Cours 7

Cours 7
Lignes de transmission et
antennes
Modele distribue
• On est habitue de parler des circuits
comme etant des composantes discretes
• On est capable d’identifier les
composantes
• Exemple:
Modele distribue
• On est capable de voir R, L et C
clairement
• Les elements sont connectes par les fils
• Les fils sont consideres comme des courts
circuits
• Si la tension ne change pas, la tension
d’un bord du fil est le meme que de l’autre
Modele distribue
• Imaginez un circuit BEAUCOUP plus gros
• Un R ici, un C a Montreal et un L a New
York
• En changeant la tension a l’entrée, C et L
n’auront pas la bonne tension avant Δt
• Dans ce cas, fil = court-circuit ne tient plus
Modele distribue
• En realite, les charges frappent la
structure atomique du conducteur
• Il y a ralentissement du deplacement
• Courant net diminue
• Il y a donc une resistance
Circuit
Quelconque
Modele distribue
• Un condensateur c’est 2 conducteurs
separes par un dielectrique
• Ca retient les charges et empeche la
tension de changer brusquement
• Un circuit a une entrée et une sortie
• La separation entre les fil est un
dielectrique
• Il y a donc capacite
Modele distribue
• En voici une illustration:
Conducteur
(entrée)
Isolant
Circuit
Quelconque
Conducteur
(ground)
Modele distribue
• Le courant fourni a un circuit doit retourner
a sa source (autre borne)
• Il y a formation d’une boucle
• Une boucle creee une inductance
Circuit
Quelconque
Modele distribue
• On est en train de dire que:
• Plusieurs personnes considerent un fil comme un
court-circuit
• En realite, ce n’est pas le cas
• Il y a R, L et C
• Comment sont connectes ces
composantes?
Modele distribue
• On va vouloir decomposer le fil en
tranches infiniment petites
• Chaque composante aura son R, L et C
• Pour garder les choses simples, on va
prendre un modele de base
• Chaque segment ressemblera a:
Ligne de transmission
• Un fil plus long ressemblerait a ceci:
• Si chaque tranche est infiniment mince, il y
en aura une infinite de ces blocs
• Analysons son comportement
• Pour simplifier les choses on neglige R
Ligne de transmission
• En appliquant une fonction echelon a
l’entrée,la source envoie un courant.
• Inductance: courant change lentement
• Condensateur: tension change lentement
• Difference potentiel entre 1er et 2e
condensateur cause courant…
Ligne de transmission
• Les etapes se resume a ceci:
•
•
•
•
•
•
Difference de potentiel cause un courant
Courant change lentement a cause de L
Courant augmente tension
Tension change lentement a cause de C
Ce phenomene se propage d’un LC a l’autre
POUR LIGNE INFINIE: propagation est infinie
• Pour ligne infinie, la source fournira
toujours un courant
Ligne de transmission
• La charge stockee dans 1er condensateur
est envoye dans le 2e
• La charge stockee dans le 2e est envoye
dans le 3e et ainsi de suite…
• La source sera toujours en train de
charger le 1er condensateur
• Son courant est donc considere constant
Ligne de transmission
Ligne de transmission
• La tension appliquee (V) est constante
• Le courant qui est tire de la source (I) est
constante.
• Ce courant depend de la valeur de L et C
V
• Ratio Z 0 = I est l’impedance
caracteristique de la ligne
• Est-ce que ca veut dire qu’en mesurant avec un
multimetre, j’obtiendrait Z0?
Ligne de transmission
• Premierement, la reponse c’est non.
• Allons voir pourquoi…
• Si j’appliquais 5v au bout d’un long cable,
la tension de l’autre cote serait 5v
• Le courant serait 0.
• Quand y a-t-il un courant? Quand il y a
CHANGEMENT de tension
• Dans mon exemple: fonction echelon.
Ligne de transmission
• Donc, en CHANGEANT la tension, j’aurai
un courant
• Ce courant depend de L et C du fil
• V/I donne l’impedance caracteristique
• Apres un certain temps, I=0.
• Donc, Z0 est observable seulement lors
d’une transition.
Ligne de transmission
• Conclusion non-evidente: si je fournis une
tension constante (V) qui tire un courant
constant (I), c’est COMME si j’avais une
resistance (V/I).
• Cette “resistance” est la resistance
caracteristique de la ligne.
• Resistance caracteristique depend des
proprietes physiques de la ligne.
Impedance caracteristique
• Pour des section infiniment petites, il y en
a une infinite
• Du premier element, il y en a infini a droite
• Du 2e element, il en a inifini a droite
Z0
Z0
Impedance caracteristique
• On pourrait simplement decrire ca de la
facon suivante:
Z0
⎛
⎞
⎜
⎟
1 ⎟
z 0 = sL + ⎜
⎜ 1
⎟
⎜ + sC ⎟
⎝ z0
⎠
Impedance caracteristique
• A force de jouer avec, on trouve:
Cz0 − sLCz0 − L = 0
2
• Pour trouver Z0, on utilise l’equation
quadratique:
sLC ±
(sLC )
2
2C
+ 4 LC
Impedance caracteristique
• On va commencer par dire quelque chose
d’evident:
a+b ≠ a + b
• Voyons comment ces 2 fonctions different
14
a+b=100
a=50
b=50
13
12
11
10
a=0
b=100
a=100
b=0
9
8
100 = 10
7
6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Impedance caracteristique
• On voit que, quand a et b sont proches,
l’erreur est le plus eleve
• Quand a >> b ou b >> a, l’erreur est
minimise
• Avec frequence elevee (s grand), (sLC)2
devient beaucoup plus gros que 4LC
sLC ±
(sLC )
2
2C
⎛⎜
sLC
±
+ 4 LC
⎝
≅
(sLC )2 +
2C
4 LC ⎞⎟
⎠
Impedance caracteristique
• On developpe un peu:
sLC ± (− sLC ) + 2 LC
2C
• Et on trouve l’impedance caracteristique
L
z0 =
C
Ligne de transmission
• 2 choses a retirer de cette discussion:
• Propriete d’un ligne: resistance caracteristique qui
depend de L et de C d’une tranche
• La tension dans un fil n’est pas necessairement
uniforme: ca prend du temps pour propager.
• Si la ligne n’est pas infinie, la resistance
caracteristique devient une propriete
TEMPORAIRE
• Quand le signal arrive au bout, c’est “fini”
Ligne de transmission
• Ce que “fini” veut dire (dans acetate
precedent) depend de la terminaison
• On considere 3 possibilites:
• Circuit ouvert
• Court circuit
• Resistance
Ligne de transmission
• Dans le cas d’un circuit ouvert,on voit
qu’on charge les condensateurs
sequentiellement
• Quand on arrive au bout, il n’y a qu’un
circuit ouvert
• Cependant, l’inductance envoie deja un
courant (il ne peut pas arreter rapidement)
• Tension momentanement plus eleve
Ligne de transmission
Ligne de transmission
• Puisqu’il est plus eleve il va tendre a
renvoyer un courant dans l’autre direction
• Les etapes suivies sont les memes
• Il y a donc ce qu’on appelle la reflection.
• De l’autre bord, il peut aussi avoir
reflection
• La valeur finale est la meme que sans
ligne de transmission avec circuit ouvert
Ligne de transmission
• Reflexion
Ligne de transmission
• Dans le cas d’un court-circuit, quelque
chose de semblable se produit
• Le signal se propage peu a peu en
passant par L et C.
• Rendu au bout, il y a court-circuit (V=0)
• Les condensateurs et inductances se
dechargent dans le court-circuit
• Le V=0 se propage vers la source
Ligne de transmission
0v
Ligne de transmission
• Meme quand le noeud “avant” l’inductance
devient 0, le courant continue a circuler
• C’est du a l’inertie du courant dans L
• La tension va donc continuer a chuter
SOUS 0.
• La tension negative va donc commencer a
se propager vers la source.
Ligne de transmission
• Prochain cas: presence d’une resistance
• La valeur de la resistance determine la
tension a la “sortie”.
Ligne de transmission
• Si la resistance est elevee, la tension sera
elevee (plus que VSOURCE)
• La tension causera un courant de reflexion
Ligne de transmission
• Si la resistance est faible, ca continuera a
tirer du courant et fera baisser la tension
• Baisse de tension se propage vers la
source
+
-
+
V
Ligne de transmission
• Si la resistance est a une valeur donnee,
la tension qui resulte de I*R donnera
VSOURCE
+
-
+
-
V
• Aucune reflexion
Ligne de transmission
• On applique une tension VSOURCE et ca tire
un courant constant.
• Ce courant constant est determine par Z0.
V
I=
Z0
• Ce courant se propage jusqu’au bout
• La tension developpee aux bornes de R
sera I*R.
Ligne de transmission
• Pour ne pas avoir de reflexion, il faut que
V=VSOURCE
• Pour que V=VSOURCE, il faut que
R*I=VSOURCE
• Pour que R*I=VSOURCE, il faut que R=Z0
• C’est pour ca qu’on a la regle:
• Pour avoir aucune reflexion, il faut “matcher” les
impedances
Ligne de transmission
• On sait qu’il y a un signal qui va vers la
droite (VDROITE)
• On sait aussi qu’il y a un signal reflechi
(VGAUCHE)
VGAUCHE
VDROITE
Ligne de transmission
• Rappelons-nous que la ligne est une serie
de L et C qui “tire” un certain courant
• Dans chaque section de LC, il y a un
courant du a VDROITE et un courant du a
VGAUCHE
• Ils vont dans des directions differentes et
donc, s’attaquent l’un a l’autre
Ligne de transmission
• Prenant le courant comme allant vers la
droite:
V −V
I=
D
G
Z0
• Ok, c’est bien mais ca ne nous dit rien…
• Ecrivons une autre equation: au bout du
fil.
• Quel courant ira dans la resistance?
Ligne de transmission
• La tension a ce noeud est egal a VD+VG:
VD + VG
I=
ZL
• C’est le meme courant qui parcourt le fil,
on rend les 2 equations egales:
VD − VG VD + VG
=
Z0
ZL
Ligne de transmission
• On va definir le coefficient de reflexion
comme etant la tension reflechie SUR la
tension envoyee:
VG
Γ=
VD
Ligne de transmission
• Manipulons notre derniere equation pour
retrouver ce coefficient:
VG (Z L − Z 0 )
Γ=
=
VD (Z 0 + Z L )
• Ca indique clairement que si les
impedances sont egales, il n’y a pas de
reflexion.
Ligne de transmission
• La meme regle s’applique a la source
aussi.
• Il faut donc que:
0
0
0
Ligne de transmission
• La reflexion du au mesappariment
d’impedances est presente dans tout
circuit
• Je n’ai jamais vu ca… pourquoi?
• La reflexion est bien observable quand
elle se produit apres une grosse transition.
Ligne de transmission
• Quand ca reflechit plusieurs fois durant
une transition, les effets sont minimes
Ligne de transmission
• Quand la montee est plus rapide, les
reflexions se produisent moins souvent
• Effets plus prononces
t
t
t
Ligne de transmission
• Les conditions pour que ca arrive:
• Vitesse transition tres rapide ET/OU
• Lignes tres longues
• C’est relatif
• Si fil tres long et vitesse lente, peut-etre il y aura
reflexion.
• Si vitesse tres rapide et fil court, il n’y aura peutetre pas de reflexion.
Note
• Tout mesappariement d’impedance peut
causer une reflexion:
Discontinuite (non 50Ω)
• Une connexion doit etre bien faite, sinon, il
peut y avoir mesappariement et reflexion.
Antennes
• Les lignes de transmission sont des longs
fils qui ne se comportent pas comme les
fils dans un circuit.
• Ils ont des proprietes comme le delai de
transport qu’on neglige avec les circuits
• Une autre propriete des long fils, c’est
qu’ils sont des antennes
• C’est-a-dire, qu’ils emettent des ondes
Retour a l’electromagnetisme
• Commencons par une charge:
• On met 2 charges dans une meme region et il y a
une force
• Meme signe: se repoussent
• Different signe: s’attirent
Retour a l’electromagnetisme
• Donc, quand il y a 2 charges, il y a une
force (repulsion ou attraction)
• Quand il n’y a qu’UNE charge, il y a un
1
champ electrique Eα R 2
• Des qu’il y a une 2e charge, il y aura
champ ET force.
+
Retour a l’electromagnetisme
• Un dipole, c’est 2 charges de meme taille
mais de signe oppose
1
• Le champ electrique Eα 3
R
• Tres loin, les distances sont presque les
memes. Les champs s’annulent
E+
E-
+
-
Retour a l’electromagnetisme
• Imaginons un dipole qui change de signe
avec une frequence w
• Les ondes se deplacent a 3x108m/s (vide)
• Sin(wt) arrive avant –sin(wt)
• Sin(wt) arrive en meme temps que
–sin(wt+Δt): s’annule pas.
E+(t)
sin(wt)
1
Eα
R
-sin(wt)
E-(t-Δt)
Retour a l’electromagnetisme
1
Eα 2
R
• Une charge a un champ qui est
• En utilisant un dipole, mon champ se rend
1
moins loin Eα R 3
• En utilisant un dipole qui oscille on se rend
plus loin Eα 1
R
• On va utiliser ce principe pour envoyer les
ondes radio
Champ variable
• Une autre facon de le voir c’est ceci:
• Un changement en champ electrique va generer
un changement en champ magnetique
• Un changement en champ magnetique va aussi
generer un changement en champ electrique
• Sous certaines conditions, ce cycle va s’automaintenir et se propager dans l’espace
Champ variable
• Pensez a ce dipole
• On a dessine les lignes de champ
electrique
-
+
Champ variable
• Si on chageait les charges de place, on
aurait le champ suivant:
+
-
Champ variable
• Le champ ne change pas instantanement
• Ca prend du temps.
• Exterieur: vieux champ
• Interieur:nouveau champ
Quand c’est proche, le
Champ change plus rapidement
Vieux champ
Zone ou ne n’est
pas trop sur
Champ variable
• Faraday dit que les lignes de champs ne
peuvent pas se croiser.
• Une possibilite:
Analogie
• Les anneaux qu’on trempe dans du savon
• Un filme se colle aux parois
• En soufflant dessus, on forme une bulle
qui s’envole.
Dephasage et radiation
• La derniere facon de voir ca.
• On a une source, une ligne de
transmission (sans R) et un condensateur
• Quelle est la puissance dissippee?
Dephasage et radiation
• On trace la tension et le courant
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
• On trace P=VI
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Dephasage et radiation
• La moyenne est de 0.
• On fournit de la puissance durant un cycle
• Le condensateur nous redonne l’energie au
prochain cycle
• Dephasage 90 degres entre I et V.
• C’est bien connu… un condensateur ne
dissipe pas de puissance et on s’attendait
a ca…
Dephasage et radiation
• Le courant depend de la difference de
potentiel d’un bord du fil et de l’autre
• Quand la ligne de transmission est plus
longue, la source ne connait pas la tension
de l’autre bord avant un certain temps
• Le “bon” courant sera seulement applique
apres un certain temps.
• Decalage n’est plus 90 degres.
Dephasage et radiation
• Quand le decalage n’est plus 90 degres, la
moyenne de puissance n’est plus 0.
• Il commence donc a y avoir dissipation.
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Dephasage et radiation
• Rien ne se perd, rien ne se cree…
• La puissance dissipee dans une
resistance devient de l’energie thermique
• La puissance dissipee dans une ligne de
transmission irradie et est transportee
• Plus dephasage => Plus dissipation
• Plus dissipation => plus energie irradiee
Dephasage et radiation
• Pour avoir une bonne radiation, il faut gros
dephasage
• Pour gros dephasage, il faut que le fil soit
long OU que la vitesse soit rapide
• Que veut dire “long” fil?
• Que veut dire signal “vite”?
• Il faut quantifier…
Dephasage et radiation
• La vitesse dans une ligne de transmission
depend de la permittivite (ε)et de la
permeabilite(μ) de la region.
• Meme si c’est simple, on va simplifier
encore plus: un signal va se deplacer a la
vitesse de la lumiere 3x108m/s
Dephasage et radiation
• Je genere un signal de 1MHz
• Ca me prend 1μs pour finir de generer un
cycle du signal
• Si le fil etait tres court, le dephasage entre
I et V sera de 90 degres
• Si le fil etait de 10m, le signal prendra
10m/(3x108m/s)=33ns avant de se rendre
Dephasage et radiation
• La delai entre la source et le bout du fil
sera de 33ns
• Si on exprimait ca en termes de
dephasage, ce serait 0.207radians
• Si mon fil etait de 300m, le delai serait de
1μs, ce qui correspond au temps pour finir
de generer un cycle
• 300m est la longueur d’onde de 1MHz.
Dephasage et radiation
• C’est-a-dire, j’envoie des charges dans un
fil pour generer une tension de 1MHz.
• Quand j’ai fini de generer un cycle, je
regarde ou est rendu ma premiere charge
• Cette distance est la longueur d’onde
λ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Dephasage et radiation
• Pour avoir un “bon” dephasage, il faut que
l’antenne soit une bonne partie de l
• On parle souvent de λ/2 ou λ/4, selon les
antennes.
• Pour envoyer un signal AM a 1MHz, il faut
que l’antenne soit de λ/2, ou 150m.
Dephasage et radiation
• N’importe quelle longueur et n’importe
quelle frequence peut irradier
• Pour effet significatif, il faut λ/2 ou λ/4
• Sinon, il faudrait etre proche de la source
puisque la puissance n’est pas grande.
• Plus la frequence est elevee, moins
l’antenne a besoin d’etre grande
Dephasage et radiation
• Calculez la longueur d’antenne requise
pour FM a 100MHz.
• Vitesse= 3x108m/s
• Periode=10x10-9s
• Longueur d’onde=3m
• Antenne de 1.5m est suffisant.
Dephasage et radiation
• Conception d’antennes: un domaine en soi
• On concoit pour
•
•
•
•
Direction de propagation
Angle de propagation
Gain
Etc.
• Certains types n’ont pas besoin d’autant
de fil…