Chapitre 2 : Ondes harmoniques

Chapitre 2!: Ondes harmoniques
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Chapitre 2!: Ondes harmoniques
Les phénomènes ondulatoires considérés jusqu'ici - propagation, réflexion, interférence, etc. -
peuvent s'appliquer à des situations quelconques, qu'il s'agisse d'impulsions uniques (telle une
bosse se propageant le long d'une corde), ou qu'il s'agisse d'ondes à caractère périodique (telle la
suite des crêtes et des creux d'une vague). Le présent chapitre sera consacré plus particulièrement
aux caractéristiques et propriétés des ondes périodiques, c'est-à-dire des ondes présentant une
certaine régularité dans l'espace-temps et décrivant de ce fait certains des aspects essentiels du
son et de la lumière.
2.1 Description mathématique des ondes harmoniques
Les ondes périodiques les plus simples sont des ondes dont la forme est représentée par une
fonction sinusoïdale!: ce sont les ondes harmoniques. Leur importance provient du fait que, d'une
part, elles représentent tout une catégorie de phénomènes familiers et que, d'autre part, n'importe
quelle onde périodique peut être décomposée en une série d'ondes sinusoïdales. Ceci permet de
détailler les caractéristiques physiques responsables de la hauteur d'un son, de la couleur de la
lumière, du timbre d'un instrument etc.
Nous avons vu plus haut qu'une onde progressive est une fonction de type y(x-vt) ou y(x+vt).
Une onde sinusoïdale est donnée par une fonction plus particulière, de type
y(x,t)!=!Asin[k(x-vt)] ou y(x,t) = A!cos[k(x-vt)] ou encore y(x,t)= A sin[k(x-vt)+ φ ]
ainsi que par les relations semblables faisant intervenir x+vt au lieu de x-vt pour les ondes
sinusoïdales se déplaçant en sens contraire. Dans ces expressions A est l’amplitude de l’onde et
représenterait, par exemple, la hauteur d'une vague, φ est le déphasage de l'onde et k est le
nombre d'onde qui sera défini plus bas.
2.2 Caractéristiques d’une onde sinusoïdale
La fonction y(x,t) décrite ci-dessus est ce que l'on appelle une fonction d’onde. Elle dépend de
deux variables et on la représente soit en fixant le temps, la variable de la fonction étant alors la
coordonnée x, soit en fixant la coordonnée spatiale, la variable de la fonction étant le temps t.
 Temps fixe!: l'illustration d'une onde sinusoïdale serait l’image obtenue en prenant un
instantané (photo) d'une coupe de la surface d’un lac sur lequel se propagent des vagues.
La distance entre deux crêtes ou deux creux
successifs est appelée longueur d’onde et est
notée λ . La fonction s’exprime donc comme
€
y(x)=Asin(2
π
λ
x)=Asin(kx)
où
€
k=2
π
λ
est le nombre d’onde.
Image instantanée d'une coupe de la surface d'un
plan d'eau

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Exemple!: Une série de vagues dont les crêtes mesurent 5!cm de haut, est décrite par la fonction
y(x)=!0,05!sin(3x), où x et y sont en mètres. Le nombre d'onde k vaut dans ce cas 3!rad/m. La
longueur d'onde, ou distance entre les crêtes, est alors donnée par λ !=!2π/k!=!2,09!m.
 Coordonnée fixe!: l'illustration en serait le mouvement vertical de va-et-vient d’un bouchon
placé en un endroit donné sur la surface d’un lac parcouru par des vagues.
Film d'un point du plan d'eau en un endroit donné
La durée d'une oscillation complète constitue la période T. Elle correspond, par exemple, au
temps qui s'écoule entre deux passages successifs du bouchon sur une crête. La fréquence f de
l’onde est définie comme l'inverse de la période!: f = 1/T et s'exprime en hertz [Hz = s-1]. La
fonction s'écrit!:
€
y(t)=Asin(2
π
Tt)=Asin(kvt)=Asin(
ω t)
où
€
ω =2
π
T=2
π f
est la fréquence circulaire.
Exemple!: Si les vagues de l'exemple précédent font osciller un bouchon à la surface de l'eau et
qu'il passe par un maximum d'amplitude de 5 cm toutes les 1,2!s, sa fréquence vaut
f!=!1/1,2!=!0,833!Hz et sa fréquence circulaire ω !=!5,24!rad/s. La fonction décrivant le
mouvement du bouchon est alors donnée par y(t) = 0,05 sin(5,24t).
Vitesse, fréquence et longueur d’onde sont liées par la relation!:
€
v= λ !f
En effet, comme l'onde parcourt la distance λ en un temps T, elle se déplace à la vitesse
€
v= λ /T= λ !f
.
Exemple 1!: Les vagues décrites dans les exemples précédents se déplacent à la vitesse
€
v= λ !f=2,09 ⋅0,833 =1,74!!m/s
.
Exemple 2!: La longueur d'onde pour une nuance de vert vaut λ !=!500!nm dans le vide. Il lui
correspond une fréquence
€
f=v/ λ =3⋅108/(500 ⋅10−9)=6,00 ⋅1014 !Hz
.
Exemple 3!: La fréquence des sons audibles s'étend de 20!Hz à 20!kHz. Pour un son se
propageant à 344!m/s, cela correspond à des longueurs d'onde comprises entre 17,2!m et
17,2!mm.
Une onde sinusoïdale est donc caractérisée par une amplitude A (exprimant dans notre exemple
la cote maximum d’un point de la vague au-dessus de la surface d’équilibre), par une fréquence
f, par une longueur d’onde λ et par une vitesse de propagation v.

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2.3 Addition d’ondes sinusoïdales
Le principe de superposition s’applique bien sûr aussi aux ondes harmoniques. Considérons le
cas de deux ondes de même amplitude et de même fréquence f se propageant dans le même sens.
Selon la relation de phase (ou "décalage" δ) entre ces ondes, l’addition algébrique des ondes (a)
et (b) conduit aux résultats suivants!:
a et b peu décalés a et b décalés
a et b fortement décalés a et b presque en opposition
On voit que deux ondes peuvent se contrarier et même s’annuler,! ou au contraire se renforcer.
La somme «!1+1!» peut ainsi valoir n’importe quel nombre compris entre «!0!» et «!2!»!!
Deux ondes se renforcent si le décalage δ entre elles vaut un nombre entier m de longueurs
d’onde!:
€
δ =m! λ
,
€
m=0, ±1, ±2...
et s’annulent si le décalage est un nombre entier impair de demi- longueurs d’onde!:
€
δ =(2m+1)
λ
2=m
λ +1
2
λ
Exemple!: Si le décalage entre deux ondes de lumière jaune ( λ !=!600!nm) est de 0,6!µm il y a
renforcement des deux ondes (m = 1)!; si le décalage est de 1,5!µm il y a annulation des deux
ondes (décalage de 5 demi longueurs d'onde).

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2.4 Fronts d’onde et rayons
Le lieu géométrique des points où la perturbation, à un instant donné, possède la même valeur est
appelé front d'onde. La direction de propagation de l'onde est perpendiculaire aux fronts d'onde
et l'ensemble de ces directions constitue les rayons de l'onde. Lorsque l'on jette un caillou dans
l'eau par exemple, il se forme une série d'ondes circulaires qui s'éloignent du point d'impact. Les
fronts d'onde sont dans ce cas des cercles (visualisés par les crêtes de l'onde) et leur propagation
est représentée par les rayons perpendiculaires aux cercles!:
Pour une source d'ondes ponctuelle les fronts d’onde sont des surfaces sphériques se propageant
dans tout l'espace. La conservation de l’énergie, et donc de la puissance, implique que l’intensité
de l’onde décroît dans ce cas avec le carré de la distance, puisqu'en se propageant la puissance
initiale se répartit sur une surface de plus en plus grande au fur et à mesure que l'on s'éloigne de
la source!:
€
Intensité =Puissance de la source
4 π r2
où r est la distance à la source.
Exemple 1!: Un haut-parleur dont la puissance sonore est de 0,5!W, produit à 8!m une intensité
€
I=P
sonore /(4
π !r2)=0,5 /(4 π ⋅82)
!=!622!µW/m2 .
Exemple 2!: Pour que l'intensité I de l'onde soit de 1!W/m2 (seuil de douleur) à 50!cm, la
puissance sonore du haut-parleur doit valoir
€
P
sonore =I⋅4
π !r2=1⋅4 π (0,5)2=3,14!W
.
2.5 Principe de Huygens
Il consiste à assimiler chaque point d’un front d’onde à une source d'onde élémentaire sphérique
(ou circulaire), appelée ondelette. L'enveloppe des ondelettes ainsi créées forme ensuite le
nouveau front d'onde. Ce principe permet d'expliquer la propagation rectiligne ou sphérique
d'une onde, le phénomène de diffraction, ainsi que les lois de la réflexion et de la réfraction.
Propagation rectiligne!: Diffraction!:

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La loi de la réfraction peut être démontrée à partir du principe de Huygens!:
Elle s'exprime de manière générale comme!:
€
sin α
1
v1
=sin
α
2
v2
v1 et v2 étant les vitesses de l'onde dans les milieux 1 et 2.
Exemple 1!: Une onde lumineuse passe du vide (v1 = c) dans l'eau (v2 = c/1,33). Si l'onde est
incidente sous un angle de 45°, elle est réfractée dans l'eau avec un angle donné par
€
sin α
2=sin
α
1⋅(v2/v1)=sin(45°) /1,33 =0,532
, soit
€
α
2=32,1°
.
Exemple 2!: Une onde sonore passe d'une zone où la température de l'air est de 0°C (v1!=!331m/s)
à une zone où la température de l'air est de 40°C (v2 =!354!m/s). L'angle d'incidence étant de 20°,
l'angle de réfraction est donné par
€
sin α
2=sin
α
1⋅(v2/v1)=sin(20°)⋅(354 /331) =0,366
soit
€
α
2=21,5°
. Le changement de direction est donc de 1,5°. On notera que le son est totalement
réfléchi sur la couche d'air chaud si l'angle incident dépasse l'angle critique valant ici 69,2°. En
effet,
€
sin α
2=sin
α
1⋅(v2/v1)=sin(69,2°)⋅(354 /331) ≅1
donne pour l'angle réfracté
€
α
2=90°
!: il
n'y a donc pas de rayon réfracté. Ceci explique que le soir, dans les plaines étendues des pays
chauds, on entend particulièrement bien des sons provenant de sources éloignées, les couches
d'air inférieures s'étant refroidies plus rapidement que les couches élevées (mirage acoustique) et
le son étant de ce fait totalement réfléchi par les couches supérieures.
2.6 Interférences et fentes de Young
Lorsqu'une onde monochromatique plane (longueur d'onde λ ) est incidente sur un cache percé de
deux petites fentes distantes de d (fentes de Young), on considère chaque fente comme étant la
source d'ondelettes qui vont se superposer. La différence de chemin ou décalage entre les deux
ondelettes - ou rayons - interférant en un point P d'un écran très éloigné (de sorte que les rayons
puissent être considérés comme parallèles), sera donnée par
€
δ =d!sin θ
. L’interférence entre les
ondelettes conduit à un maximum d’intensité si δ est un nombre entier de longueurs d’onde,
c’est-à-dire si
€
δ =d!sin θ =m! λ
. On trouve ainsi les angles θ pour lesquels on a un maximum
d’intensité!:
€
sin θ
m=m
λ
d
,
€
m=0, ±1, ±2...
C’est en particulier le cas pour θ = 0° (correspondant à m = 0).