normes (pn )n et Y est un evmlc de semi-normes Q.
Alors si F est ponctuellement bornée (c'est-à-dire si ∀x l'ensemble {f (x), f ∈ F } est borné dans Y)
alors F est bornée au sens que
∀q ∈ Q ∃N ∈ N, C > 0 tels que q(f (x)) ≤ C max pi (x) ∀x ∈ X, f ∈ F .
0≤i≤N
Corollaire. Soient X, Y comme dans l'énoncé précédent, (fn ) une suite d'applications linéaires et
continues fn : X → Y . Si ∀x fn (x) converge vers un certain f (x) alors f est forcément linéaire et
continue.
2.2 Fonctions à décroissance rapide
Dénition. Pour f ∈ L1 (Rn ) on dénit la transformée de Fourier de f par :
Z
fb(ξ) =
e−ix·ξ f (x)dx , F (f ) = fb
Rn
On appelle multi-indice un élément α ∈ Nn . On dénit ∂ α = ∂1α1 . . . ∂nαn =
xα = xα1 1 . . . xαnn , |α| = α1 + . . . αn , α! = α1 ! . . . αn !
∂ α1
∂x 1
...
∂
∂x n
αn
,
Dénition. On appelle espace de fonctions à décroissance rapide (ou encore classe de Schwartz) l'en-
semble
S (Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn ) tel que xα ∂ β f soit bornée sur Rn ∀α, β multi-indices}
S (Rn ) est un espace vectoriel sur C que l'on munit de la topologie associée aux semi-normes
pα,β (f ) = supx |xα ∂ β f (x)| (ce qui implique que S (Rn ) est un espace métrique). Il existe d'autres
familles équivalentes de semi-normes : p0α,β (f ) = supx |∂ β (xα f (x))| ou encore p00k,n (f ) = sup (1 +
x,|α|≤n
|x|)k |∂ α f (x)|.
Proposition 2.5. S (Rn ) est un espace de Fréchet
Exemples.
a) C0∞ (Rn ) = {fonctions C ∞ sur Rn à support compact} ⊂ S (Rn ).
2
b) Si α ∈ C, Re(α) > 0 alors e−α|x| ∈ S (Rn ).
c) Si f ∈ S , |h| = 1 alors
f (x + εh) − f (x)
−→ ∂h f (x) = h · ∇f (x)
ε→0
ε
dans S (Rn ).
Dénition. L'espace des fonctions à croissance lente est déni par
L (Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn ) tel que ∀α ∃m ∈ N, C > 0, |∂ α f (x)| ≤ C(1 + |x|m )}
Proposition 2.6.
a) Soit f ∈ L (Rn ). Alors l'application S (Rn ) 3 ϕ 7→ f ϕ ∈ S (Rn ) est linéaire
et continue sur S (Rn ).
b) C0∞ (Rn ) est dense dans S (Rn ).
c) Si f, g ∈ S (Rn ) alors f ∗ g ∈ S (Rn ) et on a la continuité de l'application bilinéaire S (Rn ) ×
S (Rn ) 3 (f, g) 7→ f ∗ g ∈ S (Rn ).
8
Proposition 2.7.
b)
c)
a) F est continue de S (Rn ) → S (Rn )
cα f = (i∂ξ )α fb
x
α f = (iξ)α fb
∂d
|ξ|2
√
Exemple. Si f (x) = e−α|x|2 , a ∈ C, Re(a) > 0, alors fb(ξ) = ( πa ) 2 e− 4a où a 2 = ( a)n et √ est la
n
n
détermination de la racine sur {z, Re(z) > 0} qui vaut 1 en 1.
Proposition 2.8. F est un isomorphisme topologique et algébrique de S dans S d'inverse
F
−1
−n
(ψ)(x) = (2π)
Z
eix·ξ ψ(ξ)dξ
|
{z
}
b
ψ(−x)
Proposition 2.9. Soient ϕ et ψ deux fonctions à décroissance rapide. Alors
a)
R
ϕψ
b =
R
ϕψb
R
R
b L2 (Parseval)
b) hϕ, ψiL2 = ϕψ = (2π)−n ϕbψb = hϕ,
b ψi
c) ϕ[
∗ψ =ϕ
bψb
c = (2π)−n ϕ
d) ϕψ
b ∗ ψb
2.3 Distributions tempérées
Dénition. On note par S 0 (Rn ) ou encore espace de distributions tempérées, le dual de S , c'est-
à-dire l'espace {u : S (Rn ) → C, u linéaire et continue }.
Pour u ∈ S 0 , ϕ ∈ S on note u(ϕ) = hu, ϕi = hu, ϕiS 0 ,S
Dénition. On dit que uj → u dans S 0 si
huj , ϕi → hu, ϕi ∀ϕ ∈ S .
Proposition 2.10 (Complétude de S 0 ). Toute suite de Cauchy dans S 0 (c'est à dire que huj , ϕi
est de Cauchy ∀ϕ ∈ S ) converge dans S 0 .
Nous avons que u : S → C est distribution tempérée ⇔ u est linéaire et ∃C, m tels que |hu, ϕi| ≤
C sup (1 + |x|)m |∂ α ϕ(x)| pour tout ϕ ∈ S .
|α|≤m,x∈Rn
Exemples.
que
a) Distributions de type fonction. Si f ∈ L1loc (Rn ) telle que ∃m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞ tels
f
p
n
m ∈ L (R ) alors f dénit une distribution tempérée de type fonction donnée par
(1 + |x|)
l'application ϕ → f ϕ. On note f ϕ = hf, ϕi. Cette distribution est uniquement déterminée
par f au sens que si hf1 , ϕi = hf2 , ϕi ∀ϕ ∈ S ⇒ f1 = f2 p.p. On identie cette distribution à
la fonction qui lui est associée.
b) Masse de Dirac. Si a ∈ Rn , δa la masse de Dirac en a est dénie par hδa , ϕi = ϕ(a).
c) Combinaisons linéaires de masses de Dirac.
R
R
Proposition 2.11. Soit f ∈ L1loc (Ω), où Ω est un ouvert de Rn . Si on a que f ϕ = 0 pour tout
R
ϕ ∈ C0∞ = {fonctions C ∞ à support compact dans Ω}, alors f = 0 p.p dans Ω.
Proposition 2.12. C0∞ (Ω) est dense dans Lp (Ω) pour tout 1 ≤ p < ∞.
Corollaire. Soit f ∈ Lp (Ω) à support compact, p < ∞. Alors fε → f dans Lp (Ω) où fε = f ∗ ϕε et
ϕε est une approximation de l'identité.
9
2.3.1 Opérations sur les distributions tempérées
Les opérations suivantes sont bien dénies sur les distributions tempérées.
• Addition.
• Multiplication par un scalaire.
• Multiplication par une fonction f à croissance lente. Plus précisément, soient u ∈ S 0 et f ∈ L .
On dénit f u ∈ S 0 par hf u, ϕi = hu, f ϕi ∀ϕ ∈ S .
• Dérivation. Pour u ∈ S 0 et α ∈ Nn on dénit ∂ α u ∈ S 0 par h∂ α u, ϕi = (−1)|α| hu, ∂ α ϕi. Si u
est une fonction régulière, alors la dérivation au sens des fonctions correspond à la dérivation
au sens des distributions.
• Convolution. On peut faire la convolution entre u ∈ S 0 et f ∈ S en posant hu∗f, ϕi = hu, fˇ∗ϕi
où fˇ(x) = f (−x).
2.3.2 Support d'une distribution tempérée
Dénition. Soient u ∈ S 0 et Ω un ouvert de Rn . On dit que u est nulle sur Ω ou encore que uΩ = 0,
si hu, ϕi = 0 pour tout ϕ ∈ C0∞ (Ω)
Remarque. Si u est de type fonction alors uΩ = 0 au sens des distributions ⇔ u = 0 p.p dans Ω
Lemme 2.13. Soit u ∈ S 0 , (Ωi )i∈I une famille d'ouverts de Rn . Si uΩi = 0 ∀i ∈ I alors uSi∈I Ωi = 0
Dénition. Soit u ∈ S 0 . Le support de u, noté par supp(u), est le complémentaire du plus grand
ouvert où u s'annule. C'est aussi le complémentaire de l'union de tous les ouverts où u s'annule.
Remarque. Si u est de type fonction alors le support au sens des fonctions coïncide avec celui au
sens des distributions
Dénition. C ∞ (Rn ) est l'espace de Fréchet dont la topologie est associée aux semi-normes sup |∂ α f |,
K
où α ∈ Nn et K est un compact de Rn . Cette famille de semi-normes n'est pas dénombrable mais
on peut se restreindre par équivalence des semi-normes à K = B(0, j), j ∈ N∗ , qui cette fois-ci est
dénombrable et donc on a bien un espace de Fréchet. On note par E 0 (Rn ) le dual de C ∞ (Rn )
Proposition 2.14. Les éléments de E 0 (Rn ) sont exactement les distributions tempérées à support
compact.
Proposition 2.15. Soient u ∈ S 0 et a ∈ Rn . On a que supp u ⊂P{a} si et seulement si u est
combinaison linéaire (nie) de ∂ α δa , α ∈ Nn . De plus, l'écriture u =
cα ∂ α δa est unique.
2.4 Distributions tempérées et transformation de Fourier
Dénition. Soit u ∈ S 0 (Rn ) on dénit la transformée de Fourier de u par :
∀ϕ ∈ S (Rn ) hb
u, ϕi = hu, ϕi
b
Si on a aussi que u ∈ S (Rn ) alors la transformée de Fourier en tant que distribution coïncide
avec la transformée de Fourier au sens de S (Rn ).
Théorème 2.16. La transformée de Fourier est une bijection de S 0 (Rn ) dans S 0 (Rn ) d'inverse
F −1 : u → (2π)−n F (ǔ), où ∀ϕ ∈ S (Rn ), hǔ, ϕi = hu, ϕ̌i et ϕ̌(x) = ϕ(−x).
Théorème 2.17.
α u = (iξ)α u
α u = (i∂ )α u
a) Si u ∈ S 0 (Rn ) alors ∀α ∈ Nn nous avons que ∂d
b et xd
ξ b.
10
b) Si a ∈ S (Rn ), u ∈ S 0 (Rn ) alors u[
∗a=u
bb
a
c) Si u ∈ E 0 (Rn ) (distributions à support compact) alors ub est une fonction à croissance lente qui
se prolonge en une fonction holomorphe sur Cn . De plus ub(ξ) = hu(x), e−ix·ξ i.
d) Si u ∈ E 0 (Rn ), v ∈ S 0 (Rn ) alors on peut dénir u ∗ v ∈ S 0 comme la transformée de Fourier
inverse de ubvb.
Remarque. Dès que la convolution est possible (u ∈ S 0 (Rn ), v ∈ S (Rn ) ou u ∈ S 0 (Rn ), v ∈
E 0 (Rn ), · · · ), on a pour tout α ∈ Nn
∂ α (u ∗ v) = (∂ α u) ∗ v = u ∗ (∂ α v).
Remarque. On peut aussi montrer que si u ∈ S 0 (Rn ) et a ∈ S (Rn ), alors u ∗ a est aussi à
croissance lente et u ∗ a(x) = hu(y), a(x − y)i.
Théorème 2.18 (Plancherel). Si u ∈ L2 (Rn ), alors ub ∈ L2 (Rn ) et
n
kb
ukL2 = (2π) 2 kukL2 .
La transformation de Fourier F est une bijection et une isométrie à une constante près de L2 (Rn ).
Théorème 2.19 (structure des distributions tempérées). Soit u ∈ S 0 (Rn ). Il existe une fonction f
majorée par un polynôme et un multi-indice α tels que u = ∂ α f .
3
Analyse complexe
Nous nous intéressons dans cette partie aux fonctions entières (holomorphes sur C) et leurs zéros.
Voici quelques questions qui seront abordées :
• Comment caractériser les zéros possibles d'une fonction entière ?
• Quel est le rapport entre la "taille" de la fonction à l'inni et le nombre de ses zéros ?
• Déterminer la fonction à partir de ses zéros.
3.1 Formule de Jensen
Nous allons commencer par étudier le rapport entre la "taille" de la fonction à l'inni et le nombre
de ses zéros. Voici un premier résultat en ce sens :
Théorème 3.1 (Formule de Jensen). Soit f une fonction holomorphe au voisinage de DR = D(O, R)
qui ne s'annule ni sur le cercle C(0, R) ni en 0. Soient z1 , . . . , zn les zéros de f dans DR comptés avec
leur multiplicité. Nous avons que
1
2π
Z
2π
iθ
log |f (Re )|dθ = log |f (θ)| −
0
n
X
k=1
log
|zk |
.
R
Corollaire. Soit N (R) le nombre de zéros de f de module ≤ R (multiplicité comprise). Alors
Z
0
R
N (t)
1
dt =
t
2π
Z
2π
log |f (Reiθ )|dθ − log |f (θ)|
0
11
3.2 Fonctions d'ordre ni
Dénition. Soit f une fonction entière. On dit que f est d'ordre ni si ∃ρ ≥ 0, A, B > 0 tels que
|f (z)| ≤ AeB|z|
ρ
(∗)
∀z ∈ C.
On dénit ordre(f ) = inf {ρ ≥ 0; ∃A, B tel que (∗) est vraie}.
Théorème 3.2. Soit f entière qui vérie (∗). Alors
a) ∃C > 0 telle que N (R) ≤ CRρ pour tout R ≥ 1.
b) Soit zk les zéros de f non nuls et comptés avec leur multiplicité. Alors
X 1
< +∞
|zk |s
k
∀s > ρ.
3.3 Localisation des zéros d'une fonction entière
Dénition. Soit an ∈ C. On dit que le produit
+∞ et on pose
+∞
Y
n=1
Q+∞
n=1
an = lim
an converge si
N →+∞
N
Y
QN
n=1
an converge lorsque N →
an .
n=1
On dénit de même les diérents types de convergence d'un produit inni de fonctions à l'aide des
produits partiels.
Proposition 3.3.
a) Soit an tel que |an | < ∞. Alors ∞
n=1 (1 + an ) converge et le produit inni
est nul si et seulement si l'un des termes est nul.
P
b) Soit fn une suite de fonctions holomorphes dénies surQun ouvert Ω. On suppose que n |fn |
converge uniformément sur les compacts de Ω. Alors (1 + fn ) converge uniformément sur
les compacts de Ω vers une fonction holomorphe F . De plus, les zéros de F sont les zéros des
termes qui constituent le produit inni multiplicité comprise. Enn, si fn (z) 6= −1 ∀n, z alors
P
Q
∞
F 0 X fn0
=
F
1 + fn
n=1
où la série converge uniformément sur les compacts de Ω.
Théorème 3.4 (Théorème de Weierstrass). Soit S un sous-ensemble de C. Il existe une fonction
entière f non identiquement nulle dont les zéros sont l'ensemble S si et seulement si S est un
ensemble ni ou constitué d'une suite qui tend vers l'inni. De plus, on peut même prescrire de
manière arbitraire l'ordre de ces zéros. Enn, les fonctions entières avec les mêmes zéros et les
mêmes multiplicités sont exactement celles de la forme f eg où g est entière.
Théorème 3.5 (Théorème de factorisation d'Hadamard). Soit f une fonction entière d'ordre ρ.
Soient k = [ρ] (partie entière de ρ), m l'ordre de 0 en tant que zéro de f (si f (0) 6= 0 on convient
que m = 0) et {an } la suite des zéros non-nuls de f . Il existe un polynôme P de degré ≤ k tel que
f (z) = eP (z) z m
∞
Y
Ek (
n=1
z
)
an
où Ek est le facteur élémentaire de Weierstrass déni par
z2
zk
Ek (z) = (1 − z)ez+ 2 +···+ k .
12
3.4 Zéros d'une fonction holomorphe sur un ouvert
Théorème 3.6. Soit Ω un ouvert de C et S un sous-ensemble de C. Il existe une fonction f holomorphe sur Ω non identiquement nulle dont les zéros sont l'ensemble S si et seulement si S n'a pas
de points d'accumulation dans Ω. De plus, on peut même prescrire de manière arbitraire l'ordre de
ces zéros.
Dénition. Une fonction méromorphe est une fonction dont les singularités sont des pôles.
Corollaire. Toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions holomorphes.
3.5 Représentation conforme
Soit D le disque unité.
Proposition 3.7 (Lemme de Schwarz). Soit f : D → D, holomorphe,f (0) = 0. Alors |f (z)| ≤ |z| ∀z
et |f 0 (0)| ≤ 1 avec égalité si et seulement si f est une rotation.
Proposition 3.8. Toute limite de fonctions holomorphes et injectives convergeant uniformément sur
les compacts est injective ou constante.
Lemme 3.9. Si γ est un lacet et f est une fonction holomorphe sur γ et à l'intérieur de γ telle que
f 6= 0 sur γ , alors
Z 0
1
f
= nombre de zéros de f situés à l'intérieur de γ (multiplicité comprise)
2iπ γ f
Dénition. Soient γ0 et γ1 deux chemins de mêmes extrémités, tracés sur Ω. On dit que γ0 et γ1
sont homotopes si on peut les déformer de manière continue de l'un dans l'autre tout en restant dans
Ω:
∃γ(s, t) : [0, 1]2 → Ω, continue telle que γ(0, t) = γ0 (t) et γ(1, t) = γ1 (t).
On dit que Ω est simplement connexe si et seulement si ∀γ0 , γ1 de mêmes extrémités on a que γ0 et
γ1 sont homotopes. Intuitivement les ouverts simplement connexes sont les ouverts sans trou .
Toute la théorie des fonctions holomorphes qui a été faite jusqu'ici repose sur la propriété suivante :
pour une fonction holomorphe dénie sur un ouvert étoilé, l'intégrale sur un chemin fermé est nulle.
Si cette propriété reste vraie pour des ouverts simplement connexes, tous les résultats connus pour les
fonctions holomorphes dans des ouverts étoilés deviennent automatiquement vrais dans des ouverts
simplement connexes. Voici maintenant une esquisse de la preuve de cette propriété dans le cas des
13
ouverts simplement connexes. Il sut de montrer que γ0 f = γ1 f en supposant que γ0 et γ1 ont
les mêmes extrémités. Comme Ω est simplement connexe on peut déformer γ0 sur γ1 . Il existe γ(s, t)
continue telle que γ(0, t) = γ0 (t) et γ(1, t) = γ1 (t). L'ensemble K = γ([0, 1]2 ) est un compact car γ
est continue et [0, 1]2 compact. Par conséquent, d(K, ∂Ω) est atteinte et donc est strictement positive.
On en déduit qu'il existe ε > 0 tel que tout disque de rayon ε qui rencontre K est inclus dans Ω.
R
R
Chaque disque est un ouvert étoilé, donc le résultat est connu sur chaque disque. Comme K est
compact, il peut être recouvert par un nombre ni de disques. En appliquant la formule sur chaque
disque et en sommant on trouve le résultat recherché.
Théorème 3.10 (Théorème de représentation conforme de Riemann). Soient Ω1 , Ω2 des ouverts
simplement connexes de C, qui ne sont ni ∅ ni C. Il existe f un biholomorphisme (i.e. f bijective
holomorphe, f −1 holomorphe) de Ω1 sur Ω2 .
Remarque. On peut donner un contre-exemple de ce théorème pour C. Si un biholomorphisme
existait entre C et D ce serait une fonction entière bornée et donc d'après le théorème de Liouville
elle serait constante.
4
Opérateurs bornés dans des espaces de Banach
Dénition. Soient E,F des espaces normés. Un opérateur borné de E dans F est une application
linéaire et continue de E dans F.
L (E, F ) = {T : E → F, T linéaire et continue }.
L (E, F ) est un espace normé de norme
kT k = sup kT (x)k = sup kT (x)k = inf{c; kT (x)k ≤ ckxk ∀x ∈ E}
kxk≤1
kxk=1
C'est une norme d'algèbre
kS ◦ T k ≤ kSkkT k
.
14
4.1 Spectre des opérateurs bornés dans les espaces de Banach.
Soit E un espace de Banach complexe, T ∈ L (E).
Dénition.
σ(T ) = spectre de T = {λ ∈ C; T − λI ne soit pas inversible dans L (E)}.
ensemble résolvant de T = R(T ) = C \ σ(T ).
Pour λ ∈ R(T ) on dénit la résolvante de T : Rλ (T ) = (T − λI)−1 .
Remarque. Par le théorème de l'application ouverte T − λI est inversible si et seulement si T − λI
est bijective.
Proposition 4.1.
Identité de la résolvante
Proposition 4.2.
Si λ, ξ ∈ R(T ) alors Rλ − Rξ = (λ − ξ)Rλ Rξ .
a) S ∈ L (E), kSk < 1 ⇒ I − S est inversible et (I − S)−1 =
∞
P
S n.
n=0
b) Inv(L (E)) = {S ∈ L (E), S inversible } est un ouvert de L (E).
c) S → S −1 est continue de Inv(L (E)) → L (E).
Théorème 4.3. Soit T ∈ L (E), où E est un espace de Banach complexe. Le spectre σ(T ) est un
compact non vide de C.
Théorème 4.4. Soit E un espace de Banach complexe et T ∈ L (E).
a) Si T est inversible alors σ(T −1 ) = { λ1 ; λ ∈ σ(T )}.
b) Si P est un polynôme alors σ(P (T )) = P (σ(T )).
1
c) Nous avons que ρ(T ) =rayon spectral= max{|λ|, λ ∈ σ(T )} = lim kT n k n (en particulier cette
n→+∞
limite existe).
4.2 Généralités dans les espaces de Hilbert
Soient E, F des espaces de Hilbert.
Proposition 4.5. Soit T ∈ L (E, F ). Pour tout x ∈ F , il existe un unique élément noté T ∗ x ∈ E
tel que hT y, xi = hy, T ∗ xi ∀y ∈ E . De plus, l'application x → T ∗ x est linéaire et continue de F dans
E . On appelle T ∗ l'adjoint de T .
Théorème 4.6. Soit T ∈ L (E, F ).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
T → T ∗ est une isométrie linéaire si K = R, antilinéaire si K = C.
(T ∗ )∗ = T .
kT ∗ T k = kT k2 .
(ST )∗ = T ∗ S ∗ .
F = Ker(T ∗ ) ⊕⊥ Im(T ), E = Ker(T ) ⊕⊥ Im(T ∗ ).
Soit T ∈ L (E) et G un sous-espace vectoriel fermé de E. Alors
T G ⊂ G ⇔ T ∗ G⊥ ⊂ G⊥ .
15
4.3 Opérateurs compacts
Dénition. Soient E et F des espaces de Hilbert. T ∈ L (E; F ) est dit compact si l'image par T
de tout ensemble borné est relativement compacte. De manière équivalente, il sut de suppose que
l'image de la boule unité par T est relativement compacte. On note par K (E; F ) l'ensemble des
opérateurs compacts de E dans F .
Théorème 4.7.
a) K(E,F) est un sev fermé de L (E, F ).
b) La composition (peu importe l'ordre) entre un opérateur continu et un opérateur compact est
compacte.
c) T est compact si et seulement si T ∗ est compact.
Théorème 4.8 (Alternative de Fredholm). Soit T compact entre deux espaces de Hilbert. Alors
a) Ker(I − T ) est de dimension nie.
b) Im(I − T ) est fermé.
c) I − T est injectif si et seulement si I − T est surjectif.
4.4 Théorème spectral et décomposition spectrale d'un opérateur compact
Théorème 4.9 (Théorème spectral). Soit E un espace de Hilbert de dimension innie et T ∈ K (E).
Alors :
a) 0 ∈ σ(T ).
b) Si λ ∈ σ(T ) \ {0} alors λ est valeur propre de T (i.e. ∃x 6= 0, T x = λx).
c) σ(T ) \ {0} est formé d'une suite qui tend vers 0 ou bien il est ni.
Le dernier théorème de ce cours montre que dans les espaces de Hilbert on peut diagonaliser un
opérateur compact et normal (i.e. T T ∗ = T ∗ T ).
Théorème 4.10. Soit H un espace de Hilbert complexe séparable et T un opérateur compact et
normal sur H . Soient λn les valeurs propres de T et En les sous-espaces propres correspondants
(En = Ker(T − λn I)). Alors H = ⊕⊥
n En et H admet une base hilbertienne formée de vecteurs
propres. Il existe {en } une base Hilbertienne de H et λn ∈ C tels que T en = λn en et
∀x ∈ H, x =
X
xn e n ⇒ T x =
n
X
λn xn en .
n
Références
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[2] H. Brezis. Analyse fonctionnelle. Collection Mathématiques Appliquées pour la Ma^ trise.
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[8] G. Pólya et G. Szeg®. Problems and theorems in analysis. II. Classics in Mathematics. SpringerVerlag, Berlin, 1998. Theory of functions, zeros, polynomials, determinants, number theory,
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translation.
[9] W. Rudin. Analyse réelle et complexe : Cours et exercices. Dunod, 3e edition, 1998.
[10] E. M. Stein et R. Shakarchi. Complex analysis. Princeton Lectures in Analysis, II. Princeton
University Press, Princeton, NJ, 2003.
[11] C. Zuily et H. Queélec. Analyse pour l'agrégation. Dunod, 3e edition, Dec. 2006.
17