Mouvement dans un champ de force newtonien

Mouvement dans un champ de force newtonien
MPSI
24 mars 2009
Table des mati`eres
1 Champ de force newtonien 3
1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2´ Etude ´energ´etique 4
2.1 ´ Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Graphe d’´energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3´ Equation du mouvement 6
3.1 Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 1`ere formule de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.2 2nde formule de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.3 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.4 Conservation de l’´energie m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Vecteur de Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Int´egrale 1`ere de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Coniques 10
4.1 Cercle (e= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Ellipses (0 ≤e < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Parabole (e= 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Hyperboles (e > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Lois de Kepler 17
Table des figures
1 Force attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Force r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Inclinaison de la conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Ellipse inclin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Hyperbole ”attractive” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1

8 Hyperbole ”r´epulsive” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
R´ef´erences :
– Mouvement `a force centrale (Wikip´edia)
– Mouvement `a force centrale (Webphysique)
– Mouvement `a force centrale (Techno-Science)
– Mouvement `a force centrale (Universit´e le Mans - Laval)
– Ellipse
– Parabole
– Hyperbole
Sources :
– http ://www.ac-nice.fr/massena/V1/FRANCAIS/PEDAGO/CPGE-MPSI/MPSI 831/Cours/Forces centrales/
– http ://www.ac-nice.fr/massena/V1/FRANCAIS/PEDAGO/CPGE-MPSI/MPSI 831/Cours/Forces centrales/Cours.pdf
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1 Champ de force newtonien
1.1 D´efinition
Un champ de force newtonien est une force de la forme :
~
F(r) = K
r2~ur“r=OM, ~ur=~
OM
OM ”
La constante Kest n´egative pour une force attractive ou positive pour une force r´epulsive.
O M O M
Force attractive Force r´epulsive
Electrostatique Gravitation
K=Qq
4πǫ0
K=−GMm
La forme ci-dessous est quelquefois employ´ee :
~
F(M) = K~
OM
OM 3
1.2 Propri´et´es
C’est une force centrale de centre O, dont l’intensit´e est inversement proportionnelle `a la distance au carr´e.
Cette force est conservative, elle d´erive d’une ´energie potentielle inversement proportionnelle `a la distance.
Ep(r) = K
r(origine prise `a l’infini)
D´emonstration :
δW =~ F . ~ dM =K
r2~ur.d (r ~ur) = K r2~ur.(dr ~ur+rd ~ur) = K r2~ur.dr ~ur=K r2dr =−dK r+cst.
1.3 Constantes du mouvement
Comme la force est centrale, le mouvement est plan et v´erifie la loi des aires.
Il y a conservation du moment cin´etique :
Lo=k~ OM ∧m~vk=mC =cst.
Comme la force est conservative, l’´energie m´ecanique se conserve :
Em=1
2mv2+K r=cst.
Pour toute la suite de ce cours, comme le mouvement est plan, le plan (Oxy) sera pris comme plan du mouvement.
Le point mat´eriel Mpourra alors ˆetre rep´er´e par ses coordonn´ees polaires (ρ, φ) ou (r, θ).
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2´ Etude ´energ´etique
2.1 ´ Energie potentielle effective
Dans le syst`eme de coordonn´ees polaires, l’´energie cin´etique se d´ecoupe en deux parties :
Ec=1
2mv2=1 2m˙ρ2+ρ2˙
φ2
La loi des aires permet d’´ecrire :
C=ρ2˙
φ⇒˙ φ=C
ρ2
La vitesse angulaire de rotation est d’autant plus forte que le mobile est proche du centre.
En faisant disparaˆıtre la vitesse angulaire de l’´equation de l’´energie cin´etique, on obtient :
Ec=1
2mv2=1 2m˙ρ2+C2 ρ2=1 2m˙ρ2+mC2 2ρ2
Le premier terme est l’´energie cin´etique d’´eloignement ou de rapprochement, le second terme est l’´energie
cin´etique de rotation. Il suffit maintenant d’ajouter l’´energie potentielle pour obtenir l’energie m´ecanique :
Em=1
2m˙ρ2+mC2 2ρ2+K ρ
L’´energie cin´etique de rotation se rajoute `a l’´energie potentielle pour former l’´energie potentielle effective :
Epeff (ρ) = mC2
2ρ2+K ρ=L2
o
2mρ2+K ρ
L’´etude qualitative se ram`ene `a celle d’un mouvement `a un degr´e de libert´e :
Em=1
2m˙ρ2+Epef f (ρ)
Il ne reste qu’a ´etudier le graphe de l’´energie potentielle effective.
2.2 Graphe d’´energies
Il faut distinguer le cas d’une force attractive (K < 0) de celui d’une force r´epulsive (K > 0).
Pour une energie m´ecanique donn´ee (sup´erieure au minimum de l’´energie potentielle effective), on trouve un ou
deux points de rebroussement.
– avec un seul point de rebroussement, la distance ρest minor´ee mais non major´ee, c’est un ´etat libre.
– avec deux points de rebroussement, la distance ρest minor´ee et major´ee donc born´ee, c’est un ´etat li´e.
Pour une force attractive :
– les ´etats d’´energie m´ecanique n´egative sont dits li´es
– les ´etats d’´energie m´ecanique positive sont dits libres (ou de diffusion)
Pour une force r´epulsive :
– tous les ´etats sont libres, l’´energie m´ecanique est strictement positive
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ρ
Epeff (ρ)
min(Epeff (ρ))
ρ0
Etats libres (Em>0)
Etats li´es (Em<0)
ρmin ρmax
Fig. 1 – Force attractive
ρ
Epeff (ρ)
Etats libres (Em>0)
ρmin
Fig. 2 – Force r´epulsive
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