1 Systèmes triphasés symétriques

Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
1 Systèmes triphasés symétriques
1.1 Introduction
Un système triphasé est un ensemble de 3 grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de
même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres.
Le système est symétrique si les valeurs efficaces des grandeurs sinusoïdales sont égales et si le
déphasage entre deux grandeurs consécutives vaut 2ð .
3
Par convention, on appelle système direct un système dans le diagramme des phaseurs est
ordonné dans le sens trigonométrique négatif (sens horaire). Dans un système direct, les
grandeurs passent par un maximum dans l’ordre de numérotation.
Dans le cas contraire, le système est dit inverse. On appelle homopolaire un système dans lequel
toutes les grandeurs sont en phase.
Pour un système triphasé direct (de tension) d’ordre 1, on a :
V1 = V
V 2 = Vexp[-j2π /3] = Ve -j2ππ /3
V 3 = Vexp[-j4π /3] = Ve -j4ππ /3
[1]
Le diagramme des phaseurs pour un système triphasé direct est le suivant :
V3
V1
V2
Les formes d’ondes des tensions instantanées sont représentées ci-dessous :
V1
V2
V3
1
0,5
0
-0,5
0
30
60
90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-1
En tout instant, la somme des trois tensions est nulle :
V1 + V 2 + V 3 = V(1 + e -j2ππ /3 + e -j4ππ /3 ) = 0
[2]
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 41
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
1.2 Définitions
Un circuit triphasé est équilibré quand la source et la charge sont toutes les deux équilibrées.
Une source triphasée est équilibrée lorsque les trois tensions générées sont de même amplitude
et déphasées de 2ð l’une par rapport à l’autre.
3
Une charge triphasée est équilibrée lorsque toutes les impédances de chacune des trois phases
sont identiques en module et en argument.
Il en résulte que dans un circuit équilibré, les trois courants de ligne sont de même amplitude et
décalés de 2ð l’un par rapport aux autres.
3
1.3 Systèmes triphasés en tension
1.3.1
Définitions
Le modèle simplifié usuel d’une source de tension triphasé comprend trois sources
monophasées connectées en étoile, c’est à dire avec un point commun :
V1
1
2
U31
V2
N
1
I1
PH1
I2
PH2
U12
2
V1N
U23
V3
1
2
I3
PH3
V2N
V3N
IN
N
Chaque source correspond à une phase. Le point commun aux trois sources est appelé le
neutre.
On appelle ligne l’ensemble des conducteurs transmettant l’énergie. Elle comporte, en triphasé,
trois conducteurs de phase complétés éventuellement par un conducteur de retour du courant
appelé conducteur de neutre.
On appelle tensions simples les trois tensions V1 , V2 , V3 , de module V, mesurées entre chaque
conducteur de phase et le point neutre de la source triphasée. On les dénote
conventionnellement par V1N, V2N, V3N.
On appelle tensions composées les trois tensions mesurées entre deux conducteurs de phase :
U13 , U21 , U32 .
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 42
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
1.3.2
Relations entre tensions simples et tensions composées
En application de la loi de Kirchhoff sur les tensions, les relations suivantes entre tensions
simples et tensions composées peuvent être établies :
U12 = V1 - V 2 = V(1 - e -j2ππ /3 ) = 3 Ve jππ /6
U 23 = V 2 - V 3 = V(e -j2ππ /3 - e -j4ππ /3 ) = 3 Ve -jππ /2
U 31 = V 3 - V1 = V(e -j4ππ /3 - 1) = 3 Ve j5ππ /6
[3]
On peut aussi mettre l’équation [3] sous la forme :
U12 = V1 - V 2 = 3 V1 e jππ /6
U 23 = V 2 - V 3 = 3 V 2 e jππ /6
U 31 = V 3 - V1 = 3 V 3 e jππ /6
[4]
Les tensions composées forment donc également un système triphasé symétrique en avance de
ð par rapport aux tensions simples.
6
Le diagramme des phaseurs est le suivant :
U31
V3
U12
V1
V2
U23
L’équation [4] permet d’établir que le module des tensions composées est
tensions simples :
U= 3V
[5]
1.3.3
3 fois celui des
Intérêt du triphasé
Un réseau triphasé permet d’alimenter des récepteurs à l’aide de trois conducteurs alors qu’il
faudrait trois fois deux conducteurs (aller et retour) avec un réseau monophasé, ou deux
conducteurs passant le triple du courant. L’économie sur la section de conducteur est évidente.
Un réseau triphasé est à priori plus économique qu’un réseau monophasé.
De plus un système triphasé permet de créer un champ magnétique tournant dans les moteurs
triphasés.
1.3.4
Remarque
Dans le réseau d’alimentation français, le module des tensions simples est de 240 V. Il en
résulte que celui des tensions composées est de 415 V.
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 43
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
Lorsqu’on caractérise un réseau triphasé par une seule tension, il s’agit toujours de la tension
composée. On parle ainsi de réseau triphasé à 415 V.
1.3.5
Couplage d’une source triphasé
Couplage étoile
V1
1
Z
I1
2
V2
N
1
Z
I2
2
V3
1
Z
I3
2
N'
IN
La tension aux bornes de chaque impédance est égale à la tension simple.
Lorsque la source triphasée est couplée en étoile, les courants de ligne sont égaux aux courants
de la charge.
Le circuit étant équilibré, on a : V1 + V2 + V3 = 0 et I1 + I2 + I3 = 0. Puisque les courants ont
une somme nulle, on peut supprimer le conducteur de neutre et réaliser une forte économie !
Couplage triangle
V1
1
2
I21
U12
V2
1
2
U31
I32
Z
I2
U23
V3
1
Z
I1
2
I13
Z
I3
La tension aux bornes de chaque impédance est égale à la tension composée.
On voit apparaître deux types de courant :
- les courants en ligne I1 , I2 , I3
- les courants dans le triangle I21 , I32 , I13
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 44
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
Les courants dans le triangle I21 , I32 , I13 forment un système équilibré :
I21 = I
I32 = Ie -j2ππ /3
I13 = Ie -j4ππ /3
[6]
En application de la loi de
établies :
I1 = I21 –I13 =
I2 = I32 –I21 =
I3 = I13 –I32 =
[7]
Kirchhoff sur les courants, les relations suivantes peuvent être
3 I21 e -jππ /6
3 I32 e -jππ /6
3 I13 e -jππ /6
L’équation [7] permet d’établir que le module des courants de ligne est
courants du triangle :
Ii = 3 Ii j
[8]
3 fois celui des
2 Charge en étoile ou en triangle
2.1 Charge triphasée équilibrée
Une charge (utilisateur) triphasée équilibrée est caractérisée par 3 impédances identiques
(même module et même argument) : Z = Ze jϕϕ que l’on appelle les 3 phases de l’utilisateur. Ces
trois impédances peuvent être connectées en étoile ou en triangle.
2.2 Définitions
Les trois tensions de phase de la charge sont les tensions aux bornes de chaque impédance :
Vz1, Vz2, Vz3.
Les trois courants de phase de la charge sont les courants traversant chaque impédance : Iz1, Iz2,
Iz3.
Dans un système symétrique à charge équilibrée, les trois tensions aux bornes de chaque
impédance ont même module ainsi que les trois courants traversant chaque impédance :
Iz = Vz
[9]
Z
2.3 Connexion en étoile
Dans le montage étoile (symbolisé par le signe Y), les trois impédances de la charge triphasée
ont un point commun N’, appelé point neutre de la charge, et sont alimentées par les trois
tensions simples :
V1
1
Vz1
2
I1
Iz1
V2
N
1
Vz2
2
I2
Iz2
V3
1
Z
Z
N'
Vz3
2
I3
Iz3
Z
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 45
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
Si la charge est équilibrée, les tensions aux bornes de chaque impédance se confondent avec les
tensions simples de la source d’alimentation et possèdent le même module :
Vz 1 = V1 ; Vz 2 = V2 ; Vz 3 = V3
[11]
On en déduit les courants traversant chaque impédance :
V
V
Iz 1 = I1 = z 1 = 1 = V e -jϕϕ
Z
Z
Z
V
V
Iz 2 = I2 = z 2 = 2 = V e j(-ϕϕ -2 ππ /3)
Z
Z
Z
V
V
Iz 3 = I3 = z 3 = 3 = V e j(-ϕϕ -4 ππ /3)
Z
Z
Z
[12]
Dans un montage étoile, les courants de ligne se confondent avec les courants de phase de la
charge.
Le diagramme des phaseurs est le suivant :
I3
V3
V1
I2
V2
I1
Le courant de retour entre les points neutres de la charge et de la source vaut :
IN = Iz 1 + Iz 2 + Iz 3 = V e -jϕϕ [1 + e -j2ππ /3 + e -j4ππ /3 ] = 0
[13]
Z
Dans le cas d’une source symétrique avec charge équilibrée, il n’est pas nécessaire de relier le
point neutre de la charge à celui de la source.
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 46
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
2.4 Connexion en triangle
Dans le montage étoile (symbolisé par le signe ∆), les trois impédances de la charge triphasée
sont alimentées par les trois tensions composées de la source triphasée et forment un circuit
fermé sur lui-même. La charge en montage triangle n’a pas de point neutre :
V1
1
Vz1
2
I1
U12
V2
N
1
2
U31
I2
2
Iz2
I3
Z
Vz2
U23
V3
1
Iz1
Z
Vz3
Iz3
Z
Les tensions aux bornes de chaque impédance se confondent ici avec les tensions composées de
la source d’alimentation et possèdent le même module :
Vz 1 = U12 ; Vz 2 = U23 ; Vz 3 = U31
[14]
On en déduit les courants traversant chaque impédance :
V
U
Iz 1 = z 1 = 12 = 3V e -jϕϕ
Z
Z
Z
Vz 2
U
= 23 =
Z
Z
V
U
Iz 3 = z 3 = 31 =
Z
Z
Iz 2 =
3V e j(-ϕϕ -2 ππ /3)
Z
3V e j(-ϕϕ -4 ππ /3)
Z
[15]
Les courants de ligne sont obtenus en appliquant la loi de Kirchhoff sur les courants :
I1 = Iz 1 –Iz 3 = 3 Iz 1e -jππ /6
I2 = Iz 2 –Iz 1 = 3 Iz 2e -jππ /6
I3 = Iz 3 –Iz 2 = 3 Iz 3e -jππ /6
[16]
L’équation [16] permet d’établir que le module des courants de ligne est 3 fois celui des
courants traversant la charge connectée en triangle :
I = 3 Iz
[17]
2.5 Schéma monophasé équivalent
Lorsqu’un circuit triphasé est équilibré, on cherche à n’étudier qu’une phase sachant que ce qui
se passe dans les deux autres est identique à 2ð ou 4ð près.
3
3
On peut donc considérer un circuit triphasé équilibré comme la juxtaposition de 3 circuits
monophasés.
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 47
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
Charge connectée en étoile
V1
Z
I1
I
V2
N
1
2
Z
I2
2
V
N'
V3
1
2
2
Z
1
1
Z
I3
En application de la loi de Kirchhoff sur les tensions, les relations suivantes peuvent être
établies :
VN’ – VN = V1 – Z.I1
VN’ – VN = V2 – Z.I2
VN’ – VN = V3 – Z.I3
D’où
3( VN’ – VN ) =( V1 + V2 + V3 ) – Z(I1 + I2 + I3 )
Puisque V1 + V2 + V3 = 0 et I1 + I2 + I3 = 0, on alors VN’ = VN. Les points neutres sont donc
équipotentiels, on peut alors écrire :
V1 = Z.I1
V2 = Z.I2
V3 = Z.I3
On peut étudier une phase en n’ayant pas à tenir compte des deux autres à l’aide du schéma
monophasé équivalent.
Charge connectée en triangle
V1
2
I1
U12
V2
N
2
Z
I
U31
I2
Vz2
Iz2
V
Z/3
Z
1
1
Iz1
2
1
Vz1
U23
V3
1
2
I3
Vz3
Iz3
Z
Les relations [15] et [16] permettent d’écrire :
I = 3 Iz = 3V = V = V
ZÄ
ZÄ
ZY
3
Z
ZY = Ä
[18]
3
On peut remplacer l’impédance en triangle Z∆ par l’impédance en étoile équivalente ZY.
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 48
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
3 Puissance en régime triphasé
3.1 Puissance absorbée par une charge triphasée
La puissance absorbée par une charge triphasée est la somme des puissances absorbées par
chaque phase.
Pour la puissance instantanée :
p(t) = v1 (t)i1 (t) + v2 (t)i2 (t) + v3 (t)i3 (t)
[19]
Pour la puissance active :
P = V1 I1 cos ϕ 1 + V2 I2 cos ϕ 2 + V3 I3 cos ϕ 3
[20]
Pour la puissance réactive :
Q = V1 I1 sinϕ 1 + V2 I2 sinϕ 2 + V3 I3 sinϕ 3
[21]
3.2 Puissance dans un système triphasé à charge équilibrée
Dans le cas d’une charge équilibrée alimentée par des tensions formant un système symétrique,
les valeurs instantanées des tensions et des courants dans les phases de la charge sont :
v1 (t) = V 2 cos ω t
v2 (t) = V 2 cos(ω t - 2ð )
3
v3 (t) = V 2 cos(ω t - 4ð )
3
i1 (t) = I 2 cos(ω t - ϕ )
i2 (t) = I 2 cos(ω t - ϕ - 2ð )
3
i3 (t) = I 2 cos(ω t - ϕ - 4ð )
[22]
3
En remplaçant dans [19], il vient :
p(t) = 3VIcos ϕ + VI[cos(2ω t - ϕ )
+ cos(2ω t - ϕ - 2ð ) + cos(2ω t - ϕ + 2ð )]
3
3
[23]
Or, la somme des fonctions trigonométriques du terme entre crochets est nulle, on a alors la
relation fondamentale suivante :
p(t) = P = 3VIcos ϕ
[24]
La puissance instantanée est constante (pas de composante pulsante) et égale à la puissance
active. Le triphasé a fait donc disparaître la puissance fluctuante, c’est là sa propriété
fondamentale !
Pour la puissance réactive, on obtient :
Q = 3VIsinϕ
[25]
La puissance apparente totale vaut :
S = 3VI
[26]
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 49
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
3.3 Puissance complexe en triphasé
Quels que soient le couplage de la source d’alimentation et de la charge, l’expression de la
puissance complexe absorbée par une charge triphasée est :
S = P + jQ = V1 I1 * + V2 I2 * + V3 I3 *
[27]
Dans le cas d’une charge équilibrée alimentée par des tensions formant un système symétrique,
les valeurs complexes des tensions et des courants dans les phases de la charge sont :
V1 = V
V 2 = Ve -j2ππ /3
V 3 = Ve -j4ππ /3
I1 * = Ie +j ϕϕ
I 2 * = Ie +j(ϕϕ + 2ππ /3)
I 3 * = Ie +j(ϕϕ + 4ππ /3)
[28]
En remplaçant dans [27], il vient :
S = 3VIe +j ϕϕ
[29]
On peut alors exprimer les autres puissances :
P = Re{ S } = 3VIcos ϕ
Q = Im{ S } = 3VIsinϕ
[30]
[31]
3.4 Théorème de Boucherot
Dans un circuit triphasé fonctionnant en régime sinusoïdal la puissance active se conserve, sa
conservation relève du principe général de conservation de l’énergie :
P=
∑
Pk
[32]
k
La puissance réactive, à condition qu’il n’y ait pas de changement de fréquence, se conserve au
même titre que la puissance active :
Q=
∑
Qk
[33]
k
La puissance réactive n’est pas une puissance au sens physique du terme, elle n’a donc aucune
raison à priori de se conserver, et elle se conserve en fait que s’il n’y a pas de changement de
fréquence (elle ne se conserve pas dans le cas d’un redresseur par exemple).
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 50
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
3.5 Mesure des puissances active et réactive en triphasé équilibré
3.5.1
Appareil de mesure
Pour mesurer la puissance active dans un circuit, on utilise un wattmètre. Un wattmètre peut
être considéré comme un appareil combinant un voltmètre et un ampèremètre.
I
W
V
La résistance entre les bornes du circuit courant est très faible, tandis que celle entre les bornes
de tension est très élevée.
3.5.2
Méthode de mesure utilisant un seul wattmètre
Cette méthode n’est valable que pour une charge triphasée équilibrée.
Le schéma de montage est le suivant :
V1
1
V1
2
I1
*
Z
W
V2
N
1
2
I2
Z
N'
V3
1
2
I3
Z
Mesure de la puissance active
W = Re{ V1 I1 * } = VIcosϕ
P = 3W = 3VIcosϕ
Un wattmètre unique, alimenté par un courant de ligne et la tension simple correspondante,
mesure donc P/3. C’est la méthode dite « du point neutre artificiel » , car dans la majorité des cas
le conducteur de neutre n’existe pas.
Mesure de la puissance active
Le montage ci-dessus ne permet pas de mesurer la puissance réactive à moins d’utiliser une
pince multimétrique avec l’option varmètre.
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 51
Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé
3.5.3
Méthode de mesure utilisant deux wattmètres
Cette méthode n’est valable que pour une charge triphasée équilibrée.
Le schéma de montage est le suivant :
V1
1
2
I1
1
2
I2
U13
2
*
W2
V3
1
Z
W1
V2
N
*
I3
Z
N'
U23
Z
Mesures
W1 = Re{U13 I1 * }et W2 = Re{U23 I2 * }
Or
U13 = V1 - V3 = 3 Ve-jπ/6 et U23 = V2 - V3 = 3 Ve-jπ/2
I1 * = Ie+jϕ et I2 * = Ie+j(ϕ + 2π/3)
Donc
W1 = Re{ 3 VIe+j(ϕ - π/6)} = 3 VIcos(ϕ - π/6)
W2 = Re{ 3 VIe+j(ϕ + π/6)} = 3 VIcos(ϕ + π/6)
Puissance active
P = W1 + W2 = 3VIcosϕ
Puissance réactive
Q
3
3 [W1 – W2 ] = 3VIsinϕ
W1 – W2 = UIsinϕ =
Q=
Argument
tanϕ =
Q
−
= 3 W1 W 2
P
W1+ W 2
JMROUSSEL ©
Copyright 2001 / Page 52