Concours blanc type épreuve A

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PT : Concours blanc
Epreuve de Physique type A
Durée : 4 heures
Calculatrice non autorisée
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Tout résultat non justifié ne sera pas pris en compte.
Sauf mention contraire les applications numériques sont demandées à un chiffre
significatif.
Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
Problème 1 : Production d’étincelles électriques
L’éclair est la manifestation la plus tangible d’une décharge électrique dans un gaz devenant
subitement conducteur. De telles étincelles sont très courantes dans notre environnement
technologique. Ces décharges sont souvent indésirables (ouverture d’un disjoncteur, rupture de
liaison avec les caténaires du TGV, déroulement rapide d’une bobine de tissu dans l’industrie
textile…), mais on cherche parfois à les contrôler (bougie d’allumage des moteurs à explosion,
allume gaz…).
I La bobine de Ruhmkorff : une prouesse technologique du XIXème siècle
Pour produire les hautes tensions nécessaires pour déclencher ces étincelles, on a souvent recours
à un couplage inductif entre deux circuits électriques. Cette technique a été initiée par Ruhmkorff
vers 1850 au prix d’une véritable prouesse technologique. La bobine de Ruhmkorff a joué un rôle
déterminant dans plusieurs découvertes de la physique fondamentale de la fin du XIXème siècle.
La première partie du problème porte sur des essais effectués sur une bobine de Ruhmkorff datée
de 1852.
I.A – Caractéristiques de l’enroulement secondaire
La bobine de Ruhmkorff est en fait une bobine double. L’enroulement secondaire entoure la bobine
primaire. Il est constitué de plusieurs couches de fil cylindrique très fin de diamètre d vernis pour
l’isolation électrique. Le rayon de ces couches varie entre r2 = 30 mm et r’2 = 60 mm. Les spires
sont jointives dans une couche ainsi que les couches successives entre elles (cf. figure 1).
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I.A.1) En supposant que d << r2, calculer le volume de conducteur dans l’enroulement secondaire
et en déduire qu’une estimation de la longueur ℓ de fil nécessaire pour bobiner un solénoïde de
longueur h = 0,3 m est donnée par la relation :
𝑟′22 − 𝑟22
ℓ ≈ 𝛼ℎ
𝑑2
où α est un coefficient numérique à préciser.
I.A.2) Le fil de l’enroulement secondaire est très fin comme le montre la valeur très élevée de la
résistance de cette bobine R2 = 10 kΩ. La résistance d’un fil de section uniforme ne dépend que de
sa longueur ℓ, de sa section et de la conductivité du matériau conducteur. En vous appuyant, le cas
échéant, sur une analyse dimensionnelle, déterminer l’expression de R2 en fonction de ℓ, du
diamètre d et de la conductivité du cuivre de valeur γ = 6.107 Ω−1m−1. En déduire une expression
littérale approchée de la longueur du fil.
I.A.3) Calculer d et ℓ. Dans quelle mesure peut-on parler de prouesse technologique pour la
réalisation d’une telle bobine ?
I.B – Champ magnétique créé par l’enroulement secondaire
On suppose que le bobinage secondaire est parcouru par un courant d’intensité I et que d = 0,3
mm. On souhaite modéliser la distribution de courant sur la longueur h par un vecteur densité de
courant 𝑗⃗ uniforme entre r2 et r’2 et nul ailleurs.
I.B.1) Estimer n, le nombre de spires par mètre pour cette bobine en fonction des données de
l’énoncé.
I.B.2) Exprimer 𝑗⃗ en fonction de I, n, r2 et r’2.
I.B.3) En supposant que h >> r’2 et r2, calculer le champ magnétique créé par cette bobine en tout
point de l’espace en faisant intervenir la densité de courant j.
I.B.4) Représenter la bobine en coupe, et dessiner l’allure des lignes de champ magnétique pour
un solénoïde fini (on ne demande pas de lignes de champ pour r2 < r < r2’).
I.C – Couplage inductif entre les deux circuits : tension induite lors de la coupure de courant
Le couplage inductif entre ces bobines correspond au schéma électrocinétique équivalent donné
figure 2 et est décrit par les équations en régime variable indiquées dans cette figure.
On a R1 = 1 Ω et R2 = 10 kΩ. Afin de déterminer les valeurs des coefficients d’auto-inductances
𝐿1 et 𝐿2 et l’inductance mutuelle 𝑀, plusieurs expérimentations ont été menées. Des graphes issus
de ces différentes expériences sont fournis dans le document réponse (figures A, B et C en fin de
sujet).
Expérience 1 La bobine secondaire étant en circuit ouvert, la bobine primaire est montée en série
avec un générateur basse fréquence de résistance interne 𝑅𝑔 = 50 Ω et une résistance additionnelle
𝑅0 = 100 Ω. Le signal délivré par le générateur est une tension périodique en créneaux de valeur
minimale nulle. Le signal enregistré et représenté sur la figure A est la tension aux bornes de 𝑅0.
Expérience 2 La bobine primaire étant en circuit ouvert, la bobine secondaire est associée en série
à une résistance 𝑅𝑎 = 1,0.104 Ω. L’ensemble des deux dipôles est alimenté par une tension
sinusoïdale de la forme e(t) = E cos(ωt). La figure B indique les graphes donnant les deux tensions
sinusoïdales u2 et ua aux bornes de la bobine secondaire et de la résistance 𝑅𝑎.
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Expérience 3 Deux voltmètres de très grande impédance interne sont branchés aux bornes de la
bobine primaire pour l’un et de la bobine secondaire pour l’autre. La bobine primaire est alimentée
par un générateur de tension sinusoïdale. Le graphe de la figure C montre que le rapport des deux
valeurs efficaces dépend de la fréquence.
I.C.1) Représenter le schéma électrique de l’expérience 1. On fera bien apparaître les différentes
résistances intervenant dans le circuit. Etablir l’expression temporelle du courant i1(t). On
introduira une constante de temps τ que l’on définira. A l’aide de la figure A, en déduire une
estimation de la valeur de l’inductance propre L1.
I.C.2) Représenter le schéma électrique de l’expérience 2. On fera bien apparaître les différentes
résistances intervenant dans le circuit. Exprimer en notation complexe u2 en fonction de ua, R2, Ra,
L2 et ω. En déduire l’expression de tan φ où φ est le déphasage entre les deux tensions ua et u2. A
l’aide de la figure B en déduire une estimation de la valeur de l’inductance propre L2. On donne
tan(1,2) = 2,6.
I.C.3) Représenter le schéma électrique de l’expérience 3. On fera bien apparaître les différentes
résistances intervenant dans le circuit. Etablir l’expression de la fonction de transfert :
𝑢2
𝐻(𝑗𝜔) =
𝑢1
A l’aide de la figure C en déduire une estimation de la valeur de l’inductance mutuelle M.
II Mécanisme de déclenchement de l’étincelle
L’amorçage d’une décharge électrique dans un gaz (ou le claquage du gaz) est la transition de
l’état isolant vers un état conducteur du milieu. Le mécanisme d’apparition d’une étincelle, parfois
nommé arc électrique, est une sorte de phénomène d’avalanche se produisant dans le gaz au départ
non ionisé. Initialement quelques électrons dits électrons primaires peuvent s’extraire de
l’électrode par agitation thermique. Ces électrons vont alors être fortement accélérés par le champ
électrique régnant entre les électrodes avant de frapper des molécules de dioxygène ou de diazote.
Ces chocs peuvent, dans certains cas, arracher des électrons aux molécules et créer des cations.
Ces électrons secondaires de plus en plus nombreux au cours des chocs successifs vont eux aussi
être accélérés sous l’action du champ électrique régnant dans le gaz. Cette action motrice du champ
électrique est contrecarrée par les chocs des électrons sur les molécules. L’effet dominant dans les
conditions expérimentales considérées est dû aux chocs électrons-particules lourdes (atomes ou
molécules). Un processus de capture d’électrons par les cations va rapidement limiter le nombre
d’électrons secondaires en mouvement. Nous considérons dans ce problème un gaz faiblement
ionisé dans lequel le nombre de particules lourdes (molécules et cations) est très grand devant le
nombre d’électrons en mouvement. On négligera donc systématiquement le nombre de cations
devant le nombre de molécules gazeuses. De plus ce plasma est pratiquement électriquement
neutre vu la très faible proportion électrons primaires/électrons secondaires.
A – Effet d’avalanche lors du déplacement d’un électron dans un gaz soumis à un champ
électrique
L’effet d’avalanche se produit lorsque le champ électrique atteint une valeur critique, dit champ
disruptif et noté 𝐸𝑑 = 4.106 V⋅m−1. Il s’agit, dans cette partie, de relier cette grandeur expérimentale
macroscopique aux paramètres microscopiques du gaz.
Étudions le mouvement d’un électron de masse me = 9.10-31 kg et de charge q = −e entre deux
chocs avec une molécule. À cet effet, considérons une géométrie simple en plaçant un gaz entre
deux plaques parallèles métalliques. En négligeant les effets de bords, le champ électrique statique
peut être considéré comme uniforme : 𝐸⃗⃗ = 𝐸𝑒⃗𝑧 .
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On néglige l’action du poids sur l’électron en mouvement. La vitesse des électrons après un choc
peut être considérée comme négligeable devant l’accroissement de vitesse lors de la mise en
mouvement ultérieure par le champ électrique.
II.A.1) Établir l’expression de la vitesse de l’électron à la date t soumis au champ électrique avec
une vitesse initiale nulle.
II.A.2) Établir la relation entre l’énergie cinétique, le champ électrique et l(t), distance parcourue
par l’électron.
La durée moyenne entre deux chocs successifs électron-molécule est notée τc.
II.A.3) Lorsque l’énergie cinétique d’un électron primaire acquise lors du mouvement dans le
champ électrique atteint l’énergie de première ionisation Wion de la molécule de dioxygène, un
effet d’avalanche se produit. Un électron primaire suffisamment énergétique peut éjecter un
électron secondaire d’un atome. Déterminer la valeur de la distance lc parcourue par l’électron
entre deux chocs lorsque l’électron possède juste l’énergie nécessaire pour provoquer l’ionisation.
Comparer à la distance moyenne intermoléculaire dm = 3,4 nm.
On donne l’énergie d’ionisation de la molécule d’oxygène Wion = 2.10−18 J.
II.A.4) Exprimer τc en fonction de Wion, me, e et Ed. Faites l’application numérique.
II.A.5) Le champ disruptif diminue-t-il ou augmente-t-il lorsque la pression du gaz diminue ?
B – Estimation de la tension inter électrodes nécessaire pour déclencher l’étincelle
Une étincelle peut se produire entre les électrodes s’il existe un chemin reliant ces conducteurs
métalliques tel qu’en chaque point le champ électrique dépasse la valeur disruptive. Un logiciel de
simulation est mis à profit pour dresser une carte de potentiel dans la zone des extrémités des
électrodes, l’une étant portée au potentiel +1 V et l’autre au potentiel −1 V (cf. figure D en fin
d’énoncé).
II.B.1) Préciser les éléments de symétrie de la distribution de charges sur les électrodes. Quelles
conséquences peut-on en tirer ?
II.B.2) Compléter la carte de potentiel à rendre de la figure D en fin d’énoncé par un réseau de
lignes de champs électriques. Préciser le sens du champ électrique, les signes des charges
électriques déposées sur chaque électrode ainsi que les valeurs des potentiels des diverses
équipotentielles tracées par le logiciel de simulation dans les cadres prévus à cet effet.
II.B.3) Le logiciel indique la valeur de la charge électrique 𝑞 portée par une des électrodes 𝑞 =
6,2.10−13 C. Que vaut la capacité du condensateur formé par les deux électrodes ?
II.B.4) En s’appuyant sur la carte de potentiel (figure D) et sur le graphe de la figure E, estimer la
différence de potentiel minimale à imposer entre ces électrodes pour déclencher l’étincelle. Les
diverses étapes du raisonnement doivent être clairement explicitées.
II.B.5) Indiquer la valeur de l’énergie électromagnétique stockée dans ce condensateur lorsque
l’étincelle se déclenche. Sous quelles formes cette énergie peut-elle se dissiper ?
II.B.6) L’étincelle suit souvent un parcours légèrement chaotique entre les deux électrodes du fait
d’inhomogénéités locales du plasma. Un critère empirique précise que la conduction par le gaz
reste importante même si le champ électrique s’écarte de 10% de sa valeur disruptive. Estimer la
largeur radiale de la zone parcourue par un courant en exploitant l’une des figures du document
réponse.
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Problème 2 : Disques protoplanétaires
Depuis 1995, des milliers d’exoplanètes ont été découvertes et l’étude des mécanismes de
formation d’une ou de plusieurs planètes autour d’une étoile est devenue une partie extrêmement
prolifique de l’astrophysique. Le scénario actuellement retenu met en jeu un disque
protoplanétaire, une couche fine de poussières en rotation autour de l’étoile naissante. À l’intérieur
de ce disque, des phénomènes de sédimentation, d’agrégation, d’accrétion et de collision
aboutissent à la formation d’un système planétaire en orbite autour de son étoile. Ce sujet présente
quelques aspects de l’étude de ces disques protoplanétaires.
I Observation des disques
L’observation des disques protoplanétaires est grandement compliquée par la très grande
différence de luminosité entre l’étoile centrale et le disque. Cependant, en utilisant plusieurs
télescopes du VLT (Very Large Telescope), la méthode de l’interférométrie annulante permet de
pallier cette difficulté.
I.A – Principe de lunette astronomique
Au XVIIème siècle Galilée inventa la lunette astronomique pour observer les objets stellaires.
Celle-ci est constituée d’un objectif constitué d’un objectif et d’un oculaire. L’objectif est une
lentille L1 convergente de distance focale f’1 et l’oculaire une lentille convergente de focale f’2.
a) A quelle condition l’œil d’un observateur, supposé sans défaut, n’accommode pas (ne se fatigue
pas) ? En déduire la position relative de l’objectif et de l’oculaire. Ce système optique possède-til des foyers ? Comment se nomme un tel système optique ?
b) Rappeler les conditions de Gauss. Réaliser un schéma montrant le devenir d’un rayon incident
d’angle θ avec l’axe optique et émergeant avec un angle θ’ de la lunette. Déterminer l’expression
du grossissement de la lunette G = θ’/θ en fonction de f’1 et f’2 et calculer le grossissement pour
f’1 = 1,0 m et f’2 = 20 mm.
I.B – Principe de l’interférométrie annulante
Le physicien français Antoine Labeyrie est parvenu, dans les années 1970, à mettre en place le
premier couple de télescopes interférométriques. L’australien Bracewell a ensuite repris ce concept
et a proposé d’utiliser l’interférométrie pour éteindre artificiellement des sources intenses au
voisinage de sources peu intenses. Cette technique d’interférométrie annulante est utilisée pour
l’observation des disques protoplanétaires.
Soit un disque protoplanétaire tel que celui de l’étoile 𝛽 Pictoris, imagé par le VLT. Cette étoile
est située à 63,4 années-lumière du système solaire et est 1,75 fois plus massive que le Soleil. En
2008, les astrophysiciens ont annoncé avoir détecté une planète, baptisée 𝛽 Pictoris b, dont l’orbite
autour de cette étoile a un rayon égal à 8 à 9 unités astronomiques et dont la période orbitale est
de 17 à 21 ans. Cette planète est visible sur l’image de la figure 1 où la ligne en pointillés est la
trace de l’intersection du plan moyen du disque avec le plan de l’image. Par ailleurs, cette figure
indique la taille de l’orbite de Saturne autour du Soleil afin d’illustrer les ordres de grandeur des
distances.
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I.B.1) Principe de l’extinction de l’image de l’étoile
On modélise le couple de télescopes 𝑇1 et 𝑇2 par deux trous d’Young 𝑇1 et 𝑇2 de même rayon,
séparés d’une distance 𝐿, éclairant un écran situé dans le plan focal image d’une lentille
convergente de distance focale 𝑓’eq, dont l’axe optique est perpendiculaire au plan des deux
ouvertures situées en avant de la lentille et
passe par le milieu du segment [𝑇1𝑇2]. On
pointe le dispositif d’observation vers l’étoile 𝛽
Pictoris, située au centre du disque
protoplanétaire étudié. Cet objet céleste est
considéré à l’infini sur l’axe optique de la
lentille équivalente au télescope. On s’intéresse
dans un premier temps au rayonnement issu de
l’étoile centrale.
a) Faire un schéma du dispositif modèle en y
reportant les grandeurs pertinentes. Tracer les
rayons lumineux pertinents issus de l’étoile
centrale et interférant en un point 𝑀 du plan
focal image de la lentille équivalente.
b) On notera 𝑥 l’abscisse de 𝑀 repérée par
rapport au foyer principal image 𝐹’, le long
d’un axe parallèle à [𝑇1𝑇2]. On place en entrée
du système un filtre qui sélectionne uniquement
le rayonnement associé à la longueur d’onde 𝜆0 =10 μm. Ainsi, dans toute la suite de cette partie,
on considère un rayonnement monochromatique à cette longueur d’onde. Exprimer, au niveau du
point 𝑀, la différence de marche géométrique entre les rayons passant par 𝑇1 et 𝑇2, si on fait les
approximations 𝑓′eq ≫ 𝐿 et 𝑓’eq ≫ |𝑥|.
c) Lors de la traversée de l’ouverture 𝑇1, la vibration lumineuse est déphasée de 𝜋 à l’aide d’un
dispositif annexe qui n’introduit aucune différence de marche géométrique entre les deux voies de
l’interféromètre. En déduire la différence de marche totale entre les deux rayons interférant en 𝑀.
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d) On suppose uniforme l’éclairement obtenu, au niveau de la zone utile du plan d’observation, à
l’aide d’un seul des télescopes. On note 𝐼0E son intensité. On suppose de plus que cette intensité
est la même pour les deux télescopes. En déduire l’éclairement 𝐼E(𝑥). Tracer son allure. Que
constate-t-on si on place un détecteur quasi-ponctuel en 𝑥 = 0 ? Ce résultat dépend-il de 𝐿 ?
Commenter.
I.B.2) Visibilité du disque, contrainte sur 𝐿
On s’intéresse maintenant uniquement au rayonnement issu d’un point 𝑃 du disque (sauf à la
question c), situé à une distance angulaire 𝜃 de l’étoile définie sur la figure 2. Le dispositif pointe
toujours vers l’étoile 𝛽 Pictoris. On cherche à contraindre le choix de 𝐿.
a) Exprimer la différence de marche totale entre les deux rayons issus de 𝑃 interférant en 𝑀(𝑥)
après être passés par 𝑇1 et 𝑇2. Là encore, on suppose que les intensités issues des deux télescopes
sont égales et que la vibration lumineuse est déphasée de 𝜋 lors du passage par 𝑇1. En déduire
l’éclairement 𝐼D(𝑥, 𝜃) si on note 𝐼0D l’intensité au niveau du plan d’observation du rayonnement
issu du point 𝑃 et obtenue à l’aide d’un seul des deux télescopes.
b) Le point 𝑃 constitue-t-il une source cohérente avec l’étoile centrale 𝛽 Pictoris ? Donner
l’expression de l’éclairement total 𝐼(𝑥, 𝜃) au point 𝑀(𝑥).
c) On note 𝐼(𝜃) l’éclairement total au niveau du centre du détecteur au point d’abscisse 𝑥 = 0 en
considérant l’étoile centrale et la source située au point 𝑃 . Expliciter 𝐼(𝜃) et donner l’expression
𝐿θ,n des diverses valeurs de 𝐿 (indicées par l’entier 𝑛) qui permettent de rendre cette intensité
maximale. Commenter l’expression « interférométrie annulante ».
II Forme du disque
Un disque protoplanétaire est essentiellement constitué de poussière et de gaz. Sa forme est
contrainte par le champ de gravité de l’étoile ainsi que par le champ propre du disque.
II.A.1) Champ de l’étoile
a) On considère l’étoile comme une répartition de masse à symétrie sphérique, de centre 𝑂, de
rayon 𝑅E et de masse volumique 𝜌E. On repère la position d’un point 𝑀 dans un système de
coordonnées sphériques, d’origine 𝑂, confondue avec le centre de l’étoile. On note 𝑅 la distance
de ce point 𝑀 au centre 𝑂 et 𝑒⃗𝑟 le vecteur unitaire radial de la base sphérique.
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Rappeler le théorème de Gauss pour la gravitation. En déduire le champ gravitationnel 𝑔⃗𝐸 créé par
cette distribution en un point extérieur à l’étoile, i.e. pour 𝑅 > 𝑅E, en fonction de la constante de
gravitation 𝐺, de 𝑅 et d’une masse 𝑀E que l’on exprimera en fonction de 𝜌E et 𝑅E uniquement.
b) Soit le système de coordonnées cylindriques (𝑟, 𝜃, 𝑧), associé aux vecteurs (𝑢
⃗⃗𝑟 , 𝑢
⃗⃗𝜃 , 𝑢
⃗⃗𝑧 ), tel que
le plan 𝑧 = 0 soit le plan moyen du disque protoplanétaire, passant par le centre de l’étoile 𝛽
Pictoris. Montrer que, dans ce système de coordonnées, le champ gravitationnel de l’étoile 𝑔⃗𝐸 (𝑀)
s’écrit :
𝐺𝑀𝐸
(𝑟𝑢
𝑔⃗𝐸 (M) = − 2
⃗⃗𝑟 + 𝑧𝑢
⃗⃗𝑧 )
(𝑟 + 𝑧 2 )3/2
II.A.2) Champ du disque protoplanétaire
Pour estimer 𝑔⃗𝐷 (𝑀), champ gravitationnel propre du disque, on modélise le disque comme une
couche cylindrique de masse volumique uniforme 𝜌D, d’épaisseur 𝑒D et de rayon 𝑅D ≫ 𝑒D. Cette
dernière hypothèse permet de négliger les effets de bords. La norme de 𝑔⃗𝐷 ne peut dépendre que
de 𝜌D, 𝑒D et de la constante de la gravitation 𝐺. Établir par analyse dimensionnelle l’expression la
plus simple possible donnant ‖𝑔⃗𝐷 ‖ en fonction de ces paramètres.
II.A.3) Comparaison entre les deux champs gravitationnels
On cherche à comparer ‖𝑔⃗𝐷 ‖ et ‖𝑔⃗𝐸 ‖ afin de déterminer s’ils interviennent tous deux sur la
répartition de matière dans le disque.
Montrer que l’on peut négliger le champ du disque devant le champ de l’étoile pour des rayons
très inférieurs à un rayon 𝑅C à expliciter en fonction de 𝜌D, 𝑒D et 𝑀E.
Dans toute la suite on suppose que le champ gravitationnel du disque est négligeable devant celui
de l’étoile.
II.B – Disque de gaz évasé
On traite le gaz du disque comme un fluide de masse volumique 𝜌, soumis à un champ de gravité
local 𝑔⃗𝐸 (𝑀) et dans lequel règne une pression 𝑃. On admet que le champ de pression à l’intérieur
du disque est régi par le principe fondamental de la statique des fluides. Pour déterminer la masse
volumique en un point quelconque du disque protoplanétaire, on procède par analogie avec le
modèle de l’atmosphère isotherme dans un champ de pesanteur uniforme.
II.B.1) Modèle de l’atmosphère isotherme
a) Rappeler l’expression scalaire du principe fondamental de la statique des fluides dans un champ
de pesanteur uniforme vertical.
b) En assimilant l’air à un gaz parfait à la température 𝑇0, exprimer la masse volumique de l’air en
fonction de la pression et d’autres paramètres adéquats. En déduire l’équation différentielle liant
la pression et l’altitude en se plaçant dans le modèle isotherme.
c) En déduire la pression 𝑃(𝑧) de ce fluide en fonction de la température 𝑇0, de la masse molaire
𝑀f du fluide, de P0 la pression pour z = 0 et de la constante 𝑅 des gaz parfaits.
d) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle 𝐸Ppes(𝑧) d’une entité de masse 𝑚 placée dans le
champ de pesanteur uniforme terrestre. En déduire que :
𝐸𝑃𝑝𝑒𝑠
𝜌(𝑧) = 𝜌0 exp (−
)
𝑘𝐵 𝑇0
𝑅
Où 𝑘𝐵 =
désigne la constante de Boltzmann et 𝜌0 la masse volumique du fluide pour z = 0.
𝑁𝐴
Préciser la signification de 𝑚 dans ce cas.
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II.B.2) Distribution de masse dans le disque
On traite le disque comme un gaz formé de grains élémentaires de masse 𝑚 placés dans le champ
gravitationnel :
𝐺𝑀𝐸
(𝑟𝑢
𝑔⃗𝐸 (M) = − 2
⃗⃗𝑟 + 𝑧𝑢
⃗⃗𝑧 )
(𝑟 + 𝑧 2 )3/2
déterminé en II.A.1.
a) Montrer que l’énergie potentielle gravitationnelle 𝐸Pgrav(𝑀) d’un grain de masse 𝑚 situé à une
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ de l’étoile 𝐸 s’écrit 𝐸𝑃𝑔𝑟𝑎𝑣 (𝑑) = − 𝐺𝑚𝑀𝐸 = − 𝐺𝑀𝐸 𝑚 . On rappelle que 𝛽
distance 𝑑 = ‖𝑂𝑀
√𝑟 2 +𝑧 2
𝑑
Pictoris est centrée sur l’origine du repère d’espace.
b) En utilisant l’analogie avec l’atmosphère isotherme vue en II.B.1, montrer que la masse
𝐻(𝑇)
volumique au point générique 𝑀 se met sous la forme 𝜌(𝑧) = 𝜌0 exp (√𝑟 2 2 )) où 𝑇 est la
+𝑧
température du gaz ; on exprimera la fonction 𝐻(T).
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