Cours Capteurs Electromagnétiques

Eléments d'Electromagnétisme
et Antennes
Thierry Ditchi
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Table des matières
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
Table des matières
I.
Equations de Maxwell ________________________________________________________ 1
1.
Equations de Maxwell et signification physique ______________________________________ 1
2.
Equations constitutives __________________________________________________________ 1
3.
Dissipation d'énergie dans les milieux ______________________________________________ 2
4.
Relations de continuité___________________________________________________________ 4
5.
Potentiels vecteurs et scalaires ____________________________________________________ 4
A. Potentiel vecteur _________________________________________________________________________ 4
B. Potentiel scalaire _________________________________________________________________________ 5
C. Jauges __________________________________________________________________________________ 5
D. Equations de propagation des potentiels - Potentiels retardés _______________________________________ 5
II.
Ondes électromagnétiques ___________________________________________________ 7
1.
Equation de propagation _________________________________________________________ 7
2.
Solutions générales – Cas de l'onde plane et de l'onde sphérique ________________________ 7
A. Solutions générales _______________________________________________________________________ 7
B. Ondes planes ____________________________________________________________________________ 7
C. Ondes sphériques _________________________________________________________________________ 8
III.
Ondes TEM – Ondes Planes __________________________________________________ 9
1.
Propriétés des ondes TEM _______________________________________________________ 9
2.
Régime alternatif ______________________________________________________________ 10
3.
Ondes planes monochromatiques _________________________________________________ 11
A. Définition ______________________________________________________________________________ 11
B. Notation complexe _______________________________________________________________________ 11
4.
Polarisation d'une onde électromagnétique_________________________________________ 11
A. Polarisation rectiligne ____________________________________________________________________ 11
B. Polarisation circulaire et elliptique___________________________________________________________ 11
C. Exemples d'ondes polarisées _______________________________________________________________ 11
5.
Réflexion d'une onde sur un métal ________________________________________________ 11
A. Position du problème _____________________________________________________________________ 11
B. Calcul de l'onde réfléchie __________________________________________________________________ 11
IV.
Energie électromagnétique __________________________________________________ 13
1.
Théorème de Poynting __________________________________________________________ 13
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
A. Dans un milieu quelconque ________________________________________________________________ 13
B. Dans un milieu LHI ______________________________________________________________________ 13
2.
Bilan énergétique dans un milieu LHI _____________________________________________ 13
3.
Energie électromagnétique dans le vide____________________________________________ 15
A. Le vecteur de Poynting en tant que vecteur surfacique de puissance elm _____________________________ 15
B. Ondes TEM ____________________________________________________________________________ 15
4.
Vecteur de Poynting complexe ___________________________________________________ 16
V.
Caractéristiques d'une antenne ______________________________________________ 17
1.
Rappel sur les coordonnées sphériques et les puissances par unité d'angles solides ________ 17
A. Coordonnées sphériques __________________________________________________________________ 17
B. Angles solides et puissances par unité d'angle solide_____________________________________________ 17
2.
Quelques exemples d'antenne ____________________________________________________ 18
3.
Caractéristiques des antennes____________________________________________________ 18
A. Polarisation de l'onde émise________________________________________________________________ 18
B. Diagramme de rayonnement _______________________________________________________________ 19
C. Directivité _____________________________________________________________________________ 21
D. Gain __________________________________________________________________________________ 21
E. PIRE __________________________________________________________________________________ 22
F. Surface effective ou surface de captation ______________________________________________________ 23
G. Impédance équivalente et Résistance de rayonnement ___________________________________________ 23
VI.
Applications ______________________________________________________________ 25
1.
Calcul de la tension en réception (exercice)_________________________________________ 25
2.
Bilan de liaison – Formule de Friis________________________________________________ 26
3.
Calcul de la portée d'une liaison (exercice) _________________________________________ 27
4.
Dipôle de Hertz (exercice) _______________________________________________________ 27
VII.
Réseaux d'antennes ______________________________________________________ 29
1.
Alignement de 2 antennes _______________________________________________________ 29
2.
Alignement de N antennes identiques _____________________________________________ 30
A. Facteur de réseau (sources isotropes)_________________________________________________________ 30
B. Principe du balayage électronique ___________________________________________________________ 32
C. Principe de multiplication des diagrammes ____________________________________________________ 33
VIII.
Techniques de mesure ____________________________________________________ 35
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
IX.
Equations de Maxwell
Bibliographie _____________________________________________________________ 37
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
I. Equations de Maxwell
1.
Equations de Maxwell et signification physique
( )
div ( B ) = 0
div D = ρ
( )
rot E = −
( )
Maxwell Gauss
Maxwell Thomson
∂B
∂t
rot H = J +
Maxwell Faraday
∂D
∂t
Maxwell Ampère
∫∫ Surf fermée D.dS = Qint
∫∫ Surf fermée B.dS = 0
e=−
∫
C
dΦ
dt
H .dl = I int
Théorème de Gauss
Flux conservatif
Induction électromagnétique
Théorème d'Ampère en régime continu
D est le champ vectoriel "déplacement électrique",
E est le champ vectoriel "champ électrique",
B est le champ vectoriel "induction magnétique" ou 'champ magnétique",
H est le champ vectoriel est "excitation magnétique",
ρ
est la densité volumique de charge électrique,
j est la densité de courant électrique,
Qint est la charge totale contenue dans la surface fermée,
Φ est le flux du champ magnétique à travers la surface fermée,
I int est le courant total traversant une surface quelconque de contour C.
2.
Equations constitutives
Dans le vide les champs précédent sont reliés par les relations suivantes :
D = ε 0 E et B = µ0 E où ε 0 est la permittivité diélectrique du vide et µ0 est la perméabilité magnétique
du vide. On a : ε 0
=
1
F / m et µ0 = 4 π 10−7 H / m
9
36 π 10
Dans un milieu quelconque :
D = ε 0 E + P où P est la polarisation électrique induite par l'application du champ et la polarisation
électrique permanente modifiée par l'application du champ E .
1
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
H=
B
µ0
champ
Equations de Maxwell
− M où M est l'aimantation (la polarisation magnétique) du milieu induite pas l'application du
B ou permanente et modifiée par l'application du champ B .
Dans un milieu diélectrique Linéaire Homogène et Isotrope (LHI) :
Dans ces milieux, la polarisation électrique induite est proportionnelle au champ électrique et colinéaire,
P = ε 0 χ E et donc D = ε E où ε = ε 0 (1 + χ ) .
On a de la même manière pour la polarisation magnétique,
M=
χm
B
µ0
d'où
H=
B
µ
où
µ=
µ0
.
(1 − χ m )
Les polarisations permanentes sont nulles.
On a donc plus simplement dans ces milieux :
D = ε E et B = µ E avec ε = ε r ε 0 et µ = µr µ0
µ = µ0
Dans notre cas, on ne traitera que des matériaux non magnétiques.
3.
Dissipation d'énergie dans les milieux
2 phénomènes sont responsables de la dissipation de l'énergie électromagnétique dans les milieux : les
pertes par effet Joule s'il y a des conducteurs et les pertes diélectriques regroupant toutes sortes de
phénomènes de dissipation ayant pour siège les matériaux non conducteurs.
On ne reviendra pas sur les pertes dans les conducteurs.
En ce qui concerne les pertes diélectriques, on peut les expliquer par l'interaction de l'onde
électromagnétique avec la matière, c’est-à-dire du champ électrique avec les noyaux (chargés positivement)
et les nuages électronique (chargés négativement). Les forces électriques et magnétiques induisent des
déformations des atomes et des molécules, et une réorientation des dipôles électriques ou magnétiques
permanents s'ils existent.
Atome "au repos"
++
++
Atome déformé par un champ électrique
++
++
E
-
+
p
Ces forces travaillent, et donc consomment de l'énergie. Lorsque les champs varient lentement (régime
temporel "quasi-statique"), les déformations restent synchrones avec les champs elm appliqués et les
énergies nécessaires à ces déformation sont récupérées lorsque le matériau revient à l'équilibre, c’est-à-dire
2
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
quand les champs appliqués reviennent à zéro. Lorsque les variations sont plus rapides, ces déformations
prennent du retard par rapport aux champs elm appliqués, et une partie de l'énergie fournie à la matière pour
la déformer, est perdues. On peut comparer ce phénomène à celui de la charge d'un condensateur (ou d'une
bobine). Un condensateur que l'on charge par un courant produit en son sein un champ électrique en phase
avec le courant de charge. Si ce condensateur n'est pas parfait (courant de fuite dans la résistance parallèle
à C), cette résistance induit un retard. C'est cette résistance, responsable du déphasage du champ interne
qui consomme.
Dans les matériaux non magnétiques, en régime purement sinusoïdal et en notation complexe, on peut tenir
compte de ces phénomènes en introduisant une permittivité complexe.
On note alors
remarque :
ε = ε 0 ( ε ' − j ε ")
D = ε 0 ( ε '− jε ") E
et
.
D = ε0 E + P
On défini encore la tangente de perte
tg δ =
ε"
ε'
donc
P
est déphasé par rapport à
D
qui est une constante couramment utilisée pour caractériser
les pertes d'un matériau isolant.
3
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
4.
Equations de Maxwell
Relations de continuité
A l'interface entre 2 milieux différents, certaines composantes du champ électromagnétique peuvent varier.
Les relations suivantes permettent de calculer ces discontinuités.
D n 2 − D n1 = σ
discontinuité de la composante normale de
D.
E t 2 = E t1
continuité de la composante tangentielle de
E
H t 2 − H t1 = j s ∧ n12
discontinuité de la composante tangentielle de
Bn 2 = Bn1
continuité de la composante normale de
5.
n12
H
2
B
1
Potentiels vecteurs et scalaires
A. Potentiel vecteur
Comme
div( B) = 0
alors
∃ A / B = rot ( A)
A est appelé potentiel vecteur.
4
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
B. Potentiel scalaire
On rappelle que
alors
∫
C
rot ( E ) = −
E . dl = −
∂B
alors
∂t
∂
∂
∫∫ rot ( E ) . dS = − ∂t ∫∫ B . dS = − ∂t ∫∫ rot ( A). dS
S
∂
A . dl c'est-à-dire
∂t ∫C
S


 E + ∂ A . dl = 0
∫C  ∂t 


S
∀S
∀C
On peut alors dire que


 E + ∂ A  est un gradient, c'est-à-dire que ∃V / E + ∂ A = − grad (V )

∂t
∂t 

On peut enfin écrire :
E = − grad (V ) −
∂A
V est appelé potentiel scalaire.
∂t
C. Jauges
A n'est pas unique car on peut lui ajouter n'importe quel gradient d'une fonction scalaire f sans que son
rotationnel ne change. En effet
[
]
rot  A + grad ( f ) = rot  A car rot grad ( f ) = 0 .


 
De même, le potentiel V n'est pas unique car on peut ajouter n'importe quel constante V0 à V sans que cela
ne change son gradient. En effet
grad (V + V0 ) = grad (V ) .
Parmi l'infinité de potentiels scalaires et vecteurs, on peut chercher à trouver ceux dont l'expression
simplifiera le calculs des champs. Coulomb et Lorentz ont découvert des relations supplémentaires qui
restent compatibles avec les équations de l'électromagnétisme, qui restreignent le nombre de possibilité
pour ces potentiels et qui simplifient les équations différentielles dont les solutions sont les champs
électromagnétiques. Ces relations sont appelées Jauges.
a. Jauge de Coulomb
Lorsque que l'on étudie des systèmes composés de charge immobiles, c'est-à-dire dans le cadre de
l'électrostatique, on peut prendre la relation de Jauge suivante :
div( A) = 0 .
b. Jauge de Lorenz
Dans le cas de systèmes comportant des courants constant (magnétisme) ou de courants variables
(électromagnétisme), on peut prendre comme relation de Jauge :
div( A) + ε µ
∂V
=0
∂t
D. Equations de propagation des potentiels - Potentiels retardés
L'utilisation de la jauge de Lorenz permet de déterminer les équations différentielles suivantes :
ρ
∂ 2V
∂2 A
∆V − εµ 2 = −
et ∆ A − εµ
= −µ j
ε
∂t
∂t 2
Ces équations sont des équations de propagation dont les solutions sont des ondes. Pour que ces solutions
correspondent aux solutions obtenues dans le cadre de l'électrostatique ou de la magnétostatique, c'est-à-
5
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Equations de Maxwell
dire en passant à des systèmes permanents (charges immobiles ou courant constant), on écrits ces
solutions sous la même forme que dans le cas des régimes permanents en y rajoutant la notion de retard et
de temps de propagation. Les solutions retenues s'écrivent alors :
V (M , t ) =
1
4πε
ρ (S , t −
∫∫∫
S ∈ sources
SM
SM
v
)
dτ
et
µ
A( M , t ) =
4π
∫∫∫
S∈sources
j (S , t −
SM
SM
)
v dτ
où M est le point d'observation, S sont les points où il existent des charges ou des courants, et
vitesse de propagation de V et
v est la
A dans le milieu considéré.
6
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Ondes électromagnétiques
II. Ondes électromagnétiques
1.
Equation de propagation
( )
div ( B ) = 0
div D = ρ
( )
rot E = −
( )
diélectrique LHI
div E = 0
D = ε E et B = µ E
∂B
∂t
∂D
rot H = J +
∂t
( )
( )
div B = 0
loin des sources
( )
rot E = −
ρ =0
( )
rot H =
j=0
∂B
∂t
∂D
∂t
( ( )) = − ∂∂t ( rotB ) = −µ ∂∂t ( rot H ) = −ε µ ∂∂t E
2
On calcule
rot rot E
or
rot rot E
2
( ( )) = grad (div( E )) − ∆ E
∂2 E
=0
∂t 2
d'où
∆E − ε µ
et de la même manière
∂2 H
∆H − ε µ 2 = 0
∂t
Ces 2 équations différentielles sont des équations de propagation.
2.
Solutions générales – Cas de l'onde plane et de l'onde sphérique
A. Solutions générales
La solution générale de ces équation de propagation sont une combinaison linéaire d'ondes se propageant
dans n'importe quelle direction
u à la vitesse v =
1
εµ
.
E = ∑ Eu (t ±
u
u
)
v
B. Ondes planes
Si l'onde se propage uniquement dans une direction donnée
perpendiculaire à
u et si le champ est uniforme sur tout plan
u alors on peut écrire cette solution sous la forme d'une onde plane :
7
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
prenons par exemple
Ondes électromagnétiques
z
E = E0 ( z ) f (t ± )
v
u = uz
le module et la direction de
la forme de f dépend de la
E0
dépendance temporelle du
peut dépendre de z
générateur
plan où E est constant
z
C. Ondes sphériques
si la source est ponctuelle ou si on se trouve à une grande distance d'une source de taille finie, les ondes
sont alors sphériques et se propagent selon la direction
ur le vecteur de base radial en coordonnées
sphérique.
sphère sur laquelle E est constant
r
r
E = E0 (r ) f (t − )
v
8
Eléments d'électromagnétisme
Ondes TEM – Ondes Planes
III. Ondes TEM – Ondes Planes
1.
Propriétés des ondes TEM
On a vu dans le chapitre précédent que le champ électrique et que l'exitation magnétique étaient solutions
des équations suivantes :
∆E − ε µ
∂2 E
= 0 et
∂t 2
∆H − ε µ
∂2 H
=0
∂t 2
Si on choisit d'étudier une onde qui se propage dans une direction unique (par exemple une onde plane se
propageant selon
u z en coordonnées cartésienne ou une onde sphérique se propageant selon ur en
coordonnées sphériques ):
E = E0 ( z ) f (t ±
z
r
) ou E = E0 (r ) f (t − )
v
v
qu'alors que la composante des champs transversale à la propagation est nulle :
Ez = H z = 0 ou Er = H r = 0
On dit que ces ondes sont TEM (transverse Electro Magnétique ).
E
direction de
propagation
H
On montre également que les champs transverses sont reliés par la relations suivantes :
1
u∧ E = µ H
v
où u est la direction de propagation et
III.1
v la vitesse de propagation.
Les champs E et H sont perpendiculaires entre eux.
E
direction de
propagation
H
9
Eléments d'électromagnétisme
Ondes TEM – Ondes Planes
comme la vitesse de propagation est liée aux propriétés électriques et magnétiques du milieu de
propagation par
v=
1
εµ
, leurs amplitudes sont reliées par la relation suivante :
E
H
On appelle
2.
ζ =
µ
ε
=
µ
ε
l'impédance d'onde du milieu ( notée aussi
η ).
Régime alternatif
Quand la source est sinusoïdale le champ s'écrit :
On définit le vecteur d'onde k =
ω
v
u . On a alors :
E = E0 cos(ω t − k r ) en notation réelles ou E = E0 e (ω t − k r ) en notation complexe où r est la position
dans l'espace. Le vecteur d'onde indique la direction de propagation de l'onde et son module correspond à la
constante de propagation.
L'équation III.1 devient dans ces conditions :
k∧E = ωµH
E
k
H
Le trièdre formé par ( E , H ,
k ) est direct.
10
Eléments d'électromagnétisme
3.
Ondes TEM – Ondes Planes
Ondes planes monochromatiques
A. Définition
B. Notation complexe
a. Notation
b. Intérêt
c. Amplitude complexe
4.
Polarisation d'une onde électromagnétique
A. Polarisation rectiligne
B. Polarisation circulaire et elliptique
C. Exemples d'ondes polarisées
a. Ondes polarisée circulaire droite
b. Ondes polarisée rectiligne
c. Polariseur
5.
Réflexion d'une onde sur un métal
A. Position du problème
B. Calcul de l'onde réfléchie
11
Eléments d'électromagnétisme
Ondes TEM – Ondes Planes
12
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Energie électromagnétique
IV. Energie électromagnétique
1.
Théorème de Poynting
A. Dans un milieu quelconque
On pose
P = E ^ H ( E et H = champs réels)
( )
rot E = −
On a
div(P ) = div(E ^ H) = H.rot(E) − E.rot(H) or
donc
div(E ^ H) = H.
d'où
∫∫∫
cad
 ∂B
∂D 


E
^
H
.dS
=
−
H.
+
E
.

 dτ − ∫∫∫V J.E dτ
∫∫ S 
∫∫∫V  ∂t

∂t 
∂B
et
∂t
( )
rot H = J +
∂D
∂t
 ∂D 
∂B
− E.  J +

∂t
∂t 

 ∂B
 ∂D  
div(E ^ H) dτ = ∫∫∫  H.
− E . J +
  dτ
V
V
t
t
∂
∂



égalité de Poynting
B. Dans un milieu LHI
on a dans un tel milieu
D = ε E et B = µ H
2
d'où
∂D
∂E 1 ∂E
∂ 1 2 
E.
= ε E.
= ε
=  εE 
∂t
∂t 2 ∂t
∂t  2

2
et
2
∂B
∂H 1 ∂H
∂ 1
H.
= µH.
= µ
=  µH 
∂t
∂t 2 ∂t
∂t  2

L'égalité de Poynting devient donc :
2
∂
1
1
 


E
^
H
.dS
=
−
µ
H
+ ε E 2  dτ  − ∫∫∫ J.E dτ


∫∫ S 
∫∫∫

V
V
∂t 
2
2
 
2.
Bilan énergétique dans un milieu LHI
On reconnaît dans l'égalité précédente le terme :
électromagnétique notée
De plus, on montre que
2
1 2
1
 µH + εE 
2
2

qui est la densité d'énergie
ωem (en J/m3) .
j.E est la densité de puissance dissipée ( en W/m3) (voir remarques plus bas)
L'égalité de Poynting que l'on peut écrire comme suit :
d 
dt  ∫∫∫V
2
1 2 
1
 µ H + εE  dτ  = − ∫∫ S P.dS − ∫∫∫V j.E dτ
2
2
 
13
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Energie électromagnétique
est donc interprétable comme suit :
d 
dt  ∫∫∫V
2
1

1
2
 µ H + ε E  dτ  = − ∫∫ S P.dS − ∫∫∫V j.E dτ
2
2
 
variation d'énergie dans le volume V
donc
puissance dissipée dans le volume V
= la puissance entrante dans le volume V
puissance sortante
On voit donc que
∫∫
S
P.dS représente la puissance sortante de V ( à travers S).
P est donc la densité surfacique de puissance ( puisque son flux à travers S est la puissance sortante).
P représente la densité
En généralisant ce raisonnement, on admettra que le vecteur de Poynting
surfacique de puissance transportée par la propagation de l'onde électromagnétique, et que son flux à
travers une surface quelconque représente la puissance traversant cette surface :
∫∫ P.dS = flux de puissance traversant S
S
hypothèse de Poynting
Remarque :
On peut vérifier que la densité volumique de puissance dissipée par le champ dans un milieu chargé vaut
j.E .
Calculons le travail des forces électriques et magnétique fournis aux charges mobiles par l'onde électromagnétique.
On note ρ est la densité de charges libres de se déplacer sous l'action des champs électriques et magnétique,
ces charges en déplacement et
dτ
est un élément de volume contenant la densité de charge
La force elm agissant sur la charge élémentaire
dq = ρ dτ
en mouvement
j
le courant lié à
ρ.
v vaut :
dF = ρ dτ E + ρ dτ v ^ B
Le travail fourni par cette force sur un déplacement
dl vaut :
dW = dF . dl = dF .v dt = ( ρ dτ E + ρ dτ v ^ B ). v dt
qui devient :
dW = ρ E v dt dτ
(on retrouve le fait que travail de la force magnétique est nulle)
La densité volumique de puissance fournie aux charges par le champ elm ( qui est donc la densité de puissance dissipée du point
de vue du champ électromagnétique) vaut donc :
et en notant
j = ρ v la
dP =
dW
= ρ E v dτ
dt
densité surfacique de courant, on a la puissance dissipée dans le volume dτ :
densité de puissance dissipée :
dP = j . E dτ
ou la
j.E
Il y a beaucoup d'autres causes de pertes dans les matériaux (dues aux dipôles électrique, aux charges liées au réseau, etc... )
14
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
3.
Energie électromagnétique
Energie électromagnétique dans le vide
A. Le vecteur de Poynting en tant que vecteur surfacique de puissance elm
dans le vide il n'y a pas de charges ni de courant :
les relations constitutives simples suivantes :
Le théorème de Poynting devient :
d 
dt  ∫∫∫V
ρ =0
et
j = 0 et les champs sont reliés entre eux par
D = ε 0 E et B = µ0 H .
2
1

1
2
 µ H + ε E  dτ  = − ∫∫ S P.dS − ∫∫∫V j.E dτ
2
2
 
2
1
1
ωem = µ 0 H + ε 0 E 2
2
2
où
dWem
= − ∫∫ P.dS
S
dt
c'est à dire :
qui signifie que si l'énergie électromagnétique W em varie au cours du temps, ce ne peut être que parce que
l'énergie entre (ou sort) du volume V. La puissance sortante s'exprime comme le flux du vecteur de Poynting
à travers S.
Le vecteur de Poynting est donc la densité surfacique de puissance transportée par l'onde.
B. Ondes TEM
Dans le cas d'une onde TEM,
reliée par :
E
=
H
µ0
= ζ0
ε0
E , H et k forment un trièdre direct, et les modules de ces champs sont
impédance d'onde dans le vide dont la valeur vaut 120π.
k E2 k
Le vecteur de Poynting : P = E ^ H devient P = E H =
est donc un vecteur qui pointe dans la
k ζ0 k
direction de propagation dans la direction du vecteur d'onde
k.
Si l'onde est de plus monochromatique (régime sinusoïdal), on peut noter
E = E0 cos(ωt − k r ) et le vecteur
E 0 2 cos 2 (ωt − k.r) k
de Poynting devient : P =
.
ζ0
k
On note
ℑ = P l'intensité de l'onde (où X est la moyenne temporelle de X )
L'intensité dans le cas d'une onde plane monochromatique vaut :
ℑ=
1 E02
. Elle exprime la densité
2 ζ0
2
surfacique moyenne portée par l'onde plane pendant sa propagation (en W/m ).
Son flux à travers une surface S exprime la puissance moyenne incidente sur celle ci.
15
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
4.
Energie électromagnétique
Vecteur de Poynting complexe
En régime sinusoïdal, pour calculer le vecteur de Poynting, il est nécessaire de revenir d'abord en notation
réelle. Ne pas le faire conduit à une erreur grave.
Pour éviter cela, on peut définir un nouveau vecteur de Poynting appelé
complexe :
1
2
Π = E ^ H*
où
Π
appelé vecteur de Poynting
E et H sont cette fois en notation complexe ( X * est le conjugué de X ).
On montre alors facilement que :
ℑ = P = ℜe ( Π )
Pour calculer la puissance rayonnée à travers une surface S on peut alors utiliser le vecteur de Poynting
complexe ce qui évite de devoir repasser en notation réelle :
ℜe  ∫∫ Π .dS = flux de puissance traversant S
 S

16
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Caractéristiques d'une antenne
V. Caractéristiques d'une antenne
1.
Rappel sur les coordonnées sphériques et les puissances par unité
d'angles solides
A. Coordonnées sphériques
M
θ
r
ϕ
B. Angles solides et puissances par unité d'angle solide
dS
θ
M
r
ϕ
17
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
2.
Caractéristiques d'une antenne
Quelques exemples d'antenne
antennes filaires
antennes imprimée
antennes en guide d'onde
ℓ << λ
guide fendu
dipôle
patch rectangulaires
λ/2
(ici en réseau à 2 dimensions)
(ou circulaires, triangulaires ..)
antenne demi-onde
cornet pyramidal
λ/2
PIFA
antenne yagi
- antenne hélicoïdale
antennes à reflecteur
antenne
secondaire
reflecteur
antenne parabolique
….
3.
Caractéristiques des antennes
A. Polarisation de l'onde émise
18
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Caractéristiques d'une antenne
- dipôle antenne, antenne lambda/2, antennes filaire rectiligne
∀
polarisation rectiligne
E
- antenne hélicoïdale
polarisation circulaire
B. Diagramme de rayonnement
a. Diagramme
diagramme en champ :
f (θ , ϕ ) =
diagramme en puissance :
où
E (r ,θ , ϕ )
r (θ , ϕ ) =
Emax
ℑ(r , θ , ϕ )
ℑmax
ou
r (θ , ϕ ) =
U (θ , ϕ )
U max
ℑ(r , θ , ϕ ) est l'intensité de l'onde c'est-à-dire la valeur moyenne du module du vecteur de
poynting
et où
P à la distance r dans la direction θ et ϕ ( en W / m2).
U (θ , ϕ ) est la puissance moyenne rayonnéepar unité d'angle solide dans la direction θ et
ϕ (en W / m ).
2
diagrammes en dB :
20 log [ f (θ , ϕ ) ] = 10 log [ r (θ , ϕ )]
19
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Caractéristiques d'une antenne
diagramme de rayonnement - représentation
représentation polaire 2D (yagi) - coupe dans le
linéaire
plan E
représentation polaire 3D du diagramme d'un
Coupe dans le plan E du diagramme d'un dipôle
dipole
b. Définitions sur le diagramme
lobe de
périodicité
lobe principal
2θ-3dB
lobes secondaires
Ouverture à -3dB
20
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Caractéristiques d'une antenne
C. Directivité
D (θ , ϕ ) =
où
U=
1
4π
∫∫
U (θ , ϕ )
U
U (θ , ϕ ) d Ω est la puissance moyenne par unité d'angle solide, c'est dire la puissance
tout l ' espace
totale rayonnée divisée par 4π.
La directivité représente la puissance rayonnée dans une direction comparée à celle d'une antenne isotrope
rayonnant au total la même puissance.
Comparaison de l'antenne à caractériser et de l'antenne isotrope rayonnant la même puissance totale
On définit la directivité en dB par la relation :
DdB = 10 log( D)
Quand on donne la directivité d'une antenne sans préciser de direction, il s'agit de la valeur maximale de la
fonction D(θ,ϕ)
D. Gain
G (θ , ϕ ) =
U (θ , ϕ )
Palim / 4π
Palim / 4π représente la puissance rayonnée par unité d'angle solide par une antenne isotrope et sans perte ,
Le Gain représente la puissance rayonnée dans une direction comparée à celle d'une antenne isotrope
sans perte alimentée avec la même puissance.
21
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Caractéristiques d'une antenne
Comparaison de l'antenne à caractériser et de l'antenne isotrope sans perte alimentée avec la même puissance
On définit le gain en dB par la relation :
GdB = 10 log(G )
Remarques :
- Le Gain est inférieur à la directivité car les pertes diminuent la puissance totale rayonnée. Le gain tien
compte des pertes alors que la directivité non.
- Le Gain n'est jamais supérieur à 1.
- Lorsque l'antenne est sans perte, le gain et la directivité ont la même valeur :
D (θ , ϕ ) = G (θ , ϕ )
- Quand on donne le gain d'une antenne sans préciser de direction, il s'agit de la valeur maximale de la
fonction G(θ,ϕ)
- D'une manière générale, la directivité ou le gain d'une antenne sera d'autant plus grand que l'antenne est
grande.
- Plus la directivité ou le gain d'une antenne est grand plus le lobe principal est étroit et donc l'ouverture
à -3dB est faible.
Gain =1
(antenne isotrope sans perte)
Gain moyen
Grand Gain
Exemples :
4
4
Une antenne de gain 40dB, c'est-à-dire 10 en linéaire rayonne 10 fois plus de puissance dans la direction
du maximum que ne le ferai une antenne isotrope sans perte alimentée avec le même générateur.
Remarque : Une antenne étant passive, la puissance totale ne peut être supérieure à la puissance
4
d'alimentation. Si le gain vaut 10 dans la direction du maximum, la puissance rayonnée dans d'autres
directions ne peuvent donc qu'être très inférieure à celle d'une antenne isotrope.
E. PIRE
La PIRE (Puissance Isotrope Rayonnée
Equivalente)
d'une
antenne
est
la
22
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Caractéristiques d'une antenne
puissance qu'il faudrait fournir à une
Antenne isotrope
alimentée avec une
puissance =PIRE=G P0
antenne isotrope sans perte pour que
celle-ci rayonne la même puissance
dans la direction du maximum de
l'antenne.
Direction du
PIRE = G . P0
maximum
Où G est le gain de l'antenne et P0 est la
Antenne de Gain G
alimentée avec une
puissance = P0
puissance d'alimentation.
F. Surface effective ou surface de captation
En réception si une antenne est éclairée par une onde incidente plane d'intensité ℑ , alors la puissance
détectée en sortie d'antenne notée Preçue vaut :
Preçue = ℑ . Sc
où Sc est la surface effective de l'antenne
encore appelée surface de captation.
Sc est en fait la surface équivalente de l'antenne, c'est-à-dire la surface qu'il faudrait placer devant l'onde
incidente pour écranter une puissance égale à Preçue.
La surface effective est inférieure ou égale à la surface réelle d'une antenne lorsque celle-ci est une
ouverture (trou dans plan, réflecteur type parabole )
Le théorème de réciprocité montre que le gain et la surface effective sont reliées par la relation suivante :
Sc λ 2
=
G 4π
G. Impédance équivalente et Résistance de rayonnement
La résistance de rayonnement
Rr est la résistance qu'il faut mettre à la place de l'antenne pour dissiper la
même puissance que la puissance totale rayonnée par l'antenne. L'impédance équivalente
antenne vaut
Z a d'une
Z a = Ra + jX a . Ra se décompose en 2 partie : la résistance de rayonnement et la résistance
équivalente de perte
Ra = Rr + R pertes .
Par exemple en émission, si on remplace l'antenne par son impédance équivalente, la puissance
consommée par la résistance de rayonnement ou par l'antenne est identique du point de vue du générateur.
Définition :
23
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Pray
Z0
e
Caractéristiques d'une antenne
V
Z0
I
V est la tension d'alimentation de l'antenne
I est le courant d'alimentation de l'antenne
Z a est l'impédance équivalente de l'antenne
Z a = Ra + jX a où Ra = Rr + R pertes
e
V
I
Za
1
1
1
Pa = ℜe(V I * ) = ℜe( Z a I I * ) = I 02 ℜe( Z a )
2
2
2
1 2
1 2
Pa = I 0 Ra = I 0 ( Rr + R pertes ) = Pray + Pdissipée
2
2
1
Pray = I 02 Rr
2
Par exemple, l'impédance équivalente d'une antenne dipolaire dépend de la longueur du dipôle.
- 8 Ω pour le dipôle de longueur λ/10 (calculé en considérant le courant uniforme sur le dipôle)
- 2 Ω pour le dipôle de longueur λ/10 (calculé en considérant le courant est réparti plus physiquement, c'est
à dire maximum au centre et nul aux 2 extrémités)
- 73Ω pour un dipôle demi-onde à la fréquence de résonnance.
24
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Applications
VI. Applications
1.
Calcul de la tension en réception (exercice)
ℑ
I
I
Za
I
Z a* V
Z a* V
Vr
On désire calculer la tension détectée en sortie d'antenne connaissant l'intensité de l'onde plane incidente
sur celle-ci ou l'amplitude du champ électrique incident.
L'antenne, supposée sans perte, possède un gain G et une impédance équivalente
Le récepteur est adapté à l'antenne et possède donc une impédance d'entrée de
Z a = Rr + jX a .
Z a* (c'est la condition pour
que toute la puissance disponible en sortie d'un générateur (ici l'antenne) soit transférée à la charge (ici
Z*a) )
La densité de puissance de l'onde plane incidente sur l'antenne est notée ℑ et est reliée à l'amplitude du
champ électrique
1 E02
ℑ=
2 ζ0
E0 par :
La puissance détectée par l'antenne vaut donc par définition de la surface de captation :
Pr = ℑ . Sc
Le théorème de réciprocité conduit à la relation entre le gain et la surface de captation de l'antenne :
Sc λ 2
=
G 4π
La puissance détectée par l'antenne vaut donc :
λ 2 1 E02
λ2
Pr = ℑ G
=
G
4π 2 ζ 0
4π
(1)
La puissance transmise au récepteur vaut :
1
Pr = ℜe(VI * )
2
Et la tension et le courant sont reliés par :
On a donc :
V = Z a* I
1
1
Pr = ℜe( Z a* I I * ) cad Pr = I 02 ℜe( Z a* )
2
2
25
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Applications
Pr =
cad :
I0 =
or :
1 2
I 0 Rr
2
V0
V
= 0
*
Z a + Z a 2 Rr
V02
Pr =
8 Rr
donc :
(2)
En combinant les relations (1) et 2) on montre donc que l'amplitude la tension
champ incident
2.
V0 =
E0 par :
V0 est reliée à l'amplitude du
λ Rr G
E0
πζ 0
Bilan de liaison – Formule de Friis
Une antenne d'émission est face à une antenne de réception. On suppose que les 2 antennes sont orientées
dans la direction de leur maximum d'émission et de réception et sont disposées à une distance r l'une de
l'autre. On veut calculer la puissance détectée Pr dans l'antenne de réception connaissant la puissance Pe
alimentant l'antenne d'émission. On connait les caractéristiques des antennes utilisées, à savoir les gains de
l'antenne d'émission Ge et de réception Gr.
ℑ
Pe
Pr
Ge
Gr
r
Le gain de l'antenne d'émission Ge s'écrit en fonction de la puissance surfacique par unité d'angle solide U
par :
Ge =
U
Pe / 4π
L'intensité de l'onde au niveau de la réception vaut :
ℑ=
U
r2
L'intensité de l'onde ℑ au niveau de l'antenne de réception est donc reliée au gain de l'antenne d'émission
par :
ℑ=
Ge Pe
4π r 2
D'après la formule (1) du paragraphe précédent on a :
λ2
Pr = ℑ Gr
4π
 λ 
Pr = Ge Gr 
 Pe
 4π r 
2
ce qui donne :
26
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Applications
Cette formule, connue sous le nom de formule de Friis, permet de faire un bilan de puissance.
3.
Calcul de la portée d'une liaison (exercice)
On utilise 1 dipôles (voir l'expression du champ rayonné par un dipôle élémentaire dans l'exercice "Dipôle de
Hertz" au paragraphe 4 ) pour transmettre la température mesurée par un capteur. Le récepteur, muni d'un
dipôle identique, est situé à la distance d du capteur. La fréquence d'émission- réception choisie est
f = 400MHz, et les dipôles ont une longueur de 5 cm. La puissance émise par le capteur vaut 0dBm, c'est-àdire 1mW. La puissance minimum en dessous de laquelle le récepteur ne peut plus reconnaître l'information
vaut 10 nW.
Calculer la distance maximale d de transmission de l'information.
4.
Dipôle de Hertz (exercice)
Un dipôle, de longueur L (L<< λ), est situé dans l'espace libre à l'origine du repère spatial et dirigé selon
l'axe Oz. Le dipôle est parcouru par un courant uniforme sur la longueur du dipôle, d'amplitude
complexe I 0 e
jω t
.
z
M
θ
r
y
ϕ
x
On rappelle le champ électromagnétique rayonné par le dipôle, en coordonnées sphérique :

2  e − jkr
2 j
 Er = − j ζ 0 k I L cos(θ )  + 2 2 
 kr k r  4 π r


j
1  e − jkr

ζ
θ
=
−
−
+
+
E
j
k
I
L
sin(
)
1
 θ
0

kr k 2 r 2  4 π r



 Eϕ = 0

où
ζ 0 est l'impédance d'onde du vide : ζ 0 =
µ0
= 120 π ; k
ε0

Hr = 0


 Hθ = 0


j  e − jkr

 H ϕ = j k I L sin(θ ) 1 − 
 kr  4 π r

est la norme du vecteur d'onde : k =
2π
λ
Champ proche
1°) En champ proche ( r<< λ), donner une approximation du champ. Comparer au champ électrique généré
par un dipôle électrostatique et au champ magnétique généré par un fil parcouru par un courant constant.
27
Eléments d'électromagnétisme et Antennes
Applications
(on rappelle qu'un dipôle électrostatique génère un champ électrique [ E = 2 P cos(θ ) u r + P sin(θ ) uθ ] et qu'un fil
4πε 0 r 3
4πε 0 r 3
parcouru par courant constant et uniforme génère un champ [ H = I L sin(2θ ) uϕ ] )
4π r
Quelle est la nature du champ électromagnétique ?
Champ lointain
2°) En champ lointain ( r>>λ), donner une approximation du champ. Quelle structure a le champ.
3°) Calculer la puissance rayonnée Pr à travers une surface sphérique centrée sur l'antenne de rayon r
quelconque.
On donne
∫
π
0
sin 3 (θ ) dθ = 4 / 3
4°) Tracer le diagramme de rayonnement du dipôle. Donner l'ouverture à 3dB du dipôle.
5°) Calculer la résistance de rayonnement Rd . A.N. L/λ =0.01 puis 0.1.
6°) Calculer la directivité du dipôle.
7°) Sachant que le dipôle étudié est parfaitement adapté et sans perte, calculer le gain du dipôle.
8°) On utilise le dipôle en réception pour mesurer une onde incidente plane d'amplitude E polarisée selon
u z . On notera Z a = Rr + jX a l'impédance de rayonnement du dipôle. Le dipôle est relié au récepteur
d'impédance équivalente Z. Le dipôle se comporte vis-à-vis du récepteur comme un générateur de fem e et
d'impédance interne Z a . Le récepteur est adapté au dipôle, c'est-à-dire que
Ei
k
Récepteur
Z = Z a* .
ce qui peut se modéliser par
Calculer la puissance fournie au récepteur en fonction de e.
( On trouve P =
Za
e
Z
e2
1
ℜe(V I * ) = 0 )
2
8 Rr
Calculer e en fonction du champ incident | E | .
Calculer la surface de captation du dipôle Sc.
Comparer Sc au Gain du dipôle.
28
Antennes
Réseaux d'antennes
VII. Réseaux d'antennes
1.
Alignement de 2 antennes
On considère deux antennes ponctuelles isotropes, distantes de d et alimentées en phase, qui rayonnent
une même onde électromagnétique de longueur d’onde. On appelle E0, l’amplitude complexe du champ
électrique rayonné à la distance R>>λ.par la source 2.
L’origine des phases est prise à l’origine des coordonnées (x, y, z).
vers point d'observation
à grande distance
ϕ
2
1
d
Alignement de deux antennes isotropes
Le déphasage ψ du champ émis par l’antenne 1 par rapport à l’antenne 2, pour un point d’observation situé
dans la direction repérée par l’angle ϕ par rapport à la direction de l’alignement est dû à la différence de
marche et est donné par :
ψ=
2πd
cos ϕ
λ
L’origine des phases étant prise sur l'antenne 2, on peut considérer que l’onde issue de l’antenne 1 a un
retard de phase de
ψ.
Le champ total créé à la distance r par les deux antennes est donc égal à :
E = E 0 (1 + e− j ψ ) = E 0 e − j ψ / 2 ( e j ψ / 2 + e − j ψ /2 )
soit à :
E = 2 E 0 e − jψ / 2 cos
ψ
πd

= 2 E 0 e − jψ /2 cos 
cos ϕ 
2
 λ

Il est de révolution autour de l’axe de l’alignement (axe 0x).
29
Antennes
Réseaux d'antennes
120
.
90
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
180
0
0
210
330
240
300
270
Diagramme de rayonnement dans le plan (x0y) de 2 sources isotropes en phase, distantes de λ/2
120
.
90
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
180
0
0
210
330
240
300
270
Diagramme de rayonnement dans le plan (x0y) de 2 sources isotropes déphasees de π, distantes de λ/2
2.
Alignement de N antennes identiques
On désire calculer le rayonnement d'un alignement d'antenne identique réparties régulièrement, toutes
alimentées avec la même puissance
A. Facteur de réseau (sources isotropes)
Dans un premier temps, considérons des antennes isotropes.
30
Antennes
Réseaux d'antennes
Chaque antenne n° p est alimentée par une tension d'amplitude identique de phase (p-1)*δ. L'origine des
phase est prise sur l'antenne n°1. Le déphasage total entre les ondes émises par deux antennes adjacentes,
ψ=
dans la direction ϕ, est égal à :
2πd
cos ϕ + δ
λ
.
ϕ
N
p
2
1
d
Alignement de N antennes identiques distantes de d
On appelle
E0 , le champ rayonné dans la direction ϕ, à la distance R>>λ par l’antenne 1. Ce champ est
indépendant de ϕ et ne dépend que de la distance r puisque le rayonnement est isotrope.
Le champ total rayonné par les N antennes dans la direction ϕ a donc pour expression :
E = E 0 1 + e − jψ + e −2 jψ + … + e− jψ ( N −1) 
E = E0
− jNψ
− jNψ / 2
jNψ / 2
− jNψ /2
1− e
e
e
−e
E 0 − jψ / 2
= E0 e
− jψ
jψ / 2
1− e
e
e − e− jψ / 2
ψ
j( N −1)
2
 ψ
sin  N 
 2
ψ
sin
2
Le diagramme de rayonnement en champ F(θ,ϕ) est égal à :
 ψ
sin  N 
1
 2  où ψ = 2π d cos(ϕ) + δ
F(ψ ) =
λ
N sin ψ
2
La fonction F(ψ) qui représente le diagramme de rayonnement en champ de n antennes isotropes identiques
est appelée facteur de réseaux.
31
Antennes
Réseaux d'antennes
.
1
0.8
0.6
F( Ψ )
0.4
0.2
0
Ψ
Facteur de réseaux de 6 antennes isotropes en phase (δ=0)
B. Principe du balayage électronique
D’après la formule du facteur de réseau, le maximum de rayonnement est toujours obtenu dans la direction
ϕm telle que ψ = 0 c’est-à-dire dans la direction pour laquelle les ondes émises par les différents points
cos ϕm = −δ
source s’ajoutent en phase. Ceci correspond à la condition :
λ
2πd
90
delta=0
delta=pi/2
delta=3 pi/2
delta=pi
1
60
120
0.8
0.6
30
150
0.4
0.2
180
0
210
330
240
300
270
Facteur de réseaux de 8 antennes isotropes distante de λ/2, pour delta variant de 0 à π
32
Antennes
Réseaux d'antennes
On peut faire varier électroniquement le déphasage δ entre les alimentations de deux antennes adjacentes
pour faire varier la direction du maximum de rayonnement. On peut ainsi balayer différentes régions de
l’espace. C’est le principe du balayage électronique.
Dans l’exemple précédent, 8 sources identiques isotropes sont alimentées avec différentes lois de
déphasage. On observe que selon le déphasage entre antennes successives, le maximum du lobe principal
tourne de la direction ϕ = π/2 à la direction ϕ = π.
C. Principe de multiplication des diagrammes
Le diagramme de rayonnement en champ fa(θ,φ) d’un réseau de N antennes non isotropes, caractérisées
par le même diagramme de rayonnement f(θ,φ) est égal au produit suivant :
f a (θ, ϕ) = f (θ, ϕ) × F(θ, ϕ)
où F(θ,φ) est le facteur de réseaux des N antennes isotropes
33
Antennes
Réseaux d'antennes
34
Antennes
Techniques de mesure
VIII. Techniques de mesure
35
Antennes
Techniques de mesure
36
Antennes
Bibliographie
IX. Bibliographie
Electromagnétisme – Fondements et applications
J.P. Peres, R.Carles, R.Fleckinger, Masson
Les bases de l'électromagnétisme
M. Hulin, J.P.Maury, Dunod
http://www.amanogawa.com/
Un site avec plein d'aplets et de polycopiés sur les circuits, les lignes, l'électromagnétisme et les
antennes
http://www.falstad.com/mathphysics.html
plein d'aplets
http://www.ta-formation.com/cours-ant/e-antennes.pdf
Jean-philippe Muller - polycopié d'antennes
37