Chapitre 8: Dynamique d`un système à N corps

Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
Introduction
Dans ce chapitre et le suivant, nous allons nous intéresser à la dynamique de systèmes
mécaniques plus complexes qui contiennent un nombre fini (ou infini) de points matériels
possédant chacun leur masse individuelle.
Ce chapitre est consacré à la situation d’un nombre fini de points matériels.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
I Centre de masse
II Eléments cinétiques d’un système à N corps
III Application à un système à 2 corps.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
I CENTRE DE MASSE
On considère un système de N points matériels placés aux points Ai de l’espace,
chacun ayant une masse mi. Le centre de masse (ou barycentre) G de ce système est
tel que :
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
i
⎞
m i ⎟⎟OG =
⎠
∑ (m OA )
i
i
i
Où O est un point quelconque. En particulier pour O=G, on a,
∑(
)
r
m i GA i = 0
i
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
I CENTRE DE MASSE
On considère un système de N points matériels placés aux points Ai de l’espace,
chacun ayant une masse mi. Le centre de masse (ou barycentre) G de ce système est
⎛
⎜
⎜
⎝
tel que :
∑
i
⎞
m i ⎟⎟OG =
⎠
∑ (m OA )
i
i
i
Où O est un point quelconque. En particulier pour O=G, on a,
∑(
)
r
m i GA i = 0
i
r
Application : centre de masse Terre‐Lune : mT/mL=81 : m T GT + m L GL = 0
TG =
(
mL
m
GL = L GT + TL
mT
mT
⎛ mL ⎞
m
⎜⎜1 +
⎟⎟TG = L TL
mT
⎝ mT ⎠
)
TG =
mL
mT
⎛ mL ⎞
⎜⎜1 +
⎟⎟
m
T ⎠
⎝
TL =
mL
TL
mT + mL
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
II ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTÈME A N CORPS
1) Définitions
On considère un point matériel placé au point A de l’espace, ayant une masse m et de
vitesse
r
v . Soit O un point fixe de ce référentiel. Les éléments cinétiques du point
matériel sont :
r
r
‐) sa quantité de mouvement : p = m v
r
r
‐) son moment cinétique par rapport à O : L O = OA ∧ m v
‐) son énergie cinétique : E c =
1
m v2
2
On considère N points matériels placés aux points Ai de l’espace, ayant une masse mi et
r
de vitessev i . Soit O un point fixe de ce référentiel. Les éléments cinétiques de ce
système sont :
r
‐) sa quantité de mouvement : P =
∑
r
pi =
∑
r
mi vi
ri
‐) son moment cinétique par rapport à O : L O =
‐) son énergie cinétique : E c = 1
2
∑
i
i
m i v i2
∑
i
r
OA i ∧ m i v i =
∑
r
OA i ∧ p i
i
5
Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
II ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTÈME A N CORPS
2) Référentiel du centre de masse
On prend comme référentiel de départ, un référentiel R galiléen. Le référentiel du
centre de masse R* est le référentiel dont l’origine est le centre de masse et les
directions parallèles à celle de R. On notera avec une étoile toutes les grandeurs dans
r
r
ce référentiel : v*i la vitesse de Ai dans R*, p*i la quantité de mouvement de Ai dans R*.
∑(
)
r
m i GA i = 0
∑
i
i
⎛ d GA i ⎞
⎜ mi
⎟=
⎜
⎟
dt
⎝
⎠
∑(
) ∑
r*
mi vi =
i
r* r * r
p i = P =0
i
En utilisant la loi de composition des vitesses (R* est en translation par rapport à R), on
a
r
r r
r*
avec
v
vi = vG + vi
G , la vitesse du centre d’inertie, G.
r
P=
∑
i
r
pi =
∑
i
r
mi vi =
⎛
r
r
m i v G + v*i = ⎜⎜
⎝
∑ (
i
) ∑ m ⎞⎟⎟vr
⎠
i
G
r
= M vG
i
La quantité de mouvement totale est donc la quantité de mouvement d’une particule
de masse M (=somme des masses individuelles) en G.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
II ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTÈME A N CORPS
3) Théorèmes de Koenig
Premier théorème de Koenig :
r
r*
r
L O = OG ∧ M v G + L G
Deuxième théorème de Koenig :
Ec =
1
M v G2 + E *c
2
On remarque que les deux quantités sont la somme des quantités dans le référentiel
R* et des quantités d’un point matériel de masse M (=somme des masses
individuelles) placé en G.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
II ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTÈME A N CORPS
4) Forces extérieures et intérieures
r
Soit f i , la résultante des forces s’exerçant sur le point Ai. On définit deux vecteurs
r
‐) la résultante des forces : F =
∑
r
fi
r
‐) le moment résultant des forces en un point O quelconque : M O =
i
∑
r
OA i ∧ f i
i
Les forces qui s’exercent sur les points Ai peuvent se décomposer en les forces qui sont
liées aux interactions avec les autres points matériels Aj (j≠i) : ce sont des forces
r
intérieures f int au système. Les autres forces liées aux interactions avec d’autres
r
r r
r
sources sont dites forces extérieures f ext . On a : F = Fint + Fext
Le principe de l’action et de la réaction impose que si une force est exercé par Ai sur Aj
alors Aj exerce sur Ai la même force en norme mais de sens opposé. On en déduit alors
r
r
que Fint = 0 .
Remarque si certaines forces internes dérivent d’une énergie potentielle, celle‐ci est
appelée énergie potentielle d’interaction.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
II ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTÈME A N CORPS
5) Théorème du centre d’inertie Le mouvement du centre d’inertie d’un système est celui d’un point qui aurait pour
masse, la masse totale du système auquel serait appliqué la résultante des forces
extérieures au système.
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
i
r
r
r
⎞ dv G
dv
dP
m i ⎟⎟
=M G =
=
dt
dt
⎠ dt
∑
r
r
f i,ext = Fext
i
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
II ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTÈME A N CORPS
6) Théorème du moment cinétique
La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en un point O fixe dans un
référentiel galiléen est égale au moment des forces extérieures appliquées au système :
r
dL O r
= M O ,ext =
dt
∑
r
OA i ∧ f i,ext
i
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
III APPLICATION A UN SYSTÈME A DEUX CORPS
1) Eléments cinétiques d’un système à 2 corps
On peut donner comme exemple de système à deux corps : l’atome d’hydrogène, les
étoiles doubles, on peut considérer le système Soleil‐Jupiter (ou Terre‐Lune) dans le
système solaire.
Néanmoins, dans la plupart des cas, une des masses est très supérieure à l’autre et on
revient aux cas étudiés précédemment dans le cours. Pour une fois, nous n’allons pas
faire cette hypothèse et considérer que les deux masses sont comparables comme un
système d’étoiles doubles.
On va donc considérer deux corps de masse m1 et m2 placés en A1 et A2 animés des
r
r
vitesses v1 et v 2 respectivement.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
III APPLICATION A UN SYSTÈME A DEUX CORPS
1) Eléments cinétiques d’un système à 2 corps
M = m1 + m 2
r
+
=
m
GA
m
GA
0
1) Le centre de masse G est tel que :(m1 + m 2 )OG = m1 OA1 + m 2 OA 2 ou 1 1
2
2
r
r
r
en dérivant, on obtient : (m1 + m 2 ) v G = m1v1 + m 2 v 2
r
r
r
r
2) La quantité de mouvement totale est : P = m1v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 ) v G
r
r
r
3) Le moment cinétique total est : L O = OA1 ∧ m1v1 + OA 2 ∧ m 2 v 2
1
1
2
2
m
v
m
v
E
=
+
4) L’énergie cinétique totale est : c
1 1
2 2
2
2
r
r*
r
5) Premier théorème de Koenig : L O = OG ∧ M v G + L G
1
6) Deuxième théorème de Koenig : E c = M v G2 + E *c
r
r2
d v G dP r
=
= Fext
7) Théorème du centre d’inertie : M
dt
dt
Pour un système isolé, 2) et 7) impliquent que la quantité de mouvement est une
constante du mouvement et donc que le mouvement de G est rectiligne uniforme.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
III APPLICATION A UN SYSTÈME A DEUX CORPS
2) Masse réduite
On considère un système isolé constitué de deux masses. Dans le référentiel du centre
r*
r*
r* r
de masse, la quantité de mouvement totale est nulle : P = m1v1 + m 2 v 2 = 0
Nous allons étudier l’évolution au cours du temps du vecteur A1A 2 = OA 2 − OA1 qui relie
r
d 2 OA1 r
d 2 OA 2 r
m
=
F
= F1/2 = − F2/1
les deux points matériels. On a :
1
2/1 et m 2
dt 2
dt 2
r
r
r
1
1
1
d OA 2 d OA1 d A1A 2 F1/2 F1/2 F1/2
=
+
avec
−
=
=
+
=
2
2
2
μ m1 m 2
m 2 m1
μ
dt
dt
dt
2
m1m 2
μ=
m1 + m 2
2
2
est la masse réduite. Si m1>>m2, µ ≅ m2. Ainsi, la masse réduite
est essentiellement la masse la plus légère.
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
III APPLICATION A UN SYSTÈME A DEUX CORPS
2) Masse réduite
m1m 2
μ=
m1 + m 2
d 2 A1 A 2 r
μ
= F1/2
2
dt
Dans le référentiel du centre de masse, le mouvement des deux masses se ramène à
l’étude d’un point fictif A de masse µ tel que GA = A1A 2 .
µ
m2
G
m1
G
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Chapitre 8: Dynamique d’un système à N corps
IV RESUME
Pour N points matériels placés aux points Ai de l’espace, ayant une masse mi et de
r
vitessev i. Soit O un point fixe de ce référentiel. Les éléments cinétiques de ce système
sont :
r
‐) sa quantité de mouvement : P =
∑
i
r
pi =
∑
r
i
r
mi vi
∑
r
r
∑
‐) son moment cinétique par rapport à O : L O =
OA i ∧ m i v i = OA i ∧ p i
1
i
i
m i v i2
‐) son énergie cinétique : E c =
2 i
La quantité de mouvement totale du système est celle d’une particule de masse M
∑
r* r
(=somme des masses individuelles) en G, le centre de masse. P = 0
r
r*
r
Premier théorème de Koenig : L O = OG ∧ M v G + L G
1
M v G2 + E *c
Deuxième théorème de Koenig :
2
r
r
r
⎞ dv G
⎛
dv
dP r
Théorème du centre d’inertie : ⎜⎜ ∑ m i ⎟⎟
=M G =
= Fext
dt
dt
dt
⎠
⎝ i
Ec =
Remarque : Le référentiel du centre de masse R* est le référentiel dont l’origine est le centre de masse, G
et les directions parallèles à celles du référentiel galiléen de départ.
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