THESE Calcul de la courbe de Paschen et la tension de claquage

République Algérienne Démocratique et Populaire
‫ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﻌﺎﻟﻲ ﻭ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬
LABORATOIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D’ORAN Mohamed
Boudiaf
Physique des Plasmas,
Matériaux Conducteurs et leurs Applications
Faculté des Sciences
Département de Physique
Spécialité : Physique
Option : Physique des Plasmas et des Matériaux
THESE
Présenté par
Melle. GHALEB Fatiha
Pour l’obtention du Diplôme de Doctorat Es-Science
Thème
Calcul de la courbe de Paschen et la tension de
claquage pour les décharges à gaz rare
Soutenu le : …. 2013 devant la commission d’examen composée de :
Qualité
Nom et Prénoms
Grade
Etb d'origine
U
U
U
U
Président
Mr. KAMECHE Mostèfa
Professeur
USTO-MB
Rapporteur
Mr. BELASRI Ahmed
Professeur.
USTO-MB
Examinateur
Mr. BOUAMOUD Mammar
Professeur.
Univ. de Tlemcen
Examinateur
Mr. LIANI Bachir
Professeur.
Univ. de Tlemcen
Examinateur
Mr. YANALLAH Khelifa
M.Conf. A
Univ. de Tiaret
Membre Invité
Mme. BENSTAALI Wafa
M.Conf. B
Univ. de Mostaganem
Année Universitaire : 2012/2013
Laboratoire de Physique des Plasmas, Matériaux conducteurs et leurs Applications
Remerciements
Remerciements
« Imagination is more important than knowledge... »
Albert Einstein
« Hier n'est qu'un rêve, demain n'est qu'une vision.
Mais un aujourd'hui bien vécu fait de chaque hier un
rêve de bonheur, et de chaque demain un rêve
d'espoir. Par conséquent, envisagez bien ce jour.
Anonyme »
Voici venu les temps des remerciements. Nous pourrions penser que cet exercice est
simple, détrompez-vous ! Je pense que c’est peut être le plus difficile dans une thèse. En effet,
chaque personne citée (et espérons n’avoir oublié personne) mérite la plus belle phrase et j’avoue
ne pas être douée de réels talents littéraires… Je vais donc essayer de faire de mon mieux …
Mes remerciements s’adressent en premier lieu à mes parents pour m’avoir toujours
témoigné leur confiance, pour leur soutien et leur compréhension de tous les instants qu’ils
m’ont apporté tout au long de mes études et pour m’entourer au quotidien d’une inestimable
affection. Je remercie profondément Monsieur Ahmed BELASRI, Professeur à l’Université
Mohammed Boudiaf USTOMB, qui a supervisé cette recherche et été d’un appui constant tout
au long de ces années. Pour ces moments passés à réfléchir puis à plaisanter, pour le soutien, la
patience et la disponibilité dont vous avez fait preuve à mon égard tout au long de ce travail,
ainsi que pour les conseils que vous m’avez donnés, je tiens à vous présenter mes plus profonds
et sincères remerciements.
Monsieur M. KAMECHE, Professeur à l’Université de Mohamed Boudiaf USTMB, a
accepté de juger ce mémoire. Je lui suis très reconnaissante d’être le président de jury de cette
thèse.
Monsieur M.BOUAMOUD, professeur à université de Tlemcen à bien voulu examiner
ce travail en qualité d’examinateur. Je le remercie de me faire l’honneur de participer au jury de
cette thèse.
Je suis sensible à l’honneur que me fait Monsieur B. LIANI, Professeur à l’université de
Tlemcen, en acceptant de participer à ce jury de thèse. Je tiens donc tout naturellement à le
remercier ici.
Je remercie, Monsieur K. YANALLAH, Maître conférence à l’Université de Tiaret,
pour m’avoir évalué mon travail de thèse et pour avoir accepté d’être un des examinateurs de
cette thèse.
Je remercie aussi vivement Madame W. BENSTAALI, Maître conférence à l’Université
de Mostaganem pour l’honneur qu’elle me fait en acceptant de participer au jury de cette thèse.
Un grand Merci à l’équipe "LPPMCA", Dris, Zoheir, Soumia, Wafa, Khadija,
Mokhtaria, Halima, Houcine, Nadjet, Amar, Salim, Sidahmed, Rachid, Habiba, Sara…, pour
leur soutien, pour les fous rires, pour les pauses café, certaines assez mémorables, pour les
discussions non-scientifiques que nous avons eues. Cette contribution m’a fourni le soutien
psychologique et émotif nécessaire à la réalisation de cette thèse. Je remercie aussi Souad,
Hanane, Saleha, Houria, Nada, Sidahmed, Mohamed, Hichem, farouk, pour leur présence au
sein du groupe. Merci aussi à Souad, Fatima, Selma, à Leila pour leur bonne humeur, pour leur
présence. Je remercie également les étudiants du département de physique pour leur sympathie et
pour les longues conversations, pour les bons moments !!! Merci à vous, merci.
Une pensée pour mes "grands parents ". A mon petit frère, Merci pour tes conseils avisés,
pour ta présence. .Merci aussi à mes sœurs Djamila, Samira, Ibtissem, Soumia et ma petite sœur
sarra, sans oublié mes nièces Lamis et Tasnim. Merci à tous les membres de la famille Ghaleb et
Hadjit. Un petit mot particulier pour ma copine "Souad", à qui j’ai envie d’adresser un grand
Merci pour avoir été présente tout au long de ces années et qui m’a aidé à gérer mon stress.
…. Pour toutes ces personnes, MERCI…..
Résumé
Laboratoire LPPMC : Physique des plasmas, matériaux Conducteurs et leurs
applications.
Intitulé: Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les décharges à
gaz Rare
Résumé de thèse de Doctorat en science
Le claquage électrique dans un gaz est le processus de passage de l’état quasi isolant à
un état conducteur lorsqu’un champ électrique suffisamment intense est appliqué. La valeur
de la tension associée à cette transition se nomme tension de claquage et correspond à la
première valeur de la tension et donc l’énergie optimale pour laquelle la décharge devient
autonome ou auto-entretenue. Cette étude est motivée par l’intérêt que suscitent les décharges
à gaz rare dans de nombreuses applications industrielles comme ; les lampes à excimer, les
procédés de nettoyage et de décontamination de surfaces, la désinfection et la
décontamination de l’eau et de l’air, les modifications de propriétés de surfaces ainsi que de
nombreuses applications liées à la photo-médecine et la photo-biologie.
Dans la première partie de ce travail, un modèle analytique est développé pour décrire
le claquage du gaz dans une décharge électrique. Le modèle repose sur la résolution de
l’équation d’auto-entretien et l’équation de la loi de Paschen pour les gaz rares comme
l’argon, hélium, krypton, néon, xénon, et leurs mélanges. Les résultats de cette approche
analytique permettent de calculer les courbes de Paschen dans ces gaz rares.
Ces données sont ensuite utilisées pour simuler les décharges électriques et mettre en
avant le rôle joué par la géométrie bidimensionnelle dans le modèle fluide 2D, qui est basé sur
la résolution des équations de continuité et quantité de mouvement des particules chargées
couplées à l’équation de Poisson. Ce modèle est consacré à la détermination numérique de la
tension de claquage en fonction du produit pression distance inter-électrode pour différents
gaz. En suite, nous nous sommes penchés plus particulièrement sur les cas des structures
coplanaires et matricielles dont les résultats sont qualitativement en accord avec des résultats
expérimentaux. En fin, le travail a fait l’objet aussi d’analyse de l’effet de certains paramètres
physiques (pourcentage gazeux, pression, distance inter-électrode, coefficient d’émission
secondaire…) sur la valeur de la tension de claquage.
Mots-clés : tension de claquage, modèle analytique, modèle bidimensionnel,
coefficient d’ionisation, coefficient d’émission secondaire.
i
Laboratory LPPMC: plasma physics, conductive materials and their applications.
Entitled: Calculation of the Paschen Curve and the Breakdown Voltage for
the Discharge of Rare Gas
Abstract
The electrical breakdown in a gas is the process of switching from the quasi-state
insulator to a conductor status when an electric field is applied intense enough. The value of
the voltage associated with this transition is called breakdown voltage and corresponds to the
first value of the voltage and therefore the optimum energy for which the discharge becomes
self-sustaining. This study is motivated by the interest the discharges to rare gas in many
industrial applications such as; the lamps to excimer, the processes for cleaning and
decontamination of surfaces, the disinfection and decontamination of the water and the air, the
changes of properties of surfaces as well as many applications related to the photo-medicine
and the photo-biology.
In the first part of this work, an analytical model is developed to describe the
breakdown gases in an electrical discharge. The model is based on the resolution of the selfsustaining equation and Paschen's law equation for the rare gases such as argon, helium,
krypton, neon, xenon, and their mixtures. The results of this analytical approach allow you to
calculate the curves of Paschen in these rare gases.
These data are then used to simulate the electric discharge and highlight the role
played by the two-dimensional geometry in the fluid model 2D, which is based on the
resolution of the equations of continuity and quantity of movement of charged particles
coupled to the Poisson equation, this template is devoted to the numerical determination of the
breakdown voltage as a function of the product pressure inter-electrode distance for different
gases. In a suite, we looked more particularly on the cases of the coplanar and matrix
structures which the results are qualitatively in agreement with the experimental results. In the
end, the work has also been the subject of analysis of the effect of certain physical
parameters (gases percentage, pressure, distance inter-electrode, secondary emission
coefficient…) on the value of the breakdown voltage.
Keywords: breakdown voltage, analytical model, two-dimensional model, ionization
coefficient, secondary emission coefficient
i
Liste des Acronymes
Liste des acronymes
Institutions
A.C
At
Ar
Bm
CF4
CH4
DBD
D.C
DLPA
DTPA
E.U.V
Ex-Vivo
He
H2
Kr
M.E.B
M.E.M.S
M.H.C
NH3
N2
Ne
O2
PDP ou PAP
PC
Polyimide
RF
SF6
U.V
V.U.V
Xe
X.U.V
𝝁𝝁T.A.S
Alternatif current (courant alternatif)
Atome
Argon
Atome métastable
Carbon tetrafluoride (tétrafluorure de carbone)
Méthane
Dielectric barrier discharge (décharge à barrière diélectrique)
Direct Current (courant continue)
Décharge luminescente à pression atmosphérique
Décharge de Townsend à la Pression Atmosphérique
Extrême UltraViolet (radiation électromagnétique)
En latin: "hors de la vie" signifie ce qui a lieu en dehors d'un
organisme. En science, ex vivo se réfère à l'expérimentation ou des
mesures effectuées sur le tissu extérieur de l'organisme
Hélium
Hydrogène
Krypton
Microscope Electronique à Balayage
MicroelectroMechanical Systems (système microélectro-mécanique)
Micro-Hollow Cathode (micro-cathode creuse)
Ammoniac
Nitrogène
Néon
Oxygène
Plasma Display Panel ou Panneau d’Affichage de Plasma
Personnel Computer (Ordinateur personnel)
c'est un polymère à base d'imide (amide : radical ammonium lié à
deux groupes carbonyles (R-C=O) liés à l’atome d’azote).
Radio frequency (radio-fréquence)
Hexafluorure de soufre
UltraViolet (radiation électromagnétique), 400 à 100 nm de
longueur d’onde
Un sigle, qui signifie : Rayons ultraviolets de vide (Vacuum Ultra
Violet) de 200 à 10 nm de longueur d'onde
Xénon
est distinct des rayons X et de VUV dans le mécanisme dominant
de la photon-matière
Micro Total Analysis Systems (Micro Systèmes D'Analyse Total)
ii
Liste des Symboles
Liste des Symboles
Terme
ne
ni
ne,i
𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑒𝑒
d
P
P.d
P.d min
P1
P2
Id
Vd
Va
Vg
𝑉𝑉𝑠𝑠
Vds
Vds0
Cds
Cg
ℎ𝜈𝜈
V
𝑛𝑛
𝑛𝑛0
𝑛𝑛+
𝐼𝐼
𝐼𝐼0
𝜈𝜈
𝜆𝜆
𝜑𝜑
𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶
Vt
Unité
m-3
m-3
m-3
K
K
K
cm
torr
torr.cm
torr.cm
torr
torr
A
Volt
Volt
Volt
Volt
Volt
Volt
F
F
eV
Volt
----
A
A
s-1
m
eV
Volt
Volt
Définition
Densité électronique
Densité ionique
Densité électronique et ionique
Température de gaz
Température d’ion
Température d’électron
Distance inter-électrode
Pression
Produit pression-distance inter-électrode
Produit pression-distance minimum
Pression partielle du gaz 1
Pression partielle du gaz 2
Courant de décharge
Tension de décharge
Tension d’allumage
Tension de gaz
Tension d’entretien
Tension diélectrique du solide
Tension diélectrique du solide initiale
Capacité diélectrique du solide
Capacité de gaz
Energie de photon
Tension
Nombre d'électrons atteignant l'anode
Nombre d’électrons laissant la cathode
Nombre d'électrons libérés de la cathode
due au bombardement ionique
Courant
Courant de saturation
Fréquence
Longueur d’onde
Fonction de travail de l'électrode
métallique
Tension de claquage
Tension de seuil de claquage
iii
∆𝑉𝑉
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐
--
je ( x )
A.cm-1
A.cm-1
A.cm-1
je ( 0 )
A.cm-1
je ( d )
A.cm-1
j
je
x
α
α/P
αM
cm
cm-1
Sur-tension
Nombre d’électrons du seuil critique
Densité de courant
Densité de courant électronique
Densité de courant électronique à l’anode
Densité de courant électronique à la
cathode
Densité de courant à l’anode
distance
Coefficient d’ionisation (1ére Coefficient
de Townsend)
Coefficient d’ionisation réduit
Coefficient d’ionisation de mélange
Coefficient d’ionisation de gaz 1
Coefficient d’Ionisation de gaz 2
Pourcentage du gaz 1
Pourcentage du gaz 2
Densité de courant externe
Densité de courant ionique
Densité de courant ionique à la cathode
jp ( 0)
cm-1.torr-1
cm-1.torr-1
cm-1.torr-1
cm-1.torr-1
%
%
A.cm-1
A.cm-1
A.cm-1
jp ( x)
A.cm-1
Densité de courant ionique à l’anode
jp ( d )
A.cm-1
jtot
jtot ( x )
A.cm-1
A.cm-1
Densité de courant ionique à l’anode,
lorsque x=d
Densité de courant total
Densité de courant total à l’anode
jtot ( 0 )
A.cm-1
Densité de courant total à la cathode
jtot ( d )
A.cm-1
Densité de courant total à l’anode, lorsque
x=d
Coefficient
d’émission
électronique
secondaire (2éme coefficient de Townsend)
Coefficient d’émission secondaire de Néon
Coefficient d’émission secondaire de
Xénon
Focused-ion-beam
(faisceau
d’ion
focaliser)
Coefficient d’émission secondaire dus à la
neutralisation Auger
α1
α2
g1
g2
jsat
jp
γ
--
γ Xe
---
γ-FIB
--
γN
--
γ Ne
iv
Volt
γD
--
M
--
E
V.cm-1
V.cm-1.torr-1
E
P
--
R
t
s
et V.cm-1.torr-1
C et D
cm-1.torr-1
A et B
cm-1.torr-1 et V.cm-0.5.torr-0.5
εi
eV
φm
eV
eV
eV
εF
Wi
e
C(Coulomb)
Vi
eV
Qi
P.t
P.x
m
𝑣𝑣
r
Kg
torr.s
torr.cm
Kg
m/s
f(r,v,t)
𝑛𝑛(𝑟𝑟, 𝑡𝑡)
cm
-m-3
g
m/s-2
∅𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
∅𝑖𝑖 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
S(x,t)
V.m
V.m
µe
--
Torr.cm2/V/s
Coefficient d’émission secondaire dus à
désexcitation Auger
Multiplication électronique
Champ électrique
Champ électrique réduit
Constante varie entre 0.5 (gaz rares) et
1(gaz moléculaire)
Temps
Constantes
positives
(mesurés
expérimentalement)
Constante
positives
(mesurés
expérimentalement)
Energie
d’ionisation
(potentiel
d’ionisation)
Travail de sortie du solide
Energie de Fermi
Energie d’ionisation qui retient électron
dans l’orbite de l’atome
Charge électronique=1.6 10-19 C
Potentiel d'ionisation est l'énergie qu'il
convient de fournir à un atome gazeux
pour lui arracher un électron. correspond
au potentiel de première ionisation
Masse des gaz
Produit pression.temps
Produit pression.distance
Masse
Vitesse
Vecteur de position
Fonction de distribution
Densité moyen des particules à r et t
donné
Accélération des forces extérieures dues à
l’action des champs électriques et
magnétiques
Flux électronique
Flux ionique
Terme source
Mobilité électronique
v
µi
De
Di
F
χ
ε
K
ε0
Cequ
𝜌𝜌
vi
Torr.cm2/V/s
Torr.cm2/s
Torr.cm2/s
N
--
eV
W.m-1.K-1
F.m-1
F
--
Mobilité ionique
Coefficient de diffusion électronique
Coefficient de diffusion ionique
Force
fonction
Energie
Conductivité thermique
Permittivité du vide
Capacité équivalente
Charge d’espace
Liste des Illustrations
Table des illustrations
Chapitre I
Figure I.1 – Graphique illustrant la condition de stabilité imposée par le critère
Pression×Distance {Duf-09}.
Figure I.2 – Dimensions caractéristiques, densité de gaz et densité plasma, relatives aux
technologies de la microélectronique {Bec-06}.
Figure I.3 – Les trois grandes disciplines à l’intersection desquelles se situent les microplasmas {Duf-09}
Figure I.4 – Photos d’une décharge luminescente à pression atmosphérique, pour une
géométrie « micro-jet ». Les distances inter-électrodes sont indiquées en haut de chaque
image {Fri-05}.
Figure I.5 – Coupe transversale d’un élément du masque mise en contact avec la plaque en
silicium. Image MEB d’un substrat en Si après gravure à travers un masque à 9 cavités
{San-03}.
Figure 1.6 – Représentation transversale d’un prototype basé sur une succession de
M.H.C. alignées, permettant la production de H2 dans une pile à combustible {Qiu-04}.
Figure I.7 – (a) Réalisation d’une entaille sur tissu humain avec le scalpel micro-plasma.
(b) Vue transversale de l’entaille au microscope optique {Pal-08}.
Figure I.8 – Système de traitement dentaire à micro-plasma RF {Sla-04}.
Figure I.9 – Caractéristique courant-tension d’une macro-décharge basse pression, dans
une géométrie où les électrodes forment deux plans parallèles {Des-06}.
Figure I.10 – Structure d’une macro-décharge à basse pression générée entre deux plans
parallèles, et fonctionnant en régime luminescent normal {Bad-65}.
Figure I.11 – (a) Courbe V-I et (b) oscillogramme d’une micro-cathode creuse à une
cavité, de diamètre 240 µm et d’épaisseur 250 µm, fonctionnant dans l’hélium à 100 torr
{Duf-09}.
Figure I.12 – a) Exemple de configuration de DBD avec deux diélectriques solides, b) son
schéma électrique équivalent {Her-60}.
Figure I-13 – Géométrie classique d’une décharge à barrières diélectriques {Art-03}
Figure I.14 – Un condensateur plat parallèle.
Figure I.15 – Variation de courant en fonction de la tension {Wad-07}.
Figure I.16 – Zoom sur la caractéristique de la décharge la phase sombre {Sub-07}.
Figure I.17 – Courbe séparant les conditions en air résultant d’un claquage de Townsend
(région inférieure) d’un claquage de type streamer (région supérieure) {Kor-98}.
Figure. I.18 – Mécanisme de claquage de type « streamer ». Propagation de – (a)
l’avalanche primaire ; (b) Décharge de « streamer ». – (c) Filament {Mee-91}.
Chapitre II
Figure II.1 – Courbe de Paschen {Rai-97}
Schéma II.2 – Etapes de la détermination du second coefficient d’émission secondaire.
Figure II.3 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour l’hélium
pur, calculé par l’équation (Eq. II.10) correspond à la valeur de R=0.5
Figure II.4 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P,
pour l’argon pur
Figure II.5 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour le néon
pur
Figure II.6 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ électrique réduit E/P,
dans le cas de krypton pur
Figure II.7 – Variation du coefficient d’ionisation de Townsend réduit en fonction du
champ réduit E/P pour xénon pur
P10
P11
P13
P14
P16
P17
P18
P20
P23
P25
P27
P29
P29
P38
P39
P43
P46
P47
P57
P69
P69
P70
P71
P71
P71
vii
Figure II.8 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Xe5%-Ne
Figure II.9 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Xe10%-Ne pur
Figure II.10 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ électrique
réduit E/P pour Xe5%-Kr
Figure II.11 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour
Xe10%-Kr
Figure II.12 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour Ar5%Ne
Figure II.13 – Variation de coefficient de Townsend réduit en fonction du champ réduit
E/P pour Ar10%-Ne
Figure II.14 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P
pour Xe5%-He
Figure II.15 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour
Xe10%-He
Figure II.16 – Coefficient d’émission secondaire en fonction du champ réduit pour tous les
gaz rares usuels
Figure II.17 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour
l’Argon pur
Figure II.18 – Tension de claquage en fonction du produit pression.distance interélectrode, de l’hélium pur
Figure II.19 – Courbe de Paschen pour un coefficient d’émission secondaire égale à 0.5, et
pour différentes multiplication, calculé pour néon pur
Figure II.20 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.009, pour le krypton pur
Figure II.21 – Courbes de Paschen obtenues analytiquement dans le xénon pur, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.05
Figure II.22 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.5 pour le néon et 0.05 pour xénon, pour un
mélange Xe5%-Ne
Figure II.23 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient 𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0.5 (néon) et 𝛾𝛾𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0.05 (xénon), dans un mélange de Xe10%-Ne
Figure II.24 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.5 pour le néon et 0.05 pour le xénon, dans un
mélange de Xe30% -Ne
Figure II.25 – Variation de la tension de Paschen en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.016 pour le krypton et 0.05 pour le xénon, dans
un mélange de 10% de xénon dans le krypton
Figure II.26 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.75 pour le néon et 0.25 pour l’argon, pour un
mélange de Ar0.1%-Ne
Figure II.27 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.09 pour le néon et 0.003 pour l’argon, pour le
mélange : Ar10%-Ne
Figure II.28 –Courbe de Paschen en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.09 pour le néon et 0.003 pour l’argon, dans un mélange de
Ar25%-Ne
P72
P73
P73
P74
P75
P75
P76
P76
P78
P79
P80
P81
P82
P83
P83
P84
P84
P85
P86
P86
P87
Figure II.29 – Variation de la courbe de Paschen en fonction du produit P.d, pour un P87
coefficient d’émission secondaire égal à 0.09 pour le néon et 0.003 pour l’argon, pour le
mélange de Ar50%-Ne
viii
Figure II.30 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0.09 (Néon) et 𝛾𝛾𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0.003 (Argon), un
mélange de Ar75%-Ne
Figure II.31 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.005 pour le xénon et 0.32 pour l’hélium, dans
un mélange : Xe10%-He
Figure II.32 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
coefficient d’émission secondaire égal à 0.005 pour le xénon et 0.32 pour l’hélium, dans
un mélange : Xe50%-He
Chapitre III
Figure III.1 – Schéma simplifié d’une cellule d’écran à plasma.
Figure III.2 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ E/P pour l’hélium pur.
Figure III.3 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ électrique réduit E/P
pour l’argon pur.
Figure III.4 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour le gaz
néon pur
Figure III.5 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour le
krypton pur.
Figure III.6 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ E/P pour le xénon pur.
Figure III.7 – Variation du premier coefficient de Townsend réduit en fonction du champ
électrique réduit E/P pour un mélange de Xe5%-Ne.
Figure III.8 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Xe10%-Ne.
Figure III.9 – Variation du coefficient d’ionisation réduit 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 en fonction du champ réduit
E/P pour un mélange de Xe5%-Kr.
Figure III.10 – Coefficient d’ionisation réduit 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 en fonction du champ réduit E/P pour
un mélange de Xe10%-Kr.
Figure III.11 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Ar5%-Ne
Figure III.12 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Ar10%-Ne
Figure III.13 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit
E/P pour un mélange de Xe5%-He
Figure III.14 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Xe10%-He
Figure III.15 – Description de la géométrie de la cellule coplanaire et condition de calcul.
Figure III.16– Courbe de Paschen calculée par le modèle fluide 2D pour xénon pur. Le
gamma est pris égal à 0.05 {Gha-08}.
Figure III.17 – Courbe de claquage, pour le néon pur, calculée avec notre modèle 2D. Le
gamma est pris égal à 0.5 {Gha-08}.
Figure III.18 – L’influence de pourcentage de xénon dans le néon sur la courbe de
Paschen, coefficients d’émission secondaire de néon et xénon sont 0.5, 0.05 respectivement
{Gha-08}.
Figure III.19 – présentation de la géométrie Plan-Plan dans notre calcul numérique 2D
Figure III.20 – Courbe de claquage, pour l’argon pur, calculée avec notre modèle fluide
2D. Le coefficient d’émission secondaire est égal à 9.10-3
Figure III.21 – Courbe de Paschen, pour l’hélium pur, calculée avec le modèle 2D. Le
2éme coefficient de Townsend est égal à 0.31.
Figure III.22 – Courbe de Paschen, pour le néon pur, calculée avec notre modèle 2D. Le
2éme coefficient de Townsend est égal à 0.5, avec une distance inter-électrode d=0.05cm.
Figure III.23 –Courbe de claquage, pour le krypton pur, calculée avec notre modèle 2D. Le
2éme coefficient de Townsend est égal à 9.10-3, avec une distance inter-électrode d=0.05cm
P88
P89
P89
P103
P107
P108
P108
P109
P109
P110
P111
P112
P112
P113
P113
P114
P114
P116
P116
P117
P118
P119
P120
P120
P121
P122
ix
Figure III.24 – Courbe de claquage, pour le xénon pur, calculée avec le modèle 2D. Le P122
2éme coefficient de Townsend est égal à 0.05, avec une distance inter-électrode d=0.05cm.
Figure III.25 – Tension de claquage en fonction du produit P.d pour les trois pourcentages P123
de xénon dans le néon (5%, 10%, 30%), avec une distance inter-électrode d=0.05cm
Chapitre IV
Figure IV.1 – Calcul du premier coefficient de Townsend en fonction du champ réduit P128
comparé avec résultats expérimentaux de Chanin {Cha-64}
Figure IV.2 – Variation du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit, dans les
trois calculs différents, courbe symbole étoile résultats expérimentaux de Kuithof {Kru-40}
Figure IV.3 – Comparaison du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit E/P
dans le cas du néon pur {Kru-37}.
Figure IV.4 – Comparaison du coefficient d’ionisation en fonction du champ électrique
réduit pour le krypton pur, courbe expérimentale de symbole étoile {Dut-75}
Figure IV.5 – Comparaison du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit E/P,
pour le xénon pur {Kru-40}.
Figure IV.6 – Comparaison du premier coefficient de Townsend en fonction de E/P, pour
le mélange Xe5%-Ne et Xe10%-Ne.
Figure IV.7 – Comparaison de coefficient 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 en fonction du champ réduit E/P pour les
deux mélanges : Xe5%-Kr et Xe10% -Kr
Figure IV.8 – Coefficient d’ionisation en fonction du champ E/P dans le cas de 5% et 10%
d’Argon dans le néon
Figure IV.9 – Variation de 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 de mélange en fonction du champ réduit E/P pour les deux
mélanges suivants : Xe5%-He, Xe10%-He
Figure IV.10 – Variation de la courbe de Paschen obtenue par le modèle analytique et le
modèle 2D fluide comparé par les résultats expérimentaux de Auday {Aud-00} indiqué par
des étoiles, néon pur
Figure IV.11 – Variation de la courbe de Paschen obtenue par le modèle analytique et le
modèle 2D comparé par résultats expérimentaux de Auday {Aud-00} indiqué par des
étoiles, pour xénon pur
Figure IV.12 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, obtenue par
le modèle analytique, et le modèle 2D fluide comparé par résultats expérimentaux de
Hassouba {Has-02} indiqué par des étoiles pour l’hélium pur, 𝛾𝛾 = 0.31.
Figure IV.13 – Variation de la tension de claquage obtenue par les deux modèles ;
analytique, et fluide avec 𝛾𝛾 = 0.12 comparé par l’expérience de Moravej {Mor-04}
indiqué par des étoiles, pour l’argon pur
Figure IV.14 – Comparaison des courbes de Paschen, dans le cas d’hélium pur calculé par
les deux modèles ; analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.31, ces résultats
sont comparés avec les résultats expérimentaux de Postel {Pos-00}
Figure IV.15 – Comparaison des courbes de Paschen, pour l’argon pur, calculé par les
deux modèles ; analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.9 × 10−2 , sont
comparés avec les résultats expérimentaux de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
Figure IV.16 – Comparaison des tensions de Paschen, pour le néon pur, calculé par les
deux modèles analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.5, ces données sont
comparés avec les résultats de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
P128
P129
P130
P130
P131
P132
P132
P133
P134
P135
P136
P136
P137
P137
P138
Figure IV.17 – Comparaison des tensions de claquage en fonction du produit P.d, calculé P139
par les deux modèles analytique et bidimensionnel, pour le krypton pur, avec un coefficient
secondaire 𝛾𝛾 = 0.9 × 10−2 , comparés avec les résultats de Capdeville {Cap-00} et
Beaudette {Bea-09}
Figure IV.18 – Variation des tensions de Paschen en fonction du produit P.d, pour le P140
xénon pur, calculés par les deux modèles ; analytique et bidimensionnel, avec un coefficient
𝛾𝛾 = 0.05, et comparés avec les résultats de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
x
Figure IV.19 – Courbes de claquage, pour le mélange de Xe10%-Ne, calculée avec le
modèle fluide 2D, et le modèle analytique comparés avec les résultats expérimentaux de
Auday {Aud-00}.
Figure IV.20 – Courbes de Paschen, pour le mélange de Xe10%-Ne, calculée avec le
modèle fluide 2D, et analytique comparés aux résultats expérimentaux de Uhm {Uhm-05},
Auday {Aud-00}, et Capdeville {Cap-01}.
Figure IV.21 – Calcul de la tension de Paschen pour un mélange de Ar10%-Ne, pour
différentes multiplication, un coefficient secondaire égal à 0.003, 0.09 pour Ar, Ne
respectivement, comparé avec des résultats expérimentaux {Cap-01}
Figure IV.22 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
mélange de Ar50%-Ne, pour différentes multiplication, comparés avec des résultats
expérimentaux {Cap-01}
Figure IV.23 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un
mélange de Xe50%-He, pour différentes multiplication électronique, comparé avec des
résultats expérimentaux {Pos-00}
Figure IV.24 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d (dans l’unité
de torr.cm) pour les différentes valeurs de la multiplication électronique pour le mélange
Ar95%-N2, comparées au calcul d'expériences de Klas {Klas-12}
Figure IV.25 – Variation de la tension de Paschen en fonction du produit P.d, pour une
multiplication électronique varie de 10 à 10 3, de mélange Ar98%-N2, comparées aux
résultats expérimentaux de Klas {Klas-12}
Figure IV.26 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d pour les trois
différents coefficients d’émission secondaire de l’argon pur.
Figure IV.27 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d pour différents
valeurs de coefficients d’émission secondaire dans le cas d’hélium pur.
Figure IV.28 – Variation de la courbe de Paschen pour différentes distance inter-électrode
de l’argon pur, pour un coefficient secondaire égal à 𝛾𝛾 = 0.11
Figure IV.29 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour
différentes valeur de la distance inter-électrode, et pour un coefficient secondaire,𝛾𝛾 = 0.26
P141
P142
P144
P144
P145
P146
P147
P148
P148
P149
P150
xi
Liste des Tableaux
Liste des Tableaux
Tableau I-1:Ordre de grandeur des principales caractéristiques d’une décharge à
barrières diélectriques de type filamentaire (air, azote ou oxygène) {Kog-92} ou
luminescente (He) {Mas-98}.
Tableau II.1 : Représente les constantes C et D du premier coefficient d'ionisation
de Townsend, donné par (Eq. II.9). En utilisant les conversions suivantes : l cm=
0.01m, et l torr = l mm-Hg= 133.3224 Pa {Woa-00}, on obtient les deux dernières
colonnes. Ces données, sont valides généralement dans la gamme D/2 < E/p < 3D,
{Rot-95}.
Tableau II.2. Représente les constantes A et B, du premier coefficient d'ionisation
de Townsend pour les gaz nobles. Noter que les deux premières colonnes de
données sont dérivées des deux derniers, en utilisant, les conversions suivantes : l
cm = 0.01m, et l torr = l mm-Hg= 133.3224 Pa. L'incertitude dans ces données
expérimentales est approximativement 7% {Div-01}.
Tableau II. 3. Ci-dessous représente le potentiel d’ionisation de quelques gaz. Pris
des références suivantes {Led-08}, {Cho-07}
Tableau II.4. Exemples de valeurs du travail de sortie pour différents éléments de
matériau de la cathode {Lid-07} {Bra-92}.
Tableau II.5. Représente le coefficient d’émission secondaire γ de plusieurs gaz et
dans différents matériaux d’électrode.
P31
P59
P60
P67
P68
P77
xii
Table des Matières
Tabla des Matière
Table Des Matières
Résumé
Liste des acronymes
Liste des symboles
Liste des illustrations
Liste des tableaux
Sommaire
i
ii
iii
vii
xii
xiii
Introduction Générale
2
Chapitre I : Plasma Décharge
7
I.1. Historique
7
I.2. Définition et caractéristiques de l’état plasma
8
I.3. Classifications des plasmas
1.3.1. Classification des plasmas selon la température
1.3.2. Classification des plasmas selon la loi d'échelle Pression×Distance
1.3.3. Classification des plasmas en termes d’applications technologiques
9
9
9
11
I.4. Des macro-plasmas aux micro-plasmas
I.4.1. Micro-plasma : une définition encore ambiguë
I.4.2. Applications Technologiques
12
14
15
15
15
a. Applications industrielles
 De la micro-gravure avec masque à basse pression vers la micro-gravure sans masque à
haute pression
 Piles à combustibles
 Sources de rayonnement UV & VUV
b. Applications biomédicales
 Electro-chirurgie
 Soins dentaires
 Cultures cellulaires et bactériologie
I.5. Décharge dans les gaz
I.5.1. Phénomènes électriques de base de la décharge
I.5.2. Macro-décharges à basse pression

Structure d’une macro-décharge à basse pression en régime luminescent normal
16
17
18
18
19
20
20
20
22
24
xiii
Tabla des Matière
I.5.3.Micro-décharges à haute pression
I.5.4.Limites de comparaison entre macro-décharges et micro-décharges
25
27
I.6. Décharge à Barrière Diélectrique DBD
28
28
28
29
30
30
31
32
I.6.1. Introduction
I.6.2. Définition
I.6.3. Principe des Décharges à Barrières Diélectriques (DBD)
I.6.4. Trois régimes de décharge
a. Le régime filamentaire
b. Le régime homogène
c. Régime multi-pics
I.7. Conditions d'obtention d'une décharge homogène
32
33
33
33
I.8. Mécanismes d'entretien d'une décharge homogène
34
I.9. Aspects fondamentaux de claquage gazeux
34
34
37
38
40
40
41
41
(a) Distance inter-électrode et diélectrique
(b) Composition gazeuse
(c) Alimentation
I.9.1.Historique
I.9.2. Mécanisme du claquage des gaz
I.9.2.1. Premier coefficient d’ionisation de Townsend
I.9.2.2. Coefficient d’émission secondaire
A. Impact des ions positifs sur la cathode
B. Impact des Métastables sur la cathode
C. Action Photoélectrique
I.10. Les deux types de claquages
I.10.1. Introduction
I.10.2. Claquage de Townsend
I.10.3. Claquage de Streamer et décharge Filamentaire
• Avalanche primaire (figure I.18 (a))
• Transition avalanche – « streamer » et propagation (figure I.18 (b))
• Etablissement d'un canal de décharge (figure I.18 (c))
xiv
42
42
42
45
47
48
48
Chapitre II : Modèle Analytique
51
II.1. Définition de Claquage
52
II.2. Equation d’auto-entretien
53
Tabla des Matière
II.3. Courbe de Paschen
55
II.4. Loi de similitude
57
II.5. Modèle Analytique
58
58
58
60
61
II.5.1. Calcul du premier coefficient de Townsend
A. Gaz purs
B. Mélange gazeux
II.5.2. Calcul de la tension de claquage
A. Cas d’un gaz pur
B. Cas d’un mélange gazeux
II.5.3. Calcul de coefficient d’émission secondaire
II.5.3.1. Quelques notions de base - position de ce travail
A. Calcul de 𝛾𝛾 par expressions empiriques
B. Calcul de 𝛾𝛾 à partir de la condition d’auto-entretien
II.6.Analyse et Discussion des résultats du Modèles Analytique
II.6.1.Calcul du premier coefficient de Townsend
a. Gaz pur
 Hélium, Argon
 Néon, Krypton et Xénon
b. Mélange gazeux
 Xénon-Néon
 Xénon-Krypton
 Argon-Néon
 Xénon-Hélium
II.6.2. Calcul du Coefficient d’émission Secondaire
 Calcul 𝜸𝜸 en fonction du matériau
 Calcul 𝜸𝜸 en fonction du champ réduit
II.6.3. Calcul de la tension de claquage
II.6.3.1. Condition de travail
a. Gaz pur
 Argon pur
 Hélium Pur
 Néon Pur
 Krypton Pur
 Xénon Pur
b. Mélanges gazeux
 Xénon-Néon
 Xénon-Krypton
 Argon-Néon
61
63
65
65
66
68
69
69
69
69
70
72
72
73
74
75
77
77
78
79
79
79
79
80
81
81
82
83
83
84
85
xv
Tabla des Matière
 Xénon-Hélium
II.7. Conclusion
90
Chapitre III : Modèle Bidimensionnel
92
III.1. Modèles Numériques
93
III.2. Equation de base pour la modélisation des décharges hors
équilibre
95
III.2.1. Introduction
III.2.2. La fonction de distribution
III.2.2.1. Définition
III.2.2.2.Grandeurs moyennes
III.2.3.Equation de Boltzmann et ses moments
III.3. Approche fluide
III.3.1. Principes
III.3.2. Principale équations du modèle fluide
III.3.2.1. Equations de continuité
III.3.2.2. Equations de transfert de quantité de mouvement
III.3.2.3. Equation de conservation de l’énergie
III.3.3. Modèle fluide à deux moments 2D
III.3.3.1. Equation de continuité
III.3.3.2. Equation d’échange de quantité de mouvement
II.3.3.3. Equation de Poisson
95
95
95
96
96
98
98
99
99
99
100
100
101
101
102
III.4. Approximation du champ local – Approche fluide
102
103
104
105
III.5.Résultats et Discussion du Modèles Bidimensionnelle
106
106
106
107
107
108
110
110
111
112
114
III.4.1. Conditions aux limites
III.4.2. Données de base
III.4.3.Marge de fonctionnement
III.5.1. Coefficient d’Ionisation
III.5.1.1. Calcul de BOLSIG
a. Gaz Pur
 Hélium, Argon
 Néon, Krypton, Xénon
b. Mélange gazeux
 Xénon-Néon
 Xénon-Krypton
 Argon-Néon
 Xénon-Hélium
xvi
88
Tabla des Matière
III.5.2. Tension de Claquage
III.5.2.1. Géométrie Coplanaire
III.5.2.1.1.Calcul de la courbe de Paschen pour gaz pur
 Gaz Xénon
 Gaz Néon
III.5.2.1.2. Calcul de la courbe de Paschen pour mélange Xe-Ne
 Xénon-Néon
III.5.2.2. Géométrie Matricielle
III.5.2.2.1.Calcul de la courbe de Paschen pour gaz pur
 Argon, Hélium
 Néon, Krypton
 Gaz Xénon
III.5.2.2.2. Calcul de la courbe de Paschen pour mélange Xe-Ne
 Xénon-Néon
115
115
116
116
117
118
118
119
120
120
121
122
123
123
III.6. Conclusion
124
Chapitre IV : Comparaison des Résultats
126
IV.1. Coefficient d’ionisation
Xénon-Néon
Xénon-Krypton
Néon-Argon
Xénon-Hélium
127
127
127
128
129
129
131
131
131
132
133
IV.2. Tension de claquage
134
IV.1.1. Gaz Pur
•
•
•
•
Hélium
Argon
Néon
Krypton, Xénon
IV.1.2. Mélange de gaz
•
•
•
•
IV.2.1. Gaz pur
IV.2.1.1. Géométrie Coplanaire
IV.2.1.2. Géométrie Matricielle
IV.2.2. Mélange gazeux
IV.2.2.1. Xénon-Néon
• Géométrie coplanaire
• Géométrie Matricielle
IV.2.2.2. Néon-Argon
IV.2.2.3. Xénon-Hélium
134
134
137
141
141
141
142
143
145
xvii
Tabla des Matière
IV.2.2.4. Argon-Nitrogène
IV.3. Etude paramétrique de la tension de claquage
 Argon, Néon
147
147
148
149
149
IV. 4. Conclusion
151
Conclusion Générale
153
Bibliographie
156
IV.3.1.Influence du coefficient d’émission secondaire
 Argon, Hélium
IV.3.2. Influence de la distance inter-électrode
xviii
146
INTRODUCTION
Introduction Générale
INTRODUCTION GENERALE
Le plasma est un état de la matière dont lequel beaucoup reste aujourd’hui à
comprendre ; découvert en 1879, il fait l’objet de nombreuses études et son utilisation connait
de nombreuses applications, qui sont de plus en plus palpables dans la vie de tous les jours.
Des applications relativement récentes, comme par exemple les écrans plats sont aujourd’hui
bien connues au public {Cal-00}; néanmoins, il est présent parmi nous depuis longtemps,
avec les lampes phosphorescentes, les ozoneurs qui permettent de purifier l’eau. D’autres
applications sont moins connues mais de grande importance, parmi lesquelles la destruction
des gaz toxiques et des gaz à effet de serre, sujet très médiatisé depuis la fin des années 1970
avec la découverte d’un trou dans la couche d’ozone en Antarctique.
Le terme plasma, appelé aussi "quatrième état de la matière", à été utilisé en physique
pour la première fois par le physicien américain Irving Langmuir en 1928 par analogie avec le
plasma sanguin auquel ce phénomène s’apparente visuellement.
A l’origine, un plasma désignait un gaz totalement ionisé globalement neutre, puis
cette définition a été étendue aux gaz partiellement ionisés, toujours globalement neutres, dont
le comportement diffère de celui d’un gaz neutre. C'est une soupe d'électrons, d'ions et
d'espèces neutres. Une partie de ces espèces neutres sont excitées et retombent dans leur état
initial en émettant un rayonnement électromagnétique rendant le plasma lumineux.
Sur Terre, on ne rencontre pas de plasma à l'état naturel si ce n'est dans la foudre et les
aurores boréales. Cependant, il peut être génère dans une enceinte confinée en transférant de
l'énergie à un gaz plasmagène par l'action d'une décharge électrique. Une décharge est une
conversion rapide de l’énergie électrique en énergie cinétique, puis en énergie d’excitation et
d’ionisation des atomes et des molécules du gaz. L’énergie électrique apportée au système est
en partie convertie par les particules chargées ainsi formées (électrons, ions) en énergie
cinétique. Grace à leur faible masse, les électrons libres récupèrent en général l’essentiel de
cette énergie et provoquent, par collision avec les espèces lourdes du gaz, leur excitation ou
leur dissociation. Un milieu chimiquement très réactif, composé d’espèces atomiques,
radicalaires et métastables est ainsi créé.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
2
Introduction Générale
Dans notre vie quotidienne, les plasmas ont de nombreuses applications, dont les plus
courantes sont le tube néon et certains écrans de télévision. Mais, nous le retrouvons dans de
nombreux autres domaines tels que la stérilisation, la dépollution, la gravure, la découpe, …et
le dépôt de couches minces. Cette dernière application consiste à déposer une couche de
l’ordre de quelques nanomètres à quelques micromètres à la surface d’un matériau (substrat)
afin de lui conférer une ou plusieurs propriétés spécifiques. Parmi celles-ci, citons le
durcissement pour des applications mécaniques, l’anti-réflectivité pour des applications
optiques, l’isolation pour des applications électriques, etc.…. Dans chaque cas, la nature du
matériau déposé dépendra évidemment de la propriété recherchée {Ena-07}.
Le plasma est créé à partir des gaz selon deux possibilités : soit en les chauffant, soit
en les soumettant à une décharge électrique. Cette dernière option permet d’obtenir un plasma
qui possède une température relativement basse ; ce type de plasma, appelé « plasma froid »,
est très important à l’égard de nombreux procédés technologiques et son contrôle est un enjeu
très important {Med-08}.
L'application d'un champ électrique à un environnement de gaz peut avoir comme
conséquence un claquage complet, ou partiel, ayant pour résultat un milieu conducteur se
composant des électrons et des ions libres. Ce milieu conducteur désigné généralement sous le
nom d'un plasma. Plusieurs facteurs tels que la force de champ, le type et la pression de gaz,
les impuretés de gaz, le nombre initial d'électron et la densité, aussi bien que le matériel
d'électrode et la géométrie, influencent la probabilité de l'occurrence du claquage {Mee-78},
notre volonté à ces facteurs comme paramètres de claquage. Selon l'application particulière,
un claquage de gaz peut être un processus favorable ou peu désiré. Par exemple, des
processus tels que gravure et dépôt de plasma, et le claquage partiel dans des réacteurs de
corona, utiliser favorablement les énergies d'électron élevées trouvées dans les plasmas. Dans
ces applications particulières des gaz, comme leurs pressions partielles respectives sont
choisis pour convenir aux processus chimiques exigés actuels. D'autre part, quand le gaz est
prévu pour être un milieu isolant, son claquage est un processus indésirable. En conséquence
les propriétés du gaz, ou des mélanges de gaz, sont choisies pour réduire au minimum la
probabilité du claquage {Ken-95}. Bien que l'étude des gaz rares présente un intérêt pour les
applications concernant principalement les sources de lumière U.V et les lampes à excimères
cohérentes ou incohérentes, et plus largement les décharges hors équilibre dans les gaz rares
{Shi*-03}. Le développement des lampes à excimères à barrière diélectrique {Car-04}
3
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
Introduction Générale
concerne de nombreuses applications comme les lampes sans mercure la photochimie, la
dépollution ou la décontamination {Led-05} {Mor-05}. L'étude des mélanges de gaz rares
revêt donc un grand intérêt. Les applications diffèrent, la nécessité d'acquérir une
compréhension des processus fondamentaux régissant le comportement d'un gaz sur
l'application d'un champ électrique est commune à tous les deux.
Le travail que nous présentons ici s'inscrit successivement dans ces deux axes de
recherche: dans les gaz rares à l’état pur et les mélanges gazeux ; ces deux axes permet l’étude
de claquage électrique dans ces gaz et les deux coefficients de Townsend qui sont des
paramètres très important dans les décharges électriques.
Un guide de lecture
Le manuscrit est segmenté en trois chapitres partiellement indépendants. Un premier
chapitre a pour objectif de présenter un nouvel axe de recherche de la physique des plasmas
froids. Par soucis de clarté, nous commencerons dans une première partie par rappeler la
définition du plasma ainsi que ses principales caractéristiques. Nous ferons également un bref
rappel historique pour expliquer comment et pourquoi les micro-plasmas sont apparus. Les
deux parties suivantes seront consacrées à deux phénomènes importants; les décharges dans
les gaz et les décharges à barrière diélectrique, ces deux phénomènes permettront de
comprendre le processus fondamental dans la physique de décharge, le claquage électrique.
Le deuxième chapitre est divisé en deux parties. Les paragraphes de la première partie
sont consacrés à la théorie de claquage électrique. Des matières telles que le claquage de
Townsend, la loi de Paschen, et les coefficients d'ionisation et d’émission secondaire sont
discutée en détail. Ensuite nous avons présenté le modèle analytique développé à la base de la
loi théorique de claquage des gaz de Paschen pour les décharges électriques. Le second
paragraphe est une description et analyse des résultats obtenus.
La première partie de notre troisième chapitre basée sur le code SIPDP-AC (fluide
2D); introduit les équations de transport des particules chargées (électrons, ions positifs, ions
négatifs). Ces équations de conservation de la densité et de la quantité de mouvement,
obtenues à partir des deux premiers moments de l’équation de Boltzmann sont couplées à
l’équation de Poisson. On donne, par la suite, un aperçu bibliographique assez complet sur les
différentes approches numériques utilisées pour résoudre le système d’équations de transport
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
4
Introduction Générale
des particules chargées, depuis les premières études sur les décharges dans les gaz jusqu’aux
plus récentes, cette étude bibliographique analyse les avantages et les problèmes rencontrés
avec les divers méthodes numérique. La seconde partie de ce chapitre résume et analyse les
résultats obtenus par deux configurations différentes de la cellule de la décharge à savoir ; une
géométrie matricielle et une géométrie coplanaire.
Enfin, le chapitre quatre donne une comparaison de tout les résultats obtenues par les
deux modèles fluide et analytique avec les résultats de la littérature. Finalement, l’influence
des paramètres géométrique de la décharge comme la distance inter électrode et la nature de la
cathode sur la tension de claquage est analysée dans le cas des gaz rare pur.
En vous souhaitant une bonne lecture. . .
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Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I
CHAPITRE
I
Plasma Décharge
I.1. HISTORIQUE :
C
e chapitre est prévu comme une introduction générale aux décharges de gaz et
plus spécifiquement, claquage de plasma. De plus, il décrit la portée de la thèse
et le contenu des différents chapitres.
Les gens ont été fascinés par des décharges de gaz pendant un temps très long. Dans
des périodes tôt, des décharges de gaz naturel telles que la foudre, les aurore, ont été
généralement observés et associés aux forces majeures. Dans le 18éme siècle, des avances
dans la physique, particulièrement la découverte et la compréhension de l’électricité {Wag06}, c’est une explication scientifique pour ces phénomènes impressionnants. De nos jours,
plusieurs des concepts physiques des décharges atmosphériques de gaz sont bien compris.
Néanmoins, la beauté de ces décharges de gaz naturel non jamais cessées pour impressionner
et inspirer des humains.
CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.2. Définition et caractéristiques de l’état plasma
Tout élément de l’Univers peut exister sous forme de quatre états de la matière :
solide, liquide, gazeux et plasma ; ce dernier correspondant à l’état de la matière le plus
désordonné. Le plasma se présente sous la forme d’un gaz partiellement ou totalement ionisé,
constitué d’espèces neutres (atomes, molécules) et d’espèces chargées (ions, électrons) {Lie05}. A titre d’exemples, nous pouvons citer d’une part les plasmas dits naturels comme les
nébuleuses, la couronne solaire, les flammes, les aurores, les éclairs ; et d’autre part les
plasmas de laboratoire dits industriels comme les plasmas de gravure, les réacteurs à fusion,
les néons, les propulseurs, les torches, les plasmas pour implantation ionique, etc.
Tous ces plasmas ont en commun les quatre grandes caractéristiques suivantes :
- Tout d’abord, le plasma est soumis à la condition de quasi-neutralité électrique, qui en
termes de densités se traduit par l’égalité ne = ni (en l’absence d’ions négatifs). Même si la
densité des particules neutres est supérieure à celle des espèces chargées, celles-ci jouent un
rôle prépondérant.
- Dans un plasma, chaque type de particules ne se déplace pas à la même vitesse. Quand le
plasma atteint un équilibre thermodynamique, toutes les vitesses et les énergies de ses
particules obéissent à des distributions de type Maxwell-Boltzmann.
- Les plasmas sont dominés par deux types de collisions {Del-94} : d’une part les collisions
élastiques pour lesquelles l’énergie cinétique totale est conservée (avant et après collision) ;
d’autre part les collisions inélastiques pour lesquelles l’énergie cinétique totale des deux
particules est inférieure après collision (au bénéfice d’une partie transférée à l’énergie interne
de la particule-cible). Ces collisions entre particules neutres, peuvent entraîner la création de
particules chargées. Si cette création est obtenue à partir de particules neutres dans leur état
fondamental, on parle d’ionisation directe ; si elles se trouvent dans un état déjà excité on
parle alors d’ionisation par étapes : c’est le cas des métastables dont la densité est importante
en raison de leur longue durée de vie.
- Dans un gaz non ionisé, les particules exercent les unes sur les autres des forces de Van Der
Waals.
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
En ionisant le gaz, ces forces s’exercent toujours mais la présence de particules
chargées entraîne l’apparition de nouvelles forces : les forces coulombiennes. Contrairement
aux forces de Van Der Waals, elles s’exercent sur de grandes distances, induisant un
comportement collectif. Ces forces s’intensifient quand un déséquilibre vient rompre la
condition de neutralité électrique : elles sont une spécificité de l’état plasma {Rax-05}.
I.3. Classifications des plasmas
Comme nous l’avons rappelé, les plasmas ont en commun quatre grandes
caractéristiques qui les différentient des trois autres états de la matière. Les plasmas possèdent
également d’autres propriétés physico-chimiques intrinsèques qui peuvent s’exprimer
différemment selon la géométrie des échantillons, la variété des conditions expérimentales et
la complexité des réactions mises en jeu. A partir de ces propriétés intrinsèques, il est possible
d’établir des classifications pour séparer ces différents types de plasmas.
En ce qui concerne les micro-plasmas, notre attention s’est portée sur trois
classifications que nous allons détailler : la première est la classification selon la température
des espèces. La deuxième est une loi d'échelle basée sur le critère pression×distance. La
troisième propose une approche en termes d’applications technologiques à partir des densités
des espèces neutres et chargées.
I.3.1. Classification des plasmas selon la température
Les plasmas peuvent être séparés en deux grandes familles : les plasmas chauds et les
plasmas froids {Del-94}. Les plasmas chauds sont à l'équilibre thermodynamique (ou en sont
proches), c’est-à-dire que les espèces neutres comme les espèces chargées sont caractérisées
par une seule température, exprimée par l’égalité : 𝑇𝑇𝑔𝑔 ≈ 𝑇𝑇𝑖𝑖 ≈ 𝑇𝑇𝑒𝑒 , et inférieure à environ 104 K.
Au contraire, dans les plasmas froids, les ions n’ont pas atteint d’équilibre thermodynamique.
Leur température reste équivalente à celle des neutres (comprise entre 300K et 2500 K) alors
que celle des électrons leur est très supérieure (environ 104-105 K soit une dizaine d’électronVolts).
I.3.2. Classification des plasmas selon la loi d'échelle Pression×Distance
Cette loi d’échelle résulte du produit de deux paramètres : la pression (P) du plasma et
la distance de claquage (d). Ainsi, on distingue d'une part les plasmas régis par la physique de
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
Townsend pour 𝑃𝑃 × 𝑑𝑑 < 500 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 𝑐𝑐𝑐𝑐 et les plasmas régis par la physique des streamers pour
lesquels 𝑃𝑃 × 𝑑𝑑 > 500 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 𝑐𝑐𝑐𝑐 {Duf-09}. Les micro-plasmas suivent la physique de
Townsend qui présente une stabilité remarquable dans les gaz rares (principalement l'hélium,
le néon, l'argon) pour des valeurs comprises entre 1 et 10 torr.cm {Fri-05}. Par conséquent, la
création de plasmas stables à pression atmosphérique nécessite des dimensions de claquage
d’environ 100 𝜇𝜇𝜇𝜇.
La figure I.1, est un graphique faisant intervenir les deux paramètres de cette loi
d’échelle : la pression en abscisse et la distance de claquage en ordonnée. On peut alors y
placer la condition de stabilité que nous venons d’évoquer, représentée par l’espace délimité
entre les deux courbes à 1 torr.cm et 10 torr.cm. De plus, en tenant compte des dimensions
caractéristiques de nos cavités, représentées par les deux droites horizontales à 250 𝜇𝜇𝜇𝜇 et
500 𝜇𝜇𝜇𝜇, il est possible de délimiter une zone de stabilité, représentée par la zone grisée au
centre de la figure.
Figure I.1 – Graphique illustrant la condition de stabilité imposée par le critère Pression×Distance
{Duf-09}.
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
Cette figure montre clairement la possibilité de générer des plasmas stables sur des
dimensions inférieures à celles de nos micro-décharges, à condition toutefois d’augmenter la
pression, comme l’exige la loi de Paschen.
I.3.3. Classification des plasmas en termes d’applications technologiques
Becker
propose
une
classification
des
plasmas
dont
les
applications
microélectroniques sont représentées par des champs placés dans un espace en trois
dimensions {Bec-06}. Cet espace, représenté dans la figure I.2, prend en considération la
dimension caractéristique de la décharge, la densité de gaz et la densité des espèces chargées.
Comme nous pouvons le voir, chaque technologie possède un champ de propriétés physiques
qui lui sont spécifiques, permettant ainsi de distinguer les P.D.P. (Plasma Display Pannel), les
𝜇𝜇T.A.S. (micro Total Analysis Systems), les M.E.M.S. (MicroelectroMechanical Systems), les
sources E.U.V. (Extrême U.V) et enfin les micro-décharges. Ces dernières sont caractérisées
par des densités de l’ordre de 1020 cm–3 pour les espèces neutres et de 1013 cm–3 pour les
espèces chargées.
De par sa position sur cette figure, il est intéressant de relever que les micro-plasmas
se situent à l’intersection des applications technologiques que nous venons de citer, et
d’applications physiques encore inexplorées, telles que les nano-plasmas, les plasmas de type
fluide super-critique et les plasmas hyper-denses.
Figure I.2 – Dimensions caractéristiques, densité de gaz et densité plasma, relatives aux technologies
de la microélectronique. {Bec-06}.
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.4. Des macro-plasmas aux micro-plasmas
Certaines des propriétés spécifiques à l’état plasma sont connues depuis très
longtemps. Ainsi, Faraday est le premier physicien à s’être intéressé à ce "comportement
particulier" des gaz ionisés et à publier ses observations dans une série de trois ouvrages en
1839, 1844 et 1855 {Far-39}. A cette époque, on ne parle pas encore de plasma, ce terme
ayant été introduit par Langmuir en 1928 {Lan-28}.
En 1889, Friedrich Paschen {Pas-89} s’intéresse au phénomène de claquage d’un gaz
entre deux électrodes parallèles. Il énonce alors une loi qui établit la dépendance de la tension
de claquage en fonction du produit de deux paramètres : la pression et la distance interélectrodes. Cette loi établit également que pour un produit constant "pression×distance", le
claquage du plasma peut avoir lieu dans deux configurations différentes :
- Soit à faible pression sur une grande distance.
- Soit à forte pression sur une courte distance.
Cette loi est donc très importante car elle témoigne que déjà à cette époque, il était
possible d’envisager l’existence des micro-plasmas, en les générant sur de très courtes
distances et à pression élevée. Cependant, pour des raisons purement technologiques, les
décharges sont générées sur des dimensions d’une dizaine de centimètres et pour de faibles
pressions : ainsi la décharge occupe uniformément tout le tube en matériau isolant (souvent en
verre) dans lequel elle est générée. Les expériences sont également menées pour des tensions
de claquage basses puisqu’à cette époque les sources haute tension ne sont pas développées.
Plus tard, au début du XXe siècle, apparaît pour l’éclairage le tube "néon", qui fonctionne
pour une pression de quelques centaines de Pascals et sur une dimension caractéristique de
plusieurs dizaines de centimètres.
Ce bref rappel historique permet de mieux comprendre en quoi les progrès dans la
physique des plasmas ont été tributaires des technologies de leur époque, et plus précisément
de l’évolution des technologies du vide, des sources électriques et des matériaux. Le verrou
technologique qui a bloqué l’émergence des micro-plasmas est incontestablement la
technologie des matériaux, qui pendant longtemps n’a pas permis de créer de structure
électrode/diélectrique/électrode sur des dimensions submillimétriques. Il faudra attendre le
début des années 1960, pour que la technologie des matériaux s’oriente vers une logique de
miniaturisation. L’exemple le plus pertinent est la loi empirique de Moore, exprimée en 1965,
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
qui répond à cette logique par la réduction en taille des transistors intégrés aux
microprocesseurs. La physique des plasmas tire un bénéfice incontestable de cette course à la
miniaturisation mais c’est seulement à partir du début des années 1990, qu’apparaîtront les
premières micro-décharges. "Officiellement" la première micro-décharge a été obtenue en
1996 par Schoenbach {Sch-96} dans une géométrie de type micro-cathode creuse (MHC)
Micro-Hollow Cathode. Il aura donc fallu attendre plus d’un siècle pour que la loi de Paschen
soit expérimentalement vérifiée sur des dimensions submillimétriques …
Aujourd’hui, l’étude des micro-plasmas se situe à l'intersection de trois grandes
disciplines {Iwm-07}, comme l’illustre la figure I.3 :
− La science des plasmas, qui s'intéresse à ses propriétés physico-chimiques.
− L'optoélectronique, qui s'intéresse à l'étude des composants électroniques émettant ou
interagissant avec la lumière.
− La science des matériaux, qui s'intéresse à la fabrication des échantillons pour y
confiner des micro-décharges.
Science des
Plasmas
OptoÉlectronique
Microdécharges
Science
Des
Matériaux
Figure I.3 – Les trois grandes disciplines à l’intersection desquelles se situent les micro-plasmas
{Duf-09}.
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.4.1. Micro-plasma : une définition encore ambiguë
Il est convenu de définir un micro-plasma comme un plasma dont la distance de
claquage est inférieure à 1 mm. C’est cette définition qui a notamment été retenue lors de la
réunion "micro-plasmas" du 04/06/2009 à Paris, qui regroupait la communauté française
travaillant sur ce sujet.
Cependant, il faut bien avoir conscience que cette définition peut être problématique
dans le cas des géométries "micro-jet". Cette géométrie "micro-jet" classique, est étudiée par
Fridman {Fri-05} et dans laquelle le claquage s’effectue entre l’extrémité basse du tube
cathodique et l’anode plane. Si cette distance inter-électrodes est de 0,1 mm, comme c’est le
cas dans la figure I.4., alors il est effectivement question de micro-plasma.
En revanche, si cette distance est de 3 mm, comme c’est le cas dans la figure I.4.d., en
vertu de la définition basée sur le critère de claquage, le plasma formé n’est plus un microplasma, bien que son diamètre effectif soit d’une centaine de microns …
Figure I.4 – Photos d’une décharge luminescente à pression atmosphérique, pour une géométrie
"micro-jet". Les distances inter-électrodes sont indiquées en haut de chaque image {Fri-05}.
Dès lors, il est légitime de se demander s’il ne vaudrait pas mieux définir un microplasma comme un plasma, dont une seule de ses dimensions caractéristiques, si elle est submillimétrique, suffit à le qualifier comme tel, indépendamment de sa distance de claquage…
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.4.2. Applications Technologiques
La recherche fondamentale sur les micro-plasmas est récente puisqu'elle a débuté au
milieu des années 1990 pour officiellement se concrétiser en 1996 avec les travaux de
Schoenbach et al {Sch-96}. Cette recherche fondamentale ouvre la voie à de nouvelles
applications technologiques concrètes et variées ; que ce soit dans le domaine industriel
(gravure, dépôts, sources d’énergie, sources de rayonnement V.U.V.) comme dans le domaine
biomédical
(décontamination,
soins
dentaires,
cancérologie),
dans
le
domaine
environnemental (décontamination atmosphérique) ou dans le domaine aérospatial
(accélération aérodynamique, furtivité).
La technologie des micro-plasmas offre un intérêt certain pour la recherche
industrielle notamment parce que la taille des plasmas générés est sub-millimétrique, ce qui
permet de miniaturiser de nombreux procédés déjà existants. De plus, le coût de
fonctionnement des micro-plasmas est réduit car ils fonctionnent à faible puissance et leur
stabilité à pression atmosphérique ne nécessite pas de système de pompage.
a. Applications industrielles

De la micro-gravure avec masque à basse pression vers la micro-gravure sans masque à haute
pression
La gravure plasma est devenue une technique incontournable dans la fabrication des
microsystèmes.
C'est une alternative aux procédés humides, particulièrement adaptée pour les
structurations profondes du silicium, de la silice et des polymères (vitesse d'attaque supérieure
et meilleure contrôle des profils). A ce titre, la gravure profonde du silicium par plasma
réactif, a déjà fait l’objet de plusieurs thèses {Mel-06}, {Til-06}, {Dul-09}.
Ainsi, en 2003, Sankaran et al du C.I.T. (California Institute of Technology) mettent au
point un procédé de micro-gravure du silicium par chimie fluorocarbonée {San-03}. Le gaz
de gravure est un mélange Ar/CF4 (75/25)% ou Ar/SF6 (75/25)% à 20 torr. Une plaque de
silicium est recouverte par un masque constitué de deux fines couches : l’une en polyimide et
l’autre en cuivre. Ce masque possède neuf trous (de diamètre 200 µm et espacés de 400 µm)
pour laisser passer le gaz de gravure qui va creuser des cavités dans la plaque en silicium. Le
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
schéma de la figure I.5, illustre, pour un seul trou du masque, la superposition de ces couches.
Il s’agît d’une géométrie M.H.C. fermée.
La plaque en silicium joue le rôle de cathode et les deux couches du masque
(polyimide et cuivre) les rôles de diélectrique et d’anode. Le choix de ces deux matériaux est
orienté par leur résistance à la chimie fluorocarbonée. La photo M.E.B. de la figure I.5 montre
qu’au final ce procédé a permis la gravure de neuf cavités dans la plaque de silicium, de
diamètres 130 𝜇𝜇m.
Figure I.5 – Coupe transversale d’un élément du masque mise en contact avec la plaque en silicium.
Image M.E.B d’un substrat en Si après gravure à travers un masque à 9 cavités {San-03}.

Piles à combustibles
Les batteries utilisées dans les portables (téléphones, appareils photos numériques, etc.)
présentent des inconvénients : leurs poids, leurs prix, la nécessité de les recharger
fréquemment, leur consommation toujours plus grande en énergie et des problèmes
environnementaux une fois qu’elles sont arrivées en fin de vie.
Pour des raisons de sécurité, ils ont utilisé de petites piles à combustibles. Les M.H.C.
sont donc étudiées comme sources de production de H2, à partir de combustibles tels que
l’ammoniac (NH3) ou le méthane (CH4). L’échantillon, représenté en figure I.6, est un
prototype qui serait constitué de plusieurs M.H.C. ouvertes, mises les unes à la suite des
autres pour étendre la plume plasma. Ainsi, le temps d’exposition du combustible dans le
plasma serait plus long, assurant une conversion complète de l’ammoniac en dihydrogène
{Qiu-04}. Actuellement, l’efficacité de cette conversion est d’environ 20% (notamment parce
qu’une seule M.H.C. est utilisée dans un mélange à 10% NH3 et 90% d’argon).
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Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Figure I.6 – Représentation transversale d’un prototype basé sur une succession de M.H.C. alignées,
permettant la production de H2 dans une pile à combustible {Qiu-04}.

Sources de rayonnement UV & VUV
Dans un plasma d’hélium (plus généralement de gaz rare), par exemple, il existe deux
principaux processus conduisant à la formation de molécules excimères 𝐻𝐻𝐻𝐻2∗ : un processus
collisionnel direct basé sur l’excitation électronique des métastables He* et un processus
collisionnel indirect basé sur un enchaînement de réactions (ionisation simple par collision
électronique, création d’un ion moléculaire et recombinaison dissociative).
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
Depuis plusieurs dizaines d’années, les décharges silencieuses de type D.B.D. sont
largement utilisées pour générer des excimères de gaz rares, qui émettent un rayonnement
intense dans les V-U.V. ou X-U.V. selon la nature du gaz rare {Kog-90}. Avec l’arrivée des
micro-plasmas, une nouvelle géométrie d’échantillon s’est imposée : les M.H.C. qui, par
rapport à une décharge silencieuse classique, présentent deux avantages :
- Elle fonctionne à des tensions de décharge plus faibles, en assurant une ionisation tout aussi
efficace.
- Conformément à la condition de stabilité sur la loi d’échelle : 1 < 𝑃𝑃 × 𝑑𝑑 < 10 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 𝑐𝑐𝑐𝑐,
une micro-décharge doit fonctionner à des pressions élevées. Comme une pression élevée
favorise les réactions à trois corps, ces deux processus sont plus importants que dans une
macro-décharge fonctionnant à basse pression. Par conséquent, une M.H.C. émet plus
d’excimères et son rayonnement V-U.V./X-U.V. est donc plus intense {Sch-03}.
b. Applications biomédicales

Electro-chirurgie
PEAK Surgical, Californie spécialisée dans la fabrication et la distribution de matériel
chirurgical, a mis au point un scalpel dont la lame tranchante est remplacée par un fil
métallique de diamètre 25 µm. La photo de la figure I.7.(a) montre une entaille pratiquée à
l’aide de ce scalpel sur un tissu humain ex vivo. Ce fil, alimenté par une tension RF (0,1-4
MHz), forme une électrode qui, au contact du tissu, génère un micro-plasma {Pal-08}. Le
micro-plasma agit en plusieurs étapes :
Figure I.7 – (a) Réalisation d’une entaille sur tissu humain avec le scalpel micro-plasma. (b) Vue
transversale de l’entaille au microscope optique {Pal-08}.
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
La profondeur de pénétration dans le tissu est déterminée par la géométrie du champ
électrique appliqué, qui dépend lui-même de la taille et de la forme de l’électrode. Ce scalpel
permet ainsi de réaliser des entailles plus fines et plus profondes que celles obtenues avec un
scalpel classique. De plus, comme l’indique clairement la photo de la figure 1.7. (b), la peau
n’est brûlée que très superficiellement, sur une épaisseur inférieure à 25 Tm (zone en noir).
Quant au rayon d’action de la zone de diffusion thermique, il est déterminé par la durée des
impulsions.

Soins dentaires
Une carie endommage la structure de la dent en atteignant d'abord l'émail. Si des soins ne
sont pas rapidement apportés, une cavité se creuse, atteignant successivement la dentine, la
pulpe dentaire, le nerf et le desmodonte (tissu entourant la racine de la dent). Pour soigner la
carie, il faut obturer la cavité en déposant un amalgame dentaire, mais il faut au préalable
nettoyer et stériliser les tissus que la carie a infectés. Cette étape s'effectue normalement par
des techniques mécaniques ou au laser, ce qui a pour principal inconvénient de créer un fort
chauffage local au point d'entraîner une destruction substantielle des tissus non infectés {Sto08}. L'utilisation d'une aiguille micro-plasma, développée par ces auteurs, présente trois
avantages par rapport à ces techniques classiques :
- Le plasma (mélange air-He) génère de nombreux radicaux, qui jouent un rôle de
décontamination bactériologique.
- Son fonctionnement génère un micro-plasma à température ambiante, (avec un maximum de
26°C au bout de 100s), ce qui n'endommage pas les tissus sains.
- Contrairement au laser, le plasma peut accéder aux cavités très petites et irrégulières.
Ce système de traitement dentaire se présente sous la forme d’un appareil portable
{Sla-04}, constitué d'une aiguille en tungstène de 0,3 mm de diamètre, placée le long de l'axe
central d'un tube en Perspex, de diamètre intérieur 4 mm (cf. figure 1.8.). Le plasma est
généré dans un mélange air-hélium, l'hélium permettant ici d'allumer le plasma à plus faible
tension. Une tension RF de 13,56 MHz est appliquée à l'aiguille.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
Figure I.8 – Système de traitement dentaire à micro-plasma RF. {Sla-04}.

Cultures cellulaires et bactériologie
Les micro-plasmas sont aussi pressentis pour avoir un rôle important à jouer en
bactériologie, notamment pour stériliser des bio-films. La stérilisation correspond au temps
nécessaire pour qu’il ne reste plus qu’1 ppm de bactéries survivantes après traitement. Les
bio-films sont des réseaux complexes de bactéries se structurant sur des surfaces {Kie-04}.
Les mécanismes de stérilisation des bactéries font l’objet de travaux de recherche menés
depuis l’an 2000 à l’Université de Montréal, par Moreau et al, qui s’intéressent plus
précisément à la stérilisation par plasma froid N2/O2 de bactéries de souche Bacillus subtilis
{Mor-00}. Le processus de stérilisation, détaillé dans la référence {Lar-04}, dure une
quarantaine de minutes.
I.5. Décharge dans les gaz
I.5.1. Phénomènes électriques de base de la décharge
La plupart du temps le gaz est considéré comme un très bon isolant ; comment celui-ci
peut-il devenir un excellent conducteur ? Pour être un bon conducteur, un élément doit
disposer de porteurs de charges ; cela équivaut à dire qu’il existe deux états limites possibles
pour le gaz :
- un état non ou faiblement ionisé, dans lequel il peut être considéré comme isolant ;
- un état fortement ionisé, riche en porteurs de charges, dans lequel on le considère comme
conducteur.
L’explication du passage de l’état isolant à l’état conducteur permet de présenter les
phénomènes électriques locaux se déroulant dans le gaz.
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Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Les phénomènes que nous décrivons dans les paragraphes suivants ne sont pas
exhaustifs. Ce sont ceux que nous avons pris en compte pour étudier le comportement
électrique du gaz. A la suite de ce « catalogue », nous montrons comment nous procédons à
l’assemblage des équations qui décrivent ces différents phénomènes, pour construire une
modélisation électrique de la décharge.
Les observations et les études des décharges de gaz naturel ont encouragé des
personnes à essayer de créer leurs propres décharges. Une décharge de gaz peut être créée en
dirigeant l'énergie électrique par un gaz. Pour réaliser ceci elle était première de tout
nécessaire de créer et stocker des quantités considérables de charge électrique. Les percées
principales dans le domaine des décharges de gaz sont donc venues avec l'invention des
dispositifs de Stockage de charge comme la fiole de van Musschenbroek en 1745 {And-03},
et l'invention de la batterie électrochimique, par Volta {Vol-00} en 1800. Ces dispositifs ont
fourni la source d'énergie pour les premières décharges synthétiques de gaz telles que les
décharges continues d'arc de Petrov en 1803 et de Davy en 1809 {And*-03}. Les
développements continus dans des sources de courant électrique et des techniques de vide ont
eu en meilleure commande des propriétés de décharge et comme conséquence la découverte
des types plus différents de décharges de gaz. Particulièrement des décharges créées dans des
tubes de verre remplis de gaz à une basse pression de (~ 100 PA) ont été étudiées
intensivement par Faraday en 1830 {Far-38} et plus tard, pendant le 1870 par Crookes {Cro79}. Leurs investigations ont eu comme conséquence une meilleure compréhension des
principes et des propriétés fonctionnant des décharges de gaz. Vers la fin des 19 siècles qu'il
était clair que les décharges de gaz n'aient été plus exclusivité à la nature, des humains
pourraient également les faire et commander.
D'autres études ont prouvé que les décharges de gaz se composent (partiellement) du
gaz ionisé, contenant le neutre et les particules franchement et négativement chargées. En
1928, Langmuir {Lan-28} a présenté le mot plasma pour décrire le gaz ionisé qui est créé
dans une décharge de gaz.
Sans mentionner tout autre développement en physique des plasmas pendant les 80
dernières années, nous concluons que de nos jours les décharges de gaz sont connues pour se
composer d'une collection de différentes particules, principalement d'électrons, d'ions,
d'atomes neutres et de molécules. Ces particules ont une variété d'interactions avec l'un l'autre,
avec des matériaux de mur environnant et en présence des champs électriques et magnétiques
dans la décharge.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
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CHAPITRE I : Plasma Décharge
Pendant les deux derniers siècles, il y a eu de nombreuses investigations sur beaucoup
de différents types de décharges. Ces études ont été non seulement visées fournissant
d’avantage perspicacité dans les processus fondamentaux impliqués dans ces décharges, elles
ont également étudié des applications possibles. Actuellement, des décharges de gaz sont
employées dans un nombre croissant d'applications, s'étendant du plasma s'allumant à la
production de l'ozone, et gravure à l'eau-forte des puces à la production des piles solaires.
La recherche présentée dans cette thèse vise à apporter une contribution au processus
fondamentaux impliqués dans les décharges de gaz. On s'attend à ce que ceci mène à une
amélioration des applications existantes de décharge et probablement au développement de
nouvelles utilités pour des décharges de gaz.
On distingue deux domaines de décharges :
 L’un concernant le domaine des basses pressions.
 L’autre celui des hautes pressions.
Cette séparation est usuelle dans les présentations de décharge, elle faite imprécise dans la
mesure où le paramètre fondamental pour classer les décharges n’est pas la pression mais le
produit pression distance (p × d) {Mee-53}.
I.5.2. Macro-décharges à basse pression
Des les années 1930, des équipes firent des observations qui les conduisirent à
soupçonner l’existence de décharges luminescentes à la pression atmosphérique (DLPA)
{Eng-33} {Gam-56}. En 1988, Kanazawa et al. {Kan-88} trouvent les conditions de
fonctionnement d’un nouveau régime de DBD (décharge à barrière diélectrique) dont la
caractéristique principale est de ne pas présenter les impulsions de courant de la décharge
filamentaire. Cette nouvelle décharge, appelée décharge "luminescente" à la pression
atmosphérique, est constituée d’un seul canal de décharge qui couvre toute la surface des
électrodes. Dans l’azote son fonctionnement est en fait similaire à celui d’une décharge de
Townsend basse pression. Ce régime est donc appelé "Décharge de Townsend à la Pression
Atmosphérique" (DTPA). Roth et al. {Rot-92} et Okazaki et al. {Oka-93} {Yok-90} testent
alors l’utilisation de cette nouvelle décharge pour de nombreuses applications dont le
traitement de surface. Des 1992, Messaoudi et al. {Mes-92} {Mas-92} s’intéressent a leur
tour a ces décharges et avec Massines et al {Mas-92} cherchent à comprendre le
22
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
comportement de la DLPA "Décharge Luminescente à Pression Atmosphérique" dans
l’hélium{Rab-94}{Gad-94}{Rab-97}{Mas-98} {Mas-98} {Seg-98}{Mas*-98} {Gou-98},
puis dans l’azote {Mas-00}{Ghe-00}{Moi-00}{Ghe*-00}{Ghe**-01}{Mas-01}{Cro-01}. A
partir de la fin des années 1990, de nombreuses autres équipes étudient ce nouveau régime de
décharge et son application au traitement de surface {Noz-01} {Gol-02}.
Les décharges à basse pression font partie en domaine des plasmas froids. Ces plasmas
sont alimentés par un courant continu croissant {Loe-56}, et la température des électrons est
supérieure à celle des particules lourdes (neutres et ions).
•
Le produit pression-distance est de l’ordre de 1 torr.cm
•
La tension variée d’une centaine de Volts jusqu’à quelques KVolts, et la densité du
courant du 0, 1 à une dizaine de mA/cm2
On distingue (03) phases :
1. Sombre
2. Luminescente
3. Arc
Cela est bien détailler au suivant
Figure I.9 – Caractéristique courant-tension d’une macro-décharge basse pression, dans une
géométrie où les électrodes forment deux plans parallèles {Des-06}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
23
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Chaque phase est elle-même divisée en plusieurs régimes facilement identifiables à
partir du tracé de la courbe V=f(I) {Mee-91} que nous avons représentée dans la figure I.9.
La phase sombre possède deux régimes de fonctionnement non-autonomes : le régime
d’ionisation résiduelle qui correspond à une simple collecte des charges déjà présentes dans
le gaz puis le régime de Townsend dans lequel des réactions d’ionisation par impact
électronique génèrent une multiplication des électrons et des ions ainsi que de l’émission
secondaire à la cathode. Ces réactions, encadrées par les processus de Townsend, sont à
l’origine d’une croissance de type exponentiel du courant en fonction de la tension {Dru-40}.
La transition entre la phase sombre et la phase luminescente est électriquement
instable ; elle marque le passage d’un état où les densités de charges sont négligeables à un
autre où elles deviennent suffisamment importantes pour modifier la structure du champ
électrique, conformément à la relation de Laplace. Cette transition laisse place à la phase
luminescente qui se manifeste par une forte émissivité dans les domaines visible et ultraviolet.
Caractérisée par un fonctionnement à haute tension et à bas courant, elle est décomposable en
deux régimes : le premier est qualifié de normal et le second d’anormal.
Après une courte transition, et pour des valeurs de courant élevées (> 1 A), la phase
d’arc apparaît, au cours de laquelle l’émission secondaire au niveau de la cathode est
remplacée par l’émission thermoïonique. Cette phase est décomposable en deux régimes : un
régime non thermique dans lequel la tension chute progressivement alors que le courant
augmente, puis un régime thermique caractérisé par une faible tension (< 100 V) et par
l’existence d’un équilibre thermodynamique local entre le gaz neutre et le plasma {Rax-05}.

Structure d’une macro-décharge à basse pression en régime luminescent normal
En régime luminescent normal, la décharge est structurée en une succession de
couches sombres et lumineuses, représentées dans la figure I.10, de la cathode vers l’anode, se
succèdent :

La chute cathodique, caractérisée par un champ électrique intense puisque la plupart
de la tension appliquée aux bornes des électrodes est localisée dans cette région. Elle
est constituée de l’espace sombre d’Aston, de la gaine cathodique et de l’espace
sombre d’Hittorf. Ces trois premières zones ne sont visibles qu’à faible pression {Pen02}.
24
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge

La lueur négative.

L’espace sombre de Faraday.

La colonne positive (région à champ électrique faible), si la distance inter-électrodes
est suffisamment grande.

La zone anodique, comprenant la lueur anodique et l’espace sombre anodique.
Figure I.10 – Structure d’une macro-décharge à basse pression générée entre deux plans parallèles,
et fonctionnant en régime luminescent normal {Bad-65}.
Si la distance inter-électrodes diminue à pression constante, la colonne positive se rétrécit
puis finit par disparaître, alors que les dimensions des autres zones restent inchangées. Si la
pression augmente pour une distance inter-électrodes fixée, toutes les zones lumineuses et
sombres s’affinent et se déplacent vers la cathode.
I.5.3.Micro-décharges à haute pression
La figure I.11.a, est un oscillogramme représentant l’évolution temporelle du courant
(Id) et de la tension (Vd), par exemple : le cas d’une micro-décharge générée dans une microcathode creuse ouverte (de diamètre 240 µm et d’épaisseur 250 µm) fonctionnant dans
l’hélium à 100 torr {Duf-09}. A partir de cet oscillogramme, il est possible de tracer la
tension en fonction du courant, comme le montre la figure I.11.b. Cette courbe V-I,
contrairement à celle d’une macro-décharge basse pression, ne laisse apparaître qu’une seule
phase de fonctionnement : la phase luminescente, avec son régime normal et la possibilité
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
25
CHAPITRE I : Plasma Décharge
d’obtenir un régime anormal sous certaines conditions que nous développerons par la suite.
La phase de décharge sombre est réduite au simple phénomène de claquage et le régime d’arc
n’est jamais atteint car les cavités de ces échantillons ne peuvent pas supporter les puissances
volumiques qu’exigerait cette phase ; à titre indicatif, ces échantillons se brisent dès un
courant de 40 mA (soit une puissance d’environ 7 W).
La figure I.11.b, montre que la tension augmente linéairement entre les points A et B,
alors que le courant mesuré reste nul. Cela signifie d’une part que le plasma n’est pas encore
formé, et d’autre part qu’il est impossible de mettre en évidence le régime de Townsend à
cause des limitations techniques de ce système d’acquisition et de cette alimentation
électrique. Le plasma n’apparaît qu’au point B correspondant au phénomène de claquage. La
zone située entre les points B et C marque une transition entre le phénomène de claquage et le
début du régime normal. Dans cette zone, la micro-décharge peut se mettre à osciller à une
fréquence stable si l’alimentation est limitée en courant : il s’agît du régime autoimpulsionnel, étudié par Rousseau et al {Rou-06}, {Aub-07}. Entre les points C et D, la
tension de la micro-décharge reste constante pour une augmentation linéaire du courant : il
s’agît du régime luminescent normal. Le régime luminescent anormal devient accessible si
pour des courants plus élevés, la surface cathodique est spatialement limitée. Le point D
correspond au courant maximum fourni à la micro-décharge par l’alimentation. Entre les
points D et E, le signal de consigne impose à la micro-décharge une rampe de courant
linéairement décroissante en fonction du temps. La micro-décharge continue de fonctionner
en régime normal jusqu’à ce que le courant devienne trop faible pour l’auto-entretenir. Cet
événement se traduit au point E par l’annulation du courant, puis entre les points E et F, par
une chute progressive de la tension de décharge à travers le condensateur du circuit électrique.
26
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Figure I.11 – (a) Courbe V-I et (b) oscillogramme d’une micro-cathode creuse à une cavité, de
diamètre 240 µm et d’épaisseur 250 µm, fonctionnant dans l’hélium à 100 torr {Duf-09}.
I.5.4.Limites de comparaison entre macro-décharges et micro-décharges
Dans la phase luminescente, les courbes V-I de ces micro-décharges sont superposables à
celles des macro-décharges à basse pression. Cependant, ces similitudes ne doivent pas nous
faire perdre de vue qu’à l’échelle microscopique les mécanismes mis en jeu sont différents :
ainsi, d’après les travaux de Kurunczi {Kur-01} et de Schoenbach {Sch-00}, l’émission
excimère mesurée par spectrométrie d’émission optique indique que des réactions à trois
corps ont lieu à haute pression alors qu’elles n’existent pas à basse pression. Par ailleurs, à
basse pression la production d’électrons secondaires est principalement due au bombardement
ionique de la surface cathodique, alors qu’à haute pression ce mécanisme est complété par un
bombardement des métastables et des photons {Eic-93}. Enfin, la géométrie même de la microcathode creuse diffère de la géométrie des électrodes plans parallèles et peut être à l’origine de
phénomènes spécifiques, comme l’effet de cathode creuse ou le régime auto-impulsionnel.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
27
CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.6. Décharge à Barrière Diélectrique DBD
I.6.1. Introduction
Les décharges contrôlées par barrière diélectrique (DBD) ont été proposées par
Siemens {Sie-57} en 1857. Elle servait initialement pour la production d’ozone. Avec le
temps, la gamme d'application de ces décharges est devenue plus vaste {Kog-90} {Xu-01}
{Kog-03}. Parmi les ces applications citons : le traitement de surface, les écrans plasma, le
contrôle de l'écoulement, la dépollution, le dépôt de couches minces.
En 1932, Buss {Bus-32} découvrit le caractère filamentaire des DBD à la pression
atmosphérique, c’est-a-dire le fait qu’elles sont constituées de micro-décharges d’environ
100µm de rayon et d’une durée de quelques dizaines de nanosecondes. Ce caractère
filamentaire de la décharge peut présenter des inconvénients dans des applications telles que
le traitement de surface.
Pourtant, le procède corona qui utilise une DBD filamentaire est utilise depuis plus
d'une trentaine d'années pour le traitement de surface {Ena-07}. C'est même la technique la
plus répandue pour la modification de surface dans l'industrie des films plastiques et des
fibres.
I.6.2. Définition
Les décharges à barrières diélectriques (DBD), également appelées décharges
silencieuses, permettent de générer un plasma hors-équilibre thermodynamique à des
pressions proches de la pression atmosphérique {Eli-87} {Kog-97}.
Une décharge contrôlée par barrière diélectrique est une source de plasma froid hors
d’équilibre, c’est-à-dire un gaz ionisé globalement neutre dans lequel les électrons créés
possèdent une énergie (quelques eV) ou une température très supérieure à celle des ions et des
particules neutres du gaz (300 K) qui restent majoritaires {Eli-91}.
Le terme de DBD regroupe toutes les configurations de décharges pour lesquelles un
courant transite entre deux électrodes métalliques séparées par un gaz et par au moins une
couche d’un matériau isolant (diélectrique solide).
La figure I.12a) présente un exemple de configuration avec deux barrières
diélectriques.
28
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Le schéma électrique équivalent est présenté sur la figure I.12 b) : Cds correspond à la
capacité dont l’isolant est constitué des deux diélectriques solides. Suite à l’application d’une
tension, Va, sur les électrodes, le claquage du gaz induit une accumulation de charges sur la
surface des diélectriques et donc une tension Vds à leurs bornes. L’augmentation de cette
tension au fur et à mesure du développement de la décharge entraîne une chute de la tension
appliquée sur le gaz, Vg, ce qui conduit à l’extinction de la décharge. Le rôle des diélectriques
est donc de limiter la charge, c’est-à-dire l’intégrale du courant pouvant transiter dans la
décharge et ainsi de prévenir la formation d’un arc comme cela peut arriver entre deux
électrodes métalliques à la pression atmosphérique {Rai-91}. En contrepartie, la présence
d’un diélectrique impose l’utilisation d’une tension alternative ou pulsée.
Figure I.12 – a) Exemple de configuration de DBD avec deux diélectriques solides, b) son schéma
électrique équivalent {Her-60}
I.6.3. Principe des Décharges à Barrières Diélectriques (DBD)
Figure I.13 – Géométrie classique d’une décharge à barrières diélectriques {Art-03}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
29
CHAPITRE I : Plasma Décharge
La DBD est constituée de deux armatures métalliques dont au moins une est
recouverte d’un isolant, appelée barrière diélectrique. On rencontre très souvent la
configuration où chaque armature est recouverte d’un diélectrique (figure I.13). Ce dernier
sert à éviter la formation d'un arc électrique qui se produirait entre électrodes métalliques. A
des fortes pressions, la DBD est bien souvent constituée d'une multitude de filaments de faible
durée {Kog-83}{Eli*-87}{Kog-03}{Mer-04}.{Has-04}
I.6.4. Trois régimes de décharge
La section précédente a mis en évidence deux types de décharge en fonction du mode
de claquage du gaz : décharge filamentaire et décharge homogène (de Townsend ou
luminescente). Il existe un troisième type de décharge qui dérive de la décharge homogène, il
s'agit de la décharge multi-pics. Ces différentes décharges ou régimes de décharge se
distinguent par leurs caractéristiques électriques : évolution du courant de décharge, la tension
d'alimentation et de la tension aux bornes du plasma, généralement appelée tension gaz.
a. Le régime filamentaire se caractérise par une multitude de décharges de courte durée
distribuées aléatoirement dans l'espace inter-électrodes. Ceci se traduit sur les traces
de courant par une forêt de pulses très courts (quelques nanosecondes) dont la
distribution est non reproductible d'une décharge à la suivante.
Lorsque le produit P.d est supérieur à quelques dizaines de torr.cm, le claquage
normalement observé est de type " filamentaire " (aussi appelé streamer) {Rai-97}. La
théorie du streamer a été développée en 1939 à la fois par Raether {Rae-39} et par
Meek et Loeb {Mee-40} et permet d’expliquer le développement des filaments ou
streamers. Proche de la pression atmosphérique, la décharge est donc constituée de
filaments décrits plus haut. Ils ont des diamètres de quelques centaines de micromètres
et des durées de l'ordre de la centaine de nanosecondes {Eli-91}. L'échange d'énergie
entre les électrons et les atomes est alors très efficace et d'après Eliasson et
Kogelschatz {Kog-02}, il n'est pas inhabituel de transformer 90% ou plus d'énergie
cinétique en énergie "stockée" dans les espèces excitées. Par exemple : Dans un
dispositif de distance inter-électrodes 2 mm et une pression proche de la pression
atmosphérique. Ainsi, le produit P.d est de l’ordre de quelques dizaines de torr.cm et
le mécanisme de claquage du gaz le plus probable est de type streamer.
30
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Les caractéristiques typiques d’un filament (dans l'air, l'azote ou l'oxygène) sont
résumées dans le tableau I-1 {Kog-92}.
Tableau I-1: Ordre de grandeur des principales caractéristiques d’une décharge à barrières
diélectriques de type filamentaire (air, azote ou oxygène) {Kog-92} ou luminescente (He)
{Mas-98}.
Filamentaire
Luminescente
Duré du pic de courant (ns)
1-10
5.103
Vitesse de propagation (cm.s-1)
108
--
Rayon d’un filament : 0.1 mm
Toute l’électrode
Densité de courant (A.cm-2)
100-1000
10-3
Densité électronique maximale (cm-3)
1014-1015
3.1011
--
106
1-10
--
Type
Dimension
Densité électronique à l’amorçage (cm-3)
Energie électronique moyenne (eV)
b. Le régime homogène : comprend deux types de décharge : la décharge luminescente
(observée dans les gaz rares) ou de Townsend (observée en azote).
Une décharge luminescente {Mas*-98}, comme celle obtenue en hélium, est
caractérisée par un seul pulse de courant par demi-période, d'une durée de quelques
microsecondes.
Cette caractéristique intrinsèque de la décharge luminescente suggère un
développement unique de la décharge dans tout l'espace inter-électrodes.
Il en est de même pour la décharge de Townsend observée en azote, mais le pulse de
courant qui apparaît à chaque demi période est plus étendu, d'une durée de quelques
dizaines de microsecondes.
Dans chaque cas la forme du courant est identique d'une décharge à la suivante, quelle
que soit l'alternance, positive ou négative.
La transition vers le régime filamentaire a lieu lorsque l'on augmente la puissance
et/ou que le taux d'impuretés ou de gaz électronégatif devient trop important. La
pression joue un rôle important en azote car on observe une transition vers le régime
multi-pics, en dessous de 300 mbar.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
31
CHAPITRE I : Plasma Décharge
c. Le régime multi-pics : issu d'une décharge luminescente ou de Townsend, se
caractérise par une multiplication des décharges au sein même d'une demi-période. A
la différence du régime filamentaire, ce phénomène est entièrement reproductible
d'une demi-période à la suivante. D'autre part, la durée des multi-pics (de l'ordre de la
microseconde) est relativement longue par rapport au régime filamentaire et l'intensité
du courant est du même ordre de grandeur qu'en régime homogène.
Ce régime observé pour la première fois par Bartnikas {Bar-68} est une
dégénérescence du régime luminescent/de Townsend lorsque l'on augmente la tension
appliquée au gaz ou que l'on ajoute des impuretés (oxygène notamment) {Bra-05}
{Rad-03}. Akishev et al {Aki-01} attribuent la formation de ces multi-pics à une
résistance négative dans la région de chute cathodique : le premier pulse de courant
correspond au claquage du gaz et à l'apparition de la chute cathodique, alors que les
pulses suivant sont dus à une oscillation de la chute cathodique qui dure jusqu'à
l'alternance suivante. Pour Mangolini et al {Man-02} {And-04} et Golubovskii et al
{Gol-03}, cette succession de pulses de courant correspond à un développement radial
de la décharge d'un pulse à l'autre. Les mesures expérimentales et les simulations de
Yuan et Shin {Yua-06}{Shi-03}
montrent que la formation des mult-pics est
essentiellement un phénomène uni-dimensionnel sans inhomogénéités latérales.
I.7. Conditions d'obtention d'une décharge homogène
Afin d'obtenir une DBD homogène à la pression atmosphérique, un certain nombre de
conditions doivent être remplies. Ces conditions empiriques ont été énoncées pour la première
fois par Yokoyama et al en 1990 {Yok-90}.
Pour résumer ces conditions en les complétant par les recherches menées depuis, on
peut dire que pour obtenir une DBD homogène à la pression atmosphérique il est nécessaire
de :
a) choisir une distance inter-électrodes et des matériaux appropriés (électrodes et
diélectriques).
b) maîtriser la composition gazeuse et le taux d'impuretés.
c) contrôler l'alimentation de la décharge : fréquence appropriée (kHz), haute tension et
accord d'impédance.
Ces trois points sont détaillés ci-après
32
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
(a) Distance inter-électrode et diélectrique
Le matériau diélectrique empêche la transition à l'arc en limitant le courant. La
distance entre les électrodes est elle aussi critique, mais dépend du type de gaz utilisé. Ainsi,
avec une distance inter-électrodes de l’ordre de 5 mm par exemple, il sera possible d'obtenir
une décharge luminescente en hélium alors qu'en azote la limite de la décharge de Townsend
se situe à 2 mm. D'autre part, les conditions de surface, accumulation de charges {Rah-05},
leur nature, en alumine {Ald-05}, polymère {Ghe-00} modifient (i) le coefficient d'émission
secondaire (𝛾𝛾) ainsi que (ii) la nature des produits gravés issus des surfaces et leur
concentration {Mai-07}.
(b) Composition gazeuse
Massines et al ont montré {Mas-03}, que la décharge homogène obtenue en hélium et
plus généralement dans un gaz rare est de type luminescent (comme celle initiée à basse
pression) alors qu'en azote elle est de type Townsend. Dans les deux cas, les impuretés jouent
un rôle primordial pour la génération et l'entretient de la décharge. L'hélium est le gaz qui
permet d'obtenir le plus facilement une décharge luminescente homogène à la pression
atmosphérique. Il en est de même pour tous les autres gaz rares utilisés avec des impuretés
(mélange de Penning) {Mas-05}, mais la décharge est plus difficile à amorcer car le niveau
d'excitation des espèces métastables créées est bien moins élevé que celui des métastables
d'hélium. L'ajout d'un gaz réactif ou électronégatif comme l'oxygène, même en faible
proportion, peut faire transiter la décharge vers le régime filamentaire {Bra-05} {Lee-05}.
(c) Alimentation
La fréquence utilisée est en général de l'ordre du kilohertz, avec une tension
d'alimentation de quelques kilovolts. En fonction du gaz, de la pression de travail et du type
de barrière, il est important de pouvoir adapter la charge au circuit d'alimentation à l'aide d'un
circuit d'adaptation d'impédance (inductance et capacité). Une régulation active du circuit
électrique peut aussi aider à contrôler le type de décharge {Ald-05}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
33
CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.8. Mécanismes d'entretien d'une décharge homogène
La condition d'entretien de la décharge est la production en nombre suffisant
d'électrons germes entre deux décharges afin d'amorcer la décharge sous faible champ à
l'alternance suivante Massines et al {Mas-98} ont montré que ce processus est intimement lié
aux espèces métastables et à l'ionisation Penning. En fonction du gaz, cette interaction aboutit
à une décharge de Townsend ou luminescente dont la physique a été décrite à l'aide de
mesures et de simulations effectuées par l'équipe de Massines {Mas-05} et de Golubovskii
{Gol-02}. Ces mécanismes sont présentés en fonction du type de gaz.
I.9. Aspects fondamentaux de claquage gazeux
I.9.1.Historique
Le claquage électrique de gaz a été étudié intensivement pendant plus de centaine
années et la délinéation des diverses manifestations des décharges a avancé parallèlement à
une meilleure compréhension des processus fondamentaux dans la physique de décharge de
gaz pour la raison simple que chaque plasma doit commencer à un certain point à temps.
Puisque la variété de décharges de gaz est énorme, il y a également une gamme étendue de
différents types de claquage de plasma. L’échelle de la gamme de la décharge de gaz est très
grande telle que les sprites de la foudre {Baz-00} et de l'altitude élevée {Pas-02} aux microdécharges à échelle très réduite tels que les panneaux d'affichage à plasma {Boe-03} et
l'aiguille de plasma {Kie-05} {Sla-06}. Beaucoup des plasmas, par exemple décharges à
lampes et gravure à l'eau-forte de RF, la phase de claquage est seulement une partie de la mise
en train du système. Après que le claquage de plasma stabilise dans un mode équilibré et le
plasma est employé pour son but prévu. Pour des décharges passagères, il existe aucune
situation équilibrée donc, la phase de claquage est une partie considérable de la vie de plasma.
Les exemples de tels systèmes incluent les décharges à barrière diélectriques, la foudre, et les
décharges de flamme et d'étincelle. En outre dans des décharges répétitivement pulsées, la
phase de claquage est importante. Les conditions commençantes pour de telles décharges sont
déterminées par les restes des décharges.
Les investigations sur l'allumage de décharge sont presque aussi vieilles que les études
des décharges elles-mêmes.
34
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Déjà en 1889, Paschen a exécuté des expériences étudiant la différence potentielle
minimum qui était nécessaire pour créer une étincelle entre deux électrodes dans un tube de
verre {Pas-89}. Il a constaté que cette tension a dépendu du type de gaz, de la pression dans le
tube p, et les séparations des électrodes, d. D'ailleurs, la tension minimale de claquage était
une fonction du produit entre la pression et la distance inter-électrode. Des figures montrant la
tension de claquage comme fonction de distance inter-électrodes de temps de pression sont de
nos jours connues comme courbes de Paschen ; un exemple est montré sur le chapitre suivant.
À ce moment-là, les tensions de claquage pourraient être mesurées expérimentalement, mais
les processus fondamentaux causant le claquage, n'ont pas été correctement compris.
Seulement 20 ans après, en 1909, Townsend a proposé une théorie qui pourrait
expliquer les phénomènes observés de claquage, y compris les tensions de claquage mesurées
en courbe de Paschen {Kru-40} {Tow-47}. Sa théorie a été basée sur une description des
processus microscopiques tels que l'ionisation des atomes par impact d'électron,
multiplication de charge dans les avalanches d'électron, et l’émission d'électron secondaire à
la cathode par impact d'ion. Même de nos jours, la théorie de Townsend est généralement
employée pour décrire le claquage dans les décharges à basse pression. Une introduction plus
détaillée à la théorie de claquage de Townsend peut être trouvée en chapitre II.
La théorie de Townsend fournit une description précise de claquage pour un grand
nombre de décharges à basse pression de gaz mais l'ensemble de conditions auxquelles il est
applicable est limité.
Dans les années 1930 et les années 1940, les nouvelles observations de claquage de
plasma dans les conditions spécifiques ont montré les dispositifs qui n'étaient pas en accord
avec la théorie de Townsend. En particulier, les décharges aux hautes pressions et les longues
lacunes se sont développées beaucoup plus rapidement que ce qui pourrait être expliqué en
utilisant la théorie conventionnelle de claquage de Townsend. Un nouveau type de théorie de
claquage, connu sous le nom de claquage de flamme (streamer breakdown) a été développé
par Loeb {Loe-40} {Loe*-40}, Meek{Mee-53} et Raether {Rae-64}.
Dans cette nouvelle théorie, des effets de charge de l'espace à l'intérieur des
avalanches d'électron ont été pris en considération, ayant pour résultat mince, faible-ont ionisé
des canaux, connus sous le nom de flammes. Encore, plus d'information sur cette théorie de
claquage peut être trouvée.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
35
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Depuis les premières investigations sur Paschen et Townsend et le développement
suivant de la théorie de claquage de flamme « streamer », beaucoup de questions sont
demeurées sans réponse et le claquage de plasma est toujours un champ de recherche actif.
Par exemple, des détails des phases de claquage dans les décharges à basse pression de
D.C avec les champs uniformes, tels que les décharges de Townsend {Boe-03} {Kie-05}
{Sla-06} {Pas-89} et les décharges de lueur {Kru-40} {Tow-47} {Loe-40} {Loe*-40}
{Mee-53} ne sont pas entièrement compris et ne sont pas toujours étudiés. Dans les courants
pulsés, quasi-D.C décharge des effets de mémoire, qui est des influences des décharges
précédentes, jouent un rôle important et sont étudiés en détail {Rae-64} {Mal-03} {Ami-05}.
D'autres exemples des investigations sur l'allumage de plasma incluent les décharges
de RF {Gur-06} {Rai-06} {Lle-59}{Phe-99}, les sources de micro-onde {Lis-00}et les
micro-décharges {Pej-02}.
Des phénomènes de claquage sont non seulement étudiés à des basses pressions, mais
également dans les décharges à haute pression il y a beaucoup d'investigations.
Particulièrement des décharges de flamme « streamer » sont étudiées expérimentalement et
théoriquement, par exemple {Gar-03}{Pej-83}{Mar-97}{Pej-06}{Lis-94}{Sho-99}. Dans
ces derniers, le type de décharges, les mécanismes de propagation et des effets s'embranchant
ne sont pas entièrement compris. En outre, usages spéciaux tels que l'ionisation ondule avec
des vitesses d'environ 107 –108 m/s, connues sous le nom de l'ionisation rapide ondule, ont été
observés pour des conditions spécifiques, mais sont seulement mal compris {Smi-98}{Lis05}.
Non seulement d'intérêt fondamental, mais également dans beaucoup d'applications de
plasma, le claquage est une question importante et le sujet de recherche. Par exemple, au
sujet de l'allumage est étudié dans des lampes à décharges d'intensité élevée {Bae-99}{Rad05}{Akr-96}{Low-92}, des lampes fluorescentes {Ale-03}{Ebe-97}{Ebe-06}{Sar-06}, des
panneaux d'affichage à plasma PDP {Moi-00} {Sta-01} et air et des systèmes de purification
d'eau basés sur les décharges de corona {Ani-02}{Bho-04}.
Récemment, un mode spécial de décharge, dans les décharges à barrière diélectriques
(DBD) a été découvert {Lay- 03} {Bys-96}. Dans des conditions spécifiques de décharge, la
décharge apparaît comme une lueur diffuse couvrant la surface entière d'électrode. Ceci
contrairement au mode normal d'opération de DBD en lequel la décharge se compose de
beaucoup, filaments de courte durée de décharge. Les raisons exactes de ce mode spécial ne
36
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
sont pas entièrement comprises, mais il est clair que les processus dans la phase de claquage
jouent un rôle crucial {Pit- 97} {Ned-61}{Abr-80 }{ Hor-88 }{ Bro-03}{Hag- 00}.
I.9.2. Mécanisme du claquage des gaz
A une température et pression normaux, les gaz sont d'excellents isolateurs. La
conduction courante est de l'ordre de 10-10 A/cm2. Cette conduction de courant résulte
l'ionisation d'air par le rayonnement cosmique. À des champs plus élevés, les particules
chargées peuvent gagner l'énergie suffisante entre la collision pour causer l'ionisation sur
l'impact avec les molécules neutres. On le sait que pendant une collision élastique, un
électron perd peu d'énergie et accumule rapidement son énergie cinétique qui est assurée par
un champ électrique externe. D'autre part, pendant la collision élastique, une grande partie de
l'énergie cinétique est transformée en énergie potentielle en ionisant la molécule heurtée par
l'électron. L'ionisation par impact d'électron sous le champ électrique fort est le processus le
plus important menant au « claquage des gaz ».
Cette ionisation par rayonnement ou photons, implique l'interaction du rayonnementmatière. La photo-ionisation se produit quand la quantité d'énergie de rayonnement absorbée
par un atome ou une molécule excède son énergie d'ionisation est représentée comme
𝐴𝐴𝐴𝐴 + ℎ𝜈𝜈 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 + + 𝑒𝑒 , où 𝐴𝐴𝐴𝐴 représente un atome neutre ou molécule de gaz et ℎ𝜈𝜈 est l'énergie
de photon. La photo-ionisation est un procédé secondaire d'ionisation et essentielle dans le
mécanisme de claquage de flamme (streamer breakdown) et dans quelques décharges de
corona (corona discharge). Si l'énergie de photon est moins que l'énergie d'ionisation, elle
peut encore être absorbée de ce fait soulevant l'atome à une force plus élevée. Ceci est connu
comme photo-excitation.
La période de la vie de certains éléments dans certains des états électroniques
passionnants se prolonge aux secondes. Celles-ci sont connues par des états métastables et ces
atomes sont connus comme « métastables ». Métastables ont une énergie potentiel
relativement élevée et peuvent, donc, ioniser les particules neutres. Laisser 𝐴𝐴𝐴𝐴 être l'atome à
ioniser et 𝐵𝐵 𝑚𝑚 le métastable, quand 𝐵𝐵 𝑚𝑚 se heurte 𝐴𝐴𝐴𝐴, ionisation peut avoir lieu selon la
réaction.
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑚𝑚 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 + + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑒𝑒
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
37
CHAPITRE I : Plasma Décharge
L'ionisation par interaction métastable entre en vigueur longtemps après qu'on ait
montré l'excitation et que ces réactions sont responsables des retards à long terme observés en
quelques gaz.
Ionisation thermique :
Quand un gaz est chauffé à haute température, certaines des molécules de gaz
acquièrent une énergie cinétique élevée, les particules neutres entrant en collision et ionisent,
et libèrent des électrons. Ces électrons et d'autres molécules ont une vitesse élevée, à leur tour
se heurtent d'autres particules et libèrent plus d'électrons.
I.9.2.1. Premier coefficient d’ionisation de Townsend
Considérer un condensateur plat parallèle séparé par une distance d, ayant un gaz
isolant au milieu, comme montré dans figure I.14.
Figure I.14 – Un condensateur plat parallèle
Dans le moment où aucun champ électrique n'est installé entre les plats (électrodes),
un état d'équilibre existe, entre l'état d'électron et génération d'ion positive due aux processus
d'affaiblissement. Cet état d'équilibre sera dérangé, où un champ électrique élevé est appliqué.
La variation du courant en fonction de la tension a été étudiée par Townsend. Il a
constaté que le courant au début accru proportionnellement à mesure que la tension est
augmentée et puis reste constant, à 𝐼𝐼0 qui correspond au courant de saturation. A des tensions
encore plus élevées, le courant augmente exponentiellement. La variation du courant en
fonction de la tension est montrée sur la figure I.15.
38
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Figure I.15 – Variation de courant en fonction de la tension {Wad-07}
L'augmentation exponentielle du courant est due à l'ionisation du gaz par collision
d'électron. À mesure que la tension augmente, V/d augment et par conséquent les électrons
sont accélérés de plus en plus et entre les collisions ceux-ci acquièrent une énergie cinétique
plus élevée, et assommer, donc de plus en plus électrons.
Pour expliquer l'élévation exponentielle du courant, Townsend a présenté un
coefficient α connu sous le nom de premier coefficient de l'ionisation de Townsend est défini
le nombre d'électrons produisait par unité de longueur dans la direction du champ {Ham-96}.
Laisser n0 être le nombre d'électrons laissant à la cathode, et quand ceux-ci se sont déplacés
par une distance x de la cathode, ce nombre d’électron deviennent n. On peut le définir par les
réactions suivant
Ou
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝐾𝐾
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑛𝑛
Maintenant à = 0, 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛0 . Par conséquent
= 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑
(Eq. I.1)
𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛0 = 𝐾𝐾, on remplaçant dans (Eq. I.1), 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛0 ⇨ ln 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝛼𝛼
0
Quand 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑, 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛼𝛼𝛼𝛼), par conséquent, le terme de courant devient
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼
Le terme 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 , s'appelle « l'avalanche d'électronique », qui représente le nombre
d'électrons produits par un électron dans le déplacement de la cathode vers l'anode
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
39
CHAPITRE I : Plasma Décharge
I.9.2.2. Coefficient d’émission secondaire
• Processus de la cathode— effets secondaire
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼
Nous avons, entré dans les deux côtés logarithme, nous trouvons
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐼𝐼 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐼𝐼0 + 𝛼𝛼𝛼𝛼
Townsend dans ses premières investigations avait observé que le courant dans l'espace
entre deux électrodes parallèle a augmenté plus rapidement avec l'augmentation de la tension
par rapport à celle donnée par l'équation ci-dessus. Pour expliquer ce départ aux linéarités,
Townsend a proposé qu'un deuxième mécanisme doive affecter le courant. Il a postulé que le
courant additionnel doit être dû à la présence des ions positifs et des photons. Les ions positifs
libéreront des électrons par collision avec des molécules de gaz et par bombardement de la
cathode. De même, les photons libéreront également des électrons après collision avec des
molécules de gaz et de la cathode après impact de photon {Raj-03}.
Considérons le phénomène de la décharge auto-entretien où les électrons sont libérés
de la cathode par bombardement d'ion positif.
Laisser 𝑛𝑛0 être le nombre d'électrons libérés de la cathode par le rayonnement
ultraviolet, le 𝑛𝑛+ le nombre d'électrons libérés de la cathode due au bombardement d'ion
positif et le n est le nombre d'électrons atteignant l'anode. Laisser 𝛾𝛾, connu sous le nom de
coefficient d’émission secondaire « second coefficient de Townsend », soit défini comme le
nombre d'électrons libéré de la cathode par ion positif d'incident, alors
𝑛𝑛 = (𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛+)𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼
Maintenant le nombre total des électrons libérés de la cathode est (𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛+) et ceux
qui atteignent l'anode sont 𝑛𝑛, donc, le nombre d'électrons libérés du gaz = 𝑛𝑛 − (𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛+), et
nous assumons, que chaque ion positif libère 𝛾𝛾 électrons efficaces de la cathode.
Il y a plusieurs mécanismes qui rapportent les électrons secondaires à la cathode dans
le gaz. Les électrons secondaires contribuent à la croissance plus rapide du courant dans
l'espace de décharge et les mécanismes importants de l'ionisation secondaire sont classifiés en
tant que ci-dessous.
A. Impact des ions positifs sur la cathode
Les ions positifs qui empiètent sur la cathode libèrent les électrons secondaires ont
fourni leur énergie qui est égale ou plus grande que la fonction de travail de la cathode.
40
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Le nombre d'électrons secondaires libérés par ion d'incident dépend de conditions
extérieures de la cathode telle que l'oxydation, la couche adsorbée de gaz, etc…
L'émission secondaire est plus haute pour les surfaces plus propres et non oxydées. À
basses pressions de gaz, le coefficient secondaire est habituellement de l'ordre de 10-2-10-4 par
électron d'incident. Dans les décharges à des pressions plus élevées (~ 100 kPa), l'influence
des électrons secondaires dus aux ions positifs est négligeable car les ions n'ont pas l'énergie
suffisante.
B. Impact des Métastables sur la cathode
Dans certaines conditions une molécule passionnante perd une fraction de son énergie
par collision et le résultat est un nouvel état passionnant dont la molécule passionnante ne
peut pas retourner à l'état fondamental. La période de la vie de telles molécules passionnantes,
appelée les métastables, est environ 10 s. Quelques métastables sont détruits par collision avec
une molécule de gaz et certains sont perdus en tombant sur l'anode. Cependant, l'émission
secondaire peut se produire quand des métastables introduisant à la cathode. Pour un gaz
donné en lequel les métastables sont présent (les gaz rares et l'azote sont des exemples),
l'émission secondaire due aux ions positifs sera plus prononcée que celle due aux métastables.
La raison est que, dans n'importe quelle condition particulière, les ions positifs sont attirés à la
cathode due à la force de Coloumb, où comme les métastables, étant neutre de charge,
peuvent seulement atteindre la cathode par diffusion. De plus, la probabilité de la libération
d'un électron secondaire dû aux ions positifs est plus haute que ceux des métastables.
C. Action Photoélectrique
L'émission des électrons de la cathode due à l'action photoélectrique est un mécanisme
secondaire important et efficace aux pressions de gaz modérées (~10 − 100 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘) et aux
longueurs d'espace de quelques centimètres.
Pour faire échapper un électron d'un métal, il devrait être donné assez d'énergie pour
surmonter la barrière potentielle extérieure. L'énergie peut également être assurée sous forme
de photon de la lumière U.V de la fréquence appropriée. L'émission d'électron d'une surface
en métal se produit à l'état critique (voir Eq. I.2)
ℎ𝜈𝜈 ≥ φm
(Eq. I.2)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
41
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Là où φm est la fonction de travail de l'électrode métallique. La fréquence (𝜈𝜈) est
indiquée par le rapport
𝜈𝜈 =
φm
ℎ
𝜈𝜈 est connu comme la fréquence de seuil. Pour une surface propre de nickel par
exemple avec φm = 4.5eV , la fréquence de seuil sera cela correspondant à une longueur
d'onde 𝜆𝜆 = 2755 𝐴𝐴.
Si le rayonnement d'incident a une plus grande fréquence que la
fréquence de seuil, alors l'énergie excessive va en partie comme énergie cinétique de l'électron
émis et une partie va chauffer la surface de l'électrode. Puisque φm est typiquement de
quelques d'électron volts, la fréquence de seuil se situe dans la région loin ultra-violette du
spectre de rayonnement électromagnétique.
I.10. Les deux types de claquages
I.10.1. Introduction
Deux types principaux de claquage électrique sont ; D.C et pulsé. D.C, décrit le
claquage qui se produit entre les électrodes qui ont eu pendant longtemps une différence de
tension (état d'équilibre). Le claquage pulsé, décrit le claquage qui se produit en raison d'une
impulsion de tension rapide entre les électrodes. Les tensions exigées pour le claquage pulsé
sont des tensions plus grandes qu'en général de 20%, par rapport au claquage de D.C. Les
processus qui comportent ces deux types du claquage et des matières relatives sont décrits en
dessous {Man-97}
I.10.2. Claquage de Townsend
Le processus de claquage à basse pression ou pour de faibles valeurs du produit P.d
(quelques torr.cm) est de type de Townsend {Mee-53} {Mee-91} {Rae-40}.
Si l'on considère deux électrodes planes séparées par une distance d et que l'on
applique une tension V à leurs bornes, il va se former un champ électrique, considéré comme
homogène, de la forme, E = V/d. Des électrons germes provenant de sources externes (rayons
cosmiques, radioactivité naturelle ou source ionique artificielle) vont être accélérés et
rejoindre l'anode si le champ est suffisamment intense et s'ils ne se sont pas attachés à une
molécule électronégative. En conséquence, le courant I généré dans le circuit, en fonction du
nombre d'espèces chargées ayant rejoint les électrodes, va croître, dans un premier temps,
avec la tension appliquée V (étape 1 sur la figure I.16). A partir d'une certaine tension,
42
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
presque toutes les espèces chargées (ions et électrons) rejoignent les électrodes. Le courant
sature (I0, figure I.16) et cesse de dépendre de la tension (étape 2, figure I.16). Cette saturation
est déterminée par le taux de charges créées par les sources externes. Si la tension augmente
encore, le gaz s'ionise par impact électronique, amplifiant le courant dû aux sources externes.
C'est l'avalanche électronique résultant de ces processus primaires.
Figure I.16 – Zoom sur la caractéristique de la décharge la phase sombre {Sub-07}.Voir figure I.9
Le courant est multiplié par un facteur 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 , qui correspond au nombre de paires d'ions
produites par une avalanche électronique traversant l'espace inter-électrodes d. Le coefficient
𝛼𝛼 est d'autant plus grand, si le mélange gazeux est composé d’une « mixture de Penning »
(mélange néon et impuretés d'argon par exemple) où les métastables sont susceptibles
d'ioniser par « effet Penning » présentes dans le gaz, et ainsi de diminuer le champ électrique
de claquage {Mee-53} {Loe-56}.
La courbe verticale de saturation du courant représenté par l’étape 3, figure I.16, le
courant n'est toujours pas auto-entretenu. Pour cela il faut augmenter encore la tension pour
que les processus d'émission secondaire (photo-ionisation, bombardement ionique et
métastables) entrent en jeu : création d'électrons par les particules issues des processus
primaires d'ionisation ou d'excitation par impact électronique. Les processus d'émission
secondaire sont d'autant plus efficaces, pour la multiplication des avalanches, s’il se produit à
la cathode : les électrons sont ainsi accélérés sur tout l'espace inter-électrodes jusqu'à l'anode,
fournissant une ionisation plus importante qu'un électron provenant du milieu de l'espace
inter-électrodes. En tenant compte de ce processus, l'amplification du courant peut s'écrire
{Tow-15}.
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛼𝛼𝛼𝛼)
1 − 𝛾𝛾[exp(𝛼𝛼𝛼𝛼) − 1]
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
43
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Où 𝛾𝛾 est le second coefficient de Townsend, qui dépend du matériau de la cathode, du gaz et
qui tient compte de la contribution des ions positifs, des photons et des espèces métastables.
Le claquage a lieu quand la tension aux bornes des électrodes atteint un seuil Vt (seuil
de claquage, étape 4, figure I.16), tel que l'amplification du courant entre les électrodes tende
vers l'infini :
𝛾𝛾[𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛼𝛼𝛼𝛼) − 1] = 1
Cette équation représente l'établissent d'un courant stable auto-entretenu sous un
champ électrique homogène Et = Vt /d. Le processus d'auto-entretien dans l'espace interélectrodes peut être décrit de la manière suivante : un électron émis par la cathode produit
𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 − 1, ions qui, en interagissant avec la cathode, extraient 𝛾𝛾 électrons chacun (dans le cas
d'une émission ion-électron). Un électron primaire est remplacé par un électron secondaire
𝑀𝑀 = 𝛾𝛾[𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛼𝛼𝛼𝛼) − 1] = 1
Cependant, le claquage ne peut être entretenu si la tension appliquée est exactement Vt,
car cette tension permet uniquement d'entretenir la première reproduction d'électrons :
𝑀𝑀 = 1. Afin d'augmenter la quantité d'électrons germe à la cathode, il faut augmenter
légèrement la tension appliquée (𝑉𝑉 > 𝑉𝑉𝑡𝑡 ) et ainsi accéder au régime d'auto-entretien. On
introduit donc une légère sur-tension, ∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉 − 𝑉𝑉𝑡𝑡 > 0, pour assurer un renouvellement
étendu d'électrons : 𝑀𝑀 > 1 {Mee-91}.
Cette condition de claquage a été définie de manière empirique par la loi de Paschen
{Pas-89}. Selon cette loi, la tension de claquage, pour un gaz et un matériau d'électrode
donnés, dépend uniquement du produit entre la pression (P) et l'espace inter-électrodes (d),
𝑉𝑉𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑃𝑃. 𝑑𝑑). Un exemple de la représentation de la tension de claquage en fonction du
produit P.d pour différent gaz, communément appelée « courbe de Paschen ».
Une fois la tension de claquage atteinte et la condition d'auto-entretien remplie, un
premier type de décharge s'établit : la décharge de Townsend (ou « Townsend dark
discharge », décharge sombre de Townsend). Pour l'établissement de cette décharge, la
résistance du circuit doit être très grande afin de limiter le courant de décharge à une valeur
suffisamment faible pour que la charge d'espace positive qui s'accumule entre les électrodes
ne déforme pas le champ électrique appliqué {Smi-07}.
44
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Si le courant augmente, le champ devient spatialement inhomogène et la décharge de
Townsend transite en décharge luminescente. Le champ de charges d'espace devenant plus
important, la tension nécessaire pour maintenir la décharge diminue. Une chute cathodique se
forme, caractérisée par une région de charges d'espace positives autour de la cathode avec des
champs électrique élevés. Une colonne positive de plasma quasi-neutre se crée entre l'anode et
la cathode.
Durant
le processus
de claquage
chaque avalanche s'étend
généralement
transversalement à cause de la diffusion des électrons. D'autre part, un processus ne débute
pas nécessairement avec un seul électron, plusieurs peuvent être émis simultanément à des
endroits différents. Ainsi, le claquage de Townsend occupe le plus souvent tout le volume
inter-électrodes par diffusion. Il en va de même pour les décharges, dites, de ce fait,
homogènes résultantes : décharge de Townsend ou décharge luminescente. Ceci constitue une
différence importante par rapport aux décharges filamentaires, issues d'un claquage de type
« streamer », qui est très localisées, comme nous allons le voir à la section suivante.
I.10.3. Claquage de Streamer et décharge Filamentaire
La plupart des décharges que l'on rencontre à la pression atmosphérique (corona, arc)
sont initiées par un claquage de type « streamer ».
Dans l'air, d'après le critère proposé en 1940 par Raether {Rae-40}, lorsque le produit
« pression ×distance inter-électrodes » devient supérieur à 1000 torr .cm on peut s'attendre à
un claquage de type « streamer » et à un claquage de type Townsend s'il est inférieur. Une
sur-tension trop importante résulte aussi en un claquage de type « streamer ». La courbe de la
figure I.17 propose une limite entre ces deux types de claquage dans l'air par exemple,
représente la sur-tension appliquée en fonction du produit P.d.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
45
CHAPITRE I : Plasma Décharge
Figure I.17 – Courbe séparant les conditions en air résultant d'un claquage de Townsend (région
inférieure) d'un claquage de type streamer (région supérieure) {Kor-98}.
Dans ces conditions (P.d > 1000 torr.cm ou sur-tension élevés), le processus de
claquage observé est trop rapide pour être expliqué par un mécanisme d'avalanches
électroniques successives assistées par l'émission d'électrons secondaires à la cathode {Rog28}. Cette émission secondaire due à l'impact des ions à la cathode n'est tout simplement pas
possible car le temps de propagation de l'avalanche primaire est beaucoup plus rapide que le
temps de transit des ions à la cathode.
D'autre part, une des caractéristiques essentielles du claquage de Townsend est que le
champ de charges d'espace d'une seule avalanche électronique ne modifie pas le champ
électrique appliqué dans l'espace inter-électrodes.
Cependant, quand le nombre d'électrons dans l'avalanche dépasse un seuil critique Ncr
8
(~ 10 ) avant d'atteindre l'anode, l'accumulation de charges d'espaces locales engendre un
mécanisme de claquage complètement différent. Le critère de Meek {Mee-53} définit ce
seuil:
exp⁡
(𝛼𝛼𝛼𝛼) ≤ 𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐
Avec 𝛼𝛼, 1er coefficient d'ionisation de Townsend et d, distance inter-électrodes.
46
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
On parle alors de claquage de type streamer {Mee-40}. Ce claquage est beaucoup plus
rapide (~ 10-9 s) que le claquage de Townsend et résulte en un fin canal de décharge,
constituant un filament.
Le mécanisme de claquage de type « streamer » se décompose en plusieurs phases
(figure I.18):
Figure. I.18 – Mécanisme de claquage de type « streamer ». Propagation de : (a) l'avalanche
primaire ; (b) Décharge de « streamer ». : (c) Filament {Mee-91}.
•
Avalanche primaire (figure I.18 (a))
Une avalanche intense se forme et croit très rapidement de la cathode vers l'anode.
Les charges d'espace forment une sorte de dipôle au sein même de l'avalanche : les électrons
sont en tête d'avalanche alors que les ions positifs restent en queue.
Le champ de charges d'espace résultant va distordre localement le champ appliqué.
Puis, la croissance rapide de l'avalanche et son amplification lui permettent d'atteindre une
taille telle que le champ de ces charges d'espace va devenir aussi important que le champ
appliqué. A ce moment, le nombre d'électrons atteint son seuil critique, 𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 ≈ 108 . Ce champ
s'additionne au champ appliqué et une zone faiblement ionisée peut alors se crées. Lorsque
l'avalanche atteint l'anode, il ne reste plus que les charges d'espace positives de la queue de
l'avalanche dans l'espace inter-électrodes. Le champ est formé par ces charges ioniques et leur
image à l'anode.
Pour que l'avalanche primaire se transforme en « streamer », il faut qu'elle atteigne un
niveau d'amplification très élevé. Le champ de charge d'espace doit atteindre la valeur du
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
47
CHAPITRE I : Plasma Décharge
champ appliqué, sinon il n'y aurait aucune raison que l'évolution normale de l'avalanche soit
perturbée.
C'est ce point particulier qui permet de distinguer la transition de l'avalanche primaire
vers le « streamer », et le claquage de type « streamer » de la multiplication des avalanches et
du claquage de type Townsend.
•
Transition avalanche – « streamer » et propagation (figure I.18 (b))
Lorsque l'avalanche primaire rejoint l'anode, au moment où son amplification est
maximum et où la zone faiblement ionisée se crée, le « streamer » va se former. Il va ensuite
se propager et croître de l'anode vers la cathode. Cette croissance est causée par des
avalanches secondaires qui se créent au voisinage de la tête du « streamer ».
Elles sont initiées par des électrons émis par photo-ionisation. Ces électrons sont
rapidement attirés dans le « streamer » et se mélangent aux ions issus de l'avalanche primaire
pour former un plasma quasi-neutre. Les ions de l'avalanche secondaire, se déplaçant bien
plus lentement que les électrons, sont à leur tour intégrés à la tête du « streamer ». Ils forment
la nouvelle tête, chargée positivement, du « streamer » qui s'étend de cette manière. Ces
charges attirent à leur tour les électrons issus d'une deuxième génération d'avalanche
secondaire et ainsi de suite jusqu'à rejoindre la cathode.
Cette description correspond à la propagation d'un « streamer » positif, comme on peut
l'observer avec une distance inter-électrode faible et une sur-tension peu élevée, ce qui est le
cas pour les DBD. Lorsque la distance inter-électrodes est grande et que la sur-tension
appliquée est importante, un « streamer » négatif peut se propager.
Dans ce cas, le champ de charge d'espace de l'avalanche primaire peut être
suffisamment grand, pour initier un « streamer » avant d'atteindre l'anode, et la transition
avalanche « streamer » à lieu dans l'espace inter-électrodes.
•
Etablissement d'un canal de décharge (figure I.18 (c))
Une fois que le « streamer » a rejoint l'anode, la phase de claquage est terminée et un
filament, mince canal de décharge partiellement ionisé, se forme. Dans une DBD, la présence
du diélectrique empêche la transition du filament à l'arc (canal hautement ionisé), figure I.18
(a), et limite sa durée de vie à une dizaine de nanosecondes.
Une décharge filamentaire est par définition composée d'une multitude de filaments,
initiés par un claquage de type « streamer », apparaissant de manière aléatoire et indépendante
dans l'espace inter-électrode. Suivant la densité d'avalanches primaires simultanées, ce type de
48
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE I : Plasma Décharge
claquage peut aussi conduire à une décharge homogène dite « par couplage de streamer »
{Pal-74} {Ghe-01}.
Dans une DBD à la pression atmosphérique il est possible, sous certaines conditions
de générer une décharge luminescente ou de Townsend selon le gaz utilisé {Mas-98} {Kan88}.
Les paragraphes précédents ont montré que pour obtenir un claquage de type
Townsend la croissance de l'avalanche primaire ne doit pas être trop rapide. A haute pression
il est possible de limiter cette croissance en générant suffisamment d'électrons sous faible
champ {Mas-98}. En présence de gaz rares ou d'azote, par exemple ; il est possible de générer
ces électrons par l'intermédiaire des espèces métastables {Mas-03}. Dans ces conditions, ces
processus remettent en cause la règle du produit P.d.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
49
CHAPITRE II
CHAPITRE
II
Modèle
Analytique
L
e processus de transformation d'un gaz neutre à un état conducteur dans une
décharge auto-entretenue est connu sous le nom de « claquage » ou « allumage de
plasma ». Ce chapitre donne un fond théorique sur des phénomènes de claquage de
gaz. Ce phénomène est lié à plusieurs processus tels que l'ionisation des atomes par impact
d'électron, déplaçant des particules chargées dans un champ électrique, multiplication de
charge et production secondaire d'électron à la cathode par impact d'ion. La théorie de
claquage de Townsend décrit comment un effet de ces processus microscopiques peut avoir
comme conséquence l'allumage d'une décharge entre des électrodes parallèles dans un
environnement à basse et haute pression {Bro-05}. Dans ce but, nous développons un modèle
analytique pour décrire le comportement électrique du claquage.
Nous terminerons ce chapitre par une présentation plus détaillée des courbes de
coefficient d’ionisation en fonction du champ électrique réduit et de la tension de claquage en
fonction du produit p× d constituent les courbes de Paschen à partir desquelles le coefficient
d’émission secondaire est calculé.
CHAPITRE II : Modèle Analytique
II.1. Définition de Claquage
Le processus de claquage dépend considérablement des paramètres de décharge tels
que la géométrie, la pression de gaz et la tension appliquée. Le but de ce chapitre est
d'étudier ce processus analytiquement par la résolution de la condition d’auto-entretien pour
les différents gaz dans leurs états purs ou mélange.
Le claquage de plasma est le processus qui se produit quand un gaz électriquement
neutre absorbe assez d'énergie pour qu'il devienne ionisé et électriquement conducteur. Dans
des plasmas de laboratoire, ceci est habituellement réalisé en appliquant une grande tension à
travers deux électrodes : le champ électrique appliqué accélère les électrons primaires (dues
aux rayons cosmiques) et commence le processus de claquage {Jia-06}. Le claquage de
plasma,
également désignée sous le nom de l'allumage
de plasma, est un processus
fondamental important en science de plasma et a une longue histoire d'étude. Ces dernières
années, l’étude de ce processus a pris de nouvelle importance parce que beaucoup
d'applications de plasma sont influencées par le claquage, et la compréhension du processus
de claquage est nécessaire pour le développement ultérieur de ces dispositifs. De telles
applications sont diverses, y compris le nettoyage des gaz d'échappement {Vel-00}, allumage
des sources lumineuses {Hor-88} {Bro-03}, et matériel traitant en utilisant les sources pulsées
de plasma {Sug-05}{Dor-02}.
Pour les basses pressions et des faibles champs appliqués, le claquage s'appelle
souvent claquage de Townsend {Rai-97}. Les paramètres d'appareil, tels que la présence des
matériaux diélectriques dans les tubes d'espace ou de diélectrique et d'électrode entourant le
volume de décharge, influencent considérablement le type de claquage qui se produit. Le type
de forme d'onde de tension qui est appliquée, que ce soit continu ou alternatif, D.C ou A.C,
positif ou négatif, affecte également des phénomènes de claquage.
Des théories de claquage appropriées pour beaucoup de situations ont été développées
{Rai-97}, et les dispositifs généraux qui caractérisent le claquage dans différentes
circonstances sont devenus notoires. Cependant, même pour des situations apparemment
simples, quelques aspects sont mal compris.
Pour les systèmes d'évacuation plus compliqués utilisés dans beaucoup d'applications,
même il peut être difficile de prévoir les dispositifs généraux tels que la synchronisation de
claquage et la tension nécessaire.
52
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Il y a un besoin clair de plus grande compréhension des processus de claquage, mais
jusque récemment les calendriers très courts liés aux études expérimentales directes effectuées
par claquage difficiles.
Dans la recherche décrite en ce chapitre, nous examinons des processus de claquage
pour plusieurs systèmes. Le but du travail est de comprendre comment la géométrie de
décharge et d'autres paramètres physique affectent ces processus.
En ce chapitre, nous présentons des observations de tout les processus de claquage
pour les trois calculs. Le premier était l’étude de coefficient d’ionisation de Townsend, dans
un système, de deux électrodes plane et parallèle. La seconde était un calcul de la tension de
claquage en fonction du produit pression-distance inter-électrode. Le troisième calcul est lié à
l’estimation de coefficient d’émission secondaire. Les résultats pour chaque calcul ont été
présentés et analysés séparément pour tirer des conclusions au sujet des processus de claquage
dans chaque cas.
II.2. Equation d’auto-entretien
Le critère d’auto-entretient appelé claquage, traduit d’une manière différente la
condition physique nécessaire pour que la décharge soit auto-entretenue.
Supposons que nous sommes dans le cas idéal, d’électrodes soumises à une source de
tension externe. Si l’on se place dans la direction axiale (Ox) du champ électrique E, la
densité de courant des électrons je(x), peux s’écrire :
𝑥𝑥
𝑗𝑗𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝑗𝑗𝑒𝑒 (0) × 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �� 𝛼𝛼(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑�
0
 Si on fait l’hypothèse que le coefficient α ne dépend pas de la position x, le courant j e ( x )
devient alors :
𝑗𝑗𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝑗𝑗𝑒𝑒 (0) × 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛼𝛼𝛼𝛼)
(Eq. II.1)
Ou 𝑗𝑗𝑒𝑒 (0) est la densité de courant électronique à la cathode. Si on considère que ce
courant cathodique est non-seulement du à la source externe (densité jsat) mais aussi aux
impacts d’ions positifs sur la cathode {Phe-01}:
𝑗𝑗𝑒𝑒 (0) = 𝑗𝑗𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝛾𝛾 × 𝑗𝑗𝑝𝑝 (0)
(Eq. II.2)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
53
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Ou j p (0 ) est la densité de courant ionique à la cathode. Ainsi, d’après l’équation
(Eq. II.1), la densité de courant électronique s’écrit :
𝑗𝑗𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = �𝑗𝑗𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝛾𝛾 × 𝑗𝑗𝑝𝑝 (0)� × 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛼𝛼𝛼𝛼)
(Eq. II.3)
Comme le courant total est constant à chaque en espace :
jtot (x ) = Cte ≡ je (x ) + j p ( x )
jtot (0 )cathode = jtot (d )anode
⇒ j e (0 ) + j p (0 ) = j e (d ) + j p (d ) = j e (d ) , car 𝑗𝑗𝑝𝑝 (𝑑𝑑) = 0
En utilisant les équations (Eq. II.2, Eq. II.3), on obtient :
j sat + (γ + 1) × j p (0 ) = ( j sat + γ × j p (0 ))× exp(αd )
⇒ j p (0 ) = j sat ×
exp αd − 1
1 − γ (exp αd − 1)
Ce qui donne, pour le courant total {Dru-40}:
jtot = j sat ×
exp αd
1 − γ (exp αd − 1)
On veut que la décharge soit auto-entretenue, c’est-à-dire que le courant total ne soit
pas nul
(
jtot ≠ 0 ) même si on « coup » la source externe ( j sat = 0 ) . Cela signifie que le
dénominateur de l’équation précédente est nul {Bar-79}:
1 − γ (exp(αd ) − 1) = 0
Cette relation peut encore s’écrit, en appelant M ≡ exp(αd ) , la multiplication
électronique, ou le nombre d’électrons arrivant à l’anode si un électron secondaire est émis à
la cathode :
M = 1+
1
γ
(Eq. II.4)
C’est la condition d’auto-entretien, elle relie les deux coefficients de Townsend α et
γ et donne la valeur de la tension de claquage pour avoir auto-entretien de la décharge,
comme nous le montrons au paragraphe suivant. Dans le cas d’un mélange de N gaz
54
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
caractérisés par les deux coefficients de Townsend α i et γ i cette relation d’auto-entretien
s’écrit {Aud-98}:
N
∑α
N
M ≡e
∑αi
i =1
= 1+
i =1
i =1

(Eq. II.5)
N
∑α
i
i
×γ i
Le coefficient α dépend de la position x entre les électrodes. Dans ce cas, pour un gaz
pur, la multiplication électronique M s’écrit :
d
∫ α ( x )dx
M = e0
Ce qui donne, la condition d’auto-entretien {Aud-00}:
d
∫ α ( x )dx
e0
= 1+
1
γ
II.3. Courbe de Paschen
Paschen a décrit comment la tension de claquage change avec la pression de gaz P, et
l’espacement entre les électrodes d. Elle s’applique seulement aux électrodes ou il existe un
champ électrique E maximum, E=V/d. Ce champ est uniforme dans l’espace d’interélectrodes {How-04}.
En effet, la loi de Paschen, qui représente la tension disruptive d’un gaz en champ
homogène, n’est valable que sous certaines conditions expérimentales bien précises dont les
plus importantes sont :
 Le champ doit être parfaitement homogène (géométrie plan/ plan infinis ou profil de
Rogowki).
 Un parfait état de surface des électrodes.
Lorsque l’une, de ces conditions ne sont pas remplies, on constate des déviations de la
courbe de Paschen.
Le critère de claquage que nous venons d’obtenir pour un gaz pur peut aussi s’écrire,
si l’on considère α indépendant de x (le raisonnement qui suit reste valable même si ce n’est
pas le cas) {Rai-97} {Luo-10}:
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
55
CHAPITRE II : Modèle Analytique

1


αd = ln1 + 
γ
(Eq. II.6)
Comme le coefficient α dépend du champ électrique et plus précisément du champ
réduit E/P, on peut déduire la valeur minimale du champ appliqué entre les électrodes de
manière à avoir claquage. Ce champ étant par ailleurs homogène, on peut aussi, à l’aide du
critère d’auto-entretien, avoir la valeur minimale de la tension appliqué entre les électrodes,
( P ) × ( P.d ) {Cuo-90}.
c’est-à-dire la tension de claquage VCl ≡ E
Pour cela, prenons pour α une expression analytique certes simplifiée mais qui rend
bien compte de la réalité {Pet-04}:
𝐵𝐵
𝛼𝛼 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 × 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �− (𝐸𝐸 ⁄𝑃𝑃 )𝑅𝑅 �
(Eq. II.7)
R=0.5 pour les gaz rares, ou R=1 pour les gaz moléculaires {Ars-03}. A et B sont
deux constantes positives. On fait introduire cette expression dans la relation (Eq. II.6), en
remplaçant le champ électrique réduit par 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 ⁄(𝑃𝑃. 𝑑𝑑):
Si on prend, γ est indépendant du champ électrique réduit E/p. L’expression de la
tension de claquage suivante (Eq. II.8), est de la forme 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑃𝑃. 𝑑𝑑). D’autre part, α est
toujours lié au champ électrique par la relation précédente (Eq. II.7) {War-62}:
VCl =
BPd


 APd 
ln 

 ln 1 + 1γ 


(
(Eq. II.8)
)
Cette équation (Eq. II.8) décrit la loi de Paschen, donnant les variations de la tension
de claquage VCl en fonction du produit pression-distance inter-électrodes d.
La fonction de VCl=f(P.d) a été représentée dans le cas générale par la courbe de
Paschen figure II.1, qui possède une asymptote verticale quand P.d tend vers
A −1 × ln1 + 1  ainsi qu’un minimum, appelé minimum de Paschen, pour 𝑃𝑃. 𝑑𝑑 = (𝑃𝑃. 𝑑𝑑)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 .
γ

56
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Figure II.1 – Courbe de Paschen {Rai-97}
Cette courbe montre que la tension de claquage VCl, a un minimum unique, s’appel
VClmin pour un produit 𝑃𝑃. 𝑑𝑑 = (𝑃𝑃. 𝑑𝑑)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 .
Sur cette figure II.1, on remarque que la tension de claquage est élevée à faibles et
fortes valeurs du produit P.d. Dans un cas, on a isolation par la haute pression et le libre
parcours moyen est faible. L'autre cas il y a isolation par le vide et il n'y a pas assez de
particules dans le gaz pour établir l'avalanche {Bou-05}. On diminue la tension à la valeur
critique, on aura un équilibre entre la production d'électrons par émission secondaire et les
pertes d’électrons par diffusion ou par l’absorption de l'anode. Cette décharge s’appel « la
décharge sombre de Townsend » présente la particularité de pouvoir augmenter l'intensité
entre les électrodes sans variation de la tension, jusqu'au moment où la décharge devient
luminescente.
II.4. Loi de similitude
Les lois de similitude sont valable pour une décharge luminescente, ils sont utilisés
pour comparer deux décharges pour laquelle le produit (P.d) est identique, et la même tension
est appliquée, on aura les mêmes produits pression-temps (P.t) et produit pression-distance
(P.x) {Gov-74}.
Ces lois sont valables dans le cas idéal, ou les électrodes sont parfaitement planes et
parallèles et infinies, ils permettent justement de passer d’une décharge (P1.d1) à une décharge
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
57
CHAPITRE II : Modèle Analytique
(P2.d2). Ainsi que le produit P.x est aussi invariant, tout comme le produit P.t. On a la
conservation de J/P2 et ne,i/P2 avec J, c’est la densité de courant, ne,i densité des électrons et
des ions successivement {Kuf-00} {Pok-57}.
D’autre part pour un même produit P.d, la tension de claquage VCl est constant,
Cte , et comme (P.d) invariant, (E/P) aussi invariant, c’est pour cette raison
( E P ) × ( P.d ) =
qu’on parle plutôt de champ réduit que de champ électrique. Notons enfin que ces lois de
similitude, et notamment celles prévoyant que la tension de claquage ne dépend que du
produit P.d, ont été établies dans un cas idéal (électrodes infinies, parfaitement planes et
parallèles). Il n’est pas exclu, d’un point de vue expérimental, d’observer des déviations de
ces lois de similitude {Spy-95}.
II.5. Modèle Analytique
II.5.1. Calcul du premier coefficient de Townsend
Le premier coefficient de Townsend ou le coefficient d’ionisation, note α est l’inverse
de libre parcours moyen (c’est la distance que l’électron doit traverser pour être impliqué dans
une seconde ionisation), α représente le nombre de paires électron-ion produits par unité de
longueur de dérive. En général ils ne dépendent également que du champ électrique à ce point
et peuvent être déduits par des mesures expérimentales de Huxley et Crompton {Hux-74} ou
par des calculs numériques de Ségur et Yousfi {Seg-83} effectués en champ électrique
uniforme et en régime d’équilibre, il y a aussi des comparaisons entre les résultats
expérimentaux et numériques.
A. Gaz purs
Une approximation du premier coefficient de Townsend en fonction du champ réduit
E/P est donnée par l’expression (Eq. II.9) {Uhm-02}

D 
=
α PC exp  −

 ( E P )1 


(Eq. II.9)
C et D sont des constantes expérimentales, dépendantes de la composition gazeuse, ces
constantes sont représentées dans le tableau II.1, ci-dessous
58
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tableau II.1 : Représente les constantes C et D du premier coefficient d'ionisation de
Townsend, donné par (Eq. II.9). En utilisant les conversions suivantes : l cm= 0.01m, et l torr
= l mm-Hg= 133.3224 Pa {Woa-00}, on obtient les deux dernières colonnes. Ces données,
sont valides généralement dans la gamme D/2 < E/p < 3D, {Rot-95}.
Gaz
(moléculaire)
𝑪𝑪(𝒎𝒎−𝟏𝟏 . 𝑷𝑷𝑷𝑷−𝟏𝟏 )
𝑫𝑫(𝑽𝑽. 𝒎𝒎−𝟏𝟏 . 𝑷𝑷𝑷𝑷−𝟏𝟏 )
𝑪𝑪(𝒄𝒄𝒄𝒄−𝟏𝟏 . 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 ) 𝑫𝑫(𝑽𝑽. 𝒄𝒄𝒄𝒄−𝟏𝟏 . 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 )
H2
7.95
263
10.6
350
N2
9.0
256
10.6
342
CO*2
15
350
20
466
Air
9.15
274
12.2
365
H2O
9.68
217
12.9
289
HCl*
18.8
285
25
380
Hg
15
278
20
370
He
1.37
37.5
1.82
50
Ne
3
75
4
100
Ar
9.0
150
12
200
Kr
10.9
165
14.5
220
Xe
16.7
233
22.2
310
Dans le cas des gaz rares, le coefficient d’ionisation de Townsend peut être prolongé
pour expliquer mieux les gaz nobles, R est égale à 1/2{War-62}:
𝐵𝐵
𝛼𝛼 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �− (𝐸𝐸 ⁄
𝑃𝑃 )0.5
�
(Eq. II.10)
Les constantes positives A et B sont représentées dans le tableau II.2 suivant.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
59
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tableau II.2. Représente les constantes A et B, du premier coefficient
d'ionisation de
Townsend pour les gaz nobles. Noter que les deux premières colonnes de données sont
dérivées des deux derniers, en utilisant, les conversions suivantes : l cm = 0.01m, et l torr = l
mm-Hg= 133.3224 Pa. L'incertitude dans ces données expérimentales est approximativement
7% {Div-01}.
𝑨𝑨(𝒎𝒎−𝟏𝟏 . 𝑷𝑷𝑷𝑷−𝟏𝟏 ) 𝑩𝑩(𝑽𝑽. 𝒎𝒎−𝟎𝟎.𝟓𝟓 . 𝑷𝑷𝑷𝑷−𝟎𝟎.𝟓𝟓 ) 𝑨𝑨(𝒄𝒄𝒄𝒄−𝟏𝟏 . 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 )
3.3
12.1
4.4
𝑩𝑩(𝑽𝑽. 𝒄𝒄𝒄𝒄−𝟎𝟎.𝟓𝟓 . 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟎𝟎.𝟓𝟓 )
Ne
6.2
14.7
8.2
17.0
Ar
21.92
23.01
29.22
26.64
Kr
26.76
24.43
35.69
28.21
Xe
48.98
31.25
65.30
36.08
Gaz
(rare)
He
14.0
B. Mélange gazeux
Dans le cas d’un mélange de deux gaz, le coefficient d’ionisation α est représenté par
la formule suivante qui est la somme de deux coefficients d’ionisation pour les deux gaz {Sal01}.
α M= α1 + α 2 (Eq. II.11)
α1 et α 2 sont respectivement les premiers coefficients de Townsend, pour le gaz 1 et gaz 2,
dans leurs états purs.
𝛼𝛼1 = 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−
𝐵𝐵1
1
(𝐸𝐸 ⁄𝑃𝑃1 )2
� , 𝛼𝛼2 = 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−
𝐵𝐵2
1
(𝐸𝐸 ⁄𝑃𝑃2 )2
�
E/P1, E/P2, représentent les champs électrique réduit du gaz 1 et gaz 2, P1, P2 ce sont
des pressions partielles pour les deux gaz 1 et gaz 2 successivement, A1, B1 sont des
constantes positive de gaz 1, ainsi que A2 B2 sont des constantes des gaz 2
60
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Pour résoudre l’équation (Eq. II.11), il faut introduit la loi dalton {Dom-04}, qui
détermine les pressions partielles en fonction de pourcentage gazeux. Notre mélange est
constitué de deux gaz :
g1
100
g
P2 =P × % gaz2 ⇒ P2 =P × 2
100
P1 = P × % gaz1 ⇒ P1 = P ×
(Eq. II.12)
P : représente la pression totale du mélange gazeux.
Et g1, g2, représente le pourcentage de gaz 1 et gaz 2.
On remplace l’équation (Eq. II.12), on obtient la formule générale de coefficient
d’ionisation du mélange gazeux :
𝑔𝑔
1
𝛼𝛼𝑀𝑀 = 𝑃𝑃 × 100
𝐴𝐴1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−
𝐵𝐵1
1
[𝐸𝐸⁄(𝑃𝑃)]2
𝑔𝑔1
𝑔𝑔
2
� + 𝑃𝑃 × 100
𝐴𝐴2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−
100
�
𝐵𝐵2
1
[𝐸𝐸⁄(𝑃𝑃×)]2
�
𝑔𝑔2
� (Eq. II.13)
100
II.5.2. Calcul de la tension de claquage
On note que le claquage se produit plus facilement lorsqu’une source extérieure
favorise l’émission d’électrons par la cathode. Dans le cas contraire, il faut donc attendre
qu’un électron soit présent au sein du gaz pour initier l’avalanche. On peut obtenir la courbe
de Paschen analytiquement pour un gaz pur, ou mélange ceci en partant évidemment de la
condition d’auto-entretien, et de l’expression du premier coefficient de Townsend indiquée
précédemment dans l’équation (Eq. II.10), qui dépend fortement du champ réduit E/P, et la
multiplication électronique.
A. Cas d’un gaz pur
Pour un gaz pur, la condition d’auto-entretien {Uhm-05}, s’écrit de la façon suivante :
M = exp (α d ) = 1 +
1
γ
(Eq. II.14)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
61
CHAPITRE II : Modèle Analytique


1
α d ln  1 + 
=
γ 



Ou
⇒
 Ln M = α d



(Eq. II.15)
d : La distance inter-électrodes.
γ : Le deuxième coefficient de Townsend.
Alors, on remplace α par son expression (II.10), on trouve :


 1
B
AP.d exp  −
ln 1 + 
=
0.5
 ( E / P ) 
 γ
Puisque
E/P=
VCl
P.d
(Eq. II.16)
(Eq. II.17)
On fait introduire l’expression du champ réduit E/P, dans l’équation (Eq. II.16), on
trouve :
  P.d 0.5 
 1
ln 1 + 
⇒ AP.d exp  − B 
 =
V
 γ
  Cl  
Ce qui donne l’équation de Paschen finalement :
Ceci entraîne
VCl =
B 2 P.d
  AP.d  
 ln 
 

z
ln
(
)

 
2
(Eq. II.18)
 γ +1 
Avec z = 

 γ 
On voit que la tension de claquage VCl s’exprime comme une fonction implicite de
P.d (pression-distance), cette fonction étant donnée par la connaissance de premier et second
coefficients de Townsend {Roy-84}.
Si nous dérivons l’équation (Eq. II.18), par rapport au produit pression distance, nous
trouvons le minimum de Paschen, (c’est à dire la valeur du produit P.d pour le quel la tension
de claquage est minimale) :
62
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
dVCl
=0
dP.d
1
ln(1 + )
Pd min =
γ
A
e2
Et le minimum de Paschen est égal à :
=
VCl min
−B2
1
ln(1 + )e 2
A
γ
(Eq. II.19)
D’après l’équation (Eq. II.18) de la tension de claquage, on peut également tracer la
courbe de Paschen pour les gaz rares utilisés.
Nous pouvons également calculer la tension de claquage dans le cas de gaz pur, par la
multiplication électronique représentée dans l’équation (Eq. II.15), nous trouvons la tension
de claquage en fonction du produit P.d et de la multiplication électronique (voir Eq. II.20).
=
VCl
B 2 P.d
  AP.d  
 ln 
 

  ln ( M )  
2
≡ VCl ( P.d )
(Eq. II.20)
B. Cas d’un mélange gazeux
Dans le cas d’un mélange, la condition d’auto-entretien devient :
exp(α1 + α 2)d = 1 +
α1 + α 2
α1γ 1 + α 2γ 2
(Eq. II.21)
α1 , α 2 correspond au premier coefficient de Townsend pour les deux gaz respectivement,
qui formant le mélange.
γ 1 , γ 2 , correspond au deuxième coefficient de Townsend de gaz 1 et gaz 2,
successivement.
Lorsqu’on remplace α par son expression pour chaque gaz, on trouve :
𝛼𝛼1 = 𝑃𝑃1 𝐴𝐴1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−
𝐵𝐵1
1
(𝐸𝐸 ⁄𝑃𝑃1 )2
� , 𝛼𝛼2 = 𝑃𝑃2 𝐴𝐴2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−
𝐵𝐵2
1
(𝐸𝐸 ⁄𝑃𝑃2 )2
Donc la relation (Eq. II.21) devient sous la forme suivante :
�
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
63
CHAPITRE II : Modèle Analytique
0.5
0.5



 1  
 1  

d P1 A1 exp  − B1 
  + P2 A2 exp  − B2 
  

E
P
E
P

1 
2 





 

0.5
0.5



 1  
 1    (Eq. II.22)

P1 A1 exp  − B1 
  + P2 A2 exp  − B2 
  

E
P
E
P

1 
2 





 
= Ln 1 +

0.5
0.5



 1  
 1  
 P1 A1γ 1 exp  − B1 
  + P2 A2γ 2  exp− B2 
  
E
P
E
P
1
2



  




On remplace l’expression du champ réduit (Eq. II.17), on trouve :
0.5
0.5



 Pd
 
 P2 d   
1
d  P1 A1 exp  − B1 
  + P2 A2 exp  − B2 
 



V
V

Cl
Cl

 

  



0.5
0.5



 Pd
 
 P2 d    (Eq. II.23)
1

P1 A1 exp  − B1 
  + P2 A2 exp  − B2 
  

VCl  
VCl   






 
= Ln 1 +
0.5
0.5



 P2 d   
 Pd
 
1


exp
γ
P
A
B
+
−
 P1 A1γ 1 exp  − B1 
 

2 2 2
2


VCl  
VCl   







Puisqu’on a un mélange de deux gaz différents, il faut appliquer la loi dalton {Dom04}, qui détermine la pression partielle en fonction du pourcentage du gaz (voir Eq. II.12),
ainsi l’équation précédente devient :
0.5
0.5


g1  P × d  
g2
g2  P × d  
 g1  

exp  − B2
P ⋅ d A1 

  + A2

 
 exp − B1

100  VCl  
100
100  VCl   
  100  




0.5
0.5

g1  
g1  P × d  
g2  
g 2  P × d    (Eq. II.24)



A1 

  + A2 

  
 exp  − B1
 exp  − B2
100  VCl  
100  
100  VCl   

 100  



 
= Ln 1 +
0.5
0.5

g1  P × d  
g2  P × d   
 g1  
 g 2  
 A1γ 1 

  + A2γ 2 

 
 exp  − B1
 exp  − B2
100  VCl 
100 
100  VCl   
 100  





L’équation (Eq. II.24) représente la formule générale de la tension de claquage dans le
cas d’un mélange de deux gaz {Gha-08}.
Comme nous pouvons aussi déduire la tension de claquage en fonction du produit P.d
en se basant sur la relation de la multiplication électronique M, en fonction du coefficient
d’ionisation pour les deux gaz.
64
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
M
= exp(α M ).d ⇒ M
= exp(α1 + α 2 ).d
(Eq. II.25)
M : indique la multiplication électronique de mélange.
On remplaçant les coefficients d’ionisation des deux gaz, on trouve l’équation suivante
(Eq. II.26)
0.5
0.5



g1 
g1  P × d  
g2 
g2  P × d  


M=
P × d  A1 

  + A2 

   (Eq. II.26)
 exp  − B1
 exp  − B2
100  VCl  
100 
100  VCl   
  100 






Notons que la résolution de deux équations (Eq. II.24, et II26), complexes à plusieurs
variables, a été faite à la base du logiciel Matlab « matrix laboratory ». Matlab est un langage
de programmation de quatrième génération et un environnement de développement ; il est
utilisé à des fins de calcul numérique. Développé par la société « The MathWorks »,
MATLAB permet la manipulation de matrice, afficher des courbes et des données, mettre en
œuvre des algorithmes, créer des interfaces utilisateurs.
II.5.3. Calcul de coefficient d’émission secondaire :
II.5.3.1. Quelques notions de base - position de ce travail
Il existe une certaine probabilité qu’un électron secondaire soit émis lorsqu’une
particule entre en collision avec la surface délimitant le plasma. Ce mécanisme est caractérisé
par un coefficient d’émission secondaire (nombre d’électrons émis par particule incidente) et
fait partie des nombreux processus d’entretien de la décharge permettant de compenser les
pertes électroniques aux parois. Des particules comme les ions positifs, les neutres rapides, les
neutres excités, les photons, peuvent être à l’origine de l’émission d’électrons secondaires. Le
coefficient d’émission secondaire varie en fonction du type de particule, de son énergie et de
la nature du matériau (composition, structure) de la paroi {Cha-80}{Phe-99}.
Pour caractériser cette émission d’électrons secondaires, on définit le coefficient
d’émission secondaire ou second coefficient de Townsend, noté γ, comme étant le nombre
d’électrons éjectés par particules incidentes {Jia-06}.
On note qu’il est bien connu dans la littérature que l'émission secondaire d'électron à
la cathode est principalement due au bombardement par des ions et que la contribution
d'autres particules est négligeable {Bro-03} {Hag-00}.
Nous pouvons citer Auday {Aud-00} qui a déterminé γXe et γNe sur le MgO à partir des
grandeurs électriques de la décharge. La conclusion de ces travaux est que γXe et γNe
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
65
CHAPITRE II : Modèle Analytique
dépendent du champ électrique réduit E/p. Pour des valeurs de champ comprises entre
quelques dizaines et quelques centaines de V/cm/torr, il a déterminé les valeurs suivantes pour
les coefficients : γXe~ 10-4 - 2.10-3 et γNe~ 0.1 – 0.4.
Dans le travail de la référence {Uhm-01} l’auteur a déterminé expérimentalement, les
coefficients d’émission secondaire en utilisant un système γ-FIB (focused-ion-beam ou
faisceau d’ion focaliser). Le principe est de frapper la surface de MgO par un faisceau d’ions
et de récolter le courant d’électrons secondaires induits. Ils ont ainsi fait des mesures pour
plusieurs configurations cristallines du MgO et ont montré que le coefficient d’émission
secondaire dépend de la structure cristalline. Pour résumer, les valeurs obtenues sont pour le
xénon γXe=0.01-0.04 et pour le néon γNe=0.08- 0.16.
Nous citons enfin Motoyama {Mot-00}{Mot-04}, qui a calculé les coefficients
d’émission secondaire à partir du modèle théorique développé par Hagstrum {Hag-54}: ce
dernier est basé sur les phénomènes d’émission secondaire dus à la neutralisation Auger (γN)
et sur ceux dus à la neutralisation résonante avec désexcitation Auger (γD). Les valeurs
𝑁𝑁
𝐷𝐷
𝑁𝑁
𝐷𝐷
données pour les coefficients sont 𝛾𝛾𝑋𝑋𝑋𝑋
= 0 et 𝛾𝛾𝑋𝑋𝑋𝑋
= 0.07 𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁
= 0.279 et 𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁
= 0.382
Il existe d’autres auteurs qui donnent des valeurs différentes pour les coefficients
d’émission secondaire {Rad-07} {Rad-08}{Bea-09}. Actuellement, il n’est pas possible de
connaître les valeurs des coefficients d’émission secondaire avec précision. Dans ce travail,
nous avons choisi d’utiliser deux méthodes différentes, la première concernant le calcul de γ
par une expression empirique, et la deuxième méthode, nous utilisons la condition d’autoentretien.
A. Calcul de 𝜸𝜸 par expressions empiriques
L’émission secondaire d'électron à la cathode dépend de l'énergie de l'ion incident
et de la qualité de la surface extérieure de la cathode. En particulier, elle est importante
pour des faibles valeurs du travail de sortie φm du matériau de l’électrode {Boe-88}{Lie94} {Bod-73}.
Plusieurs expressions empiriques du coefficient d’émission par bombardement
ionique de la cathode γ, sont données dans la littérature :
=
γ 0.016(ε i − 2φm )
66
(Eq. II.27)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Avec ε i est le potentiel d’ionisation de la particule incidente (ion), φm c’est le travail
de sortie du solide {Rai-91}.
=
γ
0.2
εF
(0.8 ε i − 2φm )
(Eq. II.28)
Avec ε F l’énergie du niveau de Fermi {O-78}.
=
γ 0.032(0.78 ε i − 2φm )
(Eq. II.29)
Avec ε i l’énergie potentielle de la particule incidente, φm le travail de sortie du
solide {Bar-79}.
Ces expressions sont en accord avec des résultats expérimentaux, mais ne
fournissent qu’une estimation du coefficient γ.
Tableau II.3. Ci-dessous représente le potentiel d’ionisation de quelques gaz. Pris des
références suivantes {Led-08}, {Cho-07}
gaz
Potentiel d’ionisation (eV)
He
24.6, ou 24.58
Ar
15.8, ou 15.76
Ne
21.56
Kr
14
Xe
12.13 ou 12.12
H
13.5
N
14.5
H2
15.5
N2
15.4
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
67
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tableau II.4. Exemples de valeurs du travail de sortie pour différents éléments de matériau de
la cathode {Lid-07} {Bra-92}.
Elément
Pt
Au
Co
Ni
Si
C
Cu
Mo
Cr
Fe
Sn
Ti
Zn
Al(111)
Al (110)
Ag(111)
Ag(110)
Pb
Zr
Mn
Mg
MgO
Travail de sortie (eV)
5.3
5.1
5.0
4.9
4.85
4.8
4.65
4.6
4.5
4.5
4.42
4.33
4.33
4.26
4.06
4.74
4.52
4.25
4.05
3.8
3.66
5.715
B. Calcul de 𝜸𝜸 à partir de la condition d’auto-entretien
Nous pouvons calculer le coefficient d’émission secondaire par la résolution de la
condition d’auto-entretien décrit dans l’équation (Eq. II.14), en fonction du champ
électrique réduit. Plusieurs auteurs, ayant utilisé cette méthode pour déterminer γ, par
Lisovskiy {Lis-10}, et aussi Capdeville {Cap-01}.
D’après l’équation (Eq. II.14), on peut trouver l’équation qui déduit le coefficient
d’émission secondaire à champ réduit.
𝛾𝛾 =
1
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝛼𝛼𝛼𝛼 )−1
(Eq. II.30)
Le schéma II.I, reprend les différentes étapes qui mènent à la détermination du second
coefficient de Townsend γ.
68
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
𝐸𝐸 ⁄𝑃𝑃 = 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 ⁄𝑃𝑃. 𝑑𝑑
Gaz, P.d
𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 1 +
𝛾𝛾
𝛼𝛼
1
𝛾𝛾
Schéma II.2 – Etapes de la détermination du second coefficient d’émission secondaire.
II.6.Analyse et Discussion des résultats du Modèle Analytique
Les résultats que nous allons présenter dans cette partie, ont été obtenus grâce au
modèle analytique décrit dans la partie précédente.
II.6.1. Calcul du premier coefficient de Townsend :
a. Gaz pur :
 Hélium, Argon
Alpha/P(cm-1.torr-1)
He Pur
100
10-1
101
102
E/P(V.cm-1.torr-1)
103
Figure II.3 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour l’hélium pur,
calculé par l’équation (Eq. II.10) correspond à la valeur de R=0.5
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
69
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Alpha/P(cm-1.torr-1)
101
Ar Pur
100
10-1
10-2
101
102
E/P(V.cm-1.torr-1)
103
Figure II.4 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P, pour
l’argon pur
Figure II.3 et figure II.4, représentent le coefficient d’ionisation de Townsend en
fonction du champ réduit dans un intervalle de 10 à 1000 V.cm-1.torr-1, pour les deux gaz rares
hélium et argon respectivement. Nous remarquons que ce coefficient augmente avec
l’augmentation du champ réduit dans les deux figures. A faible champ le coefficient est très
faible, mais à haute valeur du champ électrique E/P ce coefficient augmente, il devient plus
stable à E/P égale à 1000 V.cm-1.torr-1.
 Néon, Krypton et Xénon
Nous avons tracé dans les figures ; figure II.5, figure II.6 et figure II.7, le premier
coefficient d’ionisation de Townsend réduit en fonction du champ électrique réduit
correspond aux gaz néon, krypton et xénon respectivement. Ces figures montrent la variation
du coefficient d’ionisation réduit 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 en fonction du champ électrique, nous constatons que
ce coefficient est très important quand le champ réduit est fort. Il se stabilise à partir d’un
champ égal à 1000 V.cm-1.torr-1.
Sachant que si on veut avoir une densité électronique très importante, dans le milieu
des gaz rares, il faut travailler dans des champs électriques élevés. Si nous comparons ces
trois gaz, nous constatons que l’xénon possède un coefficient d’ionisation très important. A
un champ électrique égal à 300 V.cm-1.torr-1, nous avons des coefficients de l’ordre de 8.5 cm1
70
.torr-1, 7 cm-1.torr-1 et 3.2 cm-1.torr-1, pour l’xénon, krypton et néon.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Ne Pur
Alpha/P(cm-1.torr-1)
0
10
10-1
10-2
101
102
E/P(V.cm-1.torr-1)
103
Figure II.5 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour le néon pur
101
Alpha/P(cm-1.torr-1)
Kr Pur
10-1
10-3
101
102
E/P(V.cm-1.torr-1)
103
Alpha/P(cm-1.torr-1)
Figure II.6 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ électrique réduit E/P, dans le cas
de krypton pur
100
Xe Pur
10-2
10-4
101
102
-1
-1
103
E/P(V.cm .torr )
Figure II.7 – Variation du coefficient d’ionisation de Townsend réduit en fonction du champ réduit
E/P pour le xénon pur
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
71
CHAPITRE II : Modèle Analytique
b. Mélange gazeux
 Xénon-Néon
D’après nos calculs de coefficient d’ionisation de Townsend dans le cas pur, nous
avons déterminé le coefficient d’ionisation réduit pour des mélanges gazeux différents. Le but
était de voir l’influence de ces mélanges sur ce coefficient, qui détermine la densité
électronique par unité de longueur. Le mélange xénon-néon, est le plus utilisé dans les
décharges électrique. Pour cela, nous avons choisi deux pourcentages 5% et 10%, de xénon
dans le néon. Ces pourcentages sont tracés respectivement dans les figures suivantes ; figure
II.8 et figure II.9. Sur chaque figure, nous avons obtenu trois courbes, représentant le
coefficient d’ionisation réduit de mélange 𝛼𝛼𝑀𝑀 ⁄𝑃𝑃 préconisé par une ligne, et le coefficient
d’ionisation de néon dans le mélange 𝛼𝛼𝑁𝑁𝑁𝑁 ⁄𝑃𝑃, indiqué par des symboles cercle, la courbe de
symbole carrés correspond au 𝛼𝛼𝑋𝑋𝑋𝑋 ⁄𝑃𝑃 (coefficient partiel de xénon dans le mélange). Nous
remarquons que toutes les courbes augmentent considérablement par l’augmentation du
champ réduit E/P, et nous voyons clairement que le coefficient partiel de xénon est élevé, à
faible champ exactement pour des valeurs de champ électrique inférieur à 100 V.cm-1.torr-1,
par contre à des valeurs de champ supérieur, le coefficient de néon devient très important, cela
est fait pour un pourcentage de 5% de xénon dans le néon. Si nous augmentons le pourcentage
de xénon à 10% dans le mélange Xe-Ne, le coefficient partiel de xénon reste toujours très
important par rapport au coefficient partiel de néon à faible champ.
α/P(cm-1.torr-1)
Xe5%-Ne
100
Analytique
αM/P
αXe/P
αNe/P
10-1
10-2
101
102
-1
-1
103
E/P (V.cm .torr )
Figure II.8 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un mélange de
Xe5%-Ne
72
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
α/P(cm-1.torr-1)
Xe10%-Ne
100
αM/P
αXe/P
αNe/P
Analytique
10-2
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
103
Figure II.9 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un mélange de
Xe10%-Ne
 Xénon-Krypton
101
Analytique
α/P(cm-1.torr-1)
Xe5%-Kr
αM/P
αXe/P
αkr/P
10-1
101
102
-1
-1
E/P (V.cm .torr )
103
Figure II.10 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ électrique réduit
E/P pour Xe5%-Kr
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
73
CHAPITRE II : Modèle Analytique
α/P(cm-1.torr-1)
101
Xe10%-Kr
100
Analytique
αM/P
αXe/P
αKr/P
10-1
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
103
Figure II.11 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour Xe10%-Kr
Nous avons calculé le coefficient d’ionisation de Townsend pour un mélange de 5% et
10% de xénon dans le krypton, ces mélanges ont été utilisés pour les lampes à excimer. Figure
II.10, figure II.11, montrent les trois coefficients de Townsend; le coefficient d’ionisation de
mélange 𝛼𝛼𝑀𝑀 ⁄𝑃𝑃 indiqué par une ligne, le coefficient partiel de xénon 𝛼𝛼𝑋𝑋𝑋𝑋 ⁄𝑃𝑃 représenté par des
symboles carrées, et 𝛼𝛼𝐾𝐾𝐾𝐾 ⁄𝑃𝑃 coefficient partiel de krypton figuré par des cercles. Ces trois
coefficients augmentent considérablement avec l’augmentation du champ électrique réduit
E/P qui varie de 10 V.cm-1.torr-1 à 103 V.cm-1.torr-1. Nous remarquons toujours que l’ xénon
possède un grand coefficient à faible champ et faible coefficient à des champs électrique
élevés, par rapport au coefficient partiel de krypton cela est du à l’augmentation du
pourcentage du krypton.
 Argon-Néon
Sur les figures suivantes; figure II.12 et figure II.13, nous avons tracé les trois
coefficients de Townsend (coefficient d’ionisation de mélange 𝛼𝛼𝑀𝑀 ⁄𝑃𝑃 (ligne), le coefficient
partiel d’argon 𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 ⁄𝑃𝑃 (symboles carrées) et le coefficient de néon 𝛼𝛼𝑁𝑁𝑁𝑁 ⁄𝑃𝑃 (cercles)) en
fonction du champ réduit pour les deux mélanges, 5%, 10% d’argon dans le néon
respectivement. Nous apercevons une croissance de ces deux coefficients vis-à-vis de la
croissance du champ électrique réduit et ce jusqu’à atteinte une valeur de 1000 V.cm-1.torr-1.
74
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
α/P(cm-1.torr-1)
Ar5%-Ne
100
Analytique
10-1
αM/P
αAr/P
αNe/P
10-2
101
102
103
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure II.12 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour Ar5%-Ne
α/P(cm-1.torr-1)
Ar10%-Ne
100
Analytique
10-1
10-2
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
αM/P
αAr/P
αNe/P
103
Figure II.13 – Variation de coefficient de Townsend réduit en fonction du champ réduit E/P pour
Ar10%-Ne
 Xénon-Hélium
Les deux figures, figure II.14 et figure II.15, indiquent la variation des coefficients de
Townsend en fonction du champ électrique réduit E/P. Pour deux mélanges de 5% et de 10%
de xénon dans l’hélium.
Les coefficients de Townsend varient de 10-2 cm-1.torr-1 à 10 cm-1.torr-1, quant au
champ de 10 V.cm-1.torr-1 à 103V.cm-1.torr-1. Nous avons calculé ces coefficients d’ionisations
réduits par la méthode analytique décrite dans les paragraphes précédents. Nous remarquons
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
75
CHAPITRE II : Modèle Analytique
que tous les coefficients d’ionisation que ce soit du mélange ou partiel augmentent avec
l’augmentation du champ réduit E/P. Nous concluons d’après toutes les courbes des
coefficients d’ionisation précédentes que le coefficient d’ionisation réduit dépend de gaz
utilisé et aussi de pourcentage gazeux.
Xe5%-He
α/P(cm-1.torr-1)
100
10-1
αM/P
αXe/P
αHe/P
Analytique
10-2
101
102
-1
103
-1
E/P (V.cm .torr )
Figure II.14 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour
Xe5%-He
α/P(cm-1.torr-1)
Xe10%-He
100
Analytique
10-1
10-2
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
αM/P
αXe/P
αHe/P
103
Figure II.15 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour Xe10%-He
76
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
II.6.2. Calcul du Coefficient d’émission secondaire
 Calcul 𝜸𝜸 en fonction du matériau :
Le travail de sortie φm du solide est une mesure de l'énergie minimale exigée pour
extraire un électron à partir de la surface de ce solide. φm dépend de la propreté de la
surface.
Comme première méthode nous avons calculé notre coefficient secondaire, en
utilisant l’expression Eq. II.29 ainsi que les tableaux II.3 et tableau II.4. Les résultats
trouvés sont résumé dans le tableau II.5.
Tableau II.5. Représente le coefficient d’émission secondaire γ de plusieurs gaz et
dans différents matériaux d’électrode.
Gaz
He
Ar
Ne
Kr
Xe
H2
N2
Matériaux
Ag
Mg
Al
MgO
Cu
Ag
Mg
Al
MgO
Cu
MgO
Cu
MgO
Cu
MgO
Mg
MgO
Al
Mg
MgO
Al
Coefficient d’émission
secondaire 𝜸𝜸
0.31
0.38
0.34
0.24
0.32
0.09
0.16
0.12
0.03
0.24
0.17
0,051
0.016
0.005
0.06
0.143
0.021
0.114
0.15
0.018
0.111
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
77
CHAPITRE II : Modèle Analytique
 Calcul 𝜸𝜸 en fonction du champ réduit
Notre seconde méthode pour calculer ce deuxième coefficient de Townsend est la
résolution de la condition d’auto-entretien décrite précédemment dans l’équation (Eq. II.30).
Ceci a été fait pour tout les gaz rares ; hélium, néon, l’argon et le krypton ainsi que le xénon.
Nous avons représenté ces gaz rares sur la figure II.16, cette dernière schématise γ en fonction
du champ E/p. La variation de γ en fonction de E/p suit la même allure pour tous les gaz
étudiés. Nous remarquons que le coefficient décroit avec la croissance du champ réduit. Le
coefficient d’émission secondaire est plus élevé pour les gaz légers tels que le néon et
l’hélium, le xénon de plus bas potentiel d’ionisation est le moins efficace pour l’émission
secondaire. Les coefficients d’émission secondaire pour ces gaz se classent dans l’ordre
croissant du potentiel d’ionisation. Les valeurs des coefficients pour les gaz lourds sont très
faibles surtout pour le xénon pour lequel γ se situe vers 4.5 × 10−3 , pour un champ réduit
égal à 200 V.cm-1.torr-1, ceci est une des raisons pour laquelle le néon est ajouté au xénon
pour augmenter l’émission secondaire
Analytique
Coefficient γ
0,01
He
Ne
Ar
Kr
Xe
1E-4
1E-6
101
102
-1
-1
103
E/P (V.cm .torr )
Figure II.16 – Coefficient d’émission secondaire en fonction du champ réduit pour tous les gaz rares
usuels
78
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
II.6.3. Calcul de la tension de claquage
II.6.3.1. Condition de travail
Dans cette partie de ce chapitre, nous allons présenter tous nos résultats obtenus de la
tension de claquage en fonction du produit pression-distance. Ces résultats ont été calculés par
notre modèle analytique qui a été décrit dans les paragraphes précédents.
La géométrie que nous avons utilisée dans ce modèle est une géométrie des électrodes
planes, en plus des conditions suivantes :
∗ distance inter-électrode de 0.1 cm.
∗ pression varie de 10 à 150 torr.
∗ différents mélange gazeux.
∗ les coefficients d'émission secondaire pour les ions varie selon le gaz utilisé.
a.
Gaz pur
Nous commençons par présenter les courbes de Paschen pour les gaz purs ; l’hélium
argon, néon, krypton et le xénon.
 Argon pur :
γ=9.10-3
Tension de Claquage(Volt)
600
M=10
M=102
M=103
480
Ar
360
240
120
0
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.17 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour l’Argon pur
Nous avons tracés dans cette figure II.17, la tension de claquage en fonction du produit
pression-distance. Ce produit P.d varis de 1 à 15 torr.cm, pour différentes multiplication
électronique indiqué par des symboles carré, cercle et étoile correspondant à la multiplication
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
79
CHAPITRE II : Modèle Analytique
électronique de 10, 100, et 103 respectivement. La courbe sans symbole représente la courbe
de Paschen calculé pour un coefficient d’émission secondaire égale à 9.10-3. Nous remarquons
que l’intervalle de 0.2 à 1 torr.cm la tension de claquage décroit jusqu’à atteindre une tension
de 200 Volts qui est considéré comme valeur critique appelée minimum de Paschen (Vmin).
Cette tension augmente avec l’augmentation du produit P.d. Concernant le reste des courbes
de la multiplication électronique, nous distinguons que la tension augmente tant que la
multiplication électronique M augmente. Tandis que, la courbe du coefficient d’émission
secondaire est proche de celle de la multiplication M=100.
 Hélium Pur :
La figure II.18, symbolise les tensions de claquage calculées par deux méthodes
différentes, une qui calcule la tension de Paschen en fonction de la multiplication
électronique, (M=10, M=100 et M=103). Tandis que l’autre calcule la tension de Paschen en
fonction du coefficient d’émission secondaire de Townsend, qui est égale à 0.31 pour l’hélium
pur indiqué par une ligne sans symbole. Dans les deux cas, il y a superposition des courbes de
Paschen. A faible produit P.d, les tensions chutent, alors qu’elles croient avec l’augmentation
de ce produit. Concernant le minimum de Paschen, il se déplace vers les forts produits
pression-distance, pour des multiplications élevées.
Tension deClaquage (Volt)
γ=0.31
M=10
M=102
M=103
800
He
600
400
200
0
5
P.d(torr.cm)
10
15
Figure II.18 – Tension de claquage en fonction du produit pression.distance inter-électrode, de
l’hélium pur
80
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
 Néon Pur
La figure II.19, illustre le calcule analytique de la tension de claquage dans le cas du
néon pur. Ces mesures ont été effectuées pour des pressions variant de 10 à 150 torr, sur une
distance de 0.1 cm. Nous remarquons que les trois courbes de la multiplication électronique
(M=10, M=100, M=1000) ont la même allure. La courbe sans symbole correspond au résultat
de la tension de claquage en fonction du coefficient d’émission secondaire qui est égale à 0.5.
Cette dernière a la même allure que les précédentes.
γ=0.5
Ne
M=10
M=102
M=103
Tension de Claquage(Volt)
600
450
300
150
0
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.19 – Courbe de Paschen pour un coefficient d’émission secondaire égale à 0.5, et pour
différentes multiplication, calculé pour néon pur
 Krypton Pur
Dans les mêmes conditions utilisées auparavant, la tension de claquage du krypton est
reportée dans la figure II.20. Alors que le coefficient d’émission secondaire est pris égal à
9.10-3. Cette représentation est communément appelée (courbe de Paschen).
Pour une multiplication de 100 et un coefficient d’émission secondaire égal à 0.009,
les courbes des tensions de claquages coïncident. Les courbes avec les symboles, carré et
étoile respectent la même allure.
L’explication qui nous a effleuré l’esprit, est que les électrons font peu de collisions
ionisantes car leur libre parcours moyen est important. Alors que le champ nécessaire à
l’entretien de la décharge est donc très élevé et ce pour des valeurs faibles du produit P.d.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
81
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Lorsque ce produit P.d augmente, le libre parcours moyen électronique diminue, les
collisions ionisantes augmentent et le nombre d’électrons dans la décharge aussi. La résistivité
du gaz diminue ainsi que le champ électrique. Pour P.d=1 torr.cm, les tensions nécessaires
sont minimales.
Pour de grandes valeurs de P.d, les collisions sont très fréquentes et limitent l’énergie
des électrons. Le champ électrique augmente de nouveau. Pour tous les matériaux, les pentes
sont quasiment identiques et pour un P.d donné, les tensions de claquage sont différentes.
γ=0.009
M=10
M=102
M=103
Tension de Claquage(Volt)
600
Kr
480
360
240
120
0
5
P.d(torr.cm)
10
15
Figure II.20 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.009, pour le krypton pur
 Xénon Pur
La figure II.21 représente les courbes de Paschen obtenues avec notre modèle
analytique pour différentes multiplication électronique en prenant un coefficient de Townsend
égale à 0.05. Nous sommes toujours dans une géométrie où les électrodes sont planes et
parallèles. Le critère que nous avons choisi au départ pour obtenir ces courbes de Paschen à
l'aide du modèle analytique est basé sur la résolution de l’équation d’auto-entretien ; nous
nous sommes aperçus que les tendances étaient identiques mais les valeurs des tensions de
claquage étaient plus faibles pour certaines conditions comme le coefficient d’émission et une
multiplication M est faible.
82
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tension de Claquage(Volt)
γ=0.05
Xe
M=10
M=102
M=103
660
440
220
0
5
P.d(torr.cm)
10
15
Figure II.21 – Courbes de Paschen obtenues analytiquement dans le xénon pur, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.05
b.
Mélanges gazeux
 Xénon-Néon
Sur les figures ; figure II.22, figure II.23 et figure II.24 le pourcentage du xénon
présent dans le mélange Xe/Ne est successivement de 5%, 10% et 30%. Nous avons constaté
que plus la concentration, en xénon, est forte plus la tension de claquage est élevée. Le fait
d’ajouter du néon permet d’abaisser la tension de claquage.
Tension de Claquage(Volt)
Xe5%-Ne
γXe=0.05, γNe=0.5
390
M=10
M=102
M=103
260
130
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.22 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.5 pour le néon et 0.05 pour xénon, pour un mélange Xe5%-Ne
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
83
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tension de Claquage(Volt)
360
γXe=0.05, γNe=0.5
Xe10%-Ne
M=10
M=102
M=103
240
120
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.23 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0.5 (néon) et 𝛾𝛾𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0.05 (xénon), dans un mélange de Xe10%-Ne
γXe=0.05, γNe=0.5
Tension de Claquage(Volt)
300
Xe30%-Ne
M=10
M=102
M=103
200
100
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.24 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.5 pour le néon et 0.05 pour le xénon, Dans un mélange de
Xe30%-Ne
 Xénon-Krypton
Nous avons tracé dans la figure II.25, la tension de Paschen en fonction du produit
pression-distance pour un mélange de 10% de xénon dans le krypton. Les courbes qui sont
représentées par les symboles ; étoile, carré, cercle indiquent la tension de claquage en
84
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
fonction de la multiplication électronique M. Cette multiplication électronique varis de 10 à
1000. La courbe représentée par une ligne sans symbole montre le calcul de la tension de
claquage pour un coefficient d’émission secondaire égale à 0.05 pour le xénon et coefficient
secondaire de krypton égale 0.016. Nous observons dans cette figure que la tension de
claquage chute pour atteindre une valeur critique Vmin, puis elle augmente considérablement
avec le produit P.d pour accéder à une valeur de 250 Volt pour une multiplication de 103, et
elle diminue si nous faisons baisser la multiplication électronique.
Tension de Claquage (Volt)
300
γXe=0.05, γKr=0.016
M=10
M=102
M=103
Xe10%-Kr
200
100
5
10
15
P.d (torr.cm)
Figure II.25 – Variation de la tension de Paschen en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.016 pour le krypton et 0.05 pour le xénon, dans un mélange de 10%
de xénon dans le krypton
 Argon-Néon
Nous avons effectué des mesures sur l’argon pour les pourcentages suivants: 0.1%,
10%, 25%, 50% et 75 %. Ces résultats sont schématisés sur les figures ; figure II.26, figure
II.27, figure II.28 et figure II.29 et figure II.30, correspondent respectivement aux
pourcentages cité ci-dessus. Deux remarques importantes sont à faire ici : plus le pourcentage
en argon est élevé plus le minimum de Paschen se déplace vers la gauche (à faible produit
pression-distance). Pour des valeurs de P.d plus fortes, la concentration augmente avec les
tensions de claquage.
Ainsi, pour ce type de mélange, plus le pourcentage en argon est fort, plus le
comportement est proche de l’argon pur, et plus le pourcentage est faible, plus le
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
85
CHAPITRE II : Modèle Analytique
comportement est proche du néon pur. De plus, pour des valeurs de P.d supérieures à 2
torr.cm, il apparaît clairement que le fait d’ajouter du néon permet d’abaisser la tension de
claquage
γAr=0.25, γNe=0.75
γAr=0.75, γNe=0.75
Tension de Claquage(Volt)
Ar0.1%-Ne
600
M=10
M=102
M=103
400
200
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.26 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.75 pour le néon et 0.25 pour l’argon, pour un mélange de Ar0.1%-Ne
Tension de Claquage(Volt)
Ar10%-Ne
γAr=0.003, γNe=0.09
330
M=10
M=102
M=103
220
110
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.27 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.09 pour le néon et 0.003 pour l’argon, pour le mélange : Ar10%-Ne
86
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
γAr=0.003, γNe=0.09
Tension de Claquage(Volt)
Ar25%-Ne
M=10
M=102
M=103
300
200
100
5
P.d(torr.cm)
10
15
Figure II.28 –Courbe de Paschen en fonction du produit P.d, pour un coefficient d’émission
secondaire égal à 0.09 pour le néon et 0.003 pour l’argon, dans un mélange de Ar25%-Ne
γAr=0.003, γNe=0.09
Tension de Claquage(Volt)
Ar50%-Ne
M=10
M=102
M=103
300
200
100
5
P.d(torr.cm)
10
15
Figure II.29 – Variation de la courbe de Paschen en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.09 pour le néon et 0.003 pour l’argon, pour le mélange de Ar50%-Ne
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
87
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tension de Claquage(Volt)
γAr=0.003, γNe=0.09
300
M=10
M=102
M=103
Ar75%-Ne
200
100
5
P.d(torr.cm)
10
15
Figure II.30 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0.09 (Néon) et 𝛾𝛾𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0.003 (Argon), un mélange de Ar75%-Ne
 Xénon-Hélium
Dans cette partie, nous avons essayé de calculer la tension de claquage en fonction du
produit pression-distance. Le calcul effectué est pour un mélange de xénon dans l’hélium.
Nous avons choisi deux pourcentages pour ce même mélange ; 10% de xénon dans l’hélium,
dessiné dans la figure II.31, et 50% de xénon dans l’hélium représenté dans la figure II.32.
Dans ces deux figures nous avons tracé la tension de Paschen pour un coefficient d’émission
de xénon égale à 0.005 et un coefficient d’émission 𝛾𝛾𝐻𝐻𝐻𝐻 = 0.32 pour l’hélium. Ces
coefficients correspondent à des électrodes en cuivre. Dans les courbes précédentes, la
multiplication prend trois valeurs 10(symbole carré), 100(symbole cercle) et 1000(symbole
étoile). Si nous comparons ces deux figures de Paschen, nous trouvons qu’à 10% du xénon
dans le mélange Xe-He la tension de claquage est très faible, par rapport au mélange
contenant 50% de xénon. Nous pouvons conclure que le pourcentage idéale pour obtenir une
tension de claquage basse il faut travailler avec un mélange contenant 10% de Xe dans l’He.
88
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE II : Modèle Analytique
Tension de Claquage(Volt)
γXe=0.005, γHe=0.32
M=10
M=102
M=103
300
Xe10%-He
200
100
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.31 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.005 pour le xénon et 0.32 pour l’hélium, dans un mélange: Xe10%-He
Tension de Claquage(Volt)
γXe=0.005, γHe=0.32
300
Xe50%-He
M=10
M=102
M=103
200
100
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure II.32 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.005 pour le xénon et 0.32 pour l’hélium, dans un mélange: Xe50%-He
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
89
CHAPITRE II : Modèle Analytique
II.7. Conclusion
Ce chapitre est consacré au développement d’un modèle analytique, pour le calcul des
courbes de Paschen dans les gaz purs et les mélange gazeux. Ce modèle est basé sur la
résolution analytique de l’équation d’auto-entretien et l’équation de la loi de Paschen pour le
calcul de la tension de claquage. Les résultats de cette partie donnent des variations des
tensions de claquage en fonction du produit pression-distance inter-électrode P.d, et le
coefficient d’ionisation en fonction du champ électrique réduit. Nous calculons aussi dans ce
chapitre le coefficient d’émission secondaire de Townsend pour différents matériaux utilisé
dans la fabrication de la cathode. Ces calculs, nous ont permis de manière simple sans prendre
en considération l’effet de la géométrie, de prédire la gamme de variation de la tension de
claquage pour les décharges électriques dans les plasmas froids.
90
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III
CHAPITRE
III
Modèle
Bidimensionnel
L
'étude
d'un
phénomène
physique
peut
se
faire
par
modélisation
ou
expérimentalement. L'expérience apporte des résultats précis et concrets avec
souvent de grosses difficultés techniques et financières. La modélisation permet,
elle, pour un faible coût de réaliser des études paramétriques complexes et de distinguer
aisément les phénomènes mis en jeu. Malheureusement le modèle parfait n'existe pas. Les
modèles numériques ne sont que des simplifications de la réalité, ils utilisent de nombreuses
approximations et hypothèses ainsi que des données d'entrée mal connues. Il est donc
nécessaire d’aborder le problème par une approche fluide bidimensionnel {Ber-10}. La
complémentarité modèle-expérimentation permet de mieux appréhender, de comprendre et
d'améliorer notre connaissance de la physique de la décharge. Avant de confronter les
résultats, nous allons décrire ci-dessous les méthodes numériques existées. Nous rappelons
par la suite les principes et les hypothèses de base du modèle fluide utilisé. {Poi-94}.
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.1. Modèles Numériques
Modèle de décharge est de nos jours considéré comme un outil pratique pour la
conception et l'optimisation des installations expérimentales utilisées. Un modèle peut être
défini comme une représentation des phénomènes physique dans laquelle des approximations
ont été faites de façon à rendre le problème soluble toute en préservant ses caractéristiques
physiques. La modélisation est donc l’art de réaliser ce compromis entre approximation et
fidélité aux mécanismes physique. Il existe deux grandes catégories de modèle numériques
des décharges, les modèles macroscopiques et les modèles microscopiques. Chaque modèle
s’applique préférentiellement à des conditions de décharge différentes.
Les modèles microscopiques sont basés sur les solutions de l’équation de Boltzmann
généralement fournies par des méthodes de Particle in Cell ou par des simulations Monte
Carlo, qui donnent les variations spatio-temporelles des fonctions de distribution des vitesses
des particules chargées. Le principal problème concernant l’utilisation des méthodes
microscopiques pour élaborer des modèles de décharge (a priori plus précis que les modèles
fluides, puisqu’ils résolvent l’équation de Boltzmann sans nécessiter d’hypothèses
simplificatrices), vient de la difficulté à rendre ces modèles auto-cohérents. Généralement les
résultats sont obtenus pour une distribution spatio-temporelle donnée du champ électrique
{Kli-89} {Kus-83} {Kus-86}. Certains essais de développement de modèles auto-cohérents
basés sur des techniques de Monte Carlo {Kit-88} ou de Particle in Cell {Bos-88}, {Sur90} laissent à penser que ces modèles sont gros consommateurs de temps de calcul et ne sont
pas très pratique pour réaliser des études paramétriques des décharges, c'est-à-dire prévoir
l’évolution des propriétés de la décharge lorsque les paramètres fondamentaux tels que la
fréquence, la pression ou bien la puissance sont modifiés. Cette analyse systématique des
décharges est beaucoup plus aisée par l’utilisation de modèles fluides auto-cohérents.
Les modèles particulaires nécessitent de plus la connaissance de nombreuses données
de base, en particulier les sections efficaces de collisions électrons molécules qui ne sont pas
toujours disponibles.
Dans les modèles fluides {Rut-98}, les propriétés des particules chargées sont
caractérisées par des grandeurs moyennes, telles que la densité, la vitesse moyenne, ou bien
l’énergie moyenne. Le couplage entre la cinétique des particules chargées et la distribution du
93
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
champ électrique est plus simple à réaliser d’un point de vue numérique que dans le cas de
modèles microscopiques.
Les modèles fluides présentés dans ce chapitre sont des modèles auto-cohérents, ou les
équations décrivant le transport des particules chargées sont couplées à l’équation de Poisson
pour le champ électrique, dans le but d’obtenir les variations spacio-temporelles des densités
de particules chargées, des densités de courant et du champ électrique.
Le couplage entre la population des espèces excitées et la cinétique électronique n’est
pas prise en compte –les effets des modifications de la composition du gaz et de la
température, dus aux excitations, dissociations ou au chauffage, sur la cinétique des particules
chargées sont négligés, de telle sorte que les électrons sont considérés comme réagissant avec
un gaz neutre et froid dont les propriétés physiques restent constantes {Bel-90}.
La distribution spacio-temporelle du taux d’ionisation est un paramètres fondamental
de la décharge, il est donc primordial de choisir les hypothèses du modèle de telle manières
que les mécanismes d’ionisation soient décrits le plus précisément possible.
Pour simplifier la description de la cinétique électronique et ionique, l’équation de
Boltzmann {Lof-05} est remplacée par un système d’équations composé par les moments de
l’équation de Boltzmann dans l’espace des vitesses. Ces moments sont obtenus par intégration
de l’équation de Boltzmann dans l’espace des vitesses après multiplication par 1 ou l’on
obtient l’équation de continuité, par mv ou l’on obtient l’équation e transfert de la quantité de
mouvement et par ½ mv2 ou l’on obtient l’équation de transport de l’énergie {Gog-92}.
Généralement les modèles fluides utilisés jusqu’à présent prennent en compte les deux ou
trois premiers moments {Wag-05} {Wag-06}. Le système d’équations alors considéré n’est
pas équivalent à l’équation de Boltzmann car il faudrait une infinité de moments. Pour fermer
le système, il est donc nécessaire d’émettre des hypothèses supplémentaires concernant les
moments d’ordre supérieurs, ces hypothèses devant être judicieusement choisies car elles
seront à la base de la limitation du domaine de validités du modèle.
Nous allons voir maintenant comment s’écrivent les moments de l’équation de
Boltzmann et les principales approximations simplificatrices.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
94
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.2. Equation de base pour la modélisation des décharges hors équilibre
III.2.1. Introduction
On sait que la décharge électrique a lieu dans un milieu gazeux, qui est un ensemble
de l’ordre 1020 particules neutres et chargées par unité de volume qui interagissent entre elles.
Modéliser ce milieu revient à rendre compte de l’évolution spacio-temporelle de toutes ces
particules à l’aide des équations du mouvement (ou équation de Langevin) relatives à chaque
particules c'est-à-dire environ 1020 équations. On aura ainsi l’état microscopique du milieu.
Evidemment cela n’est pas possible malgré la puissance de l’outil informatique. Une autre
méthode qui est une approche statistique du problème consiste à réduire le nombre d’entités à
traiter en assimilant un ensemble de particules d’un type donné à une seule entité décrite par
une seule équation et dont la solution est la fonction de distribution des vitesses de ces
particules. On attachera ainsi au milieu gazeux autant de fonction de distribution qu’il y a
d’espèces différentes de particules. Dans cette partie du chapitre on va précisément présenter
cette notion de fonction de distribution qui est la base de ce qu’on appelle le formalisme
microscopique (ou particulaire). Comme on va le voir ci-dessous, ce formalisme
microscopique consiste à résoudre l’équation de Boltzmann dont la solution est la fonction de
distribution. Malgré ses avantages, l’utilisation de cette méthode est contraignante au niveau
du temps de calcul en plus de la difficulté à l’étendre à des géométries multidimensionnelles
(2D ou 3D) {Ham-96}.
III.2.2. La fonction de distribution
III.2.2.1. Définition
Chaque particule du gaz est définie par un vecteur de position r qui va de l’origine du
système de coordonnées vers son centre de gravité et par un vecteur de vitesse v. On associe
au vecteur - position et au vecteur - vitesse deux espaces de coordonnées que l’on regroupe
pour former l’espace des phases. A un instant t, le nombre probable de particule « dn(r,v,t) »
se trouvant dans l’élément de volume dr situé autour du point r et animées d’une vitesse v
variant dans l’élément de vitesse dv est défini par(les vecteurs vitesse étant écrits en caractère
gras) {Byr-02} {Cer-88} {Cur-92}
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟, 𝑣𝑣, 𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑣𝑣, 𝑡𝑡)
95
(Eq. III.1)
Ou 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑣𝑣, 𝑡𝑡) est la fonction de distribution spatiale de densité des particules
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Et 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 est l’élément de volume de l’espace des phases centré sur r et 𝑣𝑣
III.2.2.2.Grandeurs moyennes
De la définition précédente, on peut déduire la densité ou le nombre moyen des
particules en un point du plasma à un instant donné t {Poi-94}
𝑛𝑛(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = ∫ 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑣𝑣, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
(Eq. III.2)
Comme il a été dit précédemment, le nombre de particules étudiées étant important,
nous utiliserons des grandeurs moyennes basées sur les fonctions de distribution. On peut
définir de même la vitesse moyenne d’une particule
1
< 𝑣𝑣 >= 𝑛𝑛(𝑟𝑟,𝑡𝑡) ∫ 𝑣𝑣 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑣𝑣, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
(Eq. III.3)
Ou, pour tout autre grandeur x, on peut définir sa moyenne par
1
< 𝑥𝑥 >= 𝑛𝑛(𝑟𝑟,𝑡𝑡) ∫ 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑣𝑣, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
(Eq. III.4)
III.2.3.Equation de Boltzmann et ses moments
Pour étudier la cinétique des ions et des électrons dans un gaz faiblement ionisé, on
utilise l’équation de Boltzmann
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝑣𝑣
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝑔𝑔 𝜕𝜕𝜕𝜕 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕 �
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
(Eq. III.5)
L’équation (Eq. III.5), C’est l’expression d’évolution de la fonction de distribution des
ions ou des électrons. Les différents termes peuvent être explicités de la façon suivante
f=f(r,v,t) est la fonction de distribution de l’espèce étudiée dans l’espace des phases
(espace des positions et des vitesses). Cette fonction dépend du vecteur de vitesse v et du
vecteur de position r à l’instant t.
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
, représente le taux local de variation de f au point (r,v) en fonction du temps.
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑣𝑣 𝜕𝜕𝜕𝜕 , représente la variation de f par suite de la diffusion des ions ou des électrons,
c'est-à-dire la tendance du gaz à se relaxer vers un état d’équilibre.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
96
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑔𝑔 𝜕𝜕𝜕𝜕 , représente la variation de f sous l’action des forces extérieures, g étant
l’accélération des forces extérieures dues à l’action des champs électrique et magnétique.
𝜕𝜕𝜕𝜕
� 𝜕𝜕𝜕𝜕 �
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
, traduit la variation de f suite aux collisions, c'est-à-dire la redistribution des
ions ou des électrons dans l’espace des vitesses sous l’effet des collisions {You-94}.
La cinétique de chacune des populations des particules chargées (électrons, ions), est
décrite par une fonction de distribution des vitesses solution de l’équation de Boltzmann. On
peut ainsi rencontrer une situation plus délicate lorsque la résolution de l’équation de
Boltzmann pour les espèces lourdes doit être prise en compte. Et quand la charge d’espace est
suffisamment importante pour modifier le champ extérieur comme c’est le cas notamment
pour des décharges filamentaires, l’équation de Boltzmann doit être couplée à l’équation de
Poisson.
Tout cela ne facilite pas l’utilisation de cette équation, alors la résolution de l’équation
de Boltzmann exacte nécessite un très lourd investissement mathématique {Bez-03}. De très
nombreux travaux ont porté sur la résolution numérique de cette équation. Cependant, nous
nous intéressons ici à une formulation de la solution proposée par Lagushenko {Lag-84}.
Ces grandeurs sont des paramètres macroscopiques définis en chaque point (vitesse
moyenne et densité) et qui sont reliés par des équations dites – « les moments de l’équation de
Boltzmann ». Celles-ci sont obtenues en intégrant l’équation de Boltzmann dans l’espace des
vitesses après multiplication par une fonction χ(𝑣𝑣). Nous nous intéresserons dans notre
modèle bidimensionnel seulement aux deux premiers moments de l’équation qui donnent
l’équation de continuité (χ(𝑣𝑣) = 𝑚𝑚, m étant la masse de l’ion ou de l’électron), l’équation de
transfert de la quantité de mouvement χ(𝑣𝑣) = 𝑚𝑚𝑚𝑚) . On trouvera dans les ouvrages {Bit-
86} {Del-63} un développement plus complet concernant tous les moments d’ordre
supérieur.
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝛿𝛿𝛿𝛿
∫ � 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑔𝑔 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 𝑥𝑥(𝑣𝑣)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ � 𝛿𝛿𝛿𝛿 �
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑥𝑥(𝑣𝑣)𝑑𝑑𝑑𝑑
(Eq. III.6)
En tenant compte de l’indépendance des grandeurs considérées par rapport à l’espace
et au temps, l’équation (Eq. III.6) peut s’écrire
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
97
(𝑛𝑛 < 𝑥𝑥(𝑣𝑣) >) +
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝛿𝛿𝛿𝛿
(𝑛𝑛 < 𝑥𝑥(𝑣𝑣)𝑣𝑣 >) − 𝑔𝑔𝑔𝑔 < 𝑥𝑥(𝑣𝑣) > = ∫ � �
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑥𝑥(𝑣𝑣)𝑑𝑑𝑑𝑑 (Eq. III.7)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Cette équation est appelée « équation générale de transport ».On peut encore écrire le
terme de collision de la façon suivante
𝛿𝛿𝛿𝛿
∫ � 𝛿𝛿𝛿𝛿 �
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝛿𝛿
𝑥𝑥(𝑣𝑣)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝛿𝛿 (𝑛𝑛 < 𝑥𝑥(𝑣𝑣) >)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
(Eq. III.8)
III.3. Approche fluide
Ce sont les modèles les plus largement utilisés pour la description des décharges dans
les PAP. C'est le cas par exemple des modèles 1D (pour une dimension) de {Sah-78} {Sat76} {Bel-10} ou de {Vee-96} {Vee-95} et de modèles 2D {Vee*-96}{Ben-11*}. Les
résultats numériques concernant la décharge présentés dans cette thèse sont basés sur cette
approche fluide, sauf pour certains cas particuliers qui seront précisés.
III.3.1. Principes
Dans une approche microscopique, il est possible de déterminer la fonction de
distribution des vitesses des particules chargées f(R,v,t), ici il n'est plus question de la calculer
mais de la définir par des grandeurs moyennes ; la densité, la vitesse moyenne et l'énergie
moyenne des particules. L'équation de Boltzmann est alors remplacée par les trois équations
(qui sont représentés ci-dessous). Ces équations ; sont l’équation de continuité pour les
densités électronique et ionique ((Eq. III.9), (Eq. III.10)), l'équation de transfert de quantité de
mouvement pour les vitesses moyennes ((Eq. III.11) pour les électrons, (Eq. III.12) pour les
ions) et l'équation de l'énergie moyenne des électrons (Eq. III.13). La température des ions est
supposée être égale à celle des neutres (300°K) durant toute la phase de décharge. Ces
équations appelées moments de l'équation de Boltzmann sont les résultats de l'intégration de
l'équation de Boltzmann (Eq. III.5) multipliée par des grandeurs macroscopiques physiques
(1, mv, mvv ou ½ mv2) variant comme des polynômes de la vitesse sur l'espace des vitesses.
En fait il faudrait une infinité d'équations de ce type pour obtenir une représentation
équivalente à l'équation de Boltzmann {Ben-12}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
98
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.3.2. Principales équations du modèle fluide
III.3.2.1. Equation de continuité
Pour les électrons, l’équation de continuité en une dimension s’écrit {Pis-00} {Li-07}
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∅𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑆𝑆(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
(Eq. III.9)
Où ne(x,t) est la densité électronique, ∅𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) le flux électronique et S(x,t) le terme
source qui inclut tous les termes de création pour les électrons, par unité de volume et de
temps.
En ce qui concerne les ions, l’équation de continuité s’écrit {Li-07} {Li-08}
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∅𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑆𝑆𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
(Eq. III.10)
Où ni,k(x,t) est la densité, ∅𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) le flux et Si,k(x,t) le terme source de l’ion d’indice
k. Pour le cas du mélange xénon-néon, les deux types d’ions produits pendant l’impulsion de
courant sont les ions atomiques de xénon et de néon (les ions moléculaires ne sont créés que
pendant la phase de post-décharge).
III.3.2.2 Equation de transfert de quantité de mouvement
Nous supposons, pour l’équation de transfert de quantité de mouvement,
l’approximation de dérive-diffusion. En une dimension, les équations de transfert de quantité
de mouvement pour les électrons et les ions s’écrivent alors {Li-08} {Li-07}
𝜕𝜕
����������
∅𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑣𝑣
𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = −𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜇𝜇𝑒𝑒 𝐸𝐸(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝐷𝐷𝑒𝑒 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
(Eq. III.11)
Le flux d’électrons ∅𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) s’écrit comme la somme d’un terme de dérive et d’un
terme de diffusion, 𝑣𝑣𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) étant la vitesse moyenne des électrons, µe ; la mobilité
électronique et De ; le coefficient de diffusion électronique. Pour les ions, nous pouvons aussi
écrire
𝜕𝜕
�����������
∅𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = +𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜇𝜇𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝐸𝐸(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝐷𝐷𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
(Eq. III.12)
Où µi,k et Di,k sont respectivement la mobilité et le coefficient de diffusion de l’ion d’indice k.
99
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.3.2.3. Equation de conservation de l’énergie
En remplaçant χ(v) dans l’équation (Eq. III.3) par ½mv2, on obtient l’équation
d’énergie scalaire qui est le troisième moment de l’équation de Boltzmann
1 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑣𝑣 2
2
𝜕𝜕𝜕𝜕
1
1
��������
+ ∇𝑟𝑟���⃗ �2 𝑛𝑛𝑛𝑛(v.
v)v� − 𝑛𝑛 �����
𝐅𝐅. 𝐯𝐯 = ∫v
2
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝑚𝑚v 2 � 𝛿𝛿𝛿𝛿 �
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑑𝑑3 v
(Eq. III.13)
Ces trois moments de l’équation de Boltzmann forment un système qui n’est pas fermé
et ne peut donc pas décrire seul le comportement des particules chargées dans une décharge
électrique. Comme nous allons le voir, nous avons recours à des approximations pour pouvoir
résoudre ce système.
III.3.3. Modèle fluide à deux moments 2D
Dans les conditions des plasmas que l’on trouve dans les cellules d’écran à plasma, on
peut négliger l’énergie dirigée, due à l’accélération du champ électrique par rapport à
l’énergie d’agitation thermique. Cette simplification est valable quand le champ électrique est
faible dans le plasma, mais n’est plus aussi bonne dans la gaine où l’énergie dirigée des
électrons peut être comparable à l’énergie thermique.
Dans une décharge caractéristique d'un écran à plasma, le temps caractéristique de
variation des phénomènes (champ électrique, courant, densités) est déterminé comme {Pun98}
𝐸𝐸
𝑑𝑑𝑑𝑑
� �
𝑑𝑑𝑑𝑑
Il est de l'ordre de quelques 10-9 s (la décharge ne dure qu'une vingtaine de
nanosecondes) donc très grand devant le temps entre collisions électrons - atomes neutres du
1
gaz qui est de l'ordre de 10-12 s correspondant à �𝑣𝑣 �
𝑚𝑚
Cela signifie que l'on peut négliger dans l’équation de transport de quantité de
mouvement, le terme ∂/∂t de variation temporelle du flux par rapport au terme de collision qui
est en 𝑣𝑣𝑚𝑚 .
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑛𝑛|v� |) ≪ 𝑣𝑣𝑚𝑚 𝑛𝑛|v� |
(Eq. III.14)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
100
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
A l’aide de ces simplifications, les équations (Eq. III. 11) et (Eq. III.12) peuvent être
réécrites de la façon suivante :
L’équation de quantité de mouvement peut s’écrire {Ben-11}
𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑝𝑝
1
𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 �����
ve,p = 𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 𝑚𝑚 𝑣𝑣 𝐸𝐸 − 𝑚𝑚 𝑣𝑣 ∇𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑒𝑒,𝑝𝑝
𝑚𝑚
(Eq. III.15)
𝑚𝑚
Dans cette équation, le flux de particules chargées est la somme d’un terme de dérive
traduisant l’influence des forces extérieures (ici, seulement le champ électrique) et d’un terme
de diffusion rendant compte de l’effet du gradient de densité. On peut définir deux grandeurs
∗ la mobilité 𝜇𝜇𝑒𝑒,𝑝𝑝 = 𝑚𝑚
|𝑒𝑒|
�𝑚𝑚
𝑒𝑒,𝑝𝑝 𝑣𝑣
∗ le coefficient de diffusion
qui est une valeur positive
𝑘𝑘𝑇𝑇𝑒𝑒,𝑝𝑝
𝐷𝐷𝑒𝑒,𝑝𝑝 = 𝑚𝑚
�𝑚𝑚
𝑒𝑒,𝑝𝑝 𝑣𝑣
Pour l’équation d’énergie, on obtient
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜀𝜀�
𝜕𝜕𝜕𝜕
5
+ 3 ∇. [𝑛𝑛𝜀𝜀�v� ] + ∇. 𝑞𝑞 − 𝑛𝑛𝑛𝑛v� 𝐸𝐸 = −𝑛𝑛𝑣𝑣𝜀𝜀 𝜀𝜀̅
(Eq. III.16)
∇𝑟𝑟⃗ 𝑞𝑞 est la variation de l’énergie thermique due au flux de chaleur. On fait l’hypothèse que ce
flux de chaleur est proportionnel au gradient de température –
𝑞𝑞 = −K∇T
Où K est la conductivité thermique.
Et le système à trois moments nous donne 5 équations –
III.3.3.1. Equation de continuité
𝜕𝜕𝑛𝑛 𝑒𝑒,𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ ∇𝑟𝑟⃗ 𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 v� 𝑒𝑒,𝑝𝑝 = 𝑆𝑆𝑒𝑒,𝑝𝑝
(Eq. III.17)
III.3.3.2. Equation d’échange de quantité de mouvement
𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 v� 𝑒𝑒,𝑝𝑝 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 𝜇𝜇𝑒𝑒,𝑝𝑝 E − ∇(𝐷𝐷𝑒𝑒,𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑝𝑝 )
(Eq. III.18)
a vaut -1 pour les électrons et +1 pour les ions positifs.
Ce système est couplé à l’équation de Poisson pour tenir compte des variations du
champ électrique en particulier dues à l'évolution de la charge d’espace.
101
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.3.3.3. Equation de Poisson
Pour rendre le modèle auto-cohérent, il faut coupler les équations précédentes avec
l’équation de Poisson. Cette équation relie le champ électrique E(x,t) aux charges d’espace
{Ben*-11}.
𝜕𝜕
𝜌𝜌
𝐸𝐸(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = − 𝜀𝜀 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
0
|𝑒𝑒|
𝜀𝜀 0
�∑𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)�
(Eq. III.19)
Où ni,k(x,t) et ne(x,t) représente respectivement les densités des particules chargées
positivement et négativement (dans notre cas la densité électronique), e est la charge de
l’électron et ε0 la permittivité du vide.
III.4. Approximation du champ local – Approche fluide
Dans le modèle, la détermination des coefficients d’ionisation peut se faire de deux
manières
La première, de manière fluide, en supposant l’approximation du champ local. Le taux
de réaction réduit (nombre d’atomes ionisés par unité d’espace, normalisé à la densité du gaz)
n’est fonction que du champ réduit E/N – l’ionisation à chaque instant t et position x est égale
à celle que l’on rencontrerait dans un champ stationnaire et uniforme d’amplitude E=E(x,t).
Le coefficient d’ionisation est déterminé grâce à BOLSIG {Pit-81} {Bol-97}, un code
numérique résolvant l’équation de Boltzmann, pour obtenir les valeurs du taux d’ionisation en
fonction de E/P. Ces valeurs sont ensuite tabulées, comme paramètre d’entrée, dans le modèle
fluide.
•
Dans la seconde approche, le taux de réaction est déterminé grâce à un modèle hybride
fluide-particulaire pour les électrons. Les électrons « chauds », dont l’énergie est
suffisamment élevée pour pouvoir ioniser le milieu, sont simulés grâce à un modèle
Monte Carlo. Les électrons « froids », responsables de la charge d’espace, sont eux,
toujours simulés de manière fluide {Fia-94}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
102
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.4.1. Conditions aux limites
Pour pouvoir résoudre complètement les équations décrites précédemment, il est
nécessaire de fixer des conditions aux limites. Nous avons représenté sur la figure III.1 un
schéma simplifié d’une cellule de PAP de logiciel SIPDP-AC {Boe-01}.
Figure III.1 – Schéma simplifié d’une cellule d’écran à plasma.
La première condition aux limites concerne le flux de particules aux parois. Ce flux
représente les particules chargées et excitées qui viennent se déposer sur les diélectriques. Ces
particules arrivent aux parois par deux mécanismes – elles peuvent dériver vers les parois,
comme c’est le cas pour les ions ou bien diffuser vers les parois grâce à l’agitation thermique
du gaz.
La seconde condition aux limites est due à l’émission d’électrons secondaires de la
couche qui recouvert les diélectriques. Lorsqu’un ion vient frapper cette couche, il existe une
certaine probabilité pour qu’un électron soit arraché de la paroi – c’est l’émission secondaire.
Cette émission est caractérisée par le second coefficient de Townsend γ. A un flux donné
d’ions vers la paroi, correspondra un flux d’électrons sortant de cette couche conductrice. Le
coefficient d’émission secondaire satisfait la relation.
𝛾𝛾𝑖𝑖 = 𝑗𝑗𝑒𝑒 ⁄𝑗𝑗𝑖𝑖
103
(Eq. III.20)
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Où γi est le coefficient d’émission secondaire de l’espèce i, ji le courant ionique de
l’espèce i et je le courant d’électrons.
Enfin, la troisième condition aux limites est en fait la relation qui relie le potentiel
d’entretien appliqué à la cellule avec la tension aux bornes du gaz. Si on considère que la
cellule peut être représentée comme trois capacités en série - deux pour les diélectriques et
une pour l’espace gazeux en l’absence de décharge – alors la relation entre la tension
d’entretien Vs et la tension du gaz Vg s’écrit –
𝐶𝐶𝑔𝑔
𝑉𝑉𝑠𝑠 (𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑔𝑔 (𝑡𝑡) + 𝐶𝐶
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
1
𝑡𝑡
𝑑𝑑
�𝑉𝑉𝑔𝑔 (𝑡𝑡) − 𝜀𝜀 ∫0 ∫0 𝐽𝐽(𝑥𝑥, 𝑡𝑡′) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑′�
0
(Eq. III.21)
Où Cg est la capacité du gaz, Cequ est la capacité équivalente des deux capacités des
diélectriques en série. J(x,t) est la densité de courant en fonction de la position et du temps, d
est la distance inter-électrodes. La tension aux bornes du gaz est elle-même liée au champ
électrique par la relation
𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑔𝑔 (𝑡𝑡) = − ∫0 𝐸𝐸(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
(Eq. III.22)
III.4.2. Données de base
Les données de base nécessaires au fonctionnement du modèle fluide (ou fluide
hybride) sont les suivantes
•
Les coefficients d’ionisation réduits α/p et les mobilités électroniques, calculés grâce
au code BOLSIG {Bol-97}. Les données de base utilisées par BOLSIG sont les
sections efficaces de collision électron-atome pour le xénon et le néon. Les sections
efficaces de transfert de quantité de mouvement du xénon sont données par Hunter
{Hun-88} à basse énergie et Hayashi {Hay-83} à haute énergie. Pour le néon, elles
sont issues des travaux de Robertson {Rob-72} pour les faibles énergies et Shimamura
{Shi-89} pour les hautes énergies. Les sections efficaces d’excitation directe des
différents états pour le xénon et le néon sont extraites des travaux de Puech {Pue-91}.
Les sections efficaces d’excitation totale du niveau métastable du néon regroupant les
niveaux 3P2 et 3P0 sont de Mason {Mas-87}. Les sections efficaces d’ionisation sont
de Rapp {Rap-65} pour le xénon et Wetzel {Wet-87} pour le néon à faible énergie et
Heer {Hee-79} à haute énergie. Les sections efficaces d’ionisation à partir des niveaux
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
104
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
métastables du xénon et du néon sont de Ton-That {Tha-77} et de Hyman {Hym-79}
à partir du niveau Xe**.
•
Les mobilités ioniques – elles sont calculées à l’aide du jeu de sections efficaces.
•
Les coefficients de diffusion ioniques – ils sont calculés à partir de la loi
d’Einstein, 𝐷𝐷⁄𝜇𝜇 = 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄𝑞𝑞 , la température des ions est supposée égale à la température
du gaz (300° K).
Cette hypothèse est valable dans la gaine car la diffusion n’est pas importante.
•
Les coefficients de diffusion électroniques – ils sont supposés pris égaux aux
mobilités. Cette hypothèse donne une énergie caractéristique 𝐷𝐷⁄𝜇𝜇 = 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 pour les
électrons. L’effet de cette hypothèse a été étudié pour les décharges continues, elle
n’influence pas beaucoup les caractéristiques de la décharge {Lil-97}.
III.4.3.Marge de fonctionnement
Dans un écran à plasma, on souhaite pouvoir commander individuellement chaque
cellule. Il faut donc choisir, pour alimenter la cellule, une tension d’entretien qui permette
d’allumer, d’entretenir et d’étendre la décharge comme on le désire. Si elle est trop basse, on
ne pourra pas allumer la décharge et au contraire si elle est trop haute on n’arrivera pas à
l’éteindre. La marge de fonctionnement définit donc l’intervalle de la tension dans lequel on
peut avoir un comportement bistable de la décharge et ainsi contrôler l’allumage et
l’extinction. Cette marge est donc caractérisée par une tension minimale et une tension
maximale. La tension minimale est la tension pour laquelle il n’est pas possible d’entretenir la
décharge – après quelques cycles la décharge s’éteint. La tension maximale, quant à elle,
correspond au point pour lequel, il n’est plus possible d’éteindre la décharge. En général, la
tension maximale est proche de la tension de claquage. Enfin, nous pouvons définir le point
au milieu de la marge ou tension mi-marge, comme correspondant à la tension qui permet le
meilleur fonctionnement de la cellule – c’est le point de fonctionnement recherché. De plus, il
existe entre chaque cellule, des petites variations de caractéristique (lors de leur fabrication,
toutes les cellules ne sont pas strictement identiques), ces petites variations peuvent modifier
la tension maximale ou minimale d’une cellule à l’autre. Comme on veut alimenter toutes les
cellules avec la même tension, il est préférable de travailler au milieu de la marge pour être
sûr d’alimenter convenablement chaque cellule.
La tension de fonctionnement, à travers les notions de tension de claquage et
d’entretien de la décharge, est liée aux deux coefficients de Townsend – α, coefficient
105
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
d’ionisation et γ, coefficient d’émission secondaire. De plus, comme nous étudions un
mélange xénon-néon, il y a non pas un, mais deux coefficients d’ionisation et deux
coefficients d’émission secondaires à prendre en compte pour les ions de xénon et de néon. Le
rôle que jouent chacun de ces coefficients et leur influence sur la tension de fonctionnement a
été décrit par Callegari {Cal-00} dans son travail de thèse.
III.5. Analyse et Discussion du Modèles Bidimensionnelle
III.5.1. Coefficient d’Ionisation
III.5.1.1. Calcul de BOLSIG
BOLSIG {Bol-97} est un code facile à utiliser pour la solution numérique de
l'équation de Boltzmann pour des électrons en gaz faiblement ionisés et dans des champs
équilibrés et uniforme. Ce code fonctionne sur des PC (personnel computer) est librement
disponible. BOLSIG est distribué avec une bibliothèque des données de coupe en 15 gaz. Ce
code a été particulièrement conçu pour générer des électrons et pour transporter des données
pour des gaz purs ou mélanges gazeux dans des intervalles de E/P. Il peut également être
employé indépendamment des modèles
de SIGLO.
La série
de SIGLO de décharge
modelant le logiciel inclut les modèles fluides et hybrides de fluide-particule pour des
décharges de D.C ou de RF dans 1 et 2-dimensions. Le logiciel BOLSIG et les séries de
SIGLO ont été développés en collaboration entre le CPAT (CNRS) à Toulouse, France et
Kinema Research dans les USA.
BOLSIG est un programme de Fortran écrit dans une interface facile à utiliser. En
utilisant une bibliothèque commerciale des sous-programmes graphiques. L'entrée et le
rendement dans BOLSIG sont manipulés par les menus instantanés. Les gaz traités par ce
programme peuvent comprendre un mélange de trois gaz. Ce logiciel nous permet de calculer
des coefficients de transport et des taux d'énergie partielle déposée dans différents processus
de collision, ainsi que les fonctions de distribution d'énergie d'électron. Les données sont
traitées soit sous forme graphique ou sous forme de tableaux.
Dans ce chapitre, les résultats de BOLSIG {Bol-97} du coefficient d’ionisation ont été
calculé en fonction du champ réduit E/P pour les gaz rares usuels.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
106
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
a. Gaz pur
Nous citons dans ce paragraphe, toutes les courbes calculées par le modèle
numérique (BOLSIG) pour les différents gaz rares comme Argon (Ar) Krypton (Kr),
Néon (Ne), Xénon (Xe) et l’Hélium (He).
 Hélium, Argon
Nous avons tracé dans la figure III.2, la variation du coefficient d'ionisation en
fonction du champ électrique réduit qui vari de 10 V.cm-1.torr-1 à 103 V.cm-1.torr-1.
Pour l’hélium, on s'aperçoit qu’il y a une augmentation rapide de ce coefficient
d’ionisation 𝛼𝛼 en fonction du champ réduit E/P.
Figure III.3, représente le calcul du coefficient d’ionisation en fonction du champ
électrique réduit E/P qui varie de 10 V.cm-1.torr-1 à 103 V.cm-1.torr-1. Nous remarquons
que le coefficient d’ionisation est proportionnel à la valeur du champ réduit E/P, c.-à-d.
qu’il augment avec l’augmentation du champ réduit. On voit que α / P augmente
rapidement pour un faible champ E/P de 1 à 100 V.cm-1.torr-1, et après les 100 V.cm1
.torr-1 sa monté devient très lente, il commence à se stabiliser pour atteindre la valeur
de 17 cm-1.torr-1.
He
α/P(cm-1.torr-1)
100
BOLSIG
10-1
101
E/P (V.cm-1.torr-1 )
102
Figure III.2 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ E/P pour l’hélium pur.
107
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Ar
101
α/P(cm-1.torr-1)
BOLSIG
100
10-1
101
102
103
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.3 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ électrique réduit E/P pour l’argon
pur.
 Néon, Krypton, Xénon
Ne
α/P(cm-1.torr-1)
100
BOLSIG
10-1
101
102
-1
E/P (V.cm .torr-1 )
Figure III.4 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour le gaz néon pur.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
108
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
101
Kr
α/P(cm-1.torr-1)
BOLSIG
100
10-1
101
102
103
-1
-1
E/P (V.cm .torr )
Figure III.5 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour le krypton pur.
α/P(cm-1.torr-1)
101
Xe
BOLSIG
100
10-1
101
102
-1
103
-1
E/P (V.cm .torr )
Figure III.6 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ E/P pour le xénon pur.
Les figures ; figure III.4, figure III.5 et figure III.6, montrent comment varient les
coefficients d’ionisation sous les champs électrique pour les gaz rares néon, krypton et xénon
respectivement. Nous remarquons que le coefficient d’ionisation dans les trois gaz augmente
très rapidement pour un champ électrique inférieur à 100 V.cm-1.torr-1, en suite il se stabilise.
109
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Le coefficient d’ionisation est proportionnel aux valeurs du champ réduit, ce qui explique son
augmentation, (les électrons se multiplient, leur densité donc augmente d’une manière
exponentielle).
b. Mélange gazeux
Les mélanges gazeux, les plus utilisés dans le domaine de décharge des plasmas, sont
Xe-Ne, utilisé dans les lampes et dans les écrans à plasma traité par Uhm en 2002{Uhm-02},
pour différents pourcentage. Postel en 2000 {Pos-00} a utilisé le mélange Xe-He pour réaliser
les écrans à plasma micro-décharge. Ce mélange a été utilisé aussi dans les décharges des
lampes par Bussiahn en 2000 {Bus-07}. Tandis que le mélange Xe-Ne-Ar est utilisé dans les
écrans plasma par Veronis en 2000{Ver-00}. Un autre mélange, Ne-Ar a été employé dans les
hautes pressions utilisées par Sahni en 1980{Sah-80}.
 Xénon-Néon
Nous avons traité le mélange gazeux xénon-néon avec le modèle Bolsig pour
calculer le premier coefficient de Townsend. Nous avons choisi quatre pourcentages de
xénon dans le néon, 5% et 10%, ces pourcentage sont les plus utilisés dans les décharges à
plasma PAP et les lampes.
Xe5%-Ne
0
α/P(cm-1.torr-1)
10
10-1
BOLSIG
αM/P
αNe/P
αXe/P
10-2
10-3
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.7 – Variation du premier coefficient de Townsend réduit en fonction du champ électrique
réduit E/P pour un mélange de Xe5%-Ne.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
110
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
α/P(cm-1.torr-1)
Xe10%-Ne
10-1
BOLSIG
αM/P
αNe/P
αXe/P
10-3
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.8 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un mélange de
Xe10%-Ne.
Le coefficient d’ionisation réduit est étudié en fonction du champ électrique réduit les
résultats obtenus sont résumés dans les figures ; figure III.7, figure III.8.
La figure III.7, illustre les mesures effectuées du coefficient d’ionisation réduit α/p
dans le cas de mélange de 5% xénon dans le néon. Le mélange de 10% de Xe dans le Ne est
schématisé dans la figure III.8. Ce calcul est fait par la résolution de l’équation de Boltzmann
il donne accès à ses différents paramètres macroscopiques et notamment au premier
coefficient de Townsend réduit. Les résultats obtenus montrent les trois coefficients
d’ionisation ; les coefficients partiels de xénon, néon et le coefficient d’ionisation du mélange.
Nous remarquons que le coefficient partiel αNe/P pour le néon est inférieur par rapport aux
deux coefficients (αXe/P de xénon et mélange) à faible champ électrique.
 Xénon-Krypton
Nous avons choisi de calculer le coefficient de Townsend pour deux mélanges ; 5%,
10% de xénon dans le krypton, ces mélanges sont représentés dans les figures III.9, figure
III.10 respectivement. Nous remarquons à des valeurs de champ électrique réduit supérieures
à 30 V.cm-1.torr-1 (dans le cas d’un mélange Xe5%-Kr) ou 50 V.cm-1.torr-1 (dans le cas de
Xe10%-Kr), les coefficients partiels d’ionisation xénon et krypton se classent de manière
inverse par rapport aux faibles champs. Pour des valeurs de E/p grand le coefficient de xénon
commence à se stabiliser avant le krypton.
111
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Xe5%-Kr
0
α/P(cm-1.torr-1)
10
αM/P
αKr/P
αXe/P
BOLSIG
10-2
10-4
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
103
Figure III.9 – Variation du coefficient d’ionisation réduit 𝛼𝛼⁄𝑃𝑃 en fonction du champ réduit E/P pour
un mélange de Xe5%-Kr.
α/P(cm-1.torr-1)
100
αM/P
αKr/P
αXe/P
Xe10%-Kr
BOLSIG
10-2
10-4
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.10 – Coefficient d’ionisation réduit 𝛼𝛼⁄𝑃𝑃 en fonction du champ réduit E/P pour un mélange
de Xe10%-Kr.
 Argon-Néon
Un mélange de 1% d’Ar dans le néon, a été utilisé dans les écrans à plasma par
Bingang en 2005{Bin-05}. Capdeville en 2001{Cap-01} a étudié plusieurs pourcentages
(10%, 25%, 50%, 75%) d’argon dans le néon. Pour cela nous avons choisi de calculer le
premier coefficient d’ionisation de Townsend numériquement par Bolsig, pour deux
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
112
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
différents pourcentage (5% et 10%) d’argon dans le néon, ces mélanges sont indiqué dans
les figures III.11, figure III.12
Ces deux figure montrent la variation du premier coefficient de Townsend réduit en
fonction du champ E/P quand à lui prend des valeurs allant de 10 V.cm-1.torr-1 à 1000
V.cm-1.torr-1. Nous voyons que le coefficient partiel d’argon est supérieur à celui du néon,
à faible champ à cause de fort potentiel d’ionisation, par contre à des champs élevé ce
coefficient partiel d’Ar est inférieur par rapport au néon et cela est due à l’influence du
pourcentage de néon sur ce coefficient.
BOLSIG
α/P(cm-1.torr-1)
100
Ar5%-Ne
αM/P
αNe/P
αAr/P
10-1
10-2
101
103
102
-1
-1
E/P (V.cm .torr )
Figure III.11 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un mélange de
Ar5%-Ne
α/P(cm-1.torr-1)
Ar10%-Ne
10-1
10-3
101
BOLSIG
αM/P
αAr/P
αNe/P
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.12 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un mélange de
Ar10%-Ne
113
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
 Xénon-Hélium
Xe5%-He
α/P(cm-1.torr-1)
100
αM/P
αHe/P
αXe/P
BOLSIG
10-2
10-4
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.13 – Variation du coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un
mélange de Xe5%-He
α/P(cm-1.torr-1)
100
αM/P
αXe/P
αHe/P
Xe10%-He
Bolsig
10-1
10-2
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure III.14 – Coefficient d’ionisation réduit en fonction du champ réduit E/P pour un mélange de
Xe10%-He
Dans la figure III.13 et figure III.14, nous avons utilisé deux pourcentages différents
5%, 10 % de xénon dans l’hélium respectivement. Le xénon est un gaz lourd, il dispose un
coefficient d’ionisation très grand en cas pur c’est pour ça qu’il est solliciter dans les
mélanges. Il est le seul gaz qui n’a pas besoin d’un champ très fort pour passer d’un état
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
114
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
isolant à un état conducteur. Nous remarquons dans ces deux mélanges différents que le
coefficient d’ionisation de Townsend dépend de gaz utilisé exactement au potentiel
d’ionisation et aussi du pourcentage de gaz.
III.5.2. Tension de Claquage
Dans cette section, nous présentons les résultats de nos investigation du model fluide.
Des mesures de tension de claquage de la décharge sont calculées à partir de notre modèle
fluide bidimensionnelle 2D, par le logiciel SIPDP-AC {Boe-01}, que nous avons décrit dans
les paragraphes précédents, pour cela on a introduit deux géométries différentes, la géométrie
coplanaire et géométrie plan-plan.
III.5.2.1. Géométrie Coplanaire
Pour décrire la géométrie coplanaire, nous avons choisi de ne représenter qu’une seule
cellule dans le domaine de simulation. La cellule coplanaire type est représentée sur la figure
III.15.
Dans la configuration coplanaire, le modèle 2D ne peut pas prendre en compte les
barrières diélectriques car elles sont parallèles à l'électrode d'adressage et se trouvent donc audessous et au-dessus du plan de simulation.
Le modèle fluide utilisé pour représenter la géométrie coplanaire, est basé sur la
résolution de l’équation de continuité et de quantité de mouvement couplé à l’équation de
Poisson, ce modèle peut calculer la courbe de Paschen pour différents gaz purs et mélange
Xe-Ne. Les conditions de calcul sont les suivantes :
Les diélectriques recouvrant les électrodes d’entretien et d’adressage ont une
permittivité relative de 10. Ces électrodes sont séparées par une distance inter-électrode d,
égale à 100 µm. Les largeurs des diélectriques sont Le1 et Le2, sont presque égaux, l’espace
entre les diélectriques est rempli par différents gaz pur ou mélanges de, (h =100 µm).
Une tension égale à 500V est appliquée à l’électrode e1. Les électrodes e2 et e3 sont à
des tensions nulles.
115
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Figure III.15 – Description de la géométrie de la cellule coplanaire et condition de calcul.
III.5.2.1.1. Calcul de la courbe de Paschen pour gaz pur
 Gaz Xénon
Bien que le xénon soit un émetteur U.V efficace, il est nécessaire d’utiliser ce gaz dans
les panneaux à plasma, pour cela on a étudie ce gaz dans le cas pur et le mélange.
Nous présentons, Dans un premier temps, la courbe de claquage qui correspond au
gaz rare xénon pur, La gamme de pression se situe entre 50 et 500 torr. Nous prenons en
compte dans ce modèle l’émission secondaire, qui est égale à 0.05.
Tension de Claquage (Volt)
480
γ=0.05
Xénon
400
320
2
4
P.d(torr.cm)
Figure III.16– Courbe de Paschen calculée par le modèle fluide 2D pour xénon pur. Le gamma est
pris égal à 0.05 {Gha-08}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
116
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
La figure III.16, représente la tension de claquage en fonction du produit pressiondistance pour le xénon pur. On observe un minimum de tension de l’ordre de 270Volts pour
un produit P.d égale à 1 torr.cm. La tension devient de plus en plus importante lorsque ce
produit augmente. VCl atteint les 470 Volts pour un produit de 5 torr.cm. On peut alors dire
que pour les conditions de travail utilisées dans la cellule, il est plus commode de travailler
avec un produit égal à 1 torr.cm. Les résultats ont prouvé que relativement à un produit
pression-distance inter-électrode élevé une tension de claquage est très grande.
 Gaz Néon
Nous passons ensuite à l’étude de la courbe de Paschen dans le cas du néon pure,
décrite dans la figure III.17. Ces résultats ont été obtenus par notre modèle fluide
bidimensionnel.
Nous constatons un minimum de Paschen VCl(min), égale à 218 pour un produit
pression- distance à 1.5 torr.cm.
Tension de Claquage (Volt)
γ=0.5
Néon
280
245
210
2
4
6
P.d(torr.cm)
Figure III.17 – Courbe de claquage, pour le néon pur, calculée avec notre modèle 2D. Le gamma est
pris égal à 0.5 {Gha-08}.
117
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.5.2.1.2. Calcul de la courbe de Paschen pour mélange Xe-Ne
 Xénon-Néon
Les mélanges du xénon avec le néon sont généralement employés dans les affichages
de plasma PAP. Pour cela on a calculé la tension de claquage pour un mélange de 10% de
xénon dans le néon, dans les mêmes conditions
La figure III.18, représente le calcul de la tension de claquage pour un mélange de
10% de xénon dans le néon, nous avons introduit dans cette figure les deux calculs de la
tension VCl du néon et xénon pur, pour voir l’influence de pourcentage de néon dans la
variation de la tension de claquage. Le minimum de Paschen VCl(min) est égal à 252Volt,
pour un produit P.d=2.4 torr.cm. Alors on peut voir comment le néon réduit la tension de
claquage d’ou l’intérêt de l’utilisation du néon comme un gaz parent dans les écrans à
plasma.
γXe=0.05, γNe=0.5
Tension de Claquage (Volt)
450
Ne
Xe10%-Ne
Xe
400
350
300
250
0
1
2
3
4
5
6
P.d(torr.cm)
Figure III.18 – L’influence de pourcentage de xénon dans le néon sur la courbe de Paschen,
coefficients d’émission secondaire de néon et xénon sont 0.5, 0.05 respectivement {Gha-08}.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
118
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.5.2.2. Géométrie Matricielle
Le schéma explicatif de notre géométrie est indiqué sur la figure III.19. Les conditions
de cette géométrie sont les suivantes :
∗ Des densités initiales de particules sont choisies pour la première étape de la simulation de
l’ordre de 104 cm-1.
∗ La tension appliquée sur l'électrode gauche X est égale à 500 Volts
∗ Une hauteur de gaz de 100 µm.
∗ Une pression varie de 40 à 800 torr.
∗ Un espace rempli de gaz pur ou mélange se trouvant entre les couches diélectriques qui est
recouvert d’une couche de MgO.
∗ permittivité relative de 𝜀𝜀𝑟𝑟 égale à 10 de coté gauche et 5 du coté droite.
∗ Une cellule carré de largeur et longueur égaux de 0.1 cm.
On part d’un état où la cellule est dans son état éteint – aucune charge n’est stockée
sur les diélectriques
Figure III.19 – présentation de la géométrie Plan-Plan dans notre calcul numérique 2D
119
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.5.2.2.1.Calcul de la courbe de Paschen pour gaz pur
 Argon, Hélium
Tension de Claquage(Volt)
420
d=0.05, γ=9.10−3
Argon
350
280
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure III.20 – Courbe de claquage, pour l’argon pur, calculée avec notre modèle fluide 2D. Le
coefficient d’émission secondaire est égal à 9.10-3
250
Tension de Claquage(Volt)
d=0.05, γ=0.31
Hélium
200
150
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure III.21 – Courbe de Paschen, pour l’hélium pur, calculée avec le modèle 2D. Le 2éme
coefficient de Townsend est égal à 0.31.
La figure III.20 et figure III.21, indique la variation de la tension de claquage en
fonction de produit pression-distance qui varie de 0.3 à 10 torr.cm. Dans le cas d’un gaz pur
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
120
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
argon et hélium respectivement. Nous remarquons que le minimum de Paschen égale à 250
Volt, pour un produit P.d égale à 1.5 torr.cm, dans le cas de l’argon. Et environ de 150 Volt
pour un produit P.d égal à 2.5 torr.cm, dans le cas de l’He. Il est clair que la tension de
claquage dans l’argon est très grande par rapport à l’hélium.
 Néon, Krypton
Nous avons tracé les courbes de Paschen dans le cas du néon et krypton purs, sur les
figures ; figure III.22, et figure III.23 respectivement. Pour un coefficient d’émission
secondaire 𝛾𝛾 égale à 0.5 pour le néon et 0.9 × 10−2 dans le cas de krypton. A faible produit
pression-distance la tension de claquage diminue pour atteindre un point critique s’appelant
le minimum de Paschen, qui est égale à 150 Volt pour le néon pur et 300 Volt pour le
krypton. Cette tension commence à augmenter proportionnellement avec la pression, car nous
avons varié seulement la pression du milieu en gardant la distance inter électrode fixe.
d=0.05,γ=0.5
Tension de Claquage(Volt)
Néon
280
210
140
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure III.22 – Courbe de Paschen, pour le néon pur, calculée avec notre modèle 2D. Le 2éme
coefficient de Townsend est égal à 0.5, avec une distance inter-électrode d=0.05cm.
121
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
Tension de Claquage(Volt)
Krypton
d=0.05, γ=0.9.10−2
600
450
300
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure III.23 – Courbe de claquage, pour le krypton pur, calculée avec notre modèle 2D. Le 2éme
coefficient de Townsend est égal à 0.9 × 10−2 , avec une distance inter-électrode d=0.05cm
 Gaz Xénon
d=0,05,γ=0,05
Tension de Claquage(Volt)
Xénon
600
400
200
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure III.24 – Courbe de claquage, pour le xénon pur, calculée avec le modèle 2D. Le 2éme
coefficient de Townsend est égal à 0.05, avec une distance inter-électrode d=0.05cm.
La figure III.24 présente l'évolution de la tension de claquage en fonction du produit
pression-distance pour le xénon pur calculé dans une géométrie plan-plan par le modèle fluide
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
122
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
bidimensionnel, à un coefficient d’émission secondaire de l’ordre de 0.05. Nous observons
une augmentation de la tension de claquage pour atteindre une valeur de 700 Volt à un
produit P.d égale à 10 torr.cm, avec un minimum de Vmin =220 Volts.
III.5.2.2.2. Calcul de la courbe de Paschen pour mélange Xe-Ne
 Xénon-Néon
Sur la figure III.25, nous avons tracé la tension de claquage en fonction du produit
pression-distance à l’aide d’une résolution numérique, pour différents mélanges de xénon
dans le néon. Nous avons pris trois pourcentages 5%, 10%, 30% de xénon dans le néon.
Cela nous permet de mettre en évidence l’influence du pourcentage sur la tension de
claquage et pour voir le meilleur pourcentage qui possède une tension de claquage
minimale. Nous remarquons que les trois courbes ont le même minimum de Paschen qui
est décalé vers les bas produits pression-distance. Puis nous avons une augmentation
rapide de cette tension surtout pour le mélange de 30% de xénon dans le néon. Nous
déduisons que le meilleur pourcentage est celui de 10% de Xe dans le néon.
Tension de Claquage(Volt)
γNe=0.5, γXe=0.05
Xe5%-Ne
Xe10%-Ne
Xe30%-Ne
660
440
220
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure III.25 – Tension de claquage en fonction du produit P.d pour les trois pourcentages de xénon
dans le néon (5%, 10%, 30%), avec une distance inter-électrode d=0.05cm
123
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE III : Modèle Bidimensionnel
III.6. Conclusion
Afin de prendre en considération l’effet de la géométrie dans le calcul de la tension de
claquage, nous avons utilisé un modèle fluide bidimensionnel SIPDP-AC {Boe-01}. Ce
modèle fluide bidimensionnel (2D), est basé sur la résolution des deux premières moments de
l’équation de Boltzmann ; équation de continuité et équation de quantité de mouvement des
particules chargées. Ce système d’équations est couplé à l’équation de Poisson pour le champ
électrique, dans le cas de l’approximation du champ local. Les coefficients d’ionisations dans
les gaz pur et les mélanges gazeux sont calculés à la base de l’expérience de dérive par le
code BOLSIG {Bol-97}.
Les résultats de ce chapitre, permettent de mettre en évidence la gamme de variation
des tensions de claquage dans une cellule de plasma en fonction du produit pression-distance
(P.d). Les tensions minimales de Paschen déterminés par le code 2D sont de l’ordre de 140
Volt pour l’hélium, 240 Volt dans le cas de l’argon. Le néon et le krypton ont des tensions
(Vmin=150 Volt, et 310 Volt) respectivement pour un produit minimum P.d égal à 1.5 torr.cm,
dans le cas d’xénon, la tension est égale à 200 Volt pour P.d=0.5 torr.cm.
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
124
CHAPITRE IV
CHAPITRE
IV
Comparaison des
Résultats
N
ous avons opté pour une comparaison dans ce chapitre des résultats obtenu dans
les deux chapitres précédents avec ceux trouvés expérimentalement. Cette partie
du travail, nous a permis de décrire et vérifier et bien sur de tester la validité de
nos résultats avec des mesures expérimentales étudiées par plusieurs auteurs.
Nous analysons également dans cette partie de ce chapitre l’effet des paramètres qui
influence la tension de claquage, comme la distance inter-électrode, et le coefficient
d’émission secondaire qui dépend de la nature du matériau de la cathode.
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV.1. Coefficient d’ionisation
La première expérience de tube de dérive a été introduite par Townsend en 1900
(expérience de Townsend en régime stationnaire). Dans cette expérience, le champ électrique
était uniforme entre les électrodes et il a utilisé une source U.V externe pour obtenir un
courant constant à la cathode. L’objectif fondamental de cette expérience est la mesure du
coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit. Plus tard, plusieurs travaux
expérimentaux ont utilisé le même type d’expérience pour déterminer ce coefficient de
Townsend pour tous les gaz rares; Chanin en 1964 {Cha-64}, Kuithof en 1937 et 1940 {Kru37}{Kru-40} et Dutton en 1975 {Dut-75}.
Dans la première partie de ce travail, nous comparons le premier coefficient de
Townsend 𝛼𝛼/𝑃𝑃 calculé en fonction du champ électrique réduit E/P par les deux modèles ;
analytique et numérique avec les données expérimentaux.
IV.1.1. Gaz Pur
• Hélium
Nous avons commencés par l’hélium pur, symbolisés dans la figure IV.1, les résultats
analytiques sont indiqués par des symboles carrés. Le calcul numérique est représenté par des
cercles. Nous avons comparé ces résultats à un calcul expérimental fait par Chanin {Cha-64}
qui est représenté par des étoiles. La figure illustre clairement que les résultats calculés par les
deux modèles suivent les mêmes variations du coefficient mesuré par l’expérience. On note
que ce coefficient d’ionisation augmente rapidement avec le champ réduit jusqu’à atteindre la
valeur de 2 torr-1.cm-1 pour un champ de 200 V.torr-1.cm-1.
127
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
He Pur
R. Analytique
R. Bolsig
R. Exp{Cha-64}
α/P(cm-1.torr-1)
100
10-1
101
102
-1
-1
E/P(V.cm .torr )
Figure IV.1 – Calcul du premier coefficient de Townsend en fonction du champ réduit comparé avec
résultats expérimentaux de Chanin {Cha-64}
• Argon
La figure IV.2 montre la variation en fonction du champ réduit du coefficient
d’ionisation du gaz d’argon prédit par les modèles avec ce lui mesuré expérimentalement
Kruithof {Kru-40}. Nous remarquons qu’il y a une légère différence à faible champ E/P dans
la valeur du coefficient de Townsend calculé analytiquement et l’expérimentalement.
R. Analytique
R. Bolsig
R. Exp{Kru-40}
α/P(cm-1.torr-1)
101
Ar Pur
100
10-1
101
102
-1
-1
103
E/P(V.cm .torr )
Figure IV.2 – Variation du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit, dans les trois calculs
différents, courbe de symbole étoile résultats expérimentaux de Kuithof {Kru-40}
128
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
• Néon
Figure IV.3, représente le premier coefficient de Townsend en fonction du champ
électrique réduit pour le néon pur, calculé par les deux modèles (analytique, numérique) et
comparé avec les résultats expérimentaux de Kruithof {Kru-37}.
Nous remarquons le même comportement du coefficient d’ionisation en fonction du
champ réduit E/p par rapport aux autres gaz comme l’hélium et l’argon.
α/P(cm-1.torr-1)
R. Analytique
R. Bolsig
R. Exp{Kru-37}
Ne Pur
100
10-1
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure IV.3 – Comparaison du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit E/P dans le cas
du néon pur {Kru-37}.
• Krypton, Xénon
Les figures; figure IV.4, et figure IV.5, illustrent les variations du coefficient 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 en
fonction du champ électrique réduit E/P pour le krypton et le xénon respectivement. Les
résultats obtenus avec le modèle BOLSIG et notre modèle analytique sont ainsi quasiment
identiques à ceux mesurés de l’expérience de Dutton {Dut-75} (pour le krypton) et Kruithof
{Kru-40} (pour le xénon). On trouve les mêmes variations des coefficients d’ionisation en
fonction du champ réduit, toute en notant que les coefficients d’ionisation de krypton et
l’xénon sont les plus élevé et atteint par exemple la valeur de 5 torr-1.cm-1 pour un champ de
200 V.torr-1.cm-1. Par ailleurs, il est intéressant de rappeler qu’au fur et à mesure que le
129
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
potentiel d’ionisation de l’atome ou la molécule diminue, le coefficient de Townsend
𝛼𝛼 augmente (voir le tableau II.3):
𝜀𝜀𝑖𝑖 (𝐻𝐻𝐻𝐻) = 24.6 𝑒𝑒𝑒𝑒 > 𝜀𝜀𝑖𝑖 (𝑁𝑁𝑁𝑁) = 21.56 𝑒𝑒𝑒𝑒 > 𝜀𝜀𝑖𝑖 (𝐴𝐴𝐴𝐴) = 15.8 𝑒𝑒𝑒𝑒 > 𝜀𝜀𝑖𝑖 (𝐾𝐾𝐾𝐾) = 14 𝑒𝑒𝑒𝑒 > 𝜀𝜀𝑖𝑖 (𝑋𝑋𝑋𝑋) = 12.12 𝑒𝑒𝑒𝑒
Kr Pur
α/P(cm-1.torr-1)
101
R. Analytique
R. Bolsig
R.Exp {Dut-75}
100
10-1
101
102
-1
-1
103
E/P (V.cm .torr )
Figure IV.4 – Comparaison du coefficient d’ionisation en fonction du champ électrique réduit pour le
krypton pur, courbe expérimentale de symbole étoile {Dut-75}
α/P(cm-1.torr-1)
Xe Pur
R. Analytique
R. Bolsig
R.Exp [Kru-40]
101
100
10-1
101
102
-1
-1
103
E/P (V.cm .torr )
Figure IV.5 – Comparaison du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit E/P, pour le
xénon pur {Kru-40}.
130
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV.1.2. Mélange de gaz
• Xénon-Néon
Notre calcul du coefficient d’ionisation de Townsend en fonction du champ électrique
réduit E/P, est reporté sur la figure IV.6. Dans cette figure, nous avons fait une comparaison
entre le calcul analytique et Bolsig pour les deux mélanges 5% et 10% de xénon dans le néon.
Cette comparaison illustre la même variation des deux courbes avec une croissance de la
valeur du coefficient lorsque le pourcentage de l’xénon dans le mélange xénon-néon
augmente.
α/P(cm-1.torr-1)
Xe5%-Ne
R. Analytique
R. Bolsig
100
Xe10%-Ne
R. Analytique
R. Bolsig
10-1
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure IV.6 – Comparaison du premier coefficient de Townsend en fonction de E/P, pour le mélange :
Xe5%-Ne et Xe10%-Ne.
• Xénon-Krypton
La figure IV.7, montre l’évolution du coefficient d’ionisation en fonction du champ
réduit E/P, pour les deux mélanges de Xe5%-Kr et 10% de xénon dans le krypton, la courbe
présenté par des symboles carrés désigne le calcul analytique, et la courbe en cercles reporte
le calcul numérique. On observe une augmentation rapide de ce coefficient 𝛼𝛼⁄𝑃𝑃 à faible
champ électrique, mais à fort champ les courbes commence à se rapproché et se stabilisé pour
atteindre une valeur de 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 égal à 14 torr-1.cm-1 pour un champ de 620 V.cm-1.torr-1.
131
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
101
Xe5%-Kr
α/P(cm-1.torr-1)
R. Analytique
R. Bolsig
100
Xe10%-Kr
R. Analytique
R. Bolsig
-1
10
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
103
Figure IV.7 – Comparaison de coefficient 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 en fonction du champ réduit E/P pour les deux
mélanges : Xe5%-Kr et Xe10% -Kr
•
Néon-Argon
Ar5%-Ne
α/P(cm-1.torr-1)
R.Analytique
R.Bolsig
100
Ar10%-Ne
R.Analytique
R.Bolsig
10-1
101
102
-1
E/P (V.cm .torr-1 )
Figure IV.8 – Coefficient d’ionisation en fonction du champ E/P dans le cas de 5% et 10% d’Argon
dans le néon
La variation du coefficient d’ionisation en fonction du champ réduit est tracée pour
deux pourcentages de l’argon dans le néon 5% et 10% sur la figure IV.8. Pour les deux
mélanges nous constatons que, les valeurs trouvées par le calcul numérique de 𝛼𝛼⁄𝑃𝑃 sont
132
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
inférieur aux valeurs données par le modèle analytique. En analysant les résultats des deux
pourcentages, nous trouvons que le coefficient de 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 augmente avec de le pourcentage de
l’argon dans le mélange.
• Xénon-Hélium
Xe5%-He
α/P(cm-1.torr-1)
R. Analytique
R. Bolsig
100
Xe10%-He
R. Analytique
R. Bolsig
10-1
101
102
E/P (V.cm-1.torr-1 )
Figure IV.9 – Variation de 𝛼𝛼 ⁄𝑃𝑃 de mélange en fonction du champ réduit E/P pour les deux mélanges
suivants : Xe5%-He, Xe10%-He
Dans la figure IV.9, nous avons montré les résultats du calcul de coefficient de
Townsend en fonction du champ réduit E/P, pour deux pourcentage différents de xénon dans
l’hélium ; 5% et 10% de xénon dans l’hélium. Ces résultats montrent que le coefficient
d’ionisation augmente avec la croissance du pourcentage de xénon dans le mélange, en raison
de son faible potentiel d’ionisation qui de l’ordre de 12.12 eV.
133
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV.2. Tension de claquage
Cette section du travail présente une confrontation des résultats trouvés par nos
modèles de calcul et ceux donnés dans la littérature.
IV.2.1. Gaz pur
IV.2.1.1. Géométrie Coplanaire
La figure IV.10, représente la variation de la tension de claquage en fonction du
produit pression distance pour le néon pur. La courbe des symboles carrés correspond aux
résultats que nous avons obtenus par la méthode analytique. La courbe des symboles cercles
représente les résultats obtenus par le modèle fluide 2D. Alors que les résultats expérimentaux
de Auday {Aud-00} sont représenté par des étoiles. Les deux modèles prévoient la même
allure de la tension de claquage en fonction du produit pression distance, à savoir une
diminution pour des faibles produit P.d suivit d’une croissance lorsque ce produit augmente
comme il est bien montré sur la courbe de l’expérience, par ailleurs, on note que les valeurs
prédit par le modèle analytique sont plus faible à celle calculées par le modèle fluide dans le
cas d’une géométrie coplanaire. On note aussi, que les résultats des deux modèles ainsi que
l’expérience prévoient un minimum de Paschen au voisinage d’une valeur de produit P.d de
l’ordre de 2 torr.cm.
Tension de Claquage (Volt)
330
Ne pur
R. Analytique
R. Fluide (G.Cop)
R. Exp Auday
220
110
0
4
8
P.d (torr.cm)
Figure IV.10 – Variation de la courbe de Paschen obtenue par le modèle analytique et le modèle 2D
fluide comparé par les résultats expérimentaux de Auday {Aud-00} indiqué par des étoiles, néon pur
134
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
Tension de Claquage (Volt)
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
R. Analytique
R. Fluide (G.Cop)
R. Exp Auday
Xe pur
510
340
170
0
4
8
P.d (torr.cm)
Figure IV.11 – Variation de la courbe de Paschen obtenue par le modèle analytique et le modèle 2D
comparé par résultats expérimentaux de Auday {Aud-00} indiqué par des étoiles, pour xénon pur
La figure IV.11, représente la tension de claquage en fonction du produit pression
distance pour xénon pur dans le cas d’un coefficient d’émission secondaire gamma égale à
0.05. La première courbe indiquée par des carrées représente le calcul analytique, et la
deuxième courbe en cercles correspond au calcul bidimensionnel, et la courbe de l’expérience
de Auday {Aud-00} en étoiles. Les deux modèles prévoient la même variation de la tension
de claquage en fonction du produit P.d, avec un minimum de Paschen pour la même valeur du
produit P.d égale à 1.1 torr.cm, par ailleurs la valeur du minimum de Paschen calculé par le
modèle analytique est faible (144 Volt) par rapport à celles trouvés par le modèle
bidimensionnelle et l’expérimental, 270 Volt et 375 Volt respectivement.
135
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
R. Analytique
R. Fluide (G.Cop)
R. Exp Hassouba
Tension de Claquage(Volt)
480
He Pur
360
240
120
0
3
P.d(torr.cm)
6
Tension de Claquage(Volt)
Figure IV.12 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, obtenue par le modèle
analytique, et le modèle 2D fluide comparé par résultats expérimentaux de Hassouba {Has-02}
indiqué par des étoiles pour l’hélium pur, 𝛾𝛾 = 0.31.
R. Analytique
R. Fluide (G.Cop)
R. Exp Moravej
510
Ar Pur
340
170
0
2
P.d(torr.cm)4
6
Figure. IV.13 – Variation de la tension de claquage obtenue par les deux modèles ; analytique, et
fluide pour 𝛾𝛾 = 0.12 comparé avec l’expérience de Moravej {Mor-04} indiqué par des étoiles, pour
l’argon pur
Nous avons tracés dans les deux figures précédentes figure IV.12 et figure IV.13, les
courbes de Paschen, pour les deux gaz rares l’hélium et l’argon, dans le cas d’un coefficient
d’émission secondaire égal à 0.31 et 0.12 respectivement pour les deux gaz. Ces valeurs de
gamma correspondent aux électrodes d’aluminium pour les plasmas de l’hélium et l’argon.
Les résultats sont comparés avec les résultats expérimentaux de Hassouba {Has-02} pour
136
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
l’hélium, et Moravej {Mor-04} pour l’argon. Nous observons que les résultats prédits par le
modèle analytique sont très proche aux résultats expérimentaux, par ailleurs, les tensions
calculées par le modèle fluide dans le cas d’une géométrie coplanaire sont plus élevées.
IV.2.1.2. Géométrie Matricielle
R.Analytique, γ=0.31
R.Analytique, M=10
R. Fluide (G.Mat )
R. Exp Potel
Tension de Claquage(Volt)
330
He Pur
220
110
0
5
10
P.d(torr.cm)
Tension de Claquage(Volt)
Figure IV.14 – Comparaison des courbes de Paschen, dans le cas d’hélium pur calculé par les deux
modèles ; analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.31, ces résultats sont comparés
avec les résultats expérimentaux de Postel {Pos-00}
R.Fluide (G.Mat ), γ=0,9.10-2
R.Analytique, M=10
R.Analytique, M=102
R.Analytique, M=103
R. Exp Capdeville
R. Exp Beaudette
540
Ar pur
270
0
5
10
P.d(torr.cm)
Figure IV.15 – Comparaison des courbes de Paschen, pour l’argon pur, calculé par les deux
modèles ; analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.9 × 10−2 , sont comparés avec les
résultats expérimentaux de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
137
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
Nous avons effectué une comparaison des tensions de claquage en fonction du produit
pression-distance pour le gaz He dans son état pur ; figure IV.14. Dans cette figure nous
avons présenté la tension de Paschen calculé par les deux modèles analytique et fluide
bidimensionnel pour un coefficient d’émission secondaire égal à 0.31. Ces résultats sont
comparés avec les résultats expérimentaux de Postel {Pos-00}. Nous voyons clairement que
toutes les courbes suivent la même allure, avec une bonne prédiction de la tension minimale
de claquage donnée par le modèle fluide.
La figure IV.15, reporte les tensions de Paschen pour l’argon pur. Les courbes
indiquées par des symboles représentent la variation de la tension de claquage calculé par le
modèle analytique, pour plusieurs valeurs de la multiplication électronique qui varie de 10 à
103. La courbe sans symbole représente le calcul fluide 2D, avec un coefficient d’émission
secondaire égal à 9 × 10−3 . Les courbes avec des symboles ouverts présentent les résultats
des données expérimentales de Capdeville {Cap-00}, et Beaudette {Bea-09}. Nous voyons
que les deux courbes de Paschen calculées par nos modèles bidimensionnel et analytique
Tension de Claquage(Volt)
(M=102) sont très proches du résultat donné par Capdeville expérimentalement.
1000
Ne pur
R.Fluide (G.Mat), γ=0,5
R.Analytic, M=10
R.Analytic, M=102
R.Exp Capdeville
R.Exp Beaudette
500
5
10
P.d(torr.cm)
Figure IV.16 – Comparaison des tensions de Paschen, pour le néon pur, calculé par les deux modèles
analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.5, ces données sont comparés avec les
résultats de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
138
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
Dans la figure IV.16, nous avons montré nos résultats ; analytique et fluide qui nous
ont permis de calculer la tension de claquage pour le néon. Ces résultats sont comparés aux
résultats expérimentaux de Capdeville et Beaudette {Cap-00}, {Bea-09}. Il semble que la
tension de claquage augmente linéairement avec le produit de P.d. Le plasma de néon montre
une tension de claquage maximale quand ce produit est égal à 10 torr.cm. Nous observons une
bonne concordance entre les résultats du modèle fluide 2D et l’expérience. On note bien que
les résultats du modèle analytique donnent aussi une bonne estimation pour un facteur M de
multiplication électronique variable entre 10 et 102.
Tension de Claquage (Volt)
810
R.Fluide (G.Mat), γ=9.10-3
R.Analytique, M=102
R.Analytique, M=103
R.Analytique, M=104
R.Exp Capdeville
R.Exp Beaudette
Kr pur
540
270
5
10
P.d(torr.cm)
Figure IV.17 – Comparaison des tensions de claquage en fonction du produit P.d, calculé par les
deux modèles analytique et bidimensionnel, pour le krypton pur, avec un coefficient secondaire
𝛾𝛾 = 0.9 × 10−2 , comparés avec les résultats de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
Sur la figure IV.17, on illustre les variations des tensions de claquage en fonction du
produit pression distance (P.d), calculés par le modèle fluide 2D et l’approche analytique
comparés aux données expérimentales de Capdeville et Beaudette {Cap-00}, {Bea-09} pour
le krypton. Les résultats numérique ont été obtenus pour un coefficient d’émission secondaire
de 9 × 10−3 . Ces courbes montrent la bonne concordance relativement avec les résultats
expérimentaux. Néanmoins, les différences qui peuvent être observées entre le calcul
numérique et les résultats expérimentaux pourraient être expliquées par les approximations
utilisées dans la simulation. On note, que les résultats du modèle 2D sont plus proches aux
139
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
résultats du modèle analytique pour les faibles produits P.d. par contre lorsque les produits
P.d devient plus élevés la tension de claquage donné par le calcul fluide 2D devient très
grande en raison des pertes d'électrons par la diffusion et l'absorption à la cathode.
Les tensions de claquage obtenues à partir de la loi de Paschen pour le xénon pur sont
montrées sur la figure IV.18. Les symboles de triangle et cube montrent les résultats
analytiques obtenus pour les deux multiplications M=104 et 103, les symboles vide carré et
cercle correspond aux résultats des calculs expérimentaux de Capdeville {Cap-00} et
Beaudette {Bea-09} et les résultats du modèle numérique bidimensionnel sont tracés en ligne
continue. Il très claire que les résultats de nos calcules sont proche aux résultats de
l’expérimentale.
Tension de Claquage(Volt)
Xe pur
500
R.Fluide(G.Mat), γ=0,05
R.Analytique, M=103
R.Analytique, M=104
R.Exp Capdeville
R.Exp Beaudette
250
5
10
P.d(torr.cm)
Figure IV.18 – Variation des tensions de Paschen en fonction du produit P.d, pour le xénon pur,
calculés par les deux modèles ; analytique et bidimensionnel, avec un coefficient 𝛾𝛾 = 0.05, et
comparés avec les résultats de Capdeville {Cap-00} et Beaudette {Bea-09}
140
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV.2.2. Mélange gazeux
IV.2.2.1. Xénon-Néon
• Géométrie coplanaire
La figure IV.19, indique les courbes de Paschen dans le cas d’un mélange 10% de Xe
dans le néon, calculées par les deux modèles ; à savoir, le modèle analytique et le modèle
fluide 2D basé sur une description coplanaire de la cellule de la décharge. Les courbes
représentées par des symboles carré et cercle sont calculés avec une multiplication de M=103
et 104 respectivement. La courbe symbolisée par des triangles correspond aussi à un calcul
analytique de la tension de Paschen pour le cas d’un coefficient d’émission secondaire égale à
0.05 pour le xénon et 0.5 pour le néon. Les résultats du modèle fluide sont indiqués par la
courbe sans symbole. Ces résultats numériques de la tension de claquage sont comparés aux
résultats expérimentaux de Auday {Aud-00}. Le premier résultat d’Auday présenté par le
symbole de carré vide donne la tension de claquage pour le cas d’un coefficient d’émission
secondaire dépondant du champ réduit (E/P). Le deuxième résultat de l’expérience d’Auday
tracé par des cercles vides prend en considération un coefficient d’émission secondaire
constant et égale à 0.05 pour le xénon et 0.5 pour le néon. L’analyse des résultats de cette
figure, Nous remarquons que la tension de claquage décroit rapidement à faibles produit P.d
et elle commence à augmenté légèrement à fort produit P.d, en passant par à un point critique
appelé le minimum de Paschen qui se trouve dans la gamme des tensions variables entre 100
V et 250 V pour des produits pression distance allant de 1 à 3 torr.cm.
Tension de Claquage (Volt)
480
R.Analytique, M=103
R.Analytique, M=104
R.Analytique,γXe=0.05,γNe=0.5
Xe10%-Ne
R. Fluide (G.Cop )
R. Exp Auday γ(E/p)
R. Exp Auday, γXe=0.05,γNe=0.5
360
240
120
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure IV.19 – Courbes de claquage, pour le mélange de Xe10%-Ne, calculée avec le modèle fluide
2D, et le modèle analytique comparés avec les résultats expérimentaux de Auday {Aud-00}.
141
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
• Géométrie Matricielle
La figure IV.20, illustre les tensions de Paschen en fonction du produit pressiondistance inter-électrode, pour un mélange de 10% de xénon dans le néon. Cette figure montre
l’influence de diverses techniques sur la tension de claquage. Nous avons obtenu ces courbes
par le modèle analytique pour une multiplication variable entre 103 et 105, représenté par les
courbes avec des symboles. Le calcul numérique de 2D est indiqué par une courbe sans
symbole. Ces résultats sont comparé avec des données expérimentales présentées par des
courbes de symbole vide ; carré, cercle et triangle correspond aux résultats, donnée par Uhm
{Uhm-05}, Auday {Aud-00}, et Capdeville {Cap-01} respectivement. On note, que les
résultats du modèle fluide 2D obtenues à la base de la géométrie matricielle sont très proches
aux mesures expérimentales de Uhm et Capdeville, tandis que les résultats prédit par le
modèle analytique deviennent très proche au résultat donné par l’expérience de Auday lorsque
le facteur de la multiplication M est faible.
Tension de Claquage(Volt)
R. Exp Uhm
R. Exp Auday
R. Exp Capdeville
480
R.Analytique, M=103
R.Analytique, M=104
R.Analytique, M=105
R. Fluide (G.Mat )
Xe10%-Ne
320
160
0
3
6
P.d(torr.cm)
Figure IV.20 – Courbes de Paschen, pour le mélange de Xe10%-Ne, calculée avec le modèle fluide
2D et analytique, comparés aux résultats expérimentaux de Uhm {Uhm-05}, Auday {Aud-00}, et
Capdeville {Cap-01}.
142
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV.2.2.2. Néon-Argon
La figure IV.21, présente la variation de la tension de claquage pour un mélange de
10% d’Ar dans le néon, obtenues analytiquement dans une géométrie plan-plan définit par des
électrodes parallèles. Ces courbes sont comparées aux résultats expérimentaux de Capdeville
{Cap-01}. Pour les résultats analytiques nous avons pris en considération deux méthodes pour
déterminer la tension de Paschen, à savoir ; la variation de la multiplication M de 103, 104 et
105 correspond aux courbes indiquées par des symboles carré, cercle et étoile respectivement,
la deuxième méthode consiste à calculer la tension de Paschen pour un coefficient d’émission
de Townsend égal à 𝛾𝛾𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 × 10−3 et 𝛾𝛾𝑁𝑁𝑁𝑁 = 9 × 10−2 pour l’argon et le néon. Nous
remarquons que le calcul expérimental de Capdeville est proche de la courbe de Paschen pour
M=103 à faible produit P.d, mais à fort produit P.d la tension de claquage est très élevé, nous
voyons aussi que le minimum de Paschen VClmin est décalé vers les faibles produits pressiondistance.
La figure IV.22, indique le calcul de la tension de claquage en fonction du produit
pression-distance pour un mélange de 50% de l’argon dans le néon, comparé avec des
mesures expérimenta de Capdeville {Cap-01}, ce dernier a utilisé des électrodes en fer (Fe
pur). Nous distinguons que plus le pourcentage en argon est élevé plus le minimum de
Paschen se déplace vers la gauche (vers les faibles produits).
On note, que pour ce type de mélange, l’allure de la tension de claquage calculée et
mesurée suit d’une manière très semblable la forme théorique de la loi de Paschen, à savoir ;
une décroissance rapide de la tension de claquage pour atteindre le minimum de Paschen
suivit par une croissance lorsque le produit pression distance augmente. De même, pour des
valeurs de P.d supérieure à 2 torr.cm, il apparaît clairement que le fait d’ajouter du néon dans
le mélange permet d’abaisser la tension de claquage.
143
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
Tension de Claquage (Volt)
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
Ar10%-Ne
R. Exp Capdeville
R.Analytique, M=103
R.Analytique, M=104
R.Analytique, M=105
R.Analytique, γAr=0.003, γNe=0.09
480
320
160
0
2
4
6
8
10
P.d(torr.cm)
Tension de Claquage(Volt)
Figure IV.21 – Calcul de la tension de Paschen pour un mélange de Ar10%-Ne, pour différentes
multiplication, un coefficient secondaire égal à 0.003, 0.09 pour Ar, Ne respectivement, comparé avec
des résultats expérimentaux {Cap-01}
R.Analytique, M=102
R.Analytique, M=103
R.Analytique, M=104
R. Exp Capdeville
330
Ar50%-Ne
220
110
0
2
4
6
8
10
P.d(torr.cm)
Figure IV.22 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un mélange de
Ar50%-Ne, pour différentes multiplication, comparés avec des résultats expérimentaux {Cap-01}
144
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
Tension de Claquage(Volt)
IV.2.2.3. Xénon-Hélium
R.Analytique, M=10
R.Analytique, M=102
R.Analytique, M=103
480
R.Analytique, γXe=5.10-3 γHe=0.32
R. Exp Postel
Xe50%-He
320
160
0
5
10
15
P.d(torr.cm)
Figure IV.23 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour un mélange de
Xe50%-He, pour différentes multiplication électronique, comparé avec des résultats expérimentaux
{Pos-00}
Nous avons présentés dans la figure IV.23, la tension de claquage en fonction du
produit pression du mélange gazeux et la distance inter-électrode, pour un mélange de 50%
Xe dans l’hélium. Ce mélange a été utilisé par Postel {Pos-00} dans la micro-décharge, pour
le cas des électrodes de laiton (un alliage de cuivre et de zinc, de couleur jaune, réputé pour sa
ductilité), ces données sont indiqué dans la figure par une courbe de symbole carré (vide à
l’intérieur). Nous avons utilisé dans notre calcul analytique qui est représenté par la courbe
sans symbole, un coefficient d’émission secondaire de xénon de l’ordre 5.10-3 et 𝛾𝛾𝐻𝐻𝐻𝐻 = 0.32
de l’hélium, ces valeurs des coefficients correspondant au cuivre. Pour les courbes illustrées
par des symboles carrés, cercle et étoile, nous avons pris une multiplication électronique qui
est égale à 10, 102 et 103 respectivement. D’après cette comparaison nous pouvons voir que
toutes les courbes suivent la même allure théorique de la loi de Paschen. Par ailleurs, la
courbe de l’expérience de Postel prévoit des tensions plus élevés par rapport aux estimations
théorique, cela peut être expliqué par la perte d’électrons dans l’expérience, et à la mal
connaissance du coefficient d’émission secondaire du matériau laiton.
145
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV.2.2.4. Argon-Nitrogène
Dans les deux figures suivantes, figure IV.24 et figure IV.25, nous avons pris un
mélange d’argon et nitrogène. Nous avons calculé la tension de Paschen en fonction du
produit pression-distance par l’approche analytique en tenant en considération la variation de
la multiplication électronique, M=10, 102 et 103, indiqué par des symboles carré, cercle et
étoile respectivement. L’autre calcule analytique donne la tension de claquage pour le cas
d’un coefficient d’émission secondaire égale à 0.03 pour l’argon et γN 2 = 0.018, pour le gaz
du nitrogène, correspondant au matériau de l’électrode MgO (une couche conductrice d’oxyde
de magnésium, son rôle est de baisser les tensions d’allumage). Ces résultats sont comparés
avec des travaux de l’expérience de Klas {Klas-12}. Les résultats illustrent un minimum de
Paschen dans la gamme de tension variable entre 150V et 180 Volts.
R.Analytique, γAr=0.03 γN2=0.018
R. Exp Klas
Tension de Claquage(Volt)
Ar95%-N2
450
R.Analytique, M=10
R.Analytique, M=102
R.Analytique, M=103
300
150
0
3
P.d(torr.cm)
6
Figure IV.24 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d (dans l’unité de
torr.cm) pour les différentes valeurs de la multiplication électronique pour le mélange Ar95%-N2,
comparées au calcul d’expérience de Klas {Klas-12}
146
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
Tension de Claquage(Volt)
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
R.Analytique, γAr=0.03 γN2=0.018
R. Exp Klas
450
Ar98%-N2
300
R.Analytique, M=10
R.Analytique, M=102
R.Analytique, M=103
150
0
3
6
P.d(torr.cm)
Figure IV.25 – Variation de la tension de Paschen en fonction du produit P.d, pour une multiplication
électronique varie de 10 à 10 3, de mélange Ar98%-N2, comparées aux résultats expérimentaux de
Klas {Klas-12}
IV.3. Etude paramétrique de la tension de claquage
Nous allons évaluer dans les paragraphes suivants l’influence de deux paramètres
physique sur la tension de claquage ; l’effet du coefficient d’émission secondaire de
Townsend et la distance inter-électrode. Cette partie du travail est basée sur le modèle fluide
2D.
IV.3.1.Influence du coefficient d’émission secondaire
Nous avons pris en considération dans cette section, l’influence du deuxième
coefficient de Townsend 𝛾𝛾 sur la tension de claquage. La tension de Paschen a été calculée
pour les deux gaz pur, argon et l’hélium (voir figure IV.26 et IV.27).
147
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
Tension de Claquage (Volt)
 Argon, Hélium
350
γ=0.164
γ=0.122
γ=0.091
Argon
280
210
2
P.d(torr.cm)
4
Figure IV.26 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d pour les trois différents
coefficients d’émission secondaire de l’argon pur.
Tension de Claquage (Volt)
200
γ=0.31
γ=0.34
γ=0.38
He
160
120
3
6
P.d(torr.cm)
Figure IV.27 – Calcul de la tension de claquage en fonction du produit P.d pour différents valeurs de
coefficients d’émission secondaire dans le cas d’hélium pur.
Le coefficient d’émission secondaire varie selon le matériau de l’électrode. Nous
avons fait les calcules pour trois matériaux de la cathode ; le Magnésium (Mg) possède un
coefficient 𝛾𝛾 égale à 0.164, l’Aluminium (Ag) pour un 𝛾𝛾 =0.122, ainsi que l’Argent de
148
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
coefficient d’émission secondaire égale à 0.091. Nous observons que la tension de claquage
diminue avec l’augmentation du coefficient d’émission secondaire.
Figure IV.27, représente la variation de la tension de claquage en fonction du produit
pression-distance qui varie de 1 à 7.5 torr.cm dans le cas d’hélium. Nous avons pris les
mêmes matériaux utilisés au paravent ; argent, aluminium et magnésium correspond au
coefficient d’émission secondaire 0.31, 0.34 et 0.38 respectivement. Nous observons que le
meilleur matériau qui nous donne des tensions de claquage très bas est magnésium qui
possède un coefficient d’émission secondaire grand.
IV.3.2. Influence de la distance inter-électrode
 Argon, Néon
Nous avons tracé la tension de claquage en fonction du produit pression-distance
calculée par notre modèle fluide bidimensionnel, pour les deux gaz l’argon et le néon qui ont
un coefficient d’émission secondaire 0.11 et 0.26 respectivement, pour deux valeur de la
distance inter-électrode, d=0.05 cm et 0.067 cm (voir figures IV.28 et IV.29). Les résultats
obtenus illustrent une croissance de la tension de claquage avec l’augmentation de la distance
inter-électrode de manière considérable.
Argon 2D
Tension de Claquage (Volt)
750
d=0.05
d=0.067
500
250
3
6
P.d(torr.cm)
9
Figure IV.28 – Variation de la courbe de Paschen pour différentes distance inter-électrode de
l’argon pur, pour un coefficient secondaire égal à 𝛾𝛾 = 0.11
149
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
Tension de Claquage(Volt)
600
Néon 2D
d=0.05
d=0.067
400
200
3
6
9
P.d(torr.cm)
Figure IV.29 – Variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d, pour différentes valeur
de la distance inter-électrode, et pour un coefficient secondaire 𝛾𝛾 = 0.26
150
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CHAPITRE IV : Comparaison des Résultats
IV. 4. Conclusion
Ce chapitre présente une comparaison des résultats des calculs obtenus par le modèle
analytique et le modèle fluide bidimensionnel avec ceux données dans la littérature par
l’expérience. Cette comparaison montre en général un accord qualitatif et prévoit les mêmes
formes de variation de la tension de claquage en fonction du produit P.d.
Cette partie du travail a mis en évidence le rôle de la présence du gaz parent comme le
néon ou l’argon dans le système sur la valeur de la tension de claquage du gaz. Comme nous
avons montrés, à l’aide du modèle analytique, l’effet de la multiplication électronique et le
coefficient d’émission secondaire sur le calcul de tension de claquage. En effet, la présence du
néon, comme un gaz tampon dans les mélanges étudiés, induit la diminution des tensions de
claquage à savoir les tensions de fonctionnement du système. Cet effet est du au fait que le
néon possède un coefficient d’émission secondaire important et une énergie d’ionisation assez
grande (un exemple ε i (Ne)=21.56 eV > ε i (Ar)=15.8 eV > ε i (Kr)=14 eV > ε i (Xe)=12.12
eV.
La comparaison systématique des résultats du modèle analytique avec les résultats du
modèle 2D, illustre le rôle de la géométrie sur la valeur de la tension de claquage. Une
description spatiale bidimensionnelle de la décharge est plus proche de la réalité du fait
qu’elle tient en considération du flux ionique aux électrodes et des variations spatiales du
champ électrique. Notons que selon les résultats trouvés les ordres de grandeurs des valeurs
de tension de claquage obtenus, par la géométrie matricielle sont plus proches aux valeurs
prédites par le modèle analytique.
Nous avons aussi effectués une étude paramétrique sur le rôle joué par la géométrie
de la cellule, en variant la distance inter-électrode, et le coefficient d’émission secondaire due
au bombardement ionique à la cathode. Les résultats montrent une croissance de la tension de
claquage avec la distance inter-électrode et sa diminution avec l’augmentation de la valeur de
coefficient d’émission secondaire à la cathode.
151
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
CONCLUSION
Conclusion Générale
CONCLUSION GENERALE
Le sujet de cette thèse fait l’objet de calcul de la tension de claquage pour les gaz rares
et leurs mélanges. En effet le phénomène du claquage du gaz dans les décharges électriques
représente l’étape essentielle dans la création du plasma dans les systèmes et le calcul de
cette tension de claquage détermine la tension minimale et donc l’énergie optimale qu’il faut
fournir pour déclencher la décharge. Cette étude est motivée par l’intérêt que suscitent les
décharges à gaz rare dans de nombreuses applications industrielles comme ; les lampes à
excimer, les procédés de nettoyage et de décontamination de surfaces, la désinfection et la
décontamination de l’eau et de l’air, les modifications de propriétés de surfaces ainsi que de
nombreuses applications liées à la photo-médecine et la photo-biologie.
L’étude est basée sur un modèle analytique simple et une modélisation
bidimensionnelle fluide. Le modèle analytique développé pour le calcul des courbes de
Paschen dans les gaz pur et les mélanges gazeux repose sur la résolution de l’équation d’autoentretien et l’équation de la loi de Paschen. Afin de prendre en considération l’effet de la
géométrie dans le calcul de la tension de claquage, nous avons utilisé un modèle fluide
bidimensionnel SIPDP-AC {Boe-01}. Ce modèle fluide bidimensionnel (2D), est basé sur la
résolution des deux premiers moments de l’équation de Boltzmann ; équation de continuité et
équation de quantité de mouvement des particules chargées. Ce système d’équations est
couplé à l’équation de Poisson pour le champ électrique, dans le cas de l’approximation du
champ local. Les coefficients d’ionisations dans les gaz pur et les mélanges gazeux sont
calculés à la base de l’expérience de dérive par le code BOLSIG {Bol-97}. Les deux
méthodes nous ont permis de calculer les courbes de Paschen et déterminer une série de
paramètres physique provoquant la réduction de la tension de claquage, et donc réduire la
consommation d’énergie et bien sur la diminution de cout de fabrication, objectif majeur de
cette étude. Nous avons aussi mis au point une méthode permettant la détermination du
coefficient d’émission secondaire γ à partir de la tension de claquage calculée à partir de la loi
de Paschen.
Les résultats du modèle analytique donnent les variations des tensions de claquage en
fonction du produit pression-distance P.d, et le coefficient d’ionisation en fonction du champ
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
153
Conclusion Générale
électrique réduit pour les gaz pur et leurs mélanges (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Ne-Xe, Xe-Kr, ArNe, Xe-He). Nous déterminons aussi le coefficient d’émission secondaire de Townsend pour
différents matériaux utilisés dans la fabrication de la cathode. Ce modèle analytique permis de
manière simple sans prendre en considération l’effet de la géométrie de prédire la gamme de
variation de la tension de claquage pour les décharges électriques dans les plasmas froids.
Les résultats du modèle fluide 2D mis aussi en évidence la gamme de variation des
tensions de claquage dans une cellule de plasma en fonction du produit pression-distance
(P.d). Les tensions minimales de Paschen déterminés par le code 2D sont de l’ordre de 140
Volt pour l’hélium, 240 Volt dans le cas de l’argon. Le néon et le krypton ont des tensions
(VClmin=150 Volt, et 310 Volt) respectivement pour un produit minimum P.d égal à 1.5
torr.cm, dans le cas d’xénon, la tension est égale à 200 Volt pour P.d=0.5 torr.cm.
La comparaison systématique des résultats du modèle analytique avec les résultats du
modèle 2D, illustre le rôle de la géométrie sur la valeur de la tension de claquage. En effet
une description spatiale bidimensionnelle de la décharge est plus proche de la réalité du fait
qu’elle tient en considération du flux ionique aux électrodes et les variations spatiales du
champ électrique. Notons que selon les résultats trouvés les ordres de grandeurs des valeurs
de tension de claquage obtenus, par la géométrie matricielle sont plus proches aux valeurs
prédites par le modèle analytique.
Nous avons aussi effectués une étude paramétrique sur le rôle joué par la géométrie de
la cellule, en variant la distance inter-électrode, et la nature du matériau de l’électrode en
faisant varié le coefficient d’émission secondaire due au bombardement ionique à la cathode.
Les résultats montrent une croissance de la tension de claquage avec la distance interélectrode et sa diminution avec l’augmentation de la valeur de coefficient d’émission
secondaire à la cathode.
154
Calcul de la Courbe de Paschen et la Tension de Claquage pour les Décharges à Gaz Rares
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