Imagerie spatio-temporelle de la source sismique par renversement

Imagerie spatio-temporelle de la source sismique par
renversement temporel
Virginie PENQUERC’H
Sous la direction de :
Jean-Paul MONTAGNER
Résumé
Le renversement temporel est basé sur l’invariance par rapport au temps et la réciprocité
spatiale de l’équation de propagation des ondes acoustiques et sismiques. Ainsi, en inversant temporellement le signal reçu sur des récepteurs, il est possible de refocaliser ces ondes
au niveau de la source initiale. Plusieurs études, ayant déjà conduit à de nombreuses applications, ont été effectuées dans le domaine acoustique. Des études plus récentes ont montré
que le renversement temporel était également possible en considérant le cas élastique des
ondes sismiques. Différents paramètres influent alors sur la qualité de la refocalisation tels
que la répartition des stations utilisées, ou la bande de fréquence retenue. Le renversement
temporel effectué à l’aide de données réelles dans le cas du séisme géant de Sumatra en 2004
(Mw = 9:3) ayant fourni de très bons résultats, il a été tenté de l’appliquer à un séisme plus
petit (Mozambique, 22/02/2006, Mw = 7:5). Une très bonne refocalisation en temps et en
espace est alors observée, permettant par suite de déduire le mécanisme au foyer. L’objectif
final est de caractériser de manière automatique, en routine, les principales informations de
la source, ainsi que d’établir une nouvelle méthode de tomographie.
1
Renversement temporel d’ondes sismiques
.
2
Virginie Penquerc’h
Table des matières
1 Renversement temporel avec des ondes acoustiques
1.1 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cas de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
2 Quelques points de théorie
2.1 Modes propres de la Terre . . . . . . .
2.2 Théorème de représentation . . . . . . .
2.3 Excitation des différents modes propres
problème direct . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
3 Expériences sur des synthétiques
3.1 Influence de la répartition des stations
3.2 Influence du nombre de stations . . .
3.3 Influence de la profondeur de la source
3.4 Influence de la bande de fréquences .
3.5 Influence du mécanisme au foyer . . .
3.6 Influence du nombre de composantes .
. .
. .
par
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
une source sismique ponctuelle :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
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12
16
17
19
21
23
4 Renversement temporel d’un séisme réel : le Mozambique
4.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Déconvolution de la réponse instrumentale . .
4.2.2 Autres traitements . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Renversement des données . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Discussion
27
6 Conclusions
30
3
Renversement temporel d’ondes sismiques
.
4
Virginie Penquerc’h
Introduction
Mathias Fink, du laboratoire Ondes et Acoustiques de l’Ecole Supérieure de Physique et
de Chimie Industrielle (ESPCI) de Paris, a effectué de nombreuses expériences en laboratoire sur le renversement temporel des ondes acoustiques. Ce dernier est possible en l’absence
d’atténuation, et permet diverses applications aussi bien dans le milieu médical que dans la
communication avec les sous-marins ou la détection de défauts dans des matériaux (Fink, 1996 ;
Fink et al., 1996).
En se basant sur ces résultats innovants, l’équipe de Sismologie Globale de l’Institut de
Physique du Globe (IPG) de Paris a commencé à réaliser des expériences numériques de renversement temporel sur les ondes élastiques sismiques (Larmat, 2005 ; Larmat et al., 2006).
Ce rapport de stage se place dans le cadre de ce projet. Il est à noter que, même si les principes de base restent identiques, le défi est de taille. En effet, il ne s’agit plus de renverser un
champ de pression scalaire, mais des champs d’onde vectoriels tridimensionnels pouvant subir
des conversions.
Nous nous sommes ainsi tout d’abord intéressés, à l’aide de données synthétiques, aux
différents paramètres qui pouvaient améliorer ou au contraire dégrader la refocalisation obtenue lors des expériences de renversement temporel. Nous avons également posé le problème
de l’inversion des paramètres de la source elle-même en observant les figures de refocalisation.
Nous avons aussi tenté de mieux comprendre la théorie sous-jacente aux phénomènes observés.
En dernier lieu, nous avons appliqué cette méthode du renversement temporel à des données
réelles (Mozambique, 22/02/2006).
1 Renversement temporel avec des ondes acoustiques
1.1 Principes
La plupart des équations de la mécanique classique et quantique sont invariantes par rapport
au temps à une échelle microscopique. Cependant, au niveau macroscopique, les observations
montrent que la réversibilité des phénomènes est impossible à cause du nombre élevé de particules du système. Ainsi, même si les équations sont réversibles en théorie, dans la pratique,
on n’obtiendra jamais lors de la mesure la précision suffisante permettant d’inverser les mouvements des particules.
En revanche, la théorie précise qu’un ensemble de particules peut se comporter comme une
onde de matière. L’avantage de la physique ondulatoire est que, contrairement à la physique
particulaire, l’information nécessaire pour décrire parfaitement un champ d’onde sans aucune
ambiguı̈té est limitée. Les opérations de renversement temporel peuvent donc être appliquées
sur des ondes.
Dans le cas d’un milieu non-dissipatif, le champ de pression acoustique p satisfait l’équation
suivante :
!
2
( ) tp2 = div
~
r
()
~
gradp
()
(1)
~
r
()
où ~r est la compressibilité du millieu de propagation et ~r est sa densité.
Cette équation est donc invariante par rapport au temps. Ainsi si le champ de pression p ~r; t
satisfait l’équation (1), alors le champ p ~r; t est également solution de cette équation. Cepen-
(
)
5
( )
Renversement temporel d’ondes sismiques
dant, dans le cas d’un milieu dissipatif, la présence d’une dérivée temporelle du premier ordre
empêche l’invariance par rapport au temps, ou alors il faut pouvoir amplifier le champ lorsque
l’on inverse le temps.
On peut donc dire que si le champ p ~r; t correspond aux ondes partant de la source, traversant un milieu quelconque et arrivant finalement sur des r écepteurs, alors le champ p ~r; t
correspond à ces mêmes ondes repartant cette fois des récepteurs, retraversant le même milieu
en sens inverse pour enfin focaliser sur la source de départ, comme si le film avait été projeté
à l’envers. Le champ p ~r; t correspond donc au renversement temporel du champ de départ
p ~
r; t .
Cependant, p ~r; t n’est pas une solution valable d’un point de vue expérimental. On enregistre donc au niveau des récepteurs le champ p ~r; t pendant un temps T suffisamment long
pour que l’on puisse considérer que l’onde a disparu pour t >T. Le champ rétropropagé sera
ainsi de la forme : p ~r; T t .
Une opération de renversement temporel peut alors être décrite de la manière suivante : une
source localisée dans un milieu quelconque crée un front d’onde qui se propage, se distord au
fur et à mesure de sa propagation dans le milieu et est finalement enregistré par les récepteurs
placés sur une surface autour du milieu. Chaque récepteur va ensuite se comporter comme un
émetteur qui va renvoyer, sous la forme d’un nouveau front d’onde, la partie du signal qu’il
aura enregistrée. La réémission se fait dans l’ordre inverse de l’enregistrement, c’est-à-dire
que la dernière partie du signal enregistrée va être réémise en premier (inversion du temps).
Pour chacun des récepteurs, une seule onde issue du front d’onde suit exactement le trajet inverse correspondant au signal reçu. Toutes ces ondes suivant les “bons” trajets vont interférer
constructivement à un moment et un endroit précis : il y a refocalisation au niveau de la source
de départ (Fig 1). Les ondes ayant suivi les “mauvais” chemins vont se détruire mutuellement
et constituer un niveau de bruit. Dans le cas d’un milieu hétérogène, grâce aux réflexions et
( )
( )
(
)
(
(
(
)
)
( )
)
F IG . 1 – Principe du renversement temporel (Fink, 1996). Chaque récepteur renvoie la partie du signal
qu’il a enregistrée, mais en inversant le temps. Le moment et l’endroit où les ondes renvoyées interfèrent
constructivement correspondent au temps origine de la source initiale et à son emplacement.
diffractions multiples, les ondes provenant de la source vont subir de nombreuses déviations à
chaque fois qu’elles vont rencontrer un obstacle. Le signal enregistré au niveau des récepteurs
sera plus long puisque les ondes, subissant des réflexions différentes, n’ont plus du tout des
parcours similaires et ont donc des temps d’arrivée différents. Ces signaux longs permettent
6
Virginie Penquerc’h
d’ailleurs d’avoir des informations sur l’ensemble du milieu de propagation, et non plus seulement sur le trajet source-récepteur. Lors d’une propagation en milieu hétérogène, les récepteurs
enregistrent ainsi une quantité d’information plus grande. La qualité de la refocalisation spatiale
et temporelle est donc meilleure en milieu hétérogène (Derode et al., 1998).
Nous venons de voir que les expériences de renversement temporel dans le domaine acoustique permettent de bonnes refocalisations spatiales et temporelles en milieu inhomogène. Lors
de sa thèse dirigée par Mathias Fink, Carsten Draeger a montré que si l’on pouvait remplacer le
manque d’information spatiale par une accumulation d’information dans le domaine temporel,
alors il était possible d’obtenir une bonne refocalisation avec un unique transducteur (Draeger,
1997 ; Draeger et al., 1997). Le milieu de propagation doit alors être un système fermé afin
d’avoir de multiples réflexions et que l’information ne s’échappe pas. Plus précisement, le milieu aura des propriétés d’ergodicité, c’est-à-dire qu’une onde émise à partir de n’importe quel
endroit du système et dans n’importe quelle direction finira par passer suffisamment près de
n’importe quel autre point du système (en particulier le point d’enregistrement) si l’on attend
suffisamment longtemps.
1.2 Cas de la Terre
Dans la suite de cette étude, nous allons appliquer le principe de renversement temporel,
décrit précédemment dans le cas d’ondes acoustiques, à la Terre. Le défi peut paraı̂tre difficile
du fait des nombreuses différences existant entre la Terre parcourue par des ondes sismiques
et un milieu de taille nettement plus modeste parcouru par des ondes acoustiques. Cependant,
nous allons tenter de relever ce défi.
L’une des difficultés principales est le fait que nous n’allons bien évidemment pas réinjecter
le signal reçu au niveau des sismomètres directement dans la Terre. Il n’existe actuellement pas
de modèle numérique de Terre parfait. Le plus commun est le modèle 1D PREM (Anderson
et Dziewonski, 1981) que nous allons utiliser et qui constitue une bonne approximation si l’on
se place à longues périodes. Cependant, à la différence des expériences acoustiques, le renversement se fait dans un milieu différent (modèle numérique) du milieu initial de propagation
(Terre réelle). Ceci devrait en théorie avoir un impact négatif sur la qualité de la refocalisation
par rapport aux expériences de Mathias Fink.
La deuxième difficulté est le fait que nous n’étudions pas un champ scalaire, mais un champ
vectoriel : le champ d’onde sismique ne s’exprime pas à l’aide d’une composante, mais de trois.
De plus, il existe deux sortes d’ondes de volume (ondes P et S), et celles-ci se convertissent
lors de la rencontre d’obstacles et interfèrent entre elles pour former d’autres types d’ondes : les
ondes de surface (ondes de Rayleigh et de Love). Le cas élastique des ondes simiques est donc
bien plus compliqué que le cas acoustique.
Pour nos expériences de renversement temporel, nous nous basons sur la théorie des modes
propres de la Terre que nous rappelons dans la section suivante et dont on peut avoir un aperçu
complet dans l’article de Dziewonski et Woodhouse (1983). Lors des renversements, nous renversons essentiellement le signal correspondant aux ondes de Rayleigh qui dominent les sismogrammes.
7
Renversement temporel d’ondes sismiques
2 Quelques points de théorie
2.1 Modes propres de la Terre
Notre planète est un corps fini et on observe donc un phénomène d’oscillations libres, ou
modes propres. Celles-ci proviennent du fait que les ondes de surface interférant constructivement, après s’être propagées sur la surface terrestre, vont créer des ondes persistantes ou stationnaires. A cause des conditions aux limites à la surface de la Terre, seules quelques longueurs
d’onde et fréquences vont provoquer l’excitation de ces oscillations libres. Si l’on considère un
modèle de Terre sphérique et élastique, alors chaque mouvement, chaque perturbation, peut être
exprimé sur la base de ces modes propres.
L’équation de l’élastodynamique dans une Terre sphérique, élastique, isotrope et en négligeant
la rotation (Terre SNREI : Spherical Non-Rotating Elastic Isotropic) est donnée par :
0
2 ui
t2
=
X
j
ij;j
+ fi + gi:
(2)
ui représente le déplacement suivant la composante i, ij;j représente le tenseur des contraintes
dérivé suivant la composante j , fi et gi correspondent à l’ensemble des forces externes ap-
pliquées (respectivement l’excitation et la gravité).
Cette équation peut se mettre sous la forme :
(0 tt + H0)~u(~r; t) = F~ (~r; t);
(3)
où H0 est un opérateur intégro-différentiel et F~ exprime l’ensemble des forces externes s’appliquant en ~r à l’instant t.
Les fonctions propres de cette équation, également appelées “modes propres”, sont les solutions de l’équation sans second membre, c’est-à-dire sans terme source. Celles-ci peuvent
s’écrire :
~
uk
=
XXX
n
l
m
[nUl (r)R~ lm(; ) +nVl(r)S~lm(; ) +nWl (r)T~lm(; )℄e
i n !l t
(4)
où ~uk est une fonction propre du système, n !l la fréquence propre correspondante et k correspond au singlet n; l; m . On pose :
(
)
( ) = Ylm~r
~ m ; R
l
m
Yl ~
1
1
Ylm ~
( )= p
+
sin l(l + 1)
1
Ylm ~
Ylm ~
1
m
~
Tl (; ) = p
l(l + 1) sin Les fonctions Ylm (; ) définissent les harmoniques sphériques. n est le nombre radial, l est
le nombre angulaire tel que l n, et m est le nombre azimutal tel que l m l. Ces
~ m ; S
l
nombres correspondent, dans le cas sphérique, aux noeuds de vibrations des modes, c’est-àdire aux zéros des fonctions propres. n donne le nombre de noeuds en profondeur, et l et m
8
Virginie Penquerc’h
correspondent aux indices des harmoniques sphériques et donnent donc les noeuds en latitude
et longitude.
~ m et S
~ m , tandis que
~ u
Les modes sphéroı̈daux correspondent à rot~
et sont définis par R
l
l
les modes toroı̈daux correspondent à div~u
et sont définis par T~lm .
Puisque pour le cas considéré, n !l ne dépend pas de m, alors tous les modes, pour un
couple n; l donné, auront la même fréquence propre mais des fonctions propres différentes.
La fréquence propre n !l est donc dégénérée. En revanche, si l’on considère un modèle qui n’est
plus à symétrie sphérique ou si l’on tient compte de la rotation terrestre, alors la dégénérescence
va être brisée et on parle de splitting.
=0
=0
( )
2.2 Théorème de représentation
Le théorème de représentation permet d’exprimer le déplacement en tout point du volume
en fonction des forces volumiques appliquées, des conditions aux limites appliquées sur la surface entourant le volume et des fonctions de Green du milieu. Il est utile de rappeler certains
théorèmes, disponibles, par exemple, dans l’ouvrage d’Aki et Richards (Aki et Richards, 2002),
avant d’exprimer le théorème de représentation.
Théorème d’unicité :
Le déplacement ~u
~
u ~
x; t à travers le volume V entouré d’une surface S est déterminé
de manière unique après le temps t0 par les valeurs initiales du déplacement et de la vitesse
de la particule à t0 à travers V , et par les valeurs à tous temps t t0 de la force de volume
f~ appliquée à V , de la force de traction sur la partie S1 de S et du déplacement sur la partie
restante S2 de S telle que S1 S2 S .
= ( )
+ =
Théorème de réciprocité :
Soient ~u ~x; t et ~v ~x; t deux solutions de l’équation du mouvement ui fi ij;j , f et g les
k
forces de volume et et les tenseurs des contraintes correspondants, tels que ij
ijkl u
xl .
On a alors :
8
( )
( )
= +
>
>
>
<
>
>
>
:
xj
xj
ij :vi
ij :ui
+ fi :vi =
+ gi:ui =
2 ui
t2
:vi
t2
:ui
2 vi
(5)
En soustrayant ces deux équations, du fait de la symétrie ijkl
volume V limité par la surface S , on obtient :
Z
[ij :vi
x
V
j
Z
℄ + (fi:vi
ij :ui dV
V
) =
gi :ui dV
=
Z
V
= klij , et en intégrant sur le
2
[ tu2i :vi
2 vi
t2
℄
:ui dV:
(6)
A partir du théorème de la divergence, cette équation peut s’écrire :
Z
S
(ij :nj :vi
Z
) + (fi:vi
ij :nj :ui dS
) =
gi :ui dV
V
On peut à présent intégrer sur le temps entre
t et ~
v en t2
u est évalué en t1
ij :nj . Si ~
=
=
9
Z
V
[ :vi
t t
ui
vi
t
℄
:ui dV:
(7)
1 et +1. On définit la traction par Ti =
t, et s’il existe 0 tel que ~
u
= ~v = 0 pour
Renversement temporel d’ondes sismiques
t < 0 , alors les termes d’accélération s’annulent et l’on obtient le théorème de représentation :
Z +1 ZZZ
1
dt
=
V
[ui(x; t):gi(x; Z +1 ZZ
1
dt
S
[vi (x; )
(
t
vi x; ) ( ( ))
t :Ti u x; t
) ( )℄
t :fi x; t dV
( ) ((
ui x; t :Ti v x; ))℄dS:
t
(8)
Théorème de représentation :
Dans ce théorème, le déplacement est synthétisé à partir du déplacement produit par la source
la plus simple possible : une impulsion unitaire unidirectionnelle localisée de manière précise
en temps et en espace. Ainsi, si la force appliquée est ~gi ~x; t
Æin Æ ~
x ~ Æ t , le déplacement
~
~
associé sera ~vi ~x; t
Gin ~
x; t ;
où Gin ~x; t ;
correspond à la fonction de Green et
dépend des coordonnées de la source et du récepteur.
Le théorème de représentation s’écrit donc d’après Aki et Richards (2002) :
( )=
( ) =
~
un ~
x; t
( )=
( ; 0)
( ; 0)
Z +1 ZZZ
+
d
Z1
+1
Z
1
+1
1
d
( ) (
ZZ
S
ZZ
d
S
(
) ()
; ) ()
~ Gni ~
f~i ;
r; t
V
(
~ dV ~
; ) ( ) ()
~ dS ~
~i ;
~ T
Gni ~
r; t
( )
[
~ ijkl nj Gnk;l
~
ui ;
+ Gnl;k ℄(~r; t
; ) ()
~ dS ~
(9)
Il stipule que le déplacement résulte des contributions de tous les éléments de volume auxquels on applique f~i et de tous les éléments de surface sur lesquels on impose une condition de
type Neumann (condition sur la traction), ou une condition de type Dirichlet (condition sur le
déplacement).
Lors des expériences de renversement, le premier terme est nul car il n’y a pas de force
volumique externe.
2.3 Excitation des différents modes propres par une source sismique ponctuelle : problème direct
On considère l’équation (3) en négligeant les forces de gravité et en supposant que F~ est
nulle pour t < .
Il est possible de développer le déplacement ~u ~r; t provoqué en un point sur l’ensemble des
modes propres ~uk ~r; t notés, pour plus de commodités, ~uk ~r e i!k t j~k ie i!k t jn; l; mie i!k t
où n, l et m sont les nombres radial, angulaire et azimutal définis précédemment. On peut ainsi
écrire :
X ~ i!k t X
~
u ~
r; t
ak jk ie
ak u~k ~
r e i!k t :
(10)
0
( )
( )
( )=
k
=
( )
()
=
=
()
k
où ak est le coefficient d’excitation du mode ~uk ~r; t .
L’équation du mouvement peut alors se mettre sous la forme :
X
k
(0 tt + H0)ak j~kie
10
i!k t
=
X
k
ji
Fk ~
k :
(11)
Virginie Penquerc’h
[ ( )℄ = R01 f (t)e
On applique la transformée de Laplace définie par L f s
équation. On obtient :
XZ
k
1
0
(
dt 0 tt
+ )
ji
H0 ak e st ~
k e i!k t
A partir de l’équation (10), on a :
(
)=
~
u ~
rR ; s
X
( )=
ak
~
uk ~
r
s i!k
+
k
=
XZ
0
k
X
k
1
st dt à cette dernière
ji
dtFk ~
k e st :
(12)
ak
~
k ;
s i!k
ji
+
(13)
où R est l’indice correspondant au récepteur.
Donc grâce aux équations (13) et (3), on peut écrire :
X
0 s2
( )+
Z
X
( ) = F~ (~r; s):
(14)
+
+
V
k
k
R
En multipliant par ~uk (~r) = hk~0 j et en intégrant sur tout le volume V dV , cette équation
ak
~
uk ~
r
s i!k
dV 0
0
ak
H~
uk r~0
s i!k
0
devient :
X
s2
k
ak
s i!k
+
Z
r )~
u
dV ~
u (~
k
V
0
( )+
r
k ~
X
k
ak
s i!k
+
Z
Z
dV
V
=
V
Z
VE
0
()
( )
( ) (
)
r H~
uk r~0
dV 0~
uk0 ~
~ r~E ; s ;
dV ~
uk0 r~E F
(15)
où E est l’indice correspondant au point source et donc où l’intégrale sur le volume a été limitée
au volume de la source pour la force appliquée.
A partir des relations d’orthonormalisation des fonctions propres, cette dernière équation
devient :
Z
ak
ak
2
2
~ ~
s
!k
dV ~
uk ~
rE F
rE ; s ;
(16)
s
+ i!k + s + i!k =
V
0
( ) (
)
ce qui, en considérant l’équation (13), peut s’écrire :
(
)=
~
u ~
rR ; s
ou bien encore :
(
XZ
( ) (
) +( )
uk r~R
~ r~E ; s ~
dV 0 ~
uk0 r~E F
;
s2 !k2
V0
k
)=
(17)
X X hk~0jF j~ki ~
(18)
+ !k2 jki:
Supposons que notre force soit une fonction de Heaviside F~ (~r; t) = H (t)F~0 (~r), ce qui est le
plus réaliste dans le cas d’un séisme. On a alors F~ (~r; s) = 1s F~0 (~r) par transformée de Laplace,
et donc :
X X hk~0jF0j~ki ~
jki:
~
u(~
rR ; s) =
(19)
s(s2 + !k2 )
k k
~
u~
rR ; s
k
k
0
s2
0
Par transformée de Laplace inverse, on obtient l’expression générale du déplacement :
(
)=
~
u ~
rR ; t
1 Z
X
k
VE
( ) ( ) ( )1
~0 ~
rE F
rE H t
dVE ~
uk0 ~
11
( ) ~u (~r );
k R
os!k t
!2
k
(20)
Renversement temporel d’ondes sismiques
ou pour un temps initial t0 :
(
t0
~
u~
rR ; t
)=
1 Z
X
k
VE
( ) ( ) (
~0 ~
rE F
rE H t
dVE ~
uk0 ~
[(
( )=
Si on pose F~0 ~rE
Mpq q Æ sismiques, on trouve :
(
~
u ~
rR ; t
t0
)=
1
X
k
~
rE
t0
)1
(
os!k t
!2
k
t0
) ~u (~r ):
k R
(21)
)℄ où Mpq est une composante du tenseur des moments
( )
(
kpq ~
rE Mpq H t
t0
)1
(
os!k t
!2
k
t0
) ~u (~r ):
k R
(22)
où correspond au tenseur des déformations.
Cette expression du déplacement, s’écrivant comme la somme de tous les modes calculés
au temps t et faisant apparaitre le tenseur du moment sismique, est utilisée pour le calcul des
sismogrammes synthétiques.
3 Expériences sur des synthétiques
Dans un premier temps, nous avons analysé l’effet de différents paramètres sur la focalisation
et donc la qualité du renversement temporel. Dans ce but, nous avons travaillé avec des sismogrammes synthétiques pour nous affranchir des perturbations inévitablement comprises dans les
données réelles. Nous essayerons cependant par la suite de renverser des sismogrammes réels.
Les simulations sont réalisées à l’aide d’un code en Fortran développé par Yann Capdeville
du laboratoire de Sismologie de l’IPGP. Dans un premier temps, nous générons des sismogrammes synthétiques dans un modèle numérique de Terre. Nous avons considéré le modèle
PREM (Anderson et Dziewonski, 1981). Ensuite, pour la phase de renversement temporel, nous
réinjectons le déplacement enregistré sous la forme d’une force (un Dirac en temps et en espace
convolué par le signal enregistré).
De telles simulations à l’aide de sismogrammes synthétiques permettent un contrôle de la
méthode utilisée. En effet, la focalisation obtenue sera la meilleure que l’on pourra avoir puisque
les deux phases de simulation (propagation directe et renversement) se déroulent dans le même
milieu. Lors du renversement de données réelles, la propagation directe aura eu lieu dans la Terre
réelle, tandis que le renversement se fera dans un modèle numérique de Terre. La focalisation
devrait donc être moins bonne lors de ces expériences, en comparaison de celle obtenue grâce
aux synthétiques. Les tests synthétiques vont ainsi nous permettre d’optimiser la refocalisation
pour les données réelles.
Nous allons donc, dans cette partie essayer de voir l’influence de la répartition et du nombre
de stations utilisées lors du renversement, ainsi que celle du mécanisme au foyer utilisé pour
la source, de la profondeur de celle-ci et du domaine de fréquence retenu. Les films, dont sont
tirées les images présentées dans ce rapport, sont accessibles sur le site Internet :
http://www.ipgp.jussieu.fr/spenquerch/Time-Reversal.
3.1 Influence de la répartition des stations
Puisque nous travaillons tout d’abord avec des sismogrammes synthétiques dans un modèle
de Terre numérique, nous pouvons choisir de placer nos stations où nous le souhaitons. Nous
12
Virginie Penquerc’h
pouvons avoir ainsi une répartition uniforme des stations, ce qui est actuellement impossible
avec les données réelles, puisqu’il n’y a pas suffisamment de stations fond de mer (seulement
quelques unes existent autour du Japon).
La répartition la plus simple à réaliser est la répartition azimutale parfaite. La source est
située à 0˚ de latitude et 90˚ de longitude à une trentaine de kilomètres de profondeur. Le
mécanisme au foyer retenu est celui d’une explosion. Les stations (120 au total) sont réparties
uniformément (tous les 3˚ en latitude) au niveau des méridiens situés à 0˚ et 180˚ de longitude. Le modèle de Terre utilisé étant le modèle 1D PREM, le milieu de propagation est peu
hétérogène et ne subit que des variations radiales. Nous générons des synthétiques (en vitesse)
d’une durée de 10000s dans une bande de fréquences allant de 0,3mHz à 10mHz, ce qui correspond à des périodes comprises entre 100 et 3000 secondes. Le moment sismique utilisé est
20 N:m), correspondant à un séisme de magnitude supérieure à 7, afin
assez fort (M0
d’avoir un signal suffisamment important. La source, un Dirac, est déclenchée au bout de 1000s
d’enregistrement. Nous renversons ensuite la composante verticale de ces sismogrammes.
Les amplitudes observées sur les cartes sont arbitraires puisque nous ne réinjectons ni la
vitesse, ni le déplacement, mais une force. Par ailleurs, un facteur d’amplification a été utilisé
afin de permettre une meilleure lisibilité des échelles. Cependant, toutes les simulations étant
effectuées dans les mêmes conditions, nous allons parfaitement pouvoir les comparer entre elles.
= 10
Nous constatons sur la figure 2 que la focalisation obtenue est parfaitement localisée en
temps et en espace. Ceci est encore plus net sur les cartes en surface 3D. Le pic de refocalisation est parfaitement visible. Sa largeur est assez étroite car nous utilisons des longeurs d’ondes
relativement petites. Le pic est donc bien localisé.
Lorsque nous tronquons le cercle des stations, en n’en retenant que le quart (stations comprises entre 0˚ et 90˚ de latitude et 0˚ de longitude), nous constatons que le signal obtenu
au moment de la focalisation est nettement moins bon qu’avec le cercle entier malgré la longueur du signal généré (Fig 3). Ceci peut s’expliquer par le fait que le modèle numérique utilisé
n’est pas suffisamment hétérogène. En effet, le manque d’information spatiale enregistrée au
niveau des stations est mal compensé par l’information temporelle traduisant les hétérogénéités
du milieu puisque celles-ci sont absentes. Ceci est donc cohérent avec les résultats obtenus en
acoustique (Derode et al., 1998).
Nous pouvons procéder à un autre essai en considérant une répartition surfacique parfaite.
Nous plaçons donc cent stations réparties à 20˚ environ les unes des autres. La focalisation est
à nouveau très bien localisée en temps et en espace (Fig 4). Cependant, la qualité semble moins
bonne que celle obtenue avec la répartition azimutale parfaite. Il semble donc préférable d’avoir
plutôt une bonne couverture azimutale et d’éviter de conserver les stations se trouvant relativement proches de la source et de son antipode. En effet, si celles-ci sont présentes, alors, lors de
la refocalisation, il peut y avoir des focalisations secondaires au niveau de leurs emplacements
qui vont perturber la focalisation principale.
Un dernier essai consiste à prendre une répartition azimutale parfaite, mais à faire varier la
distance épicentrale de certaines stations afin de “casser” la régularité. Pour faciliter la disposition des stations, nous plaçons la source au pôle nord et les stations au niveau de l’équateur
tous les 3˚ en longitude. Nous faisons ensuite varier la distance épicentrale de certaines stations
13
Renversement temporel d’ondes sismiques
tr
= 500s
tr
= 100s
tr
tr
= 0s
= 500s
F IG . 2 – Images 2D et surfaces 3D représentant le renversement temporel d’une explosion réalisé avec
une parfaite répartition azimutale de stations. Images obtenues à tr = 500s, tr = 100s, tr = 0s
et tr = 500s où tr correspond au temps de la focalisation, c’est-à-dire le temps inversé auquel on
soustrait le temps à partir duquel la source a été déclenchée (on doit donc refocaliser en tr = 0s). Avant
l’instant de la focalisation, les ondes reconvergent peu à peu vers l’origine de la source. À tr = 0s, la
focalisation obtenue est parfaite aussi bien dans le temps que dans l’espace. Après la refocalisation, les
ondes redivergent à l’instar de la propagation directe. (Les amplitudes sont arbitraires, cependant toutes
les cartes sont réalisées dans les mêmes conditions afin de pouvoir les comparer.)
14
Virginie Penquerc’h
F IG . 3 – Renversement temporel d’une explosion réalisé avec une répartition azimutale de stations
tronquée. Images obtenues à tr = 500s, tr = 0s et tr = 500s. La focalisation est moins bonne que
celle obtenue avec la répartition azimutale complète car les zones ne comportant pas de stations ne
peuvent renvoyer de signal.
F IG . 4 – Renversement temporel d’une explosion réalisé avec une répartition surfacique parfaite des
stations. Images obtenues à tr = 500s, tr = 0s et tr = 500s. Les étoiles figurent les emplacements
des stations. Il y a encore focalisation, mais celle-ci semble de moins bonne qualité que celle obtenue
avec une répartition azimutale parfaite des stations. Ceci provient sans doute du fait, que la présence de
stations proches de la source même et de son antipode perturbe la refocalisation.
en modifiant leurs latitudes. La refocalisation est là encore très bonne (Fig 5) ce qui démontre
l’importance de la couverture azimutale.
Dans la réalité, cependant, il est impossible d’obtenir une répartition azimutale ou surfacique
parfaite. Les stations sont en effet situées sur les continents et les ı̂les émergées, ce qui fait
que certaines zones du globe sont très bien couvertes, tandis que d’autres sont complètement
vierges. Pour nous rapprocher du cas réel, nous allons donc utiliser à présent des emplacements
de stations réelles pour la suite de nos simulations. Pour compenser le fait que certaines régions
vont comporter beaucoup de stations et d’autres non, il nous faut pondérer notre répartition
de stations. Ainsi, pour chaque emplacement, nous allons tracer un cercle virtuel autour de la
station et compter combien d’autres stations se trouvent dans ce cercle. La pondération est alors
obtenue en divisant l’amplitude du signal recueilli à cet endroit par le nombre de stations. Le
cercle retenu est un cercle de 5˚ de rayon en distance épicentrale. Les essais effectués avec
d’autres valeurs montrent qu’un rayon plus faible (1˚) donne des variations trop brusques et les
15
Renversement temporel d’ondes sismiques
F IG . 5 – Renversement temporel d’une explosion réalisé avec une répartition azimutale parfaite des
stations, mais en faisant varier la distance épicentrale. Images obtenues à tr = 500s, tr = 0s et
tr = 500s. Les étoiles figurent les emplacements des stations. La focalisation est très bonne. Une bonne
couverture azimutale est donc nécessaire pour obtenir une bonne refocalisation.
zones vierges ne sont pas du tout prises en compte, tandis qu’un rayon beaucoup plus élevé
(60˚) amortit au contraire trop le signal.
3.2 Influence du nombre de stations
Nous nous proposons d’étudier la qualité de la focalisation obtenue en considérant 20, 113
et 181 stations pour le renversement. Celles-ci sont situées de manière relativement hétérogène
sur la surface terrestre (Fig 6).
Nous nous plaçons toujours dans le cas d’une explosion déclenchée au bout de 1000s d’enregistrement. La durée totale d’enregistrement (et de signal renversé) est de 10000s. La source
est localisée au niveau du point source du séisme de Sumatra du 26/12/2004 à une vingtaine de
kilomètres de profondeur. L’allure du signal envoyé dans le problème direct (fonction source,
un Dirac en vitesse, convoluée par le filtre permettant de sélectionner la gamme des fréquences
retenue) est donnée dans la figure 7.
Le meilleur moyen pour apprécier au mieux la qualité de la refocalisation est de se placer au
niveau de l’épicentre et de regarder comment le signal évolue au cours du temps (Fig 8).
Nous retrouvons donc bien notre signal au moment de la focalisation même si celui-ci est
dans une polarité inverse. De plus, nous constatons que plus le nombre de stations augmente,
et plus la qualité de la focalisation augmente également (le rapport signal/bruit s’améliore). Cependant, si le fait de prendre 113 stations au lieu de 20 apporte une grande amélioration, ce
phénomène est moins flagrant lorsque l’on passe de 113 à 181 stations. Ceci provient vraisemblablement du fait que la plupart des stations rajoutées pour arriver au nombre total de 181 sont
ajoutées dans des zones déjà couvertes (Europe, Amérique du Nord) et la couverture azimutale
ou surfacique n’est donc que très peu améliorée.
16
Virginie Penquerc’h
F IG . 6 – Cartes représentant la répartition des 20, 113 et 181 stations réelles utilisées lors des
expériences de renversement temporel.
Allure du signal source
2e+18
1.5e+18
1e+18
5e+17
0
0
2000
4000
6000
Temps (en s)
8000
10000
F IG . 7 – Allure du signal (fonction Dirac convoluée par le filtre appliqué). Un facteur d’amplification
de 1020 a été utilisé.
3.3 Influence de la profondeur de la source
Afin d’étudier l’influence de la profondeur de la source sur la focalisation obtenue en surface,
nous nous plaçons dans trois cas différents : 5km de profondeur (dans la croûte), 100km de
17
Renversement temporel d’ondes sismiques
Focalisation au point source apres explosion
200
100
0
-100
20 Stations
113 Stations
181 Stations
-200
-300
0
2000
4000
6000
Temps (en s)
8000
10000
F IG . 8 – Signal obtenu au cours du temps au niveau de l’épicentre lors de l’expérience de renversement
temporel suivant le nombres de stations réémettrices. La focalisation obtenue est de meilleure qualité
lorsque le nombre de stations considérées est important.
profondeur (base de la lithosphère), et 700km de profondeur (base du manteau supérieur). Le
mécanisme au foyer est toujours celui d’une explosion, les périodes sont comprises entre 100 et
3000s et nous considérons la répartition de 113 stations réelles présentée précédemment.
F IG . 9 – Signal obtenu au cours du temps au niveau de l’épicentre lors de l’expérience de renversement
temporel suivant la profondeur de la source. La focalisation obtenue est de meilleure qualité lorsque la
source est superficielle.
En comparant les différentes focalisations en surface, il apparait que la qualité diminue avec
18
Virginie Penquerc’h
la profondeur de la source (Fig 9). Même en traçant la carte à 700km de profondeur pour la
source située à la base du manteau supérieur, la focalisation est de mauvaise qualité (Fig 10
et 11). Ceci semble cohérent puisque le signal renvoyé est dominé par les ondes de Rayleigh
qui sont des ondes de surfaces dispersives, c’est-à-dire que la vitesse varie selon la fréquence
du mode. Ainsi, dans le cas d’une source profonde, des harmoniques plus lents que le mode
de Rayleigh fondamental sont excités. Cependant, nous renvoyons ce signal en surface avec
la vitesse du mode fondamental. La focalisation attendue doit donc être mauvaise, ce qui est
vérifié.
F IG . 10 – Renversement temporel d’une explosion dont la source se situe à 700km de profondeur. Images
500s, tr = 0s et tr = 500s. La focalisation est de mauvaise
-0.2
0.0
0.2
obtenues à 700km de profondeur pour tr =
qualité, l’amplitude du pic est très faible.
-0.8
-0.6
-0.4
605˚4 30˚290˚1 120˚- -2150˚ -360˚ 50˚ 409˚ 30˚ 20˚ 210˚ 0˚ -10˚5-20˚3
F IG . 11 – Surfaces 3D représentant le renversement temporel d’une explosion dont la source se situe à
700km de profondeur. Images obtenues à 700km de profondeur pour tr = 0s. Le pic de refocalisation
est à peine visible, la focalisation est de mauvaise qualité.
3.4 Influence de la bande de fréquences
Jusqu’ici, nous nous étions situés à moyennes et longues périodes (entre 100 et 3000s). Nous
élargissons à présent notre gamme de fréquences en descendant jusqu’à 50s, mais en considérant
toujours le cas d’une explosion avec une répartition aléatoire de 113 stations. Nous constatons
alors que la localisation de la focalisation est plus précise (Fig 12).
Lorsque nous considèrons uniquement de très longues périodes (entre 800 et 1000s), la focalisation a lieu au bon endroit et au bon moment (Fig 13). Cependant, puisque les longueurs
19
Renversement temporel d’ondes sismiques
F IG . 12 – Surfaces 3D correspondant au renversement temporel d’une explosion en considérant des
périodes descendant jusqu’à 50s ou 100s. Images obtenues à tr = 0s. Lorsque les courtes périodes sont
prises en compte, la largeur de la tâche focale est plus petite permettant une localisation plus précise.
d’onde considérées sont très grandes, la tâche focale est très large. Il apparait donc une région
de focalisation et non un endroit précis. En revanche, le fait de travailler à longues périodes
réduit considérablement le temps de calcul et permet ainsi une localisation très rapide, mais non
précise, de la région où se situe la source.
F IG . 13 – Renversement temporel d’une explosion réalisé à l’aide des longues périodes. Image obtenue
à tr = 0s. La tâche focale est très large et délimite donc une région de focalisation, mais non un endroit
précis.
Nous avons également tenté un test à très courtes périodes (entre 50 et 100s). La source
est alors située au niveau du pôle nord et les stations sont placées tous les degrés en longitude
et certaines sont décalées en latitude pour éviter une régularité trop importante. La distance
caractéristique entre les stations est ainsi d’une centaine de kilomètres et nous sommes donc
en dehors des longueurs d’ondes correspondantes à la gamme de périodes choisie. Ceci permet
d’éviter les figures de diffraction dues au fait que la distance caractéristique entre stations est
similaire à la longueur d’onde utilisée. La focalisation est là aussi assez bonne (Fig 14).
Il est intéressant de remarquer que la focalisation semble tout de même meilleure lorsque
l’on considère une large bande de fréquence, ce qui permet de passer outre les effets de diffraction tout en gardant une localisation assez précise de la source. Ceci rejoint les expériences
acoustiques où il a été montré que la focalisation à l’aide d’un unique transducteur dépendait de
la bande de fréquences utilisée, et qu’il était impossible d’obtenir une focalisation si le signal
était monochromatique.
20
200
100
0
-100
-200
-300
-400
Virginie Penquerc’h
0˚
70˚
70˚
80˚
80˚
330
˚
-400
30˚
-300
-100
3105˚ 3210˚
0˚
0
90˚
270˚
-200
0˚
60
˚
30
100
0˚
24
12
˚
150
200
210
˚
0˚
70˚
80˚
270˚
90˚
60˚
70˚
80˚
30 ˚
180˚
240˚
120˚
180˚
F IG . 14 – Surfaces 3D représentant le renversement temporel d’une explosion réalisé à l’aide des
courtes périodes. Images obtenues à tr = 0s. Le pic de refocalisation est parfaitement visible.
3.5 Influence du mécanisme au foyer
Pour étudier les mécanismes au foyer, c’est-à-dire voir s’il est possible de retrouver ce dernier
à partir de l’allure du diagramme de radiation lors de la refocalisation, nous considérons des cas
simples tels que le décrochement, le glissement sur un plan vertical, ou une faille inverse sur
un plan à 45˚(Fig 15). Nous reprenons notre configuration de départ (10000s d’enregistrement,
périodes comprises entre 100 et 3000s, 113 stations, composante verticale).
Explosion
Decrochement
Faille sur un plan vertical
Faille inverse
F IG . 15 – Mecanismes au foyer, et tenseurs des moments correspondants, utilisés lors des expériences
de renversement temporel (Dahlen et Tromp, 1998).
Les résultats obtenus sont représentés sur la figure 16.
Dans ces cas simples, les résultats sont concluants : le mécanisme au foyer se déduit parfaitement du diagramme de radiation. Il est en effet possible de retrouver les plans de faille. Le
sens du mouvement peut également se retrouver permettant ainsi de faire la différence entre une
21
Renversement temporel d’ondes sismiques
Décrochement dextre
Décrochement senestre
Glissement sur un plan vertical
Faille normale
Faille inverse
F IG . 16 – Renversement temporel obtenu à partir de différents mécanismes au foyer et beach-balls correspondantes. Images obtenues à tr = 0s. Pour chacun des cas, le mécanisme au foyer est parfaitement
retrouvé et la beach-ball peut être superposée à la figure de refocalisation. (L’échelle de couleur a été
modifiée par rapport aux images précédentes : toutefois le niveau de bruit présent qui n’était pas visible
précédemment reste d’amplitude très faible.)
22
Virginie Penquerc’h
décrochement dextre ou senestre, ou une faille normale ou inverse. Les mécanismes au foyer
sont donc parfaitement retrouvés. Il faut toutefois remarquer que l’amplitude du signal réinjecté,
toujours égale, ne fournit pas un pic de refocalisation d’amplitude identique selon les différents
mécanismes.
3.6 Influence du nombre de composantes
Jusqu’ici, nous n’avons utilisé que la composante verticale, car c’est elle qui porte le plus de
signal et le meilleur rapport signal/bruit au moment de la refocalisation (Fig 17).
Focalisation au point source apres une faille inverse
200
100
0
Composante verticale
Composante longitudinale
Composante transversale
-100
-200
0
2000
4000
6000
Temps (en s)
8000
10000
F IG . 17 – Signal obtenu au cours du temps au niveau de l’épicentre lors de l’expérience de renversement temporel d’un mécanisme de faille inverse en fonction des différentes composantes. La composante
verticale a la plus forte amplitude.
Nous tentons à présent de renverser l’information contenue dans les trois composantes (verticale, longitudinale et transversale) en utilisant un mécanisme au foyer correspondant à une
faille inverse. Les autres caractéristiques restent inchangées (113 stations, 10000s d’enregistrement, périodes comprises entre 100 et 3000s).
Le résultat obtenu ne semble pas apporter une meilleure refocalisation que celle obtenue en
n’utilisant que la composante verticale (Fig 18).
Lorsque nous tentons de ne renvoyer que la composante longitudinale, le résultat est très
décevant : aucune refocalisation n’est visible (Fig 19).
Ceci semble logique puisque la composante verticale a l’amplitude de signal la plus élevée
et que nous ne renvoyons que l’onde de Rayleigh. Si nous arrivions à renvoyer les ondes de
volumes et les ondes de Love, nous pourrions espérer pouvoir prendre en compte toute l’information contenue sur les trois composantes et ainsi améliorer la qualité de la refocalisation.
4 Renversement temporel d’un séisme réel : le Mozambique
4.1 Contexte
Nous tentons ici de renverser les ondes correspondant au séisme qui a frappé le Mozambique
(latitude -21,32˚, longitude 33,37˚) le 22 Février 2006 à 22h 19min 15,7s (TU). La magnitude
23
Renversement temporel d’ondes sismiques
F IG . 18 – Renversement temporel d’une faille inverse obtenu à l’aide des trois composantes (à gauche)
et de la composante verticale uniquement (à droite). Images obtenues à tr = 0s. La focalisation ne
semble pas être de meilleure qualité lorsque l’on rajoute l’information contenue sur les composantes
longitudinale et transversale lors de la phase de renversement temporel.
F IG . 19 – Renversement temporel d’une faille inverse obtenu à l’aide de la composante longitudinale
uniquement. Images obtenues à tr = 0s. Seul un niveau de bruit est visible, il n’y a aucune refocalisation.
de ce séisme est de 7,5. Le mécanisme au foyer est celui d’une faille normale orientée N168˚.
Il s’agit d’un séisme superficiel (profondeur de 12km).
Comme nous l’avons expliqué plus haut, avec des données réelles, le milieu est différent lors
de la propagation directe et lors du renversement. Nous avons donc à nouveau réalisé un test
synthétique qui va nous servir de référence.
4.2 Traitement des données
Nous avons utilisé les données provenant de 112 stations différentes en essayant d’avoir la
meilleure couverture spatiale possible, mais en évitant de garder les stations situées à moins de
20˚ de distance épicentrale de la source ou de l’antipode (Fig 20). Seule la composante verticale
a été utilisée car c’est elle qui permet actuellement d’obtenir les meilleurs résultats.
24
Virginie Penquerc’h
F IG . 20 – Carte des stations utilisées lors du renversement temporel du séisme du Mozambique. Les
stations du réseau Géoscope sont figurées à l’aide de triangles.
4.2.1 Déconvolution de la réponse instrumentale
Les données brutes (numérisées) ont tout d’abord été déconvoluées de la réponse instrumentale. Ceci constitue une étape importante dans le traitement des données. Les appareils de
mesure (dans notre cas, des sismomètres) agissent comme des filtres. Ils vont avoir un maximum
de sensibilité dans un domaine de fréquence particulier, mais vont devenir presque insensibles
pour des fréquences éloignées de ce domaine. Ce “filtre” correspond à la réponse instrumentale
de l’appareil. Le signal de sortie s t du sismomètre est égal au produit de convolution du signal
d’entrée e t par cette réponse intrumentale.
La convolution de deux fonctions f t et g t est définie par l’intégrale :
()
()
[f g℄(t) Z +1
1
()
()(
f g t
()
()
) =
d
Z +1
1
(
f t
)()
g d:
(23)
Le signal de sortie s t du sismomètre sera donc de la forme :
( ) = [e g℄(t) =
s t
Z +1
1
()(
e g t
)
d:
(24)
()
où g t correspond à la réponse instrumentale du système.
Il nous faut donc déconvoluer cette réponse instrumentale (différente suivant les appareils)
du signal de sortie, afin d’avoir accès au signal d’entrée.
4.2.2 Autres traitements
L’étape suivante est la normalisation des amplitudes des signaux. En effet, tous les appareils
de mesure n’ont pas le même gain, c’est-à-dire qu’ils ne vont pas donner la même amplitude
25
Renversement temporel d’ondes sismiques
à des signaux identiques. Il est donc nécessaire de renormaliser les traces pour pouvoir les
comparer entre elles.
Ensuite, nous effectuons un filtrage de nos signaux. Les sismomètres, via leurs réponses instrumentales, ne sont pas tous sensibles à la même bande de fréquences. Il faut donc effectuer un
filtrage des traces pour se placer dans une bande de fréquences commune où tous les simomètres
seront sensibles. Nos traces ont été filtrées entre 2 et 9mHz, ce qui correspond à une gamme de
périodes comprises entre 110 et 500s.
Les traces ont enfin été ajustées au même temps origine et tronquées pour avoir la même
durée totale. Celle-ci est de 14000s et les traces commencent 555.7s avant le début du séisme.
Nous avons également appliqué un facteur d’amplification de 20 afin d’obtenir un signal suffisamment visible.
Les données synthétiques servant de référence ont été générées sous les mêmes conditions à
partir du modèle PREM.
10
4.3 Renversement des données
Le modèle de Terre utilisé pour les expériences de renversement est le modèle PREM 1D.
Il est possible de voir sur la figure 21 que l’origine géographique de la source sismique est
parfaitement localisée, ainsi que le mécanisme au foyer responsable du séisme.
F IG . 21 – Cartes du renversement temporel effectué sur le séisme du Mozambique. Images obtenues
au moment de la refocalisation. (A gauche : expérience avec les synthétiques. Au centre : beach-ball
représentant le mécanisme au foyer du séisme obtenu par Harvard. A droite : expérience avec les données
réelles.) La localisation obtenue à partir des données réelles est parfaite et le mécanisme au foyer est
parfaitement retrouvé. Le modèle PREM est donc une bonne approximation de notre Terre aux périodes
considérées.
Les données réelles, pourtant de moins bonne qualité car plus bruitées que les sismogrammes
synthétiques, fournissent des résultats similaires à ces derniers. Le bruit, ne constituant pas un
signal cohérent, est détruit lors du renversement, ce qui montre que la méthode utilisée est robuste. Cependant, il est possible de constater que la station de la Réunion, un peu trop proche
de la source du séisme, produit un artefact au moment de la refocalisation. Le fait d’avoir deux
milieux de propagation ne perturbe pas la refocalisation, du moins aux périodes considérées
dans cet exemple. Le modèle PREM, si l’on considère des signaux longues périodes, est donc
une bonne approximation de notre Terre et est suffisant pour retrouver la localisation et le
26
Virginie Penquerc’h
mécanisme au foyer responsable d’un séisme. Cependant, en se plaçant au niveau du point
source, il est possible d’observer un léger décalage en temps entre les données réelles et les
synthétiques : la focalisation obtenue avec les données réelles arrive légèrement plus tard (Fig
22). Ceci est vraisemblablement dû aux hétérogénéités latérales de la Terre qui ne sont pas
prises en compte dans le modèle PREM. En utilisant un modèle numérique de Terre 3D, ce
décalage devrait disparaitre.
Focalisation au point source (donnees du Mozambique)
200
100
0
-100
Donnees synthetiques
Donnees reelles
-200
-300
13400
13600
Temps (en s)
13800
F IG . 22 – Signal obtenu au cours du temps au niveau de l’épicentre lors de l’expérience de renversement
temporel des données du Mozambique. Un léger décalage en temps est visible : la focalisation obtenue
avec les données réelles arrive plus tard.
5 Discussion
Nous venons donc de voir qu’il était possible de retrouver, par renversement temporel, la
localisation d’un séisme et son diagramme de radiation, permettant ensuite de retrouver le
mécanisme au foyer, dans le cas d’une source superficielle. Cependant, de nombreux points
diffèrent comparé au cas acoustique.
Lors de ses expériences, Fink considérait un milieu non-dissipatif. Ceci n’est pas le cas de
la Terre. Il faut donc connaitre le facteur d’attenuation de celle-ci, qui est sous la forme e t ,
afin de corriger son effet, comme proposé par Tarantola (1988). En changeant le e t en et , le
milieu atténuant est transformé en milieu amplifiant et il est donc possible de retrouver la même
amplitude pour le signal de départ.
L’un des points qui posent le plus de problème est le fait que la surface terrestre est une
surface libre. Aucune expérimentation n’a été faite jusque là en acoustique en considérant une
surface libre, car alors il serait impossible de mesurer le champ de pression. Dans notre cas, nous
mesurons le déplacement de la surface, mais il nous est impossible de réinjecter ce déplacement
tel quel. Si nous réinjections ce déplacement, nous poserions des conditions aux limites sur
celui-ci et nous n’aurions donc plus une condition de surface libre : les conditions aux limites
seraient modifiées entre la propagation directe et le renversement temporel. Ne pouvant donc
pas réinjecter simplement le déplacement, nous transformons celui-ci comme une traction, mais
27
Renversement temporel d’ondes sismiques
cette conversion n’est pas homogène. Le théorème de représentation n’est donc pas respecté.
Nous essayons cependant de comprendre un peu mieux ce qui se passe lors de la phase
de renversement temporel d’ondes sismiques élastiques en reprenant les résultats obtenus par
Draeger et Fink pour une cavité chaotique dans le cas acoustique (Draeger et al., 1999).
Le signal reçu au niveau du récepteur (point R) est égal à la convolution temporelle entre
le signal source f t émis au point E et la fonction de Green source-récepteur GER t
P sin(!k t)
uk rR . Lors du renversement temporel, le signal renvoyé depuis le récepteur
rE
uk ~
k~
!k ~
sera donc f t GER t . Le signal arrivant de nouveau à la source (point E) lors de la refocalisation est donc de la forme f t GER t GRE t .
La réciprocité spatiale implique GER GRE . Donc GER t GRE t correspond à l’autocorrélation de GER et est donc maximum pour t
, ce qui correspond bien aux résultats des
simulations.
0
()
( )
( )
( )
( )
() =
( )
( )
=
()
=0
( )
()
Nous pouvons voir dans l’équation suivante, établie précédemment et servant au calcul des
sismogrammes synthétiques,
(
)=
~
u ~
rR ; t
1
X
( )1
( )
k
( ) ~u (~r );
k R
os!k t
kpq ~
rE Mpq H t
!2
k
(25)
que les composantes du tenseur des moments sismiques interviennent.
Lors de la phase de renversement temporel, nous réinjectons virtuellement au niveau des
~
u~
rR ; t Æ t
tR Æ ~
r
~
rR , qui devient donc notre nouveau
stations la force F~ 0 ~r; t
terme source. Nous pouvons donc réécrire l’équation (3) selon :
( )= (
) (
) (
)
(0tR tR + H0)~v(~r; tR ) = F~ 0(~r; tR)
(26)
où tR correspond au temps renversé et ~v est le déplacement enregistré lors de la phase de renversement.
On considère le cas simple où le terme source du problème direct est un Dirac et où une seule
station est prise en compte. On fait le renversement temporel d’un intervalle de temps T
t1 ; t2 enregistré au niveau de la station et on introduit la variable tR telle que la refocalisation
se produise pour tR
.
Le signal réinjecté au point rR est alors :
[
℄
=
=0
GT
RE
= G0 (
tR
)
si tR 2
si non.
[
t2 ;
t1
℄
(27)
Le signal reçu au niveau de la source en rE est donc :
( ) = GZ ERT ( tR ) GRET (tR )
t
d GER (tR + )GRE ( )
=
t
X1 ~ ~
X 1 ~0 ~0
hk(rR)jk(rE )i
h
k (rE )jk (rR )i
=
!
!
~
vT tR
2
1
k
0
:::::
Z
k
t2
0
t1
k
k
( ( + ))sin(!k )
d sin !k0 tR
(28)
28
Virginie Penquerc’h
( ) = GERT (
Nous avons également ~vT tR
On pose :
Ikk0
Z
=
t2
tR
) GRMT (tR ) pour un point M différent de E.
( ( + ))sin(!k )
d sin !k0 tR
t1
Zt
1
= 2 sin(!k tR ) d [sin((!k + !k ) ) + sin((!k !k ) )
t
Zt
1
+ 2 os(!k tR ) d [os((!k !k ) ) os((!k + !k ) )
2
0
0
0
1
2
0
0
0
t1
(29)
On obtient donc :
Ikk0
81
>
2 T os(!k tR )
>
>
>
>
<
= > 21 sin!k(!k!ktR ) [ os((!k !k )t2 ) + os((!k !k )t1)℄
>
>
>
: :::: + 1 os(!k tR ) [sin((!k !k )t2) sin((!k !k )t1 )℄
0
2
0
!k ! k
0
(30)
si !k
0
0
0
= !k
0
0
0
si !k
6= !k
0
Si les modes sont non-dégénérés et si la distance entre deux fréquences voisines est petite par
1
rapport à T , c’est-à-dire T = ! , alors il est possible d’écrire Ikk
2 Ækk T os !k tR
et le signal reçu, après renversement temporel, au point source initial est :
( ) =
~
vT tR
1
=
0
(
)
X X 1 1 ~0 ~0
1
h
k (rE )jk (rR )ih~
k(rR )j~
k(rE )i Ækk T os(!k tR )
!k !k
2
k k
X 1 2
1
2
0
0
0
=
0
k
( !2 )~uk (rE )~uk (rR) 2 T os(!k tR )
k
(31)
()=
=0
j~ki. Cette expression montre que ~vT est maximum pour tR ,
en rappelant que ~uk ~r
c’est-à-dire là où toutes les sinusoı̈des s’ajoutent de manière constructive. On s’aperçoit ainsi
que la focalisation a lieu au bon moment.
Cette dernière relation est assez simple : nous n’avons considéré que deux points (une source
E et une station R), une force scalaire simple (un Dirac) au niveau du point source, et nous
avons calculé le signal en nous plaçant sur le point source même. Il est cependant possible de
généraliser cette expression. Nous pouvons tout d’abord considérer une force initiale vectorielle
~0 ~
rE . Nous aurons alors :
F
rE
Mpq q Æ ~
)℄
X X 1 1 ~0
1
~0 (rR )ih~
~
vT (tR ) =
h
k (rE )jF jk
k (rR )j~
k(rE )i Ækk T os(!k tR )
! !
2
( )=
[(
k
k
0
k k
0
(32)
0
Les composantes du tenseur des moments sismiques apparaissent alors via la force appliquée.
Il doit donc être possible de retrouver ces différentes composantes afin de connaı̂tre tous les
paramètres de la source sismique responsable du séisme.
Il serait également intéressant de généraliser ces résultats en prenant en compte un ensemble
de stations et non plus une station isolée et de montrer que la focalisation a lieu au bon endroit.
29
Renversement temporel d’ondes sismiques
6 Conclusions
Nous avons montré au cours de ce travail que le renversement temporel, développé à l’origine
dans le cas d’ondes acoustiques, pouvait être appliqué aux ondes sismiques. Nous avons d’abord
étudié différents paramètres pouvant influencer la refocalisation à l’aide de tests synthétiques.
Le fait d’avoir une bonne répartition azimutale et un nombre suffisamment élevé de stations
est la garantie d’une refocalisation correcte lors du renversement temporel. Il est également
préférable d’avoir une large bande de fréquences. Cependant, la méthode utilisée ne permet
pas actuellement de traiter de manière convenable les sources profondes, ni d’effectuer du renversement temporel à l’aide des trois composantes. Nous avons ensuite appliqué cette même
méthode à des données réelles traitées. Nous avons ainsi pu voir qu’il est parfaitement possible
de retrouver la localisation d’une source sismique (à condition de connaı̂tre a priori la région
où elle est située afin de pouvoir enlever les stations antipodales) et son mécanisme au foyer, à
partir du diagramme de radiation, en renvoyant des données réelles dans le modèle PREM qui
est un modèle numérique de Terre très simple. En effet, en se plaçant à moyennes et longues
périodes, les hétérogénéités latérales ne perturbent pas la refocalisation.
Le renversement temporel appliqué aux ondes sismiques peut permettre de nombreuses applications, à la fois pour l’étude des ources sismiques, mais aussi dans le domaine de la tomographie. Nous pourrions par exemple améliorer conjointement nos modèles de sources et de Terre.
Ainsi, en travaillant au niveau régional à l’aide de courtes périodes, si un décalage en temps
ou en espace est observé entre l’emplacement de la source réelle, connu, et celui de la source
obtenue par renversement temporel, cela signifie qu’il y a certaines hétérogénéités qui n’ont pas
été prises en compte dans le modèle. En procédant donc par essai-erreur, nous devrions pouvoir
arriver à un modèle de Terre tout à fait raisonnable. Ce type de procédé a déjà été développé
dans les méthodes dites “adjointes” où les corrections à apporter au modèle numérique se font
en corrélant le champ d’onde direct obtenu dans le modèle avec la différence, renversée temporellement, entre les données réelles et les synthétiques (Tarantola, 1984 ; Gauthier et al., 1986 ;
Tarantola, 1988 ; Tromp et al., 2005). Nous pourrions même nous projeter dans l’avenir et imaginer faire du renversement temporel d’ondes sismiques en routine : renverser à intervalles de
temps réguliers le signal reçu précédemment sur toutes les stations d’un réseau, et détecter ainsi
de manière presque immédiate s’il y a eu un séisme et, par suite, déduire sa localisation et son
mécanisme au foyer. Ceci reste cependant aujourd’hui très utopique.
Il reste encore beaucoup de travail à effectuer pour comprendre réellement le renversement
temporel appliqué au cas élastique terrestre, notamment au niveau de la théorie. Il faudrait
étudier le renversement dans le domaine élastique, mais pour un système simple, que n’est pas
la Terre. Celle-ci est en effet encore loin d’avoir livré tous ses secrets. Une fois compris le
renversement temporel dans un cas élastique simple, nous pourrions alors améliorer la méthode
pour que celle-ci soit plus pertinente. Nous pourrions ensuite l’appliquer à notre planète et sans
doute réussir ce qui n’est pas possible aujourd’hui : renvoyer les ondes de volume pour pouvoir
détecter une source profonde, ou améliorer notre focalisation en renvoyant les trois composantes
du signal. Le fait de parvenir à faire du renversement temporel à l’aide des trois composantes
(et non plus seulement la composante verticale) permettrait de retrouver le tenseur des moments
sismiques et donc de connaı̂tre parfaitement la source responsable du séisme. Le fait de réussir à
renvoyer les ondes de volume (très courtes périodes) dépend, quant à lui, également des progrès
30
Virginie Penquerc’h
informatiques car plus l’on considère des hautes fréquences et plus le temps de calcul devient
long, d’autant plus qu’il faut alors prendre en compte des modèles de Terre tridimensionnels.
Remerciements
Je tiens à remercier avant tout Jean-Paul Montagner qui m’a donné la possibilité de réaliser ce
stage, m’a initiée à ce concept de renversement temporel, a répondu à mes nombreuses questions
et m’a également beaucoup aidée dans le développement de la théorie.
Je remercie également le laboratoire de Sismologie de l’IPGP de m’avoir accueillie durant
ces cinq mois.
Merci à Yann Capdeville et Carène Larmat pour leurs programmes et leurs scripts, grâce
auxquels j’ai pu effectué ce travail, ainsi que pour leur aide et leurs conseils.
Merci à Faisal Bekkouche, Patrick Stoclet pour leur aide informatique, à Geneviève Moguilny qui fait des merveilles avec Latex et à Geneviève Patau qui en fait autant avec GMT.
Merci aux autres étudiants, ceux de mon bureau et ceux de ma promotion, qui permettent de
décompresser un peu quand des problèmes surgissent.
Et enfin merci à toutes les personnes, que j’aurais malencontreusement oubliées, mais qui
ont eu leurs parts d’activité et d’intérêt dans ce stage.
Références
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Draeger, C., 1997, Ondes Elastiques et Réversibilité, Thèse de l’Ecole Supérieure de Physique et de
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Gauthier, O., J. Virieux et A. Tarantola, 1986, Two-dimensional nonlinear Inversion of Seismic Waveforms : Numerical Results, Geophysics, 51-7, 1387-1403.
Larmat, C., 2005, Applications Géophysiques de la méthode couplée solution modale-élements spectraux, Thèse de l’Institut de Physique du Globe de Paris.
Larmat, C., J-P. Montagner, M. Fink, Y. Capdeville, E. Clévédé et A. Tourin, 2006, Time Reversal Imaging of Seismic Sources and the Great Sumatra Earthquake, Geophys. Res. Lett..
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Renversement temporel d’ondes sismiques
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32