ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE ( ) ( ) ( )

Spé ψ 2011-2012
Devoir n°5
ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE
PARTIE I
MOTEUR ELECTRIQUE A COURANT CONTINU ET SA COMMANDE
Le principe de la conversion d’énergie électrique en énergie mécanique repose sur une interaction champ magnétique-courant électrique.
L’espace sera repéré par les bases habituelles e x , e y , e z ou er , eθ , e z suivant que l’on
(
)
(
)
travaille en coordonnées cartésiennes ou cylindriques. L’axe principal de la machine est colinéaire à
ez .
Dans la machine à courant continu que nous étudions ici, le stator aussi appelé inducteur est
alimenté par un courant continu, appelé courant d’excitation et noté iEXC. Il crée à l’intérieur de la
machine un champ magnétique radial, porté par e r : B = Br e r avec Br = Br ( iEXC , θ ) = K ( θ ) iEXC
qui est proportionnel au courant d’excitation iEXC et qui dépend de θ.
 π
On a K ( θ ) = k pour θ ∈  − ,
 2
constante positive.
π
π π 

et
K
θ
=
−
k
pour
θ
∈
−π
,
−
∪ , π où k est une
(
)

2 
2   2 
Pour un courant d’excitation iEXC positif donné, Br ( iEXC , θ ) est
Br ( iEXC , θ )
alors la fonction de θ constante par morceau représentée figure 1 :
kiEXC
Le rotor, aussi appelé induit, se compose de N spires rectanguπ
laires montées en parallèles. Les spires de rayon a et de longueur h, ont
–π
θ
pour axe principal z’z. Lorsque le rotor est parcouru par un courant
–π/2
π/2
continu I, chaque spire est parcourue par le courant IS = I/N. Ces spires
–kiEXC
peuvent tourner autour de l’axe de rotation z’z.
Un système bagues-balais permet d’inverser le courant dans les
Figure 1
spires à chaque demi-tour de sorte que l’on se trouve toujours dans la
configuration décrite par les figures 2 et 3.
D’un point de vue électrique, chaque spire du rotor a une résistance r et une inductance propre ℓ .
y
système
bagues-balais
B
δ
IS
γ
B
2a
z’
θ
B
conducteur retour
conducteur aller
x
α
trajectoire d’un conducteur
B
IS
β
h
Figure 2
Figure 3
D’un point de vue mécanique, le rotor tourne autour de l’axe z’z à la vitesse angulaire
Ω = Ω e z , on note J son moment d’inertie.
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z
Modélisation :
I-1) Par induction électromagnétique, un circuit électrique peut être le siège d’une tension
induite. Rappeler dans quelle(s) condition(s) ce phénomène apparaît ; on distinguera le cas de Neumann et le cas de Lorentz.
eγδ
I-2) Lorsque le rotor tourne, il apparaît le long des conducℓ
teurs aller (α, β) et retour (γ, δ) deux tensions induites eαβ et eγδ de
sorte qu’une spire peut être modélisée par le schéma électrique de la
r
figure 4 .
IS
Déterminer les f.e.m. (forces électromotrices) induites eαβ et
eαβ
eγδ en fonction de Ω, a, h, k et iEXC. En déduire la f.e.m. totale induite aux bornes d’une spire.
Figure 4
I-3) On modélise le rotor par le circuit R, L, E alimenté
par une source de tension continue V représenté figure 5.
I
V
Donner les expressions de R, L et E en fonction de r, ℓ, Ω,
L
I
a, h, k, iEXC et N.
E
R
I-4) Applications numériques :
Figure 5
On donne r = 12 Ω ; ℓ = 1,4 H ; a = 25 cm ; h = 1,1 m,
N = 40 spires, iEXC = 0,5 A et k = 3,2 S.I. Le moteur fonctionne
en régime permanent à 3000 tours par minute. Il est alimenté par une source de tension V = 310 V.
Préciser les valeurs numériques de R, L et E. Quelle est l’intensité du courant absorbé par le
moteur ?
Étude mécanique :
Lorsque le moteur est parcouru par un courant continu I, il est soumis à des forces électro
magnétiques de moment (ou couple) Γ = Γ e z .
I-5) Exprimer Γ en fonction de I, a, h, k et iEXC.
Application numérique : calculer le couple Γ pour un courant I = 113 A.
Étude énergétique
On considère un fonctionnement moteur pour lequel Ω = 3000 tr/min, V = 310 V et
I = 113 A.
On note :
PMECA la puissance mécanique délivrée par le moteur ;
PJ les pertes Joule dissipée dans le moteur ;
PALIM la puissance délivrée par l’alimentation.
I-6) Quelle relation existe-t-il entre ces trois puissances ? Calculer chacune d’elles.
I-7) Définir le rendement du moteur et le calculer.
Compromis couple/vitesse :
On suppose ici que le moteur est fortement sollicité de sorte que l’alimentation stabilisée en
tension délivre son courant maximum dit courant de saturation. V et I sont alors fixés !
I-8) Comment varie la vitesse de rotation du moteur ainsi que le couple Γ si l’on diminue
progressivement le courant d’excitation iEXC ? Expliquer pourquoi un véhicule tout électrique, motorisé par une machine à courant continu, peut s’affranchir d’une boite de vitesse. On pourra, par
exemple, expliquer comment agir sur le courant d’excitation pour simuler un « rétrogradage ».
Alimentation de la machine par un hacheur série
Le véhicule, motorisé par la machine à courant continu (M.C.C.) modélisée précédemment,
est alimenté par une source de tension constante U = 400 V, par l’intermédiaire d’un hacheur série,
de rapport cyclique α et de période de hachage T, représenté figure 6.
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La M.C.C. est considérée, dans cette partie, comme pari
faite, on néglige sa résistance R. Son modèle se ramène ainsi à une
L
iK
inductance L en série avec la f.e.m. E. On supposera ici que le
iD
K
courant d’excitation iEXC ne varie pas. Il est fixé à 0,5 A. La f.e.m.
D
E est donc proportionnelle à la vitesse. On a E = 276 V pour U
Ω = 3000 tr/min.
La commande du transistor K est la suivante :
sur l’intervalle [0, αT], le transistor K est pasFigure 6
sant ;
sur l’intervalle [αT, T], le transistor K est bloqué ;
Dans les mêmes conditions de frottement, on a relevé les deux chronogrammes de la figure
7. L’un des deux est obtenu lorsque le véhicule roule sur le plat, l’autre lorsqu’il aborde une montée.
Courant (A)
Courant (A)
IMAX = 61 A
IMAX = 126 A
IMIN = 50 A
IMIN = 115 A
t
t
0
0
5 ms
5 ms
chronogramme 2
chronogramme 1
Figure 7
I-9) Quel chronogramme correspond au fonctionnement en montée du véhicule ? Parmi les
courants iK, iD et i, quel est celui relevé sur les chronogrammes ? Quelle est la fréquence de hachage ? Que vaut approximativement le rapport cyclique α ?
I-10) Écrire l’équation différentielle reliant i, U et E sur l’intervalle de temps [0, αT]. En déduire l’ondulation du courant ∆i = IMAX – IMIN en fonction de L, U, E, α et T.
I-11) Écrire l’équation différentielle reliant i et E sur l’intervalle de temps [αT, T]. En déduire une autre expression de l’ondulation du courant ∆i = IMAX – IMIN en fonction de L, E, α et T.
I-12) D’après les deux relations précédentes, déterminer la relation entre E, α et U. Quelle
est approximativement la vitesse de rotation de la M.C.C. au cours des deux essais correspondant
aux chronogrammes précédents (on prendre α = 0,74) ? Quelle est la vitesse de rotation maximale
du dispositif étudié ici ?
I-13) Exprimer ∆i en fonction de L, α, T et U. Retrouver, à l’aide des chronogramme précédent, la valeur de l’inductance L si α = 0,74.
Partie II
MACHINE A RELUCTANCE VARIABLE
Il existe un type de machine électrique, dit à réluctance variable (MRV) dont le couple est
dû à l’interaction mutuelle entre une partie fixe (bobines) et une partie ferromagnétique mobile. Elle
est constituée d’un stator en matériau ferromagnétique comportant plusieurs bobines réparties sur
les dents. Le rotor, également en matériau ferromagnétique, guidé en rotation, possède plusieurs
dents. Un schéma d’une machine monophasé est indiqué figure 8.
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E
CMAG
La section moyenne du stator est notée
SS et la section de l’entrefer, notée SE ( θ ) et
θ
dépendante de l’angle θ, correspond quant à
elle à la section équivalente en regard entre le
I
SE ( θ )
stator et le rotor.
Pour simplifier, on négligera les flux de
n spires
U
fuite ainsi que les effets de bords mais en reROTOR
vanche, on supposera que cette section
d’entrefer varie en fonction de θ d’un minimum
SE,MIN à un maximum SE,MAX.
Le bobinage comportant n spires est
alimenté par une tension U et un courant I et
e ( θ) / 2
possède une résistance globale RL.
STATOR
SS
II-1) Expliquer succinctement pourquoi
une machine à réluctance variable est plus roℓMAG
buste qu’une machine à courant continu.
II-2) On note CMAG le chemin magnétiFigure 8
que moyen associé au circuit magnétique. Ce
chemin est composé d’une longueur moyenne
ℓm de matériau ferromagnétique et d’une longueur totale d’entrefer, dépendant de l’angle θ, notée
e ( θ ) ∈ [ eMIN , eMAX ] . La longueur totale du chemin magnétique fermé est donc ℓ m + e ( θ ) . Le matériau ferromagnétique est de perméabilité relative µr (on note µ0 la perméabilité du vide assimilée à
celle de l’air) et supposé non saturé. On note H l’excitation magnétique et B le champ magnétique
associé. On supposera que ces deux vecteurs sont de modules constants dans chaque matériau le
long du chemin magnétique ( H MAT , B MAT dans le milieu ferromagnétique et H AIR , B AIR dans
l’entrefer).
a) Exprimer ∫ H ⋅ τ d ℓ de deux manières.
CMAG
b) Le chemin magnétique s’appuyant sur un tube de champ magnétique, montrer que
µ 0 SS
le flux magnétique Φ traversant une spire de la bobine s’écrit Φ =
nI .
SS
ℓm
+
e ( θ)
µ r SE ( θ )
II-3) La réluctance magnétique R du montage est définie par la relation RΦ = nI .
a) Justifier le nom de machine à réluctance variable.
b) Donner la relation entre la réluctance magnétique et l’inductance magnétique L
définie par LI = nΦ .
c) En fonction de l’angle θ variant de 0 à 2π, donner le tableau de variation des fonctions e ( θ ) et SE ( θ ) (l’expression de ces deux fonctions n’est pas demandée). En déduire
l’intervalle [ LMIN , LMAX ] dans lequel varie l’inductance au cours du mouvement du rotor.
II-4-a) Calculer la f.e.m. induite dans la bobine en fonction, en particulier, de n et de
d θ (t )
Ω (t ) =
. Comparer avec le cas d’une machine à courant continu (M.C.C.).
dt
b) Indiquer le schéma électrique équivalent de la bobine et en déduire la relation entre U et I.
On veut effectuer un bilan de puissance sur l’ensemble du circuit afin de déterminer le couple électromagnétique appliqué au rotor.
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II-5) On note WMAG l’énergie du champ magnétique et PELEC la puissance électrique fournie
au système. Elle se répartit en pertes par effet Joule PJOULE, en puissance mécanique PMECA et en
puissance transmise au champ magnétique PMAG. On note C le couple électromagnétique appliqué
sur le rotor. Écrire le bilan de puissance en explicitant chaque terme.
II-6) Compte tenu de l’équation établie en II-2-b, on peut considérer l’énergie magnétique
comme une fonction d’état dépendant uniquement de la position angulaire θ et du flux magnétique
Φ : WMAG ( Φ, θ ) .
a) À partir du bilan de puissance de la question précédente et de la loi des mailles,
montrer que le courant et le couple sont donnés, pour tout angle θ et tout flux Φ , par les relations :
∂WMAG ( Φ, θ )
1 ∂WMAG ( Φ, θ )
et C =
.
n
∂Φ
∂θ
1
b) Pour un matériau non saturé, on peut écrire WMAG = LI 2 . Établir l’expression du
2
dL ( θ )
couple électromagnétique instantané C appliqué sur le rotor en fonction de I et de la dérivée
.
dθ
c) Montrer alors que le couple électromagnétique moyen sur un tour du rotor est nul
à courant constant.
Dans le cas où le courant est constant, le couple moyen est nul sur un tour et le moteur ne
peut pas fonctionner. Le principe d’alimentation d’une machine à réluctance variable est donc
dL ( θ )
d’injecter un courant quand la dérivée
est positive, de façon à avoir un couple instantané
dθ
positif, et de ne pas injecter de courant quand cette dérivée est négative, afin d’annuler le couple
instantané. Ainsi le couple moyen est strictement positif. Cette alimentation est possible par
l’utilisation d’un onduleur qui permet d’obtenir un créneau d’intensité I = IMAX ou I = 0.
II-7) Déterminer les angles pour lesquels un courant doit être injecté. En déduire la valeur du
couple moyen appliqué au rotor de la machine à réluctance variable monophasée en fonction de
IMAX, LMIN et LMAX. Comparer avec le cas d’une machine à courant continu (M.C.C.).
I=
Le couple ainsi obtenu est strictement positif et permet au moteur de fonctionner. De façon à
lisser le couple et à éviter l’annulation du couple pour certains angles, plusieurs pôles sont utilisés
et sont régulièrement répartis sur le rotor (figure 9).
Figure 9
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