Arbre couvrant minimal d`un graphe (suite)

Arbre couvrant minimal d’un graphe (suite)
Algorithme de Prim-Jarník
Algorithme similaire à l”algorithme de Dijkstra (dans le cas des graphes
connexes)
On choisit un sommet s aléatoirement qu’on met dans un “nuage” et on
construit l’arbre couvrant minimal en faisant grossir le “nuage” d’un
sommet à la fois.
On garde en mémoire à chaque sommet v, une étiquette d(v) qui ici est
égale au poids minimal parmi les poids des arêtes reliant v à un sommet à
l’intérieur du nuage.
À chaque étape:
On ajoute au nuage le sommet u extérieur ayant la plus petite étiquette d(u)
On met à jour les étiquettes des sommets adjacents à u
IFT2010, H2004, Sylvie Hamel
Université de Montréal
ACM, suite et fin!
1
Exemple:
2
∞
B
8
∞
5
2
D
7
F
8
7
2
D
2
5
8
A
4
9
F
8
IFT2010, H2004, Sylvie Hamel
Université de Montréal
F
8
∞
2
7
0
ACM, suite et fin!
4
9
5
C
5
7
7
B
F
8
8
A
D
7
∞4
3
E
7
∞
3
E
A
3
E
4
9
5
C
5
2
7
B
8
∞7
B
D
7
2
0
7
8
5
C
∞
3
E ∞7
8
0
2
4
9
C
A
∞
7
2
Exemple (suite)
2
2
7
7
B
4
9
5
C
5
F
8
8
A
D
4
3
E
7
37
2
2
7
IFT2010, H2004, Sylvie Hamel
Université de Montréal
7
B
A
ACM, suite et fin!
4
9
5
C
5
F
8
8
0
D
3
E
7
4
3
3
Analyse de la complexité en temps
Opérations sur les graphes:
On appelle l’opération Incidentes(v) une fois pour chaque sommet v. Donc,
temps total si on utilise une liste d’adjacence de O(m)
Étiquettage:
On peut changer l’étiquette D(u) d’un sommet u jusqu’à O(deg(u)) fois.
Donc, au total, l’étiquettage prend un temps O(m)
Opérations de liste avec priorités
Chaque sommet est inséré une fois dans la liste et retiré une fois. Chaque
insertion et suppresion prend un temps O(log n). Total O(n log n)
La clé de chaque sommet u est modifiée au plus O(deg(u)) et prend un
temps O(log n) chaque fois. Total O(m log n)
La complexité en temps de Prim-Jarník est donc de O((n+m) log n)
ou O(m log n) si le graphe est simple et connexe
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ACM, suite et fin!
4
Retour au chemin de poids minimal
entre deux sommets
L’algorithme de Dijkstra nous permet de trouver, étant donné une source,
les chemins de poids minimal entre cette source et tous les autres
sommet du graphe. Fonctionne seulement avec des arêtes de poids nonnégatifs en O((n+m) log n)
L’algorithme de Bellman-Ford nous permet de trouver, étant donné une
source, les chemins de poids minimal entre cette source et tous les autres
sommet du graphe. Fonctionne avec des arêtes de poids négatifs en
O(nm)
Ne trouve pas de solution si le graphe à un cycle de poids total négatif
Pourquoi??
IFT2010, H2004, Sylvie Hamel
Université de Montréal
ACM, suite et fin!
5
Exemple d’exécution
0
4
1
0
-2
1
∞ 2
3
-2
9
1
-2 2
5
4
4
1
∞
4
3 -1
9
∞
5
4
Deuxième étape
∞
4
Première étape
Dernière étape
0
4
1
0
-2
1
∞ 2
-2
3
9
4
∞
4
1
5
∞
4
-2
1
-2 2
3 -1
9
4
4
5