Support de Cours 1 - Knowledge

1
Mathématiques financières – Support de Cours 1
La valeur et le temps
Sophie Gay Anger – SKEMA Business School
Table des matières
Introduction : concepts clef de l’évaluation financière .............................................................. 2
1. Introduction : notion d’intérêt. ........................................................................................... 3
1.1 Intérêt simple. ................................................................................................................ 3
1.2 Intérêt composé : ........................................................................................................... 4
2. Valeur actuelle (ou présente) et valeur finale (ou future) de flux uniques. ........................ 5
3. Valeurs présentes et futures de périodicités. ...................................................................... 6
4. Les déterminants du taux d’intérêt .................................................................................... 9
4.1 Les taux de référence ..................................................................................................... 9
4.2 La structure par terme des taux d’intérêt ................................................................... 10
4.3 Les déterminants des mouvements des taux d’intérêt ................................................ 11
Annexe : exercices .....................................................................................................................14

2
Introduction : concepts clef de l’évaluation financière
Nous allons aborder l’évaluation des instruments financiers les plus communs : actions et
obligations. Pour ce faire, il nous faut présenter au préalable certains principes généraux ainsi
que les outils techniques qui y sont associés.
Concept#1 : La valeur de tout actif financier est égale à la valeur présente de
tous les flux de trésorerie que cet actif va générer dans le futur.
Ce principe simple, qui exprime l’égalité entre la valeur aujourd’hui et les flux de trésorerie
futurs est souvent complexe à appliquer. Considérons un actif financier qui, moyennant un
prix d’achat P aujourd’hui, vous promet une somme de 100€ dans un mois. S’il est clair de
considérer que P est l’équivalent aujourd’hui de 100€ dans un mois, il est plus difficile de
calculer P : comment trouver l’équivalent aujourd’hui des 100€ ? Que faire si l’entrée de fonds
est incertaine ? Nous allons voir dans les pages qui vont suivre les mécanismes de
l’actualisation qui sont à la base de l’évaluation des titres financiers.
L'ACTUALISATION permet d'obtenir la valeur aujourd'hui de flux monétaires futurs.
Concept #2 : Le problème d’allocation de la richesse peut être ramené à un
compromis entre risque et rendement.
Le problème du choix d’investissement est de sélectionner un projet ou des titres financiers.
Pour répondre à cette question il nous faut inévitablement en aborder une autre : quelle
rémunération exigerons-nous pour compenser le risque ?
Considérons les deux actifs suivants :
 actif A : acheté 50’000€ aujourd’hui, il vaudra avec certitude 51’500€ demain
 actif B : acheté 50’000€ aujourd’hui, il vaudra demain 100'000€ avec une probabilité de
50% et 25'000€ avec une probabilité de 50%.
L’actif A est sans risque (car sa valeur future est certaine), et son rendement :
%3
000'50 000'50500'51 
 présenteValeur présentevaleurfutureValeur rrE AA
L’actif B est risqué (sa valeur future est incertaine), et l’espérance de son rendement est :
E rB
~,' '
',' ' ', , ,
   0 5 100000 50000
50000 0 5 25000 50000 50000 0 5 1 0 5 0 5 25%
La question va être de savoir si le supplément de rendement espéré (25% au lieu de 3%)
compense suffisamment pour le risque supporté quand on investit dans l’actif B. Pour ce faire,
nous devons déterminer des mesures pertinentes du risque supporté, mais nous devons aussi
élaborer des estimateurs des préférences des agents, et en particulier de leur aversion envers
le risque. On suppose en effet que les agents sont rationnels : ils vont préférer, pour un même
niveau de rendement espéré, supporter le moins de risque possible.
Voici donc comment sera abordée la question du choix de portefeuille : quelle compensation
en termes de rendement est adéquate pour un niveau de risque donné ? Divers modèles

3
théoriques sont susceptibles de répondre directement à cette question. Mais à la base, il faudra
toujours déterminer le compromis pertinent entre risque et rendement.
Nous verrons aussi dans ce cours comment formaliser ce compromis, mais nous devons au
préalable maîtriser les calculs de valeurs présentes en utilisant les mathématiques financières.
1. Introduction : notion d’intérêt.
L’intérêt est le prix à payer pour utiliser des fonds empruntés. C’est le loyer de l’argent : le
prix payé pour bénéficier d’une somme donnée durant une période donnée, cette somme étant
remboursée au prêteur en fin de période.
En tant que prix, l’intérêt est soumis dans sa formation aux lois de l’offre et de la demande :
plus il y a demande de fonds, plus l’intérêt est élevé, et inversement si l’offre de fonds est plus
grande, l’intérêt est plus faible. Plus précisément à tout moment prévaut une multiplicité de
taux d’intérêts, variant en fonction de l’horizon de temps considéré, des qualités de
l’emprunteur, des caractéristiques du prêteur, ... Mais nous n’entrerons pas dans ces détails
pour l’instant, car nous voulons mettre en valeur avant tout dans ce chapitre les mécanismes
de calcul.
1.1 Intérêt simple.
L’intérêt est dit « simple » lorsqu’il est calculé à chaque période seulement sur la base de la
somme prêtée ou empruntée à l’origine (par la suite, nous appellerons cette somme le capital).
Par l’intérêt simple, le capital, base de calcul, reste constant, de même que le montant
d'intérêt de chaque période.
MODE DE CALCUL :
Soit
P
V
: le capital initial ou valeur présente,
VF
: le capital final ou valeur future
rs : taux d’intérêt simple pour une période
n : nombre de périodes (horizon)
It
: montant d’intérêt accumulé sur t périodes,
it
montant d’intérêts pour la période t.
D’après nos définitions, on a :
sP rVI  1
sPsPsPsPn rVnrVrVrVI  ...
Périodes 1 2 n
sIsIInPF nrVrVnVIVV  1
Formules récapitulatives :
S
F
P
sPF
sPn
nr
V
V
nrVV
rnVI
1
1

4
Exemple 1:
Le premier août 1291, votre aïeul a placé une somme équivalente à 500 € au taux d’intérêt
simple de 8%, calculez combien votre famille a accumulé d’intérêt au 1er août 2012, et quelle
est à cette date la valeur totale (capital plus intérêts) de votre placement.
Solution :
I1500 008 40  ,
intérêt perçu chaque année.
2884072108,0500
721 I
intérêts accumulés depuis 1291.
2934068.5850008,07211500 
F
V
valeur totale du placement le 1er août 2012.
Exemple 2 : prix des obligations du Trésor à taux fixe (BTF)
Les obligations du Trésor à taux fixe sont des titres du marché monétaire, ayant des échéances
fixes de 13, 26 ou 52 semaines. Par convention, les intérêts précomptés sont calculés sur la base
de 360 jours par an. La valeur du titre s’exprime en pourcentage.
Considérons un BTF, échéance 91 jours (13 semaines). Si le taux fixe est de 1.85%, quel sera le
prix à payer aujourd’hui pour ce titre ?
Solution :
%535.99
360 91*0185.0
1
100 
P
V
Ainsi, si vous avez acquis pour 1Mio de BTF, vous avez déboursé 1'000’000*0.99535=995’350€ pour recevoir
1'000’000€ dans 13 semaines. Les intérêts sont donc versés au début de la période sur laquelle ils sont
calculés : on les nomme « intérêts précomptés ».
1.2 Intérêt composé :
Le taux d’intérêt est dit composé lorsqu’à la fin de chaque période l’intérêt s’ajoute au capital
de début de période pour former la base de calcul de l’intérêt pour la période suivante.
Donc : - le capital de base varie à chaque période.
- le montant d’intérêt varie à chaque période.
- s’il s’agit d’un placement l’intérêt s’ajoute au capital.
MODE DE CALCUL :
P
V
Ainsi, on peut calculer le montant périodique d’intérêt de la manière suivante :
Intérêts :
i1
Calculés sur la
base de
P
V
Intérêts :
i2
Calculés sur la
base de
P
V
+
i1

5
rrVrrrVrVVriiVi
rrVrrVVriVi
rVi
PPPPP
PPPP
P
2
213
12
1
11
1
et par récurrence on aboutit à :
rrVi n
Pn 1
1
De même, on calcule le capital accumulé comme suit :
322
3
2
2
11
111
111
1
rVrrVrVV
rVrrVrVV
rVrVViVV
PPP
PPP
PPPP
ou de manière générale :
n
Pn rVV  1
lorsque le capital est placé en début d’année.
Exemple 3 :
Alors même que votre aïeul effectuait son placement en 1291, son épouse décidait de suivre son
exemple. Cependant elle préféra placer à un taux de 8% annuel composé.
Solution:
I i
1 1 500 008 40   ,
intérêt perçu la première année.
2624
721 1027,61025,150008,01500 
F
V
valeur totale du placement le 1er août 2012.
2626
721 1027,65001027,6 I
intérêts accumulés depuis 1291.
2. Valeur actuelle (ou présente) et valeur finale (ou future) de flux
uniques.
Comme nous l’avons déjà vu, la valeur finale correspond à la valeur accumulée d’un placement
à un taux d’intérêt donné durant une période de temps donnée.
D’après les concepts précédemment présentés, une somme de 1'000 € placée pendant 4 ans au
taux de 5% effectif annuel aura une valeur finale de :
€51.215'105,1000'1 4
F
V
Valeur accumulée
Période de placement
Valeur présente
Investissement