Mouvement dans un champ de force newtonien

Mouvement dans un champ de force newtonien
MPSI
24 mars 2009
Table des matières
1 Champ de force newtonien
3
1.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Étude énergétique
4
2.1
Énergie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Graphe d’énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Équation du mouvement
3.1
Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
6
1
ère
formule de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1.2
2
nde
formule de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1.3
Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.4
Conservation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Vecteur de Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1.1
3.2
6
Intégrale 1
ère
de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Coniques
9
10
4.1
Cercle (e = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2
Ellipses (0 ≤ e < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3
Parabole (e = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4
Hyperboles (e > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Lois de Kepler
17
Table des figures
1
Force attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Force répulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3
Inclinaison de la conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4
Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5
Ellipse inclinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6
Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7
Hyperbole ”attractive” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
8
Hyperbole ”répulsive” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Références :
–
–
–
–
–
–
–
Mouvement
Mouvement
Mouvement
Mouvement
Ellipse
Parabole
Hyperbole
à
à
à
à
force
force
force
force
centrale
centrale
centrale
centrale
(Wikipédia)
(Webphysique)
(Techno-Science)
(Université le Mans - Laval)
Sources :
– http ://www.ac-nice.fr/massena/V1/FRANCAIS/PEDAGO/CPGE-MPSI/MPSI 831/Cours/Forces centrales/
– http ://www.ac-nice.fr/massena/V1/FRANCAIS/PEDAGO/CPGE-MPSI/MPSI 831/Cours/Forces centrales/Cours.pdf
2
1
1.1
Champ de force newtonien
Définition
Un champ de force newtonien est une force de la forme :
K
F~ (r) = 2 u~r
r
“
~
r=OM,u~r = OM
OM
”
La constante K est négative pour une force attractive ou positive pour une force répulsive.
O
M
O
M
Force répulsive
Force attractive
Electrostatique
Qq
K=
4πǫ0
Gravitation
K = −GM m
La forme ci-dessous est quelquefois employée :
~
OM
F~ (M ) = K
OM 3
1.2
Propriétés
C’est une force centrale de centre O, dont l’intensité est inversement proportionnelle à la distance au carré.
Cette force est conservative, elle dérive d’une énergie potentielle inversement proportionnelle à la distance.
Ep (r) =
Démonstration :
~ = K2 u~r .d (ru~r ) =
δW = F~ .dM
r
1.3
K
~r . (dru~r
r2 u
K
r
+ rdu~r ) =
(origine prise à l’infini)
K
~r .dru~r
r2 u
=
K
r 2 dr
= −d
K
r
+ cst.
Constantes du mouvement
Comme la force est centrale, le mouvement est plan et vérifie la loi des aires.
Il y a conservation du moment cinétique :
~ ∧ m~v k = mC = cst.
Lo = kOM
Comme la force est conservative, l’énergie mécanique se conserve :
Em =
1
K
mv 2 +
= cst.
2
r
Pour toute la suite de ce cours, comme le mouvement est plan, le plan (Oxy) sera pris comme plan du mouvement.
Le point matériel M pourra alors être repéré par ses coordonnées polaires (ρ, φ) ou (r, θ).
3
2
2.1
Étude énergétique
Énergie potentielle effective
Dans le système de coordonnées polaires, l’énergie cinétique se découpe en deux parties :
Ec =
La loi des aires permet d’écrire :
1 1
mv 2 = m ρ̇2 + ρ2 φ̇2
2
2
C = ρ2 φ̇ ⇒ φ̇ =
C
ρ2
La vitesse angulaire de rotation est d’autant plus forte que le mobile est proche du centre.
En faisant disparaı̂tre la vitesse angulaire de l’équation de l’énergie cinétique, on obtient :
1
1
C2
mC 2
1
2
2
Ec = mv = m ρ̇ + 2 = mρ̇2 +
2
2
ρ
2
2ρ2
Le premier terme est l’énergie cinétique d’éloignement ou de rapprochement, le second terme est l’énergie
cinétique de rotation. Il suffit maintenant d’ajouter l’énergie potentielle pour obtenir l’energie mécanique :
Em =
K
mC 2
1
+
mρ̇2 +
2
2
2ρ
ρ
L’énergie cinétique de rotation se rajoute à l’énergie potentielle pour former l’énergie potentielle effective :
Ep ef f (ρ) =
mC 2
K
K
L2o
+
+
=
2
2
2ρ
ρ
2mρ
ρ
L’étude qualitative se ramène à celle d’un mouvement à un degré de liberté :
Em =
1
mρ̇2 + Ep ef f (ρ)
2
Il ne reste qu’a étudier le graphe de l’énergie potentielle effective.
2.2
Graphe d’énergies
Il faut distinguer le cas d’une force attractive (K < 0) de celui d’une force répulsive (K > 0).
Pour une energie mécanique donnée (supérieure au minimum de l’énergie potentielle effective), on trouve un ou
deux points de rebroussement.
– avec un seul point de rebroussement, la distance ρ est minorée mais non majorée, c’est un état libre.
– avec deux points de rebroussement, la distance ρ est minorée et majorée donc bornée, c’est un état lié.
Pour une force attractive :
– les états d’énergie mécanique négative sont dits liés
– les états d’énergie mécanique positive sont dits libres (ou de diffusion)
Pour une force répulsive :
– tous les états sont libres, l’énergie mécanique est strictement positive
4
Ep ef f (ρ)
Etats libres (Em > 0)
ρmin
ρ0
ρmax
ρ
Etats liés (Em < 0)
min(Ep ef f (ρ))
Fig. 1 – Force attractive
Ep ef f (ρ)
Etats libres (Em > 0)
ρmin
ρ
Fig. 2 – Force répulsive
5
3
Équation du mouvement
Plusieurs méthodes permettent de démontrer que les trajectoires, dans un champ de force newtonien, sont des
coniques. Aucune n’est exigible.
3.1
Formules de Binet
Pour obtenir l’équation de la trajectoire en ρ = ρ(φ) ou r = r(θ), il faut éliminer le temps des équations du
mouvement.
3.1.1
1ère formule de Binet
Dans le système de coordonnées polaires, la norme de la vitesse (au carré) est donnée par :
v 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2
La loi des aires permet d’écrire :
C = ρ2 φ̇ ⇒ φ̇ = C/ρ2
En faisant disparaı̂tre la vitesse angulaire de l’équation précédente, on obtient :
v 2 = ρ̇2 + C 2 /ρ2
Il ne reste plus qu’à utiliser la règle de dérivation des fonctions composées :
ρ̇ =
dρ
d
dρ dφ
dρ C
= −C
=
=
dt
dφ dt
dφ ρ2
dφ
1
= −Cu′
ρ
Pour obtenir, la 1ère formule de Binet :
2
v 2 = C 2 u′ + u2
(u= ρ1 )
3.1.2
2nde formule de Binet
Dans le système de coordonnées polaires, le vecteur accélération est donné par :
~a = ρ̈ − ρφ̇2 ~uρ + 2ρ̇φ̇ + ρφ̈ ~uφ
Le second terme est nul car le mouvement est à accélération centrale.
La loi des aires permet d’écrire :
C = ρ2 φ̇ ⇒ φ̇ = C/ρ2
En faisant disparaı̂tre la vitesse angulaire de l’équation précédente, on obtient :
~a = ρ̈ − C 2 /ρ3 ~uρ
Il ne reste plus qu’à utiliser la règle de dérivation des fonctions composées :
ρ̈ =
dρ̇
dρ̇ dφ
du′ C
= −C 2 u” u2
=
= −C
dφ
dφ dt
dφ ρ2
On obtient alors la 2nde formule de Binet :
~a = −C 2 u2 u” + u ~uρ
6
(u= ρ1 )
3.1.3
Relation fondamentale de la dynamique
On applique la seconde loi de Newton à un point matériel soumis à un champ de force newtonien, dans un
référentiel supposé galiléen.
K
m~a = F~ (r) = 2 u~r
r
Puis, on utilise la 2nde formule de Binet, en se plaçant dans le système de coordonnées polaires :
K
−mC 2 u2 u” + u ~uρ = F~ (ρ) = 2 u~ρ = Ku2 u~ρ
ρ
Il suffit alors de simplifier par u2 des deux cotés de l’équation pour obtenir celle d’un oscillateur harmonique :
u” + u = −
K
mC 2
La solution générale est de la forme :
u(φ) = −
K
+ A cos (φ − φi ) = 1/ρ(φ)
mC 2
En inversant, on obtient :
ρ(φ) =
−
mC 2
K
1
=
K
AmC 2
+
A
cos
(φ
−
φ
)
−
cos (φ − φi )
1−
i
2
mC
K
La forme finale est alors :
ρ(φ) = −sgn(K)
p
1 − e cos (φ − φi )
Avec l’expression du paramètre p :
p=
mC 2
|K|
Le signe de l’excentricité e ou le signe devant le terme en cosinus peut être arbitrairement choisi en modifiant
l’angle φi de 180˚ :
ρ(φ) = −sgn(K)
p
p
= −sgn(K)
1 − e cos (φ − φi )
1 + e cos (φ − φi ± π)
Le signe de K permet de séparer les cas d’une force attractive et d’une force répulsive.
– Force attractive :
ρ(φ) =
p
1 − e cos (φ − φi )
ρ(φ) =
p
e cos (φ − φi ) − 1
– Force répulsive :
7
3.1.4
Conservation de l’énergie mécanique
L’expression de l’énergie mécanique a été démontrée au chapitre précédent :
Em =
K
1
mv 2 +
2
r
On utilise la 1ère formule de Binet, en se plaçant dans le système de coordonnées polaires :
Em =
2
2
2K
1
2Em
u=
mC 2 u′ + u2 + Ku =⇒ u′ + u2 +
2
2
mC
mC 2
On essaie de faire apparaı̂tre un carré parfait :
2K
u +
u=
mC 2
2
2
K
K2
u+
−
mC 2
m2 C 4
On obtient alors l’équation suivante :
2
2
2Em
K2
K
=
+
u′ + u +
mC 2
mC 2
m2 C 4
En dérivant une fois cette équation par rapport à φ, on retrouve celle d’un oscillateur harmonique :
K
K
”
= 0 =⇒ u” + u = −
2u u + u +
2
mC
mC 2
′
La solution générale est de la forme :
u(φ) = −
K
+ A cos (φ − φi ) = 1/ρ(φ)
mC 2
Mais cette fois, en injectant cette solution dans l’expression de l’énergie mécanique, on obtient une expression
pour la constante A :
A2 =
2Em
K2
+
mC 2
m2 C 4
En inversant, on obtient :
ρ(φ) =
−
mC 2
K
1
=
K
AmC 2
−
+
A
cos
(φ
−
φ
)
cos (φ − φi )
1
−
i
mC 2
K
La forme finale est alors :
ρ(φ) = −sgn(K)
p
1 − e cos (φ − φi )
Avec l’expression de l’excentricité e et du paramètre p :
e2 = 1 +
2mC 2
Em
K2
p=
mC 2
|K|
Le signe de l’excentricité e ou le signe devant le terme en cosinus peut être arbitrairement choisi en modifiant
l’angle φi de 180˚ :
ρ(φ) = −sgn(K)
p
p
= −sgn(K)
1 − e cos (φ − φi )
1 + e cos (φ − φi ± π)
Le signe de K permet de séparer les cas d’une force attractive et d’une force répulsive.
8
– Force attractive :
ρ(φ) =
p
1 − e cos (φ − φi )
ρ(φ) =
p
e cos (φ − φi ) − 1
– Force répulsive :
3.2
Vecteur de Runge-Lenz
On démontre que le vecteur de Runge-Lenz est constant :
~ = ~p ∧ L
~ o − m|K|~uρ
A
En projetant ce vecteur sur le vecteur ~uρ , on récupère l’équation de la conique.
On utilise quelquefois le vecteur excentricité :
~e =
3.3
~
A
1
~ o − ~uρ
=
p~ ∧ L
m|K|
m|K|
Intégrale 1ère de Laplace
On démontre que le vecteur intégrale 1ère de Laplace est constant :
~ = Lo ~v − ~uφ
H
|K|
En projetant ce vecteur sur le vecteur ~uφ , on récupère l’équation de la conique.
Cette propriété vient du fait que l’hodographe de la trajectoire est un cercle :
~ + cst.~uφ
~v = cst.
9
4
Coniques
Nous avons démontré que, dans un champ de force newtonien, un point matériel suivait une trajectoire plane
dont l’équation en coordonnées polaires est donnée par :
ρ(φ) = −sgn(K)
e2 = 1 +
p
1 − e cos (φ − φi )
2mC 2
Em
K2
p=
mC 2
|K|
Il s’agit de l’équation d’une conique donnée en coordonnées polaires avec l’origine au foyer.
Pour une force attractive :
– les états d’energie mécanique négative sont dits liés : 0 ≤ e < 1
– les états d’energie mécanique positive sont dits libres (ou de diffusion) : e ≥ 1
Pour une force répulsive :
– tous les états sont libres, l’energie mécanique est strictement positive : e > 1
Les cas e = 0, 0 ≤ e < 1 et e = 1 ne sont envisageables que pour une force attractive.
L’angle φi représente l’inclinaison du grand axe de la conique par rapport à l’axe (Ox) choisi comme origine
des angles. En définissant un nouvel axe (Ox′ ) comme origine de l’angle φ′ = φ − φi , il est toujours possible de
se ramener au cas φi = 0.
M
φ′ = φ − φi
x′
φ
φi
O
Fig. 3 – Inclinaison de la conique
10
x
4.1
Cercle (e = 0)
L’équation se simplifie et devient : ρ(φ) = p = a = b = c = R
Le mouvement est circulaire uniforme.
En fait, pour un mouvement vérifiant la loi des aires, on a toujours l’équivalence :
circulaire ⇔ uniforme
Au niveau du graphe d’énergies, on se situe au minimum de l’énergie potentielle effective :
K2
Em = min Ep ef f (ρ) = −
2mC 2
On retrouve rapidement le contenu du tableau ci-dessous en écrivant la 2nde loi de Newton pour un mouvement
circulaire uniforme :
|K|
V2
= 2
m~a = F~ =⇒ m
R
R
Grandeur physique
V
ω = V /R
T =
2π
ω
T 2 /R3
C = RV
Lo = mC
Ec = 12 mV 2
K
Ep =
R
Em = Ec + Ep
Valeur
rconstante
|K|
r mR
|K|
3
mR
s
mR3
2π
|K|
4π 2 m
r|K|
|K|R
p m
m|K|R
|K|
2R
|K|
−
R
|K|
−
2R
Tab. 1 – Constantes du mouvement
On remarquera la distribution particulière de l’énergie : Ec = −Em et Ep = 2Em
Cette distribution justifie, par exemple, qu’un satellite freiné par les hautes couches de l’atmosphère, accélère !
En fait, la force de frottement lui fait perdre de l’énergie mécanique, mais il gagne de l’énergie cinétique car il
perd deux fois plus d’énergie potentielle en chutant.
Il est utile de comparer cette distribution à celle d’une oscillateur harmonique pour lequel, il y a équipartition
de l’énergie : hEc i = hEp i = Em /2
11
4.2
Ellipses (0 ≤ e < 1)
L’équation du mouvement en coordonnées polaires est donnée par :
ρ(φ) =
p
1 − e cos (φ − φi )
Pour une ellipse, on démontre les relations suivantes :
ρmax =
ρmin =
p
1−e
p
1+e
ρ⊥ = p
c = ρc =
φmin = φi
φmin = φi + π
φ⊥ = φi ±
π
2
pe
ρmax − ρmin
=
2
1 − e2
a=
b=
φc = φi
p
ρmax + ρmin
=
2
1 − e2
p
p
a 2 − c2 = √
1 − e2
e=
c
a
p=
b2
a
Le mouvement est non circulaire et non uniforme : la vitesse du mobile décroı̂t quand il s’éloigne et croit quand
il se rapproche du centre attracteur.
En fait, pour un mouvement vérifiant la loi des aires, on a toujours l’équivalence :
non circulaire ⇔ non uniforme
Au niveau du graphe d’énergies, on se situe entre le minimum de l’énergie potentielle effective et l’énergie
mécanique nulle :
K2
≤ Em < 0
min Ep ef f (ρ) = −
2mC 2
Par rapport au mouvement circulaire, le constantes du mouvement sont moins nombreuses : l’énergie mécanique,
le moment cinétique (cst. des aires) et la période de révolution.
Grandeur physique
2
T /a
3
~ ∧ ~v k
C = kOM
Lo = mC
Em = Ec + Ep
Valeur constante
4π 2 m
r|K|
|K|p
p m
m|K|p
|K|
−
2a
Tab. 2 – Constantes du mouvement
12
ρmax
ρmin
a
a
b
p
p
c = ρc
b
Fig. 4 – Ellipse
ρmax
a
b
ρmin
p
a
p
c = ρc
φi
Fig. 5 – Ellipse inclinée
13
b
Démonstrations
– Période de révolution :
L’aire de l’ellipse est donnée par S = πab. La vitesse aréolaire est donnée par :
C
S
πab
2πab
4π 2 a2 b2
4π 2 a3 p
4π 2 a3 m
dA
=
=
=
=⇒ T =
=⇒ T 2 =
=
=
2
2
dt
2
T
T
C
C
C
|K|
– Énergie mécanique :
p=
4.3
mC 2
|K|
e2 = 1 +
|K| 2
|K|
K2
2mC 2
e −1 =−
E
=⇒
E
=
e2 − 1 =
m
m
K2
2mC 2
2p
2a
Parabole (e = 1)
L’équation du mouvement en coordonnées polaires est donnée par :
ρ(φ) =
p
1 − cos (φ − φi )
Pour une parabole, on démontre les relations suivantes :
ρmin =
p
2
ρ⊥ = p
φmin = φi + π
φ⊥ = φi ±
π
2
Le mouvement est non circulaire et non uniforme : la vitesse du mobile décroı̂t quand il s’éloigne et croit quand
il se rapproche du centre attracteur.
La vitesse tend asymptotiquement vers zéro quand la distance tend vers l’infini : ”le mobile s’arrête à l’infini”.
Au niveau du graphe d’énergies, l’énergie mécanique est nulle :
Em = 0
Pour retrouver l’équation de la parabole en coordonnées cartésiennes, il suffit de partir de l’équation en coordonnées polaires en supposant la conique non inclinée :
ρ(φ) =
p
=⇒ ρ = p + ρ cos φ =⇒ ρ2 = p2 + 2pρ cos φ + ρ2 cos2 φ
1 − cos φ
x2 + y 2 = p2 + 2px + x2 =⇒ y 2 = p2 + 2px =⇒ x =
ρmin =
p
2
π
4
p
p
Fig. 6 – Parabole
14
1 2 p
y −
2p
2
4.4
Hyperboles (e > 1)
L’équation du mouvement en coordonnées polaires est donnée par :
– Force attractive :
p
1 − e cos (φ − φi )
ρ(φ) =
ρmin =
p
1+e
φmin = φi + π
ρ⊥ = p
φ⊥ = φi ±
π
2
– Force répulsive :
ρ(φ) =
p
e cos (φ − φi ) − 1
p
φmin = φi
e−1
Pour les deux types d’hyperbole, on démontre les relations suivantes :
ρmin =
c=
a=
b=
pe
−1
e2
p
e2 − 1
p
p
c2 − a 2 = √
e2 − 1
e=
c
a
p=
b2
a
Le mouvement est non circulaire et non uniforme : la vitesse du mobile décroı̂t quand il s’éloigne et croit quand
il se rapproche du centre attracteur, c’est exactement le contraire avec un centre répulsif.
La vitesse tend asymptotiquement vers une valeur non nulle quand la distance tend vers l’infini : ”le mobile
est un mouvement rectiligne à l’infini” (les directions sont données par les asymptotes de l’hyperbole).
Pour t → +∞, le mobile retrouve la même vitesse que pour t → −∞, seule la direction change, l’angle de
déviation est donné par : D = π − 2 arccos 1e .
Au niveau du graphe d’énergies, l’énergie mécanique est strictement positive :
Em > 0
Grandeur physique
~ ∧ ~v k
C = kOM
Lo = mC
Em = Ec + Ep
Valeur
r constante
|K|p
p m
m|K|p
|K|
+
2a
Tab. 3 – Constantes du mouvement
15
c
a
arccos 1e
ρmin
b
p
p
b
arccos 1e
Fig. 7 – Hyperbole ”attractive”
ρmin
arccos 1e
b
c
a
p
p
b
Fig. 8 – Hyperbole ”répulsive”
16
arccos 1e
5
Lois de Kepler
Ces lois découvertes par Johannes Kepler au XIXème siècle, à partir des observations de Tycho Brahe s’appliquaient aux orbites des planètes autour du soleil.
En pratique, elles peuvent s’appliquer dans n’importe quel système solaire et même pour des satellites autour
d’une planète.
Énoncé
1. Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le soleil occupe l’un des foyers.
2. L’aire balayée par le vecteur reliant le soleil à la planète est constante pour une durée donnée.
T2
3. 3 = cst.
a
Démonstration
T2 =
4π 2 a3 m
4π 2
T2
=⇒ 3 =
|K|
a
GM
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