Chapitre VII : Les quadrilatères I- Les quadrilatères. Définition : Un quadrilatère est une forme géométrique plane, qui a quatre côtés. Exemples : Les figures ci-dessous sont des quadrilatères. Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 5 II- Le trapèze : Définition : Un trapèze est un quadrilatère, qui a deux côtés parallèles. Exemples : Les figures (2) et (5) sont des trapèzes. III- Le parallélogramme : Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère, dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Exemples : La figure (5) est un parallélogramme. Les mathématiques au collège Page 1 Remarque : Un parallélogramme est un trapèze, mais un trapèze n’est pas forcément un parallélogramme. 1- Ensemble des quadrilatères : Les quadrilatères Les parallélogrammes Les rectangles, les losanges et les carrés sont des parallélogrammes. 2- Propriétés d’un parallélogramme. Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur. A D Les mathématiques au collège B C Page 2 P1 Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : AB=DC et AD=BC. Dans un quadrilatère, si les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. R1 Hypothèse : AB=DC et AD=BC. Conclusion : ABCD est un parallélogramme. Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux deux à deux. A D P2 B C Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : Aˆ Cˆ et Bˆ Dˆ . Dans un quadrilatère, si les angles opposés sont égaux deux à deux, ce quadrilatère est un parallélogramme. R2 Hypothèse : Aˆ Cˆ et Bˆ Dˆ Conclusion : ABCD est un parallélogramme. Les mathématiques au collège Page 3 Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur. P3 Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : (AB) // (DC) et AB = DC. Dans un quadrilatère, si deux côtés sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. R3 Hypothèse : (AB)//(DC) et AB = DC . Conclusion : ABCD est un parallélogramme. Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu. A B O D P4 C Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : [AC] et [BD] ont le même milieu O Dans un quadrilatère, si les diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. R4 Hypothèse : [AC] et [BD] ont le même milieu O. Conclusion : ABCD est un parallélogramme. Les mathématiques au collège Page 4 3- Parallélogrammes particuliers. A- Rectangle : Définition : Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit. Propriété : Dans un rectangle les diagonales ont la même longueur. Réciproque : Si dans un parallélogramme les diagonales ont la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. B- Losange : Définition : Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. Les mathématiques au collège Page 5 Conséquence : Un losange est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur. Propriété : Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires en leur milieu. Réciproque : Si dans un parallélogramme les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors ce parallélogramme est un losange. C- Carré : Définition : Un carré est un parallélogramme dont les angles sont droits et les côtés sont égaux. Propriété : Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Les mathématiques au collège Page 6 Conséquences : Comme dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Comme dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur. Comme dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires. Les mathématiques au collège Page 7