Généralités

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Généralités – Métrologie – Rappels mathématiques
PAES Septembre 2012 L FOUCAN
Généralités
MÉTROLOGIE
La métrologie peut se définir comme étant " la science de la mesure associée à l’évaluation de son
incertitude ". La spécificité de la discipline métrologique n’est pas dans la mesure elle-même, mais
dans la validation du résultat.
1- Grandeurs, ordre de grandeur.
Une Grandeur physique est un paramètre auquel on peut associer une mesure.
Exemples : longueur (et les grandeurs associées : surface, volume), la masse, le temps, la force, le
débit volumique (par exemple le débit sanguin), la pression (atmosphérique, artérielle), la charge
électrique, le courant électrique, le champ électrique, le potentiel électrique….
Des grandeurs de base sont admises par la communauté internationale, à partir desquelles toutes les
autres grandeurs peuvent être dérivées. Ce sont : la longueur, le temps, la masse, la température, la
quantité de matière (mole), l’intensité électrique.
L’ordre de grandeur d’une mesure est la valeur approximative qui peut se rapprocher de la valeur
vraie.
Exemple : un homme mesure en moyenne entre 1,60 et 1,90 mètre. Le rythme cardiaque est de l’ordre
de 60 pulsations par minute.
Les chiffres normaux de pression artérielle se situent entre 100 et 140 millimètres de mercure (mmHg)
pour la systolique et entre 60 et 90 mmHg pour la diastolique.
En médecine la connaissance des ordres de grandeur est importante car elle permet de déceler les
anomalies.
2- Unités, Dimensions, Mesure
a- unités
On ne peut comparer la distance Pointe-à-Pitre-Basse-Terre de l’ordre de 60 km à l’épaisseur d’une
feuille de papier de l’ordre de 60 µm (micromètre). Leur comparaison est possible si on les mesure
avec une unité commune, par exemple le mètre (60 000 m comparés à 0,000060 m).
Pour comparer deux grandeurs il faut les relier à un nombre qui lui-même est associé à une grandeur
étalon, l’unité de mesure (par exemple : le mètre).
Plus généralement, des grandeurs pour être mesurées doivent être associées à un système d’unités qui
permet de les relier à une même référence.
Les unités s’écrivent en lettres minuscules sauf lorsqu’il s’agit de nom de personne. Une exception
pour une unité usuelle (qui ne fait pas partie du système international) l’unité de volume, le litre, le
millième du mètre cube 1/1000 m3, s’écrit avec L majuscule.
Il est convenu, depuis 1960, d’utiliser un Système d’unité International (système SI) qui s’appuie sur
7 grandeurs de base à partir desquelles toutes les autres grandeurs peuvent être mesurées. Il a succédé
au système d’unité MKSA (Mètre, Kilogramme, Seconde, Ampère) qui avait été créé en 1946 pour
uniformiser les unités de mesure.

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Le tableau ci-dessous présente les six grandeurs les plus fréquemment utilisées, la septième grandeur
étant l’intensité lumineuse.
Grandeurs de
base
Longueur
Temps
Masse
Température
absolue
Intensité
électrique
Quantité de
matière
Unités du SI
Mètre
Seconde
Kilogramme
Kelvin
Ampère
mole
Abréviations
m
s
kg
K
A
mol
Etalon
trajet parcouru
par la lumière
en
1/299 792 458 s
9 192 631
770 périodes
du 133Cs
Cylindre en
Platine
1 K =
température
point triple
eau / 273,16
courant créant
force
F = 2.10-7 N
entre fils
1 mol =
quantité
d’atomes de
12C dans 12 g
Les préfixes en SI :
Facteur
Nom
Symbole
Facteur
Nom
Symbole
103
kilo
k
10–3
milli
m
106
mega
M
10–6
micro
μ
109
giga
G
10–9
nano
n
1012
tera
T
10–12
pico
p
1015
peta
P
10–15
femto
f
Pour définir l’unité de mesure on utilise un étalon qui sert de référence. Cet étalon doit être précis,
exact, reproductible et universel.
L’unité de poids, le kilogramme (kg), est représenté matériellement par un étalon unique. Ce
prototype, réalisé en 1889 et conservé au Bureau International des Poids et Mesures à Sèvres, est un
cylindre en platine iridié à 10 %, de 39 mm de diamètre et de hauteur.
Des copies de ce prototype dispersées dans différents pays servent d'étalons de masse.
L’unité de longueur, le mètre (m), est, depuis 1983, la longueur du trajet parcouru dans le vide par la
lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde.
La seconde est prise comme le 1/31 556 925,9747 de l’année tropique de 1900.
Depuis 1967, à la Conférence Générale des Poids et Mesures, la seconde est définie à partir du temps
atomique international.
L’horloge atomique est la période de la radiation émise par la transition entre les niveaux hyperfins de
l’atome de Césium 133 à 0K. La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes. La précision atteint
alors la quatorzième décimale.
Les étalons devant être universels, il a été créé un organisme international indépendant accepté par
tous dans tous les domaines où la mesure est nécessaire. Il s’agit du Bureau International des Poids et
Mesures (BIPM), créé le 20 Mai 1875. De plus, la communauté internationale s’engage à utiliser et à
diffuser le système métrique pour uniformiser les mesures partout dans le monde.
Toutefois des unités usuelles sont encore utilisées parce qu’elles conduisent à des ordres de grandeur
plus parlant pour l’utilisateur
Ainsi, le choix du système d’unités dépend de l’ordre de grandeur du phénomène mesuré.
Exemple 1 : à l’échelle microscopique on utilise le micron (m=-6 m) ou l’Angström (10-10 m). A
l’échelle astronomique on utilise l’année lumière (9,5 1012 km) (distance parcourue par la lumière à la
vitesse de 300 000 km/s pendant une année).
Exemple 2 : la pression (ou force par unité de surface) dans le système SI se mesure en Pascal : 1 Pa :
1Newton/1 m² (1 Pa est l’ordre de grandeur de la pression exercée par une patte de mouche).

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La pression atmosphérique (pression exercée par la colonne d’air au dessus d’une surface de 1m²) vaut
au niveau du sol 101 325 Pa. En météorologie on utilise le bar (1 bar=100 000 = 105 Pa), ou
l’atmosphère (1 atm=101 325 Pa). Quand on remplace l’air par du mercure, il faut une colonne de
mercure de 760 mm. Ainsi, la pression sera exprimée indifféremment en Pascal, en atmosphère, en bar,
ou en millimètre de mercure (mmHg) comme résumé sur le tableau. Il est plus pratique d’utiliser le bar
ou l’atmosphère pour mesurer des pressions de l’ordre de la pression atmosphérique.
Unités
Pascal (Pa)
Bar
Atmosphère (atm)
mmHg
Pression
atmosphérique
101 325
1,01325
1
760
b- Dimensions, équations aux dimensions
On ne peut pas comparer le poids d’une pièce de monnaie (en gramme) et son diamètre (en
centimètre). Des grandeurs ne pourront être comparées que si elles possèdent la même dimension. On
dira que le diamètre de la pièce de monnaie a les dimensions d’une longueur L, son poids a les
dimensions d’une masse M.
La notion théorique de «dimension» est indépendante du système d’unités. Les dimensions de toutes
les grandeurs peuvent être exprimées en fonction des sept dimensions de base : longueur L, de temps
T, de masse M, de température (théta), d’intensité électrique I, quantité de matière N, intensité
lumineuse J.
Exemple 1:Soit une distance d parcourue pendant un temps t, la vitesse est la distance parcourue par
unité de temps : v=d/t. On déduit la relation appelée équation aux dimensions entre les dimensions
(notée entre crochets). Soit :
[v]= [d]/[t]=L/T
Exemple 2: une force est le produit d’une masse par une accélération : F=ma. L’équation aux
dimensions donne : dimension d’une masse x dimension d’une accélération, soit [m]x[a].
L’accélération est une distance divisée par un temps au carré, [a]=L/T2). L’équation aux dimensions de
la force est
[F]= [m]x[a]=ML/T2.
Exemple 3: l’énergie est le produit d’une force F par un déplacement d : E=Fxd. L’équation aux
dimensions s’écrit
[E]=[F]x[d]=(ML/T2)L=ML2 /T2.
La chaleur qui est une forme d’énergie a la même dimension.
La puissance est l’énergie par unité de temps : [E/t]= ML2 /T3
Exemple 4: la pression exercée par une force F sur une surface S s’écrit : P=F/S. Comme une surface
est le carré d’une longueur [S]=L2, on obtient l’équation aux dimensions de la pression
[P]=[F]/[S]=(ML/T2 )/L2=M/LT2.
c- Mesure
La mesure permet d’affecter une valeur numérique à une grandeur. Pour faire une mesure on utilise des
propriétés physiques d’un capteur auxquelles on associe une valeur numérique grâce à un instrument
ou une chaine de mesure.
Des mesures comme celles de la température, de l’heure ou du poids, du rythme cardiaque sont
pratiquées couramment.
-Pour la température on utilise la dilatation de solides ou de liquides (thermomètres à alcool ou à
mercure associés à une échelle graduée) ou des phénomènes plus complexes (thermocouples,
résistance de platine, thermistance associés à une chaine électronique de mesure).

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-Pour l’heure, après s’être basé sur la course du soleil, l’homme a fabriqué un instrument, l’horloge
traduisant la durée moyenne du jour, puis utilisé la propriété de vibration du quartz pour mesurer le
temps.
-Le poids s’est d’abord mesuré en équilibrant deux masses dont l’une est une masse de référence
connue, puis en utilisant la propriété piézoélectrique de matériaux qui produisent de l’électricité quand
ils sont comprimés.
Les erreurs de mesures
La mesure d’une grandeur ne conduit jamais à la valeur vraie.
Le problème est que l’on ne connaît pas la vraie valeur. On est donc amené à estimer l’erreur que l’on
commet durant le processus de mesure et donner l’écart possible entre la valeur mesurée et la valeur
vraie.
A cette erreur systématique s’ajoute une erreur aléatoire : il n’y a alors pas d’accord entre des mesures
répétées dans les mêmes conditions. La dispersion des résultats s’exprime à partir de la variance et de
l’écart type (fidélité).
L’erreur de mesure est la somme de l’erreur systématique et de l’erreur aléatoire.
Une mesure sera d’autant plus exacte que la valeur mesurée est proche de la valeur vraie, donc que
l’erreur de mesure est faible.
La mesure de phénomènes biologiques et humains a contribué au développement de la médecine en
facilitant les diagnostiques. Les incertitudes doivent être parfaitement déterminées ce qui implique un
étalonnage spécifique des instruments de mesures utilisés en médecine de dépistage.
Un comité de normalisation des instruments de mesure a été institué pour adopter des normes de
conception et d’étalonnage des instruments dans les différents domaines de la métrologie :
l’Organisation Internationale de la Métrologie Légale (OIML) créée en 1955, ayant son siège à
Paris. Cette organisation est chargée d’harmoniser au niveau international les règlements, les méthodes
et les moyens de contrôle des instruments
3- Echelles et ordre de grandeur
a- Echelle
Une échelle est le rapport entre la mesure d’un objet réel et sa représentation sur un plan ou une
maquette. L’échelle est présentée sous forme d’une fraction :
e = Dimension apparente/Dimension réelle
Exemple : une échelle au 1/100 (échelle au centième) s’écrit : e = 1/100= (dimension apparente 1cm
/dimension réelle 100 cm).
Exemple : échelle au 250 ième, e=1/250= (dimension apparente 1cm/dimension réelle 250 cm)
b- Ordre de grandeur
L’ordre de grandeur est un raccourci pour affecter, dans un système d’unités, une valeur numérique
approximative à une grandeur lorsqu’on n’a pas effectué sa mesure.
Exemple 1 : l’ordre de grandeur de la longueur de façade d’un pavillon est approximativement d’une
dizaine de mètres. Cela peut signifier que ce paramètre peut être dans une fourchette de 5 à 20 m.
Exemple 2 : l’ordre de grandeur de l’épaisseur d’une feuille de papier est du dixième de mm, ou de
l’ordre de 100 
En connaissant l’ordre de grandeur, on peut vérifier l’exactitude d’un calcul.
Exemple 3 : en calculant le volume d’un verre on s’attend à moins d’un demi-litre. Si le résultat est de
l’ordre de grandeur du litre ou plus, il est faux.

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RAPPELS MATHÉMATIQUES
1- Fonction affine.
Exemple 1 : une population de P0=5 000 000 d’habitants a un taux d’accroissement constant
dP/dx=(P(1)-P(0))/(1-0)=(P(2)-P(1))/(2-1)=(P(2)-P(0))/(2-0)…=200 000 habitants chaque année x.
On reporte sur le tableau suivant la population de chaque année.
Ans=x
0
1
2
3
4
Population
5 000 000
5 200 000
5 400 000
5 600 000
5 800 000
P(x)
P(0)
P(1)=P0+200000*1
P(2)=P0+200000*2
P(3)=P0+200000*3
P(4)=P0+200000*4
On appelle x la variable ‘an’. La population se calcule n’importe qu’elle année par la relation :
P(x)=P0+200000*x
Par exemple au bout de 10 ans la population sera de 7 000 000 d’habitants.
P(x) est une fonction affine de x. Sa représentation sur une courbe donnant la population en fonction
du nombre d’années est une droite
2- Fonction exponentielle.
y=ex
ln y=x
dy/dx =y (taux d’accroissement de y par rapport à x).
Exemple 2 : Le taux d’accroissement est maintenant proportionnel au nombre d’habitants
dP/dx=k*P(x). k est le coefficient de proportionnalité. (Nota : dans ce cas la fonction P(x) est égale à
sa dérivée dP/dx au coefficient k près).
P(x) est une fonction exponentielle, la seule qui ait cette propriété. Cette hypothèse est plus plausible
que la précédente car chaque année il nait un certain nombre de filles qui vont procréer. La résolution
de cette équation conduit à l’expression de la population en fonction de x.
Soit : P(x)=5 000 000 EXP(kx), fonction exponentielle croissante qui tend vers l’infini lorsque le
nombre d’années augmente indéfiniment.