Chapitre 8: Dynamique d`un système à N corps

Chapitre8:Dynamiqued’unsystèmeàNcorps
Introduction
1
Dans ce chapitre et le suivant, nous allons nous intéresser à la dynamique de systèmes
mécaniques plus complexes qui contiennent un nombre fini (ou infini) de points matériels
possédant chacun leur masse individuelle.
Ce chapitre est consacré à la situation d’un nombre fini de points matériels.

Chapitre8:Dynamiqued’unsystèmeàNcorps
ICentredemasse
IIElémentscinétiquesd’unsystèmeàNcorps
IIIApplicationàunsystèmeà2corps.
2

Chapitre8:Dynamiqued’unsystèmeàNcorps
ICENTREDEMASSE
On considère un système de N points matériels placés aux points Aide l’espace,
chacun ayant une masse mi.Lecentredemasse(oubarycentre)Gdecesystèmeest
tel que :
Où O est un point quelconque. En particulier pour O=G, on a,
3
(
)
∑∑ =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
iii i
iOAmOGm
(
)
0GAm ii
r
=
∑
i

Chapitre8:Dynamiqued’unsystèmeàNcorps
ICENTREDEMASSE
On considère un système de N points matériels placés aux points Aide l’espace,
chacun ayant une masse mi.Lecentredemasse(oubarycentre)Gdecesystèmeest
tel que :
Où O est un point quelconque. En particulier pour O=G, on a,
Application:centredemasseTerre‐Lune:mT/mL=81:
4
(
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⎜
⎜
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()
TLGT
m
m
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m
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L
T
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TL
m
m
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m
1
T
L
T
L=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+
TL
mm
m
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m
m
1
m
m
TG
LT
L
T
L
T
L
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+
=

Chapitre8:Dynamiqued’unsystèmeàNcorps
IIELEMENTSCINETIQUESD’UNSYSTÈMEANCORPS
1)Définitions
On considère un point matériel placéaupointAdel’espace,ayantunemassemetde
vitesse .SoitOunpointfixedeceréférentiel.Les éléments cinétiques du point
matériel sont :
‐) sa quantité de mouvement :
‐) son moment cinétique par rapport à O :
‐) son énergie cinétique :
On considère Npoints matériels placés aux points Aide l’espace, ayant une masse miet
de vitesse . Soit O un point fixe de ce référentiel. Lesélémentscinétiquesdece
système sont :
‐) sa quantité de mouvement :
‐) son moment cinétique par rapport à O :
‐) son énergie cinétique :
5
v mp r
r
=
v mOALO
r
r
∧=
2
c vm
2
1
E=
v
r
i
v
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∑
∑
==
i
iii v mpP
r
r
r
i
∑
∑
∧=∧=
ii iiiiiO pOAv mOAL r
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r
∑
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2
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2
1
E