Feuille TD 1

Feuille TD 1 - Faisceaux
Exercice 1. Soit Xun espace topologique et soient F,Gdeux faisceaux
en groupes ab´eliens sur X. Pour tout ouvert U⊆Xon note F|Uet G|Ules
restrictions de Fet G, respectivement, `a l’ouvert U. Montrez que l’association
U7→ HomSh/U (F|U,G|U)
d´efinit un faisceau en groupes ab´eliens sur X.
Exercice 2. Soit Run anneau (commutatif et unitaire) et soit Xun espace
topologique ; ´etant donn´es deux faisceaux en R-modules F,G, est-ce que
l’association
U7→ F(U)⊗RG(U) (1)
d´efinit un faisceau en R-modules ? Et si on remplace Rpar un faisceau
en anneaux Ret on suppose que F,Gsoient deux R-modules, `a savoir deux
faisceaux en groupes ab´eliens tels que pour tout ouvert Ules groupes F(U) et
G(U) sont munis d’une structure de R(U)-modules, celle-ci compatible avec
les homomorphismes de restrictions - est-ce que l’association (1) devient un
faisceau en R-modules ?
Exercice 3 (Faisceau gratte-ciel).Soit Gun groupe ab´elien et soit Xun
espace topologique ; soient x1, . . . , xd∈Xdes points de Xet notons S=
{x1, . . . , xd}. Consid´erons l’association
FG,S :U7→ M
x∈U
G·x⊆M
x∈S
G·x.
On d´efinit des homomorphismes de restrictions, pour toute inclusion d’ou-
verts V⊆U,
FG,S(U) = M
x∈U
G·x⊕pr −−→ FG,S(V) = M
x∈V
G·x
`a travers les fl`eches de projection.
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1. Montrer que FG,S est un faisceau en groupes ab´eliens : on l’appelle le
faisceau gratte-ciel concentr´e en ( ou au-dessus de) S.
2. En supposant que chaque x∈Ssoit ferm´e, d´ecrire les fibres (FG,S)z
pour tout z∈X.
3. Trouver un contre-exemple `a la conclusion du point pr´ec´edent lors-
qu’on affaibli l’hypoth`ese que les points dans Ssoient tous ferm´es.
Exercice 4 (Espaces irr´eductibles).Un espace topologique Xest dit irr´e-
ductible si chaque ´ecriture X=K1∪K2avec les Kiferm´es entraˆıne que
soit K1=Xsoit K2=X.
Tout d’abord, observez qu’un espace irr´eductible est en particulier connexe.
Ensuite, montrez que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. Xest irr´eductible
2. Toute paire d’ouverts non-vides U16=∅ 6=U2⊆Xa une intersection
non-vide, U1∩U26=∅.
3. Tout ouvert Uest connexe.
4. Tout ouvert non-vide U6=∅est dense.
5. Tout ouvert Uest irr´eductible.
Montrez enfin que le pr´efaisceau constant sur un espace Xest d´ej`a un
faisceau lorsque Xest irr´eductible.
Exercice 5. On dit qu’un espace topologique Xest
(i) un espace de Kolmogorov (ou un espace qui satisfait `a l’axiome T0) si
pour tout couple de points x6=yde Xil existe un ouvert Uqui en
contient un des deux mais pas l’autre.
(ii) un espace qui satisfait `a l’axiome T1si pour tout couple de points x6=y
de Xil existe un ouvert Uxqui contient xet non contient pas y, et un
ouvert Uyqui contient ymais ne contient pas x.
1. Trouvez un exemple d’un espace topologique qui satisfait `a T0mais ne
satisfait pas `a T1.
2. Montrez que pour tout anneau A, l’espace topologique Spec(A) est un
espace de Kolmogorov. D´eduisez-en que tout sch´ema est un espace de
Kolmogorov.
3. D´eterminez les conditions sur Aafin que Spec(A) satisfasse `a l’axiome
T1.
Exercice 6 (Liu, exercice 2.1.1).D´eterminez la structure topologique de
Spec(C[[T]]).
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Exercice 7 (Liu, exercice 2.1.9).Soit kun corps et soit Aune k-alg`ebre de
type fini.
1. Montrez que si A/k est finie (c’est-`a-dire, qu’elle est un k-espace vecto-
riel de dimension finie), alors tout premier de Aest maximal. D´eduisez-
en que Spec(A) est fini de cardinal born´e par dimk(A). (Conseil : re-
marquez que chaque id´eal de Aest en particulier un k-espace vectoriel).
2. Montrez que Spec(k[T1, . . . , Tn]) est infini d`es lors que n≥1.
3. Prouvez l’´equivalence
Spec(A) est fini ⇐⇒ A/k est finie.
Exercice 8 (Liu, exercice 2.2.8).Soit {Ui}i∈Iun recouvrement ouvert d’un
espace topologique Xet supposons d’avoir un faisceau Fisur Uipour tout
i∈I. Supposons aussi qu’il y ait des isomorphismes
φij :Fi|Ui∩Uj
∼
=
−→ Fj|Uj∩Ui
pour tout couple i, j ∈I, et que ces isomorphismes v´erifient φii = id et
φjk ◦φij =φik pour tous i, j, k ∈I.
Montrez qu’il existe un unique faisceau Fsur Xet des isomorphismes
ψi:F|Ui
∼
=
−→ Fi
tels que ψj=φij ◦ψi.
Le faisceau Fest le recollement des faisceaux Fi`a travers les φij .
Exercice 9. Soit Xun espace topologique. Un faisceau Fsur Xest dit
localement constant s’il existe un recouvrement de Xpar des ouverts Uitel
que F|Uisoit isomorphe `a un faisceau constant pour tout i.
1. Montrer que, sur un espace topologique irr´eductible, un faisceau est
localement constant si et seulement s’il est constant.
2. R´eciproquement, soit Xun espace topologique connexe et supposons
qu’il existe un faisceau Ftel que F(X) contienne au moins deux
´el´ements et que l’application de restriction F(X)→F(U) soit bijective
pour tout ouvert non vide U⊆X. Montrer que Xest irr´eductible.
3. Soit Ole faisceau des fonctions holomorphes sur C. Consid´erons un
ouvert U⊆Cet une matrice carr´ee Ade taille n`a coefficients dans
O(U). On d´efinit un sous-pr´efaisceau Sde On en posant
S(V) = {y∈O(V)n|y0(z) = A(z)y(z) pour tout z∈V}
pour tout ouvert V⊆U. D´emontrer que Sest un faisceau sur Uen
C-espaces vectoriels de dimension finie qui est localement constant.
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4. Donner un exemple de faisceau localement constant non constant sur
un espace topologique X.
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