Cours 5: Algorithmes approchés

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Cours 5: Algorithmes approch´es
Algorithmes approch´es
Bin-packing: limite de l’approximabilit´e.
Sch´emas d’approximation
Gilles Schaeffer INF-550-5: Algorithmes approch´es
Voyageur de commerce : non approximabilit´e

2-1 Gilles Schaeffer INF-550-5: Algorithmes approch´es
Un algorithme glouton pour COUVRANT
Donn´ee: Un graphe G= (X, E)non-orient´e
Probl`eme: Trouver un ensemble minimum de sommets couvrant les arˆetes.
Algorithme:F:= E;Y:= ∅
Tant que Fest non vide: Choisir une arˆete fdans F
ajouter ses 2 extr´emit´es dans Y
et supprimer de Ftoutes les arˆetes couvertes par ces 2 sommets.
Remarque: si Hest un couplage et Cun couvrant de Galors |H|<|C|
Or les arˆetes utilis´ees pour constituer Yforment un couplage:
|Y|/2<|Copt|
⇒au pire on aura 2 fois trop de sommets
NP-complet !
Non optimalit´e: pour un graphe r´eduit `a une arˆete, 2 sommets au lieu d’1
L’algo peut il ˆetre encore plus mauvais que ce facteur 2 ?

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Probl`eme: Trouver parmi les solutions d’un probl`eme celle qui
optimise une fonction f.
Un algorithme est ε-approch´e s’il donne un Xqui satisfait
Algorithmes approch´es
Gilles Schaeffer INF-550-5: Algorithmes approch´es
Un algorithme approche l’optimum `a un facteur θsi
maxf(X)
f(Xopt),f(Xopt ) f(X)≤θOn veut θproche de 1.
f(Xopt)−f(X)
f(Xopt)≤εsi Xopt maximise f
f(X)−f(Xopt)
f(X)≤εsi Xopt minimise f
On veut εproche de 0.
Deux formulations ´equivalentes utilis´ees indiff´eremment.

4-1 Gilles Schaeffer INF-550-5: Algorithmes approch´es
Un algorithme glouton pour COUVRANT
Donn´ee: Un graphe G= (X, E)non-orient´e
Probl`eme: Trouver un ensemble minimum de sommets couvrant les arˆetes.
Algorithme:F:= E;Y:= ∅
Tant que Fest non vide: Choisir une arˆete fdans F
ajouter ses 2 extr´emit´es dans Y
et supprimer de Ftoutes les arˆetes couvertes par ces 2 sommets.
L’ensemble couvrant Yproduit v´erifie: |Y|<2|Copt|
NP-complet !
D’o`u ε=|Y|−|Copt |
|Y|≤1 2, ou encore θ=|Y| |Copt|≤2.
⇒Cet algorithme est 1
2-approch´e, ou approch´e `a un facteur 2.
La classe des probl`eme d’optimisation pour lesquels il existe un algorithme
polynomial d’approximation `a un facteur born´e est not´ee APX.

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Cours 5: Algorithmes approch´es
Algorithmes approch´es
Bin-packing: limite de l’approximabilit´e.
Sch´emas d’approximation
Gilles Schaeffer INF-550-5: Algorithmes approch´es
Voyageur de commerce : non approximabilit´e