Problèmes de flots

R´eseaux de transports et flots
Diff´erents types de probl`emes de flot
Recherche d’un flot de valeur maximale
Flot de coˆut minimum
Probl`emes de flots
Vincent Mousseau
Ecole Centrale Paris,
[e-mail]
January 29, 2009
Vincent Mousseau Probl`emes de flots

R´eseaux de transports et flots
Diff´erents types de probl`emes de flot
Recherche d’un flot de valeur maximale
Flot de coˆut minimum
R´eseaux de transports
Flot, flux
Coupe
1R´eseaux de transports et flots
R´eseaux de transports
Flot, flux
Coupe
2Diff´erents types de probl`emes de flot
D´etermination d’un flot r´ealisable sur un r´eseau de transport
D´etermination d’un flot maximum
D´etermination d’un flot de coˆut minimum
3Recherche d’un flot de valeur maximale
Principe g´en´eral de l’algorithme de Ford-Fulkerson
Construction d’un flot complet
Am´elioration d’un flot r´ealisable
Justification de l’algorithme, convergence et complexit´e
Graphe d’´ecart
4Flot de coˆut minimum
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R´eseaux de transports et flots
Diff´erents types de probl`emes de flot
Recherche d’un flot de valeur maximale
Flot de coˆut minimum
R´eseaux de transports
Flot, flux
Coupe
1R´eseaux de transports et flots
R´eseaux de transports
Flot, flux
Coupe
2Diff´erents types de probl`emes de flot
D´etermination d’un flot r´ealisable sur un r´eseau de transport
D´etermination d’un flot maximum
D´etermination d’un flot de coˆut minimum
3Recherche d’un flot de valeur maximale
Principe g´en´eral de l’algorithme de Ford-Fulkerson
Construction d’un flot complet
Am´elioration d’un flot r´ealisable
Justification de l’algorithme, convergence et complexit´e
Graphe d’´ecart
4Flot de coˆut minimum
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Diff´erents types de probl`emes de flot
Recherche d’un flot de valeur maximale
Flot de coˆut minimum
R´eseaux de transports
Flot, flux
Coupe
R´eseau de transport et flots
D´efinition : un r´eseau de transport de E`a Sest un graphe
G= (X,U) sans boucle, comporte une racine unique E
(appel´ee entr´ee ou source) et une antiracine unique S
(appel´ee sortie ou puit),
`a chaque arc u= (xi,xj)∈Uest associ´e :
une capacit´e not´ee k(u) (ou k(xi,xj) ou kij ) repr´esentant la
quantit´e max. de mati`ere pouvant circuler sur u,k(u)≥0,
une borne not´ee b(u) (ou b(xi,xj) ou bij ) repr´esentant la
quantit´e minimum de mati`ere pouvant circuler sur l’arc u,
k(u)≥b(u)≥0,
un coˆut unitaire not´e c(u) (ou c(xi,xj) ou cij ) repr´esentant le
coˆut d’acheminement d’une unit´e de mati`ere sur l’arc u,
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Diff´erents types de probl`emes de flot
Recherche d’un flot de valeur maximale
Flot de coˆut minimum
R´eseaux de transports
Flot, flux
Coupe
R´eseau de transport
Remarque 1 :
si Gcomporte plusieurs racines e1,e2, ..., en,on se ram`ene `a
un r´eseau en ajoutant `a Xun sommet Eet `a U(E,ei),
∀i= 1,...,n, avec k(E,ei) = +∞,b(E,ei) = 0,
c(E,ei) = 0.
3
2
1
d
c
b
a
Vincent Mousseau Probl`emes de flots