COURS MECANIQUE VIBRATOIRE ONDES ACOUSTIQUE

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COURS
MECANIQUE VIBRATOIRE
ONDES
ACOUSTIQUE

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Chapitre 1
SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE :
OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME NON AMORTI
SYSTEME MASSE RESSORT SANS FROTTEMENT
I - SYSTEME CONSIDERE
II - ETUDE A L’EQUILIBRE
A l’équilibre, la somme des forces s’exerçant sur un système est nulle.
La force F de rappel d’un ressort est proportionnelle à l’allongement du ressort.
En projection sur l’axe Oy orienté positivement vers le bas on obtient :
mg – k y
0
= 0  k = mg / y
0
Remarque 1 : On peut déterminer la raideur k du ressort à partir de la mesure de l’allongement y
0
créé
en statique par l’action d’une masse m.
Remarque 2 : k s’exprime bien en N m
-1
III - ETUDE EN DYNAMIQUE
La masse est écartée de sa position d’équilibre par une intervention extérieure.
On note y l’allongement par rapport à la position d’équilibre.
L’allongement total est donc y
0
+ y.
y
0
y
0
+ y mg
F
mg
F
y
Le système :
Ressort indéformable, parfaitement
élastique, sans masse et sans hystérésis, de
raideur k (N m
-1
)
Masse m (kg)
Pas de frottement
mg + F = 0

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D’après le principe fondamental de la dynamique, nous avons :
En projection sur l’axe Oy :
mg – k (y + y
0
) = m d
2
(y + y
0
) / dt
2
mg – k y
0
– k y = m d
2
y/dt
2
+ m d
2
y
0
/dt
2
= 0 = 0 car y
0
cst
D’où l’équation différentielle :
Le fonctionnement du système est une équation différentielle du 2
nd
ordre linéaire à
coefficients constants. Elle est identique à celle d’un circuit LC.
IV - SOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE
1°/ SOLUTION
On sait que pour un système sans frottement, le ressort écarté de sa position d’équilibre
va osciller indéfiniment de façon sinusoïdale.
La solution de l’équation différentielle du second ordre sans frottement est sinusoïdale :
2°/ PULSATION PROPRE
La pulsation propre (en rad.s
-1
) est la pulsation des oscillations libres (naturelles) du
système non amorti.
La fréquence propre (en Hz) est : f
0
= ω
0
/(2π)
La période propre (en s) est : T
0
= 1/f
0
Σ
F = m a
mg + F = m a
d
2
y/dt
2
+ (k/m) y = 0
y(t) = A sin (
ω
0
t +
ϕ
)
ω
0
= √ (k/m)
A et ϕ sont des constantes déterminées par les conditions initiales.

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3°/ REMARQUES
ω
0
= √ (k/m) montre que :
- si k augmente alors ω
0
augmente
- si m augmente alors ω
0
diminue => normal puisque davantage d’inertie mécanique
On a vu au I – 2°/ que :
mg = ky
0
 k/m = g/y
0
donc ω
0
= √ (k/m) = √ ( g/y
0
)
Si on ne connaît pas la masse suspendue et la raideur du ressort, on peut déterminer la
pulsation propre à partir de la mesure de l’allongement en statique.

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Chapitre 2
SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE :
OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME AMORTI
SYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS
I - SYSTEME CONSIDERE
II - ETUDE A L’EQUILIBRE
A l’équilibre, la vitesse étant nulle, le frottement fluide n’introduit pas de force.
On a donc toujours :
En projection sur l’axe Oy orienté positivement vers le bas on obtient :
mg – k y
0
= 0  k = mg / y
0
III - ETUDE EN DYNAMIQUE
La masse est écartée de sa position d’équilibre par une intervention extérieure.
On note y l’allongement par rapport à la position d’équilibre.
L’allongement total est donc y
0
+ y.
Le frottement fluide introduit une force de frottement notée F
f
dont l’intensité est
proportionnelle à la vitesse : F
f
= f v
Le système :
Ressort indéformable, parfaitement
élastique, sans masse et sans hystérésis, de
raideur k (N m
-1
)
Frottement fluide (visqueux). Le coefficient
de frottement est noté f (N s m
-1
)
Masse m (kg)
mg + F = 0
0
y
0
y
0
+ y mg
F
F
y
F
f