Séries entières - pyreach.free.fr

Séries entières
1. Convergence d'une série entière..................................................................................................p.1
Définition d'une série entière d'une variable réelle ou complexe.
Lemme d'Abel. Définition du rayon de convergence d'une série entière. Disque ou intervalle ouvert de convergence.
Critère de comparaison et d'équivalence pour les séries entières. Rayons de convergence de
∑ an z n
et
∑ n a n zn .
2. Somme d'une série entière d'une variable réelle...................................................................p.6
Fonction somme, domaine de définition.
Continuité de la fonction somme sur l'intervalle ouvert de convergence.
La fonction somme est de classe C∞ sur l'intervalle ouvert de convergence : dérivation terme à terme.
Intégration terme à terme sur un segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence.
3. Fonctions développables en série entière.................................................................................p.8
Définition d'une fonction développable en série entière au voisinage de 0.
Unicité du développement en série entière.
1
α
Développements en série entière usuels :
; ln ( 1+x ) ; e x ; ( 1+x ) ; cos ( x ) ; sin ( x )
1−x
Séries de Taylor. Cas des fonctions paires et des fonctions impaires.
4. Exponentielle complexe.................................................................................................................p.13
Expression pour z∈ℂ de e z sous la forme d'une série entière de variable complexe.
∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿
1. Convergence d'une série entière
Exemple de code Python permettant de visualiser les
représentations graphiques de fonctions de variable réelle
n
1 k
x → ∑ k x pour différentes valeurs de n .
k= 0 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
def S(x,n):
return sum((1/2**k)*x**k for k in range(n+1))
import numpy as np
X=np.linspace(-2.1,2.1,1000)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.axis([-2.1,2.1,-1,10])
for k in [5,10,20,100,200]:
Y=[S(x,k) for x in X]
plt.plot(X,Y)
plt.show()
100
Exemple de code Python permettant de visualiser dans le plan complexe les points d'affixe z telle que
∣∑ ∣
k =0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1 k
z <20
2k
def S(z,n):
return sum((1/2**k)*complex(z)**k for k in range(n+1))
import numpy as np
Z=[x+y*1j for x in np.linspace(-3,3,100) for y in np.linspace(-3,3,100)]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.axis('equal')
for z in Z:
fz=S(z,100)
if abs(fz)<20 :
plt.plot(z.real,z.imag,marker='+')
T=np.linspace(0,2*np.pi,1000)
plt.plot([2*np.cos(t) for t in T],[2*np.sin(t) for t in T],color='black')
plt.show()
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100
Le critère
∣∑ ∣
k =0
1 k
z <20 ne prouve en aucun cas la convergence ou la divergence de la série numérique
2k
1
∑ 2k z k
k ⩾0
Définition d'une série entière d'une variable réelle ou complexe
Soit ( a n ) une suite de nombres complexes.
Soit x ∈ℝ , la série de terme général a n xn , notée
∑ an x n
est appelée série entière de variable réelle x .
Soit z∈ℂ , la série de terme général a n z n , notée
∑ an z n
est appelée série entière de variable complexe z .
Rappel : ∀ z∈ℂ , z 0≝1 , ce qui implique en particulier qu'ici 0 0≝1 .
Remarques : le qualificatif « entière » désigne l'exposant des puissances de x ou de z .
Les sommes partielles de la série
n
∑ an x n
ou
n
k
∑ an z n
dépendent ici de la variable complexe x ou z .
k
Ainsi pour n∈ℕ , x → ∑ a k x et z → ∑ a k z sont des fonctions polynomiales définies respectivement sur ℝ et ℂ .
+∞
k= 0
+∞
k =0
x → ∑ a k x et z → ∑ a k z ne sont pas nécessairement des fonctions polynomiales et leur ensemble de définition
k
k= 0
k
k =0
n'est pas nécessairement ℝ et ℂ .
Remarque : Une série de type
∑ bn z2 n
par exemple, est appelée série lacunaire car …
n
Exemples : si pour tout entier naturel n , a n =(−1 ) alors la série entière
S0 ( z )=…
Si ∣z∣<1 alors
+∞
S1 ( z ) =…
∑ an z n
est la suite des sommes partielles :
S2 ( z )=…
∑ (−1 ) k z k =...
k =0
Lemme d'Abel : condition suffisante de convergence d'une série entière sur un disque ouvert
Soit ( a n ) une suite de nombres complexes et un réel r >0 .
Si la suite ( a n r n )n∈ℕ est bornée alors ∀ z∈ℂ tel que ∣z∣<r , la série
∑ an z n
est absolument convergente.
n
Démonstration : Soit un réel M >0 tel que ∀ n∈ℕ , ∣a n∣( r ) ⩽M
n
∣z∣ n
n
n ∣z∣
n
∣
∣
(
)
⩽M
Par ailleurs, ∀ z∈ℂ , ∣a n z ∣=∣a n∣ z =∣a n∣ r
r
r
∣z∣
∣z∣
Ainsi, si ∣z∣<r alors 0⩽ <1 donc la série numérique ∑ M
r
r
( ) ( )
n
( )
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est une série géométrique convergente.
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Ainsi, d'après le critère de majoration pour les séries à termes positifs, la série
∑ ∣a n z n∣ est convergente.
□
Remarque : l'ensemble I= { r∈ℝ +∣la suite ( a n r n ) est bornée } est un intervalle du type [ 0 ; R [ ou [ 0 ; R ] .
En effet, si r 0 ∈I alors (∣a n∣r n ) est bornée, donc ∀ r∈ [ 0 ; r 0 ] , la suite (∣a n∣r n ) est bornée, ainsi [ 0 ; r 0 ]⊂I .
Cette propriété de connexité caractérise les intervalles de ℝ .
Définition du rayon de convergence d'une série entière
Soit
∑ an z n
une série entière.
Le rayon de convergence de cette série est : R≝sup {r∈ℝ +∣la suite ( a n r n ) est bornée } .
Remarque : le rayon de convergence est une borne supérieure d'un intervalle de ℝ+ donc le rayon de convergence d'une
série entière peut être un réel positif ou +∞ .
Théorème sur la nature d'une série entière d'une variable complexe
Soient
∑ an z n
une série entière et R son rayon de convergence.
► ∀ z∈ℂ tel que ∣z∣< R , la série
► ∀ z∈ℂ tel que ∣z∣>R , la série
∑ an z n
∑ an z n
est absolument convergente.
est grossièrement divergente car la suite ( a n z n ) n'est pas bornée.
Démonstration :
1) Si ∣z∣< R alors il existe r ∈ ]∣z∣; R [ donc, par définition de R la suite ( a n r n ) est bornée, ainsi, d'après le lemme d'Abel,
la série
∑ an z n
converge absolument.
2) Si ∣z∣> R , supposons par l'absurde que la suite ( a n z n ) soit bornée.
Alors en posant r=∣z∣ , on a ( a n r n ) bornée et r >R ce qui contredit la définition de R.
La suite ( a n z n ) n'est pas bornée donc pas convergente, la série
Pour ∣z∣=R la série
∑ an z n
∑ an z n
est donc grossièrement divergente. □
peut être absolument convergente, convergente ou divergente.
Définitions du disque ouvert de convergence et de l'intervalle ouvert de convergence
Soient
∑ an z n
une série entière de variable complexe et R son rayon de convergence. Le disque ouvert de centre 0 et
de rayon R, noté D≝{ z∈ℂ∣∣z∣<R } , est appelée disque ouvert de convergence de
L'application :
D
z
→
→
ℂ
+∞
∑ an z
n
∑ an z n .
est appelée fonction somme de
∑ an z n .
n=0
Soient
∑ an x n
une série entière de variable réelle et R son rayon de convergence. L'intervalle ]−R ; R [ est appelé
intervalle ouvert de convergence de
L'application :
]−R ; R [
x
∑ an x n
→
→
ℝ
+∞
∑ an x
n
est appelée fonction somme de la série entière
∑ an x n .
n=0
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Remarque : si R=0 alors ...
Si R=+∞ alors...
Remarque : le rayon de convergence peut être
défini de façon analogue par :
{
+
R=sup r∈ℝ ∣la série
∑ a n r n converge
}
L'ensemble de définition de la fonction somme
peut être étendu aux points du cercle d'incertitude
pour lesquels la série
∑ an zn
converge.
Méthodes utilisant les séries numériques pour déterminer le rayon de convergence
Soit R le rayon de convergence de la série entière
∑ an z n
et z 0 ∈ℂ .
► Si la série numérique
∑ a n ( z 0)n
est absolument convergente alors R⩾∣z0∣
► Si la série numérique
∑ a n ( z 0)n
est convergente mais pas absolument convergente alors R=∣z 0∣
► Si la série numérique
∑ a n ( z 0)n
est grossièrement divergente alors R⩽∣z0∣
► Si (la série numérique
∑ an z n
converge si et seulement si ∣z∣⩽∣z 0∣ ) alors R=∣z 0∣
► Si (la série numérique
∑ an z n
converge si et seulement si ∣z∣<∣z 0∣ ) alors R=∣z 0∣
Exemple : pour la série
1
∑ n zn
on a : pour r=1 ...
n⩾1
Et pour r=−1 …
Donc...
Critères d'équivalence ou de comparaison des modules des termes généraux
Soient
∑ an z n
et
∑ bn zn
deux séries entières de rayons de convergence respectifs R a et R b :
► critère d'équivalence : si ∣a n∣∼
+ ∞∣b n∣ alors R a =R b
► critère de comparaison : si ∀ n ∈ℕ , ∣a n∣⩽∣bn∣ alors R a ⩾R b
n
∼ ∣b n∣r n
Démonstration : ► Si ∣a n∣∼
+ ∞∣b n∣ alors pour tout réel r >0 , ∣a n∣r n→+∞
Ainsi : ( a n r n ) est bornée si et seulement si ( b n r n ) est bornée
Donc { r∈ℝ +∣la suite ( a n r n ) est bornée } = { r∈ℝ +∣la suite ( b n r n ) est bornée } , donc R a =Rb .
► Si ∀ n ∈ℕ , ∣a n∣⩽∣bn∣ alors pour tout réel r >0 , ∣a n∣r n⩽∣b n∣r n
Ainsi : Si la suite ( b n r n ) est bornée alors la suite ( a n r n ) est bornée
Donc : { r∈ℝ +∣la suite ( b n r n ) est bornée } ⊂ { r∈ℝ +∣la suite ( a n r n ) est bornée }
Ainsi : R b⩽R a
Remarque : il suffit que ∣a n∣⩽∣b n∣ soit vérifiée à partir d'un certain rang pour pouvoir affirmer R a ⩾Rb .
□
Propriété de conservation du rayon de convergence par multiplication du terme général par n
Les séries entières
∑ an z n
et
∑ n a n zn
ont même rayon de convergence.
Remarque : en utilisant cette propriété, on peut démontrer par le critère d'équivalence puis par récurrence que, quelle que
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soit le polynôme P ou la fraction rationnelle Q, les séries entières
convergence que celui de la série entière
∑ P (n )a n z n
et
∑ Q (n ) an z n
ont le même rayon de
∑ an z n .
Démonstration : Soit R et R' les rayons de convergence des séries entières
∑ an z n
et
∑ n a n zn .
∀ n∈ℕ *, 1⩽n donc ∣a n∣⩽n∣a n∣ donc, d'après le critère de comparaison, R⩾R' .
Supposons, par l'absurde, R >R' alors il existe r∈ℝ et z 0 ∈ℂ tels que : R' <∣z0∣<r<R
n
R' <∣z 0∣⇒ la suite ( n a n ( z0 ) ) est non bornée
r<R ⇒ la suite ( a n r n ) est bornée par M>0
n
n
n
∣z0∣
∣z 0∣
∣z0∣
n
⩽M n
Or n∣a n ( z 0 ) ∣=n∣a n∣ n r n=(∣a n∣r n ) n
r
r
r
∣z ∣
∣z ∣
or 0⩽ 0 <1 donc en posant q= 0 , on a : n q n=e ln (n )+n ln (q ) avec ln ( q )<0
r
r
En vertu des croissances comparées, lim ln ( n ) + n ln ( q ) =−∞ donc par composition lim n q n =0 .
( )
{
( ( )) ( )
n→+∞
n→+∞
n
Ainsi par application du théorème d'encadrement lim n∣a n ( z0 ) ∣=0 ce qui contredit le fait que la suite ( n a n ( z 0 )
n→+ ∞
n
)
soit
bornée.
□
Remarque : la série
∑ n a n zn−1=∑ ( n+1 ) a n+1 z n
est appelée dérivée formelle de la série entière
n⩾1
Exemple : pour la série
∑ an z n .
∑ n 2 n z 2n …
Méthode : détermination du rayon de convergence à l'aide de la règle de d'Alembert
Soient
∑ an z n
une série entière telle que ∀ n ∈ℕ , a n ≠0 et R son rayon de convergence.
Soit un réel r >0 , la règle de d'Alembert appliqué à la série
► Si lim
n→+∞
∑ ∣a n∣r n
considère le quotient :
a
∣a n+1∣r n+1
=r× n+1
n
an
∣a n∣r
∣ ∣
a n+1
∣a ∣r n+1
=L≠0 alors lim n+1 n =r×L
an
n→+∞
∣a n∣r
∣ ∣
] L1 [ , r×L<1 donc, d'après la règle de d'Alembert pour les séries à termes positifs, la série ∑ ∣a ∣r
Ainsi, ∀ r ∈ 0 ;
n
n
converge.
] L1 ;+∞[ , r ×L >1 donc, d'après la règle de d'Alembert pour les séries à termes positifs, la série
En revanche, ∀ r ∈
∑ ∣a n∣r n
diverge.
Conclusion : R=
► Si lim
n→+ ∞
1
.
L
a n+1
∣a ∣r n+1
=0 alors ∀ r >0 , lim n+1 n =r×0=0 <1 donc, d'après la règle de d'Alembert pour les séries à
n→+∞
an
∣a n∣r
∣ ∣
termes positifs, la série
► Si lim
n→+ ∞
converge. Ce raisonnement étant valide pour tout réel r positif, R=+∞ .
a n+1
∣a ∣r n+1
=+∞ alors ∀ r >0 , lim n+1 n =+∞ donc, d'après la règle de d'Alembert pour les séries à
n→+∞
an
∣a n∣r
∣ ∣
termes positifs, la série
Exemples :
∑ ∣a n∣r n
∑ ∣a n∣r n
diverge. Ce raisonnement étant valide pour tout réel r positif, on a R=0 .
1
∑ n! zn ...
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et
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n
n
∑ n! zn ...
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∑ b n z pn+q
Pour les séries lacunaires du type :
n∉ p ℕ+q . Il s'agit donc d'écrire
la série entière de variable Z,
le critère de d'Alembert ne peut s'appliquer car a n =0 pour
n
∑ b n z pn+q=z q ∑ b n ( z p )
et de poser Z= z p pour appliquer le critère de d'Alembert à
∑ bn Zn .
Rayon de convergence et somme de la série entière obtenue par opérations sur des séries entières
Soient
∑ an z n
et
∑ bn zn
deux séries entières de rayons de convergence respectifs R >0 et R' >0 et un scalaire
λ≠0 .
► Produit par un scalaire :
∑ λ a n zn
a pour rayon de convergence R
+∞
+∞
n=0
n=0
∑ λ a n zn=λ ∑ a n z n
et si ∣z∣< R alors
1
∑ a n z qn +r
► Cas des séries lacunaires : pour ( q ; r )∈ℕ 2 ,
1
et si ∣z∣<R q alors
a pour rayon de convergence R q
+∞
+∞
n
∑ a n z qn+r =z r ∑ a n ( z q )
n=0
n=0
n
► Série somme de deux séries entières : ∑ ( a n +b n ) z a un rayon de convergence R S⩾min ( R ; R' )
et, si ∣z∣<min ( R ; R' ) alors
► Série produit (hors programme) :
(
n
∑ ∑ a k bn− k
k =0
et, si ∣z∣<min ( R ; R' ) alors
+∞
+∞
+∞
n=0
n=0
n=0
∑ ( a n +b n) z n =∑ a n z n+∑ b n z n
)
n
z a un rayon de convergence R P⩾min ( R ; R' )
+∞
(
n
∑ ∑ a k bn− k
n=0
k =0
)
n
+∞
+∞
n=0
n= 0
(∑ an z n)×(∑ bn z n)
z =
Démonstration : par passage à la limite sur des sommes partielles.
2. Somme d'une série entière d'une variable réelle
Définition de l'intervalle de convergence d'une série entière à variable réelle
Soient
∑ an x n
une série entière d'une variable réelle, et R son rayon de convergence.
{
L'intervalle de convergence est l'intervalle I= x ∈ℝ∣la série
∑ a n x n converge
}
.
►Si R=+∞ alors I= ] −∞ ;+∞ [
►Si R est un réel strictement positif alors I= ] −R ; R [ , ou I= ] −R ; R ] , ou I= [−R ; R [ ou I= [−R ; R ] selon la nature
des séries
∑ a n (−R )n
et
∑ an R n .
La fonction
I
→
x →
ℝ
+∞
∑ an x
n
est appelée fonction somme de la série entière
∑ an x n .
n=0
Exemples :
La série
∑ xn
a pour intervalle de convergence ...
n⩾1
La série
1
∑ n xn
a pour intervalle de convergence …
n⩾1
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Propriétés de la fonction somme d'une série entière de variable réelle
Soient
∑ an x n
une série entière d'une variable réelle de rayon de convergence R >0 , et la fonction somme f
définie sur l'intervalle ]−R ; R [ par :
+∞
∀ x ∈ ]−R ; R [ , f ( x )=∑ a n x n
n=0
►La fonction f est continue sur l'intervalle ]−R ; R [ .
►La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]−R ; R [ , sa dérivée est la fonction somme de la série entière
∑ n a n xn−1
n⩾1
+∞
dont le rayon de convergence est R : ∀ x ∈ ]−R ; R [ , f ' ( x )=∑ n a n xn−1
« dérivation terme à terme »
n=1
►La fonction f admet pour primitive la fonction somme de la série entière
x
+∞
∀ x ∈ ]−R ; R [ , ∫0 f ( t ) dt =∑
convergence est R :
n= 0
a
∑ n+1n x n+1
a n n+ 1
x
n +1
dont le rayon de
« intégration terme à terme »
On n'obtient ici LA primitive s'annulant en 0.
x
Pour déterminer TOUTES les primitives F de f sur ]−R ; R [ , on utilise : F ( x ) =F ( 0 ) +∫0 f ( t ) d t
Propriétés admises.
1 n
x est continue sur l'intervalle ]−1 ; 1 [ (cf précédemment) et f est dérivable sur
n=1 n
+∞
+∞
1
]−1; 1 [ : ∀ x ∈]−1; 1 [ , f ' ( x ) =∑ x n−1=∑ x n=
1−x
n=1
n=0
x
1
Ainsi, ∀ x ∈]−1 ; 1 [ , f ( x )=∫0
dt + f ( 0 )=−ln ( 1−x )
1−t
Exemple de code Python représentant graphiquement la convergence des sommes partielles :
+∞
Exemple : la fonction f : x → ∑
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
def Sn(x,n):
return sum(((1/k)*x**k) for k in range(1,n+1))
import numpy as np
def S(x):
return -np.log(1-x)
X=[-1+i/100 for i in range(1,200)]
Y5=[Sn(x,5) for x in X]
Y=[S(x) for x in X]
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X,Y5)
plt.plot(X,Y)
plt.show()
Les fonctions f et x →−ln ( 1−x ) sont continues sur ] −1 ; 1 [ donc par passage à la limite quand x tend vers −
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1
2
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+∞
1
1
3
1
1 n
−
=ln ( 2 )−ln ( 3 ) .
=−ln 1+ =−ln
=ln ( 2 )−ln ( 3 ) d'où : ∑
2
2
2
2
n=1 n
Exemple de code Python utilisant le module sympy pour retrouver les résultats précédents :
( )
( )
dans l'égalité précédente, on a : f −
1
2
3
4
5
6
( )
( )
from sympy import *
n,x = symbols('n x')
pprint(summation((1/n)*x**n, (n, 1, oo)))
pprint(summation((1/n)*(-1/2)**n, (n, 1, oo)))
pprint(float(ln(2)-ln(3)))
Corollaire sur les dérivées successives de la fonction somme d'une série entière
Soient
∑ an x n
+∞
une série entière de rayon de convergence R et f sa somme : ∀ x ∈ ]−R ; R [ , f ( x ) = ∑ a n x n .
n=0
En appliquant k fois la propriété de dérivabilité, la fonction f est de classe C∞ sur l'intervalle ]−R ; R [ et
+∞
n!
∀ k ∈ℕ ,∀ x ∈ ]−R ; R [ , f ( k ) ( x )=∑
a n x n−k
(
)
n=k n−k !
et en particulier f (k ) ( 0 ) =k ! a k
Démonstration : par récurrence sur k .
Évaluation en 0 en utilisant 0 0≝1 et ∀ n >0 , 0 n =0 .
□
3. Fonctions développables en série entière.
Définition des fonctions développables en série entière autour de zéro
Soit f une fonction définie sur un intervalle réel I contenant 0 et à valeurs dans ℂ .
La fonction f est développable en série entière autour de 0 si et seulement s'il existe : une série entière
rayon de convergence R et un intervalle I' contenant 0 tels que :
Exemple : la fonction
I' ⊂I
{
∑ an x n
de
+∞
∀ x ∈ I' , f ( x ) =∑ a n x n
n=0
f : ]−∞; 1 [ →
ℝ
est développable en série entière au voisinage de 0 car,
x
→ −ln ( 1−x )
+∞
1
∀∈ ]−1 ;1 [ , f ( x ) =∑ x n
n= 1 n
Unicité du développement en série entière
Soient
∑ an x n
et
∑ bn xn
deux séries entières dont les intervalles de convergence contiennent un intervalle ouvert I
contenant 0.
+∞
Si ∀ x ∈I,
+∞
∑ a n xn =∑ b n xn alors ∀ n∈ℕ,a n=b n
n= 0
n=0
+∞
Si ∀ x ∈I , ∑ a n xn =0 alors ∀ n∈ℕ ,a n =0
n=0
Démonstration : soit f et g les fonctions sommes des séries entières
∑ an x n
et
∑ bn xn
: ∀ x ∈I , f ( x ) =g ( x )
Or I étant un intervalle ouvert contenant 0 , on a ∀ n∈ℕ , f (n ) ( 0 ) =g ( n ) ( 0 )
Donc ∀ n∈ℕ , a n =b n .
La linéarité de l'application qui à une série entière associe sa fonction somme assure l'équivalence des deux formulations.
□
Séries entières
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Méthode : recherche des solutions développables en séries entières d'une équation différentielle (E) linéaire à coefficients
polynomiaux.
+∞
Soit R >0 et ∀ t ∈] −R , R [ , f ( t ) =∑ a n t n .
n= 0
1) Injecter f dans l'équation différentielle : f est solution de ( E ) sur ] −R ; R [ ⇔ …
2) Modifier les indices des sommes pour avoir t n dans chacune
3) Isoler les termes qui ne sont pas présents dans toutes les sommes, puis la linéarité pour avoir une seule somme
4) Utiliser l'unicité du développement en série entière pour identifier les coefficients a n
5) Calculer R et déterminer f à l'aide des fonctions de référence.
Développements en séries entières à connaître
+∞
+∞
1 n
1
1
n
x
=∑ (−1 ) x n i.e. ∀ x ∈ ]−1; 1 [ ,
=∑ x n
∀ x ∈ ] −1 ;1 [ ,
1+x n= 0
1−x n=0
n=0 n!
+∞
+∞
+∞
(−1 )n 2n
(−1 )n n+1
xn
∀ x ∈ℝ , cos ( x ) =∑
∀ x ∈ ] −1 ;1 ] , ln ( 1+ x )=∑
x
x
i.e. ∀ x ∈[ −1; 1 [ , −ln ( 1−x )=∑
n=0 n+1
n=1 n
n=0 ( 2 n )!
n
+∞
Soit α∈ℝ ∖ ℕ ,
(−1 )
∀ x ∈ℝ , sin ( x ) =∑
n−1
x 2 n+1
n= 0 ( 2 n+1 )!
( α−k )
∏
+∞
+∞
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) ) n
α
k =0
x =1+∑
xn
∀ x ∈ ] −1 ;1 [ , ( 1+x ) =1 +∑
n!
n!
n=1
n=1
+∞
∀ x ∈ℝ , e x=∑
Démonstrations :
k
k
k +1
k +1
1
1− (−x )
1−(−x )
n
n
► Pour x →
, on utilise la somme d'une série géométrique: ∑ ( −1 ) x n =∑ ( −x ) =
=
1 +x
1+ x
1−(−x )
n=0
n=0
+∞
1
n n
k +1
Ainsi, si ∣−x∣<−1 , lim (−x ) =0 d'où : ∑ ( −1 ) x =
.
1+x
k →+∞
n=0
+∞
1
n
La fonction x →
est continue en 1 mais la fonction somme x → ∑ (−1 ) x n n'est pas continue en 1.
1+ x
n=0
► Pour x →ln ( 1+ x ) , il suffit d'utiliser la primitive de x →
x
Ainsi : ∀ x ∈ ]−1 ;1 [ , ln ( 1+x ) =∫0
+∞
(−1 ) n n+1
1
d t=∑
x .
1+t
n=0 n +1
1
s'annulant en 0.
1+ x
(−1 )n
De plus, pour x=1 , ∑
est une série alternée pour laquelle le critère spécial de convergence des séries alternées
n +1
(−1 )n
peut s'appliquer donc la série ∑
est convergente.
n +1
Séries entières
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(−1 )n n+1
x
sont continues sur l'intervalle ] −1 ; 1 ] , ainsi :
n=0 n+1
+∞
( 1 ) n n+1
∀ x ∈ ]−1 ;1 ] , ln ( 1+x ) =∑ −
x
n+1
n= 0
► Pour x →e x , x →cos ( x ) , x →sin ( x ) , il suffit d'utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange :
Soit I un intervalle réel, f une fonction de classe Ck + 1 ( I ;ℝ ) et deux réels a ∈I et b∈I :
k
∣b−a∣k +1
f ( n) ( a )
( b−a ) n ⩽
f ( b )−∑
sup ∣ f ( k +1 ) ( t )∣
(
)
n!
k
+1
!
t∈
[ a ;b ]
n=0
+∞
Ainsi, les fonctions x →ln ( 1+ x ) et x → ∑
∣
∣
La fonction exponentielle est de classe C∞ sur ℝ , et ∀ n ∈ℕ , ∀ x ∈ℝ , exp( n ) ( x )=exp ( x ) .
x>0 ⇒ sup ∣exp ( t )∣=exp ( x )
t ∈[ 0 ; x ]
De plus la fonction exponentielle est croissante sur ℝ donc
x<0 ⇒ sup ∣exp ( t )∣=exp ( 0 )=1
{
t ∈[ x ;0 ]
k
∣
Donc : ∀ k ∈ℕ , ∀ x ∈ℝ , e x−∑
La série entière
1
∑ n! xn
∣
x
∣
a pour rayon de convergence R=+∞ (règle de d'Alembert), ainsi ∀ x ∈ℝ , lim
k →+∞
k
Donc ∀ x ∈ℝ , lim e −∑
k →+∞
n=0
k +1
1 n ∣x∣
x ⩽
max ( 1 ; e x )
( k +1 )!
n!
n=0
∣
∣x∣k + 1
=0
( k +1 )!
1 n
1 n
x
x =0 donc ∀ x ∈ℝ , e x=∑
n!
n!
n=0
+∞
La fonction cosinus étant de classe C∞ sur ℝ , ∀ n ∈ℕ , ∀ x ∈ℝ , cos (n ) ( x )=cos x +n π donc cos (n ) ( 0 ) =cos n π
2
2
k
(−1 )n 2n ∣x∣k +1
x ⩽
×1
De plus ∀ x ∈ℝ , ∣cos ( x )∣⩽1 donc : ∀ k ∈ℕ , ∀ x ∈ℝ , cos ( x ) −∑
( k +1 )!
n=0 ( 2 n )!
k
+∞
∣x∣k +1
(−1 )n 2n
(−1 )n 2n
∀ x ∈ℝ , lim
=0 , donc ∀ x ∈ℝ , lim cos ( x ) −∑
x =0 ainsi, cos ( x ) =∑
x
k →+∞ ( k +1 )!
k →+∞
n=0 ( 2 n )!
n=0 ( 2 n )!
(
∣
∣
)
( )
∣
∣
La démarche est analogue pour la fonction sinus, en sachant que : ∀ n ∈ℕ , sin (n ) ( 0 )=sin n π .
2
α
► Pour x → ( 1+ x ) .
α
α
La fonction f α : x → ( 1+x ) est de classe C∞ sur ] −1 ;+∞ [ car pour tout réel x >−1 , 1+x >0 donc ( 1+ x ) =e αln ( 1+ x )
( n)
α−n
( n)
De plus ∀ n ∈ℕ *, ( f α) ( x )=α ( α−1 ) … ( α−( n−1 ) ) ( 1+x )
donc ( f α) ( 0 )=α ( α−1 ) …( α− ( n−1 ) )
α− n
α−n
x >0 ⇒ sup ∣( 1+x ) ∣=( 1+0 ) =1
α− n
(
)
Si n >α alors la fonction x → 1+x
est décroissante sur ] −1 ;+∞ [ donc :
t ∈[ 0 ; x ]
α− n
α− n
−1< x<0 ⇒ sup ∣( 1+x ) ∣=( 1+x )
( )
{
∣
(
k
α
Pour tout entier k > α , ∀ x ∈ ] 0 ;+∞ [ , ( 1+x ) − 1+ ∑
n=1
t ∈[ x ;0 ]
)∣
∣x∣k +1
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) ) n
∣α ( α−1 ) … ( α−k )∣×1
x ⩽
( k +1 )!
n!
α ( α−1 ) … ( α−( n−1 ) ) ( α−n )
( n+1 )!
α ( α−1 ) … ( α−( n−1 ) ) ( α−n )
n!
α−n
Or ∀ n ∈ℕ ,
=
×
=
( n+1 )!
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) )
α ( α−1 ) … ( α−( n−1 ) )
n +1
n!
α−n
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) ) n
=1 donc la série entière ∑
Or, lim
x a pour rayon de convergence R=1
n!
n→+∞ n+1
+∞
∣x∣k +1
α ( α−1 ) …( α− ( n−1 ) ) n
∣α ( α−1 ) … ( α−k )∣=0 donc ∀ x ∈ [ 0 ;1 [ , ( 1+ x ) α =1 +∑
x
Ainsi, ∀ x ∈ ] 0 ;1 [ , lim
n!
k →+∞ ( k +1 )!
n=1
Remarque : si α<−1 alors cette égalité peut être prolongée en x=1 en appliquant le critère spécial des séries alternées
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) )
à la série ∑
qui est alternée à partir du rang n 0 =E ( α ) .
n!
n⩾1
(
)(
)
∣ ∣
∣
)∣
∣x∣k +1
α ( α−1 ) … ( α−( n−1 ) ) n
∣α ( α−1 ) …( α−k )∣×( 1+ x )α−(k +1 )
x ⩽
( k +1 )!
n!
n=0
k +1
∣α ( α−1 ) … ( α−k )∣
α ( α−1 ) … ( α−( n−1 ) ) n
x
α
x ⩽
×
×( 1 +x )
n!
x +1
( k+1 )!
(
k
α
Pour tout k > α , ∀ x ∈ ] −1 ; 0 [ , ( 1+x ) − 1+ ∑
∣
(
k
( 1+x ) α − 1+∑
Séries entières
n=0
)∣ ∣ ∣
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1
x
x k +1
<−1 (car x +1> 0 ) d'où : lim
=+∞
alors 2 x <−1 d'où x <−x −1 ainsi
2
x +1
k →+∞ x +1
Ici cette inégalité n'est pas suffisamment précise pour assurer la convergence désirée. L'égalité de Taylor-Lagrange avec
reste intégrale permet davantage de précision sous les même hypothèses que l'inégalité :
k
( )
(
)
b f k +1 ( t )
f n (a)
( b−a ) n=∫a
( b−t )k dt
f ( b )−∑
n!
k!
n=0
k
α−( k +1 )
x α ( α−1 ) …( α−k )( 1+t )
(
)
(
(
)
)
α α−1 … α− n−1 n
α
( x−t ) k dt
∀ x ∈ ] −1 ; 0 ] , ( 1 +x ) − 1+ ∑
x =∫0
n!
k
!
n=0
k
k
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) ) n α ( α−1 ) … ( α−k ) x
α
α−1 x−t
∀ x ∈ ] −1 ; 0 ] , ( 1 + x ) − 1+ ∑
x =
∫0 ( 1+ t ) 1+ t d t
n!
k!
n=0
k
x
α−1 x−t
dt dépend de la parité de l'entier k .
Ici, on a : −1< x⩽t ⩽0 donc x−t⩽0 donc le signe de ∫0 ( 1+t )
0< 1+t
1+t
k
k
x
0
α−1 x −t
α−1 x−t
(
1+t
)
dt
⩽
(
1+t
)
dt
∫0
∫x
1+t
1+t
x−t t−x
t−x
=
<−x d'où :
Or, pour −1< x⩽t ⩽0 ,
or −t > xt donc t <−xt ainsi t−x <−x−xt =−x ( 1+t ) donc
1+t
1+t
1+t
α 0
k
x
( 1+ x ) α
α−1 x −t
k 0
α−1
k ( 1+t )
k
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1+t
dt
⩽
−x
1+t
d
t=
−x
=
−x
1−
∫0
∫x
α x
α
1+t
k
( 1+ x )α
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) ) n ∣α ( α−1 ) …( α−k )∣
α
k
]
]
(
)
(
)
∀ x ∈ −1 ; 0 , 1+x − 1+ ∑
x ⩽
−x 1− α
n!
k!
n=0
α ( α−1 ) …( α−k )
D'après la règle de d'Alembert, la série ∑
a pour rayon de convergence R=1
k!
+∞
∣α ( α−1 ) … ( α−k )∣
α ( α−1 ) …( α−( n−1 ) ) n
k
α
(−x ) =0 donc ∀ x ∈ ]−1 ; 0 ] , ( 1+ x ) =1 +∑
x .□
donc ∀ x ∈ ]−1 ; 0 ] , lim
k →+∞
k!
n!
n=1
∣ ∣
Si −1< x <−
(
(
)
)
( )
( )
∣ ∣
{
∣
( ) ∣
∣ ∣
∣
( ) ∣
∣
[
]
(
)
)∣
(
(
)
Remarque : ces résultats peuvent aussi être démontrés à l'aide d'équations différentielles vérifiées par les séries entières :
y' ' =−y
y' ' =−y
y' = y sur ℝ
; y ( 0 ) =1 sur ℝ
; y ( 0 ) =0 sur ℝ
; ( 1+x ) y '=α y sur ] −1 ;+∞ [
y ( 0 )=1
y ( 0 )=1
y' ( 0 )=0
y' ( 0 )=1
{
{
Exemple : ∀ x ∈ ]−1; 1 [ ,
1
√ 1−x2
{
{
=…
n
Remarque :
Le produit d'entiers pairs consécutifs peut s'exprimer grâce aux factorielles :
∏ 2 k =2 n n!
k =1
n−1
Ainsi, le produit d'entiers impairs consécutifs donne :
∏ ( 2 k +1 ) =
k =0
( 2 n )!
n
∏ 2k
=
( 2 n)!
n
2 n!
k =1
Recherche de l'expression de la fonction somme d'une série entière du type
Soit P∈ℝk [ X ] et la série entière
∑ P ( n) x n
∑ P ( n) x n
Le rayon de convergence de cette série entière est égal 1 (cf critère d'équivalence puis règle de d'Alembert).
Le polynôme P ( X ) peut se décomposer dans la base B=( 1 ; X ; X ( X−1 ) ; …; X ( X−1 ) … ( X−( k−1 ) )) de ℝk [ X ] :
P ( X )=a 0 +a 1 X+a 2 X ( X−1 ) + …+a k X ( X−1 ) …( X−( k −1 ) )
Toutes les sommes manipulées étant convergentes pour x ∈] −1; 1 [ on a, par linéarité :
+∞
∑ P ( n ) x n =a 0
n=0
Séries entières
+∞
( ) (
∑ xn + a 1 x
n=0
+∞
)
∑ n xn−1 + …ak xk
n=1
11/13
+∞
(∑ n (n−1 )…( n−(k −1)) x )
n−k
n= k
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+∞
La fonction somme S: x → ∑ P ( n ) x n est définie sur ]−1 ; 1 [ et s'exprime à l'aide des dérivées successives de la somme
n=0
1
1−x
∀∈ ]−1 ;1 [ , S ( x )=a 0 f ( x ) +a 1 x f ' ( x ) +…+a k x k f ( k ) ( x )
de la série géométrique. Soit f : x→
Exemple : pour
∑ n2 x n …
n⩾0
Méthodes (non-exhaustives) permettant d'exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions de référence :
1) Le terme général contient-il une factorielle ?
2) Des dérivées ou primitives du terme général sont-elles proches du terme général d'une série de référence ?
3) Pour les séries lacunaires penser à
∑ a n x nq+r=x r ∑ a n ( x q)
n
1 qn
( )
4) Pour rendre une série lacunaire : si x⩾0 alors x n = x q
5) Pour séparer termes pairs et impairs :
n
n
n
1 qn
(
, si x <0 alors xn =(−1 ) (−x ) =(−1 ) (−x ) q
)
∑ a n x n=∑ a 2 n x2 n+∑ a 2 n+1 x2 n+1
6) Pour n'utiliser que les termes pairs ou que les termes impairs :
1
(
∑ a 2 n x2 n= 2 ∑ a n xn +∑ a n (−x )n
1
(
)
∑ a 2 n+1 x2 n+1= 2 ∑ a n xn−∑ a n (−x )n
)
7) Éventuellement, ajouter ou soustraire les premiers termes pour retrouver une série de référence.
Théorème : développement en séries de Taylor
Soit f une fonction développable en série entière au voisinage de 0 alors f est de classe C∞ au voisinage de 0 et
+∞
f ( n) ( 0 ) n
son développement en série entière est unique et donné par : f ( x ) =∑
x .
n!
n=0
+∞
Démonstration : soit ] −a ; a [ tel que ∀ x ∈ ]−a ; a [ , f ( x ) = ∑ a n xn alors :
n=0
f ( 0 )=a 0
+∞
f ' ( 0 ) =∑ n a n 0 n−1=a 1
n=1
⋮
+∞
f (k ) ( 0 ) =∑ n ( n−1 ) …( n− ( k−1 )) a n 0 n− k =k ×( k −1 ) …2×1×a k =k !×a k □
n=k
Exemple de code Python illustrant ce résultat au rang n=5 pour la fonction x →ln ( 1−x ) :
1
2
3
4
5
6
from sympy import *
x=symbols('x')
print(diff(ln(1-x),x,5).subs(x,0))
print((diff(ln(1-x),x,5).subs(x,0))/factorial(5))
pprint(series(ln(1-x),x,0,6))
La réciproque est fausse : une fonction de classe C∞ au voisinage de 0 n'est pas nécessairement développable en série
entière au voisinage de 0.
f ( 0 ) =0
1
Exemple : la fonction f définie sur ℝ par
−
x
f ( x )=e
si x≠0
{
2
Corollaire sur la parité
Soit f une fonction développable en série entière au voisinage de 0 en
∑ an x n
:
si la fonction f est paire alors ∀ k ∈ℕ , a 2 k + 1=0
si la fonction f est impaire alors ∀ k ∈ℕ , a 2 k =0
Séries entières
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Démonstration : soit f une fonction définie et développable en série entière sur un intervalle ] −a ; a [ .
Si f est paire alors ∀ x ∈ ]−a ; a [ , f (−x )= f ( x ) or f est de classe C∞ sur ] −a ; a [ donc :
k
∀ x ∈ ]−a ; a [ , ∀ k ∈ℕ , (−1 ) f ( k ) (− x ) = f ( k ) ( x ) en particulier − f ( 2k +1 ) (−x ) = f ( 2 k +1 ) ( x ) donc …
4. Exponentielle complexe
Définition de l'exponentielle complexe :
∀ ( x ; y ) ∈ℝ 2 , e x +iy ≝e x ( cos ( y ) +i sin ( y ) )
Remarque : ∀ ( x ; y ) ∈ℝ2 on a : e x+iy =ex ×eiy
Donc e x+i 0=e x et e0+iy =eiy
Propriétés de l'exponentielle complexe : soit z∈ℂ ,
Re ( e z )=…
donc e z =...
z
Im ( e ) =…
{
{∣arge ∣=…
(e )=…
z
z
e z +z' =…
1
=…
z
e
donc
k
Pour k ∈ℤ , ( e z ) =…
α
Pour α∈ℝ , en général, ( e z ) ≠e α z .
1
i2π 2
Exemple : ( e ) =…
e
i 2π
1
2
=…
Dérivation de l'exponentielle d'une fonction à valeurs complexes
Soit I un intervalle réel, et f : I→ℂ .
f (t )
Si f est dérivable sur I alors g :t → e f (t ) est dérivable sur I et ∀ t ∈I , g' ( t ) = f ' ( t ) e
( )
( )
Démonstration : soit a ( t )=Re ( f ( t ) ) et b ( t )=Im ( f ( t ) ) alors ( e a t )' =a' ( t ) ea t
( )
( )
et ( e i b t )' =( cos ( b ( t ) ) +i sin ( b ( t ) ))' =−b' ( t ) sin ( b ( t ) ) +i b' ( t ) cos ( b ( t ) )=i b' ( t ) ( cos ( b ( t ) ) +i sin ( b' ( t ) ))=i b' ( t ) e i b t
a ( t ) +i b ( t )
a (t )
i b( t )
a (t )
ib ( t )
a ( t)
ib ( t )
a ( t ) +ib ( t )
)' =( e ×e )' =a' ( t ) e ×e +e ×i b' ( t ) e =( a' ( t )+i b' ( t )) e
Donc ( e
□
Théorème : développement en série entière de l'exponentielle complexe
+∞
∀ z∈ℂ , ez =∑
n=0
1 n
z
n!
(−1 )n 2n +∞ (−1 ) n 2n+1
y +i ∑
y
n=0 ( 2 n ) !
n=0 ( 2 n+1 )!
n
n
2n
n
2 n+1
2 n+ 1
or ( i y ) =( i 2 ) y 2 n=(−1 ) y 2n et ( iy ) =i ( i 2 ) ( y )
+∞
+∞
1
1
2n
2 n+1
cos ( y ) +i sin ( y )=∑
( iy ) + ∑
( iy )
(
)
(
)
n=0 2 n !
n=0 2 n+1 !
+∞
1
n
Donc : cos ( y ) +i sin ( y )=∑ ( iy )
n!
n=0
n
+∞
+∞
1 n +∞ 1
1 k
1
x
( iy )n =∑ ∑
( iy )n−k
Soit ( x ; y ) ∈ℝ 2 , e ( cos ( y )+i sin ( y ) )=∑
x ×∑
x×
( n−k )!
n=0 n!
n=0 n!
n=0 k =0 k !
n
+∞
+∞
1
n!
1
x
Donc e ( cos ( y )+i sin ( y ) )=∑
∑ k !( n−k ) ! xk ( iy )n− k =∑ n! ( x+iy )n □
n!
n=0
k=0
n=0
+∞
1
n
Exemple : ∑ ×( 1+i ) =...
n=0 n!
+∞
Démonstration : soit y ∈ℝ , cos ( y ) +i sin ( y )=∑
(
(
Séries entières
)
)
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