Circuits linéaires dans l`ARQS

PCSI CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS 1/14
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
I. INTRODUCTION
Sous nommes maintenant munis des outils et connaissances nécessaires pour aborder l’étude des
circuits lentement variables (au sens de l’ARQS). Nous utiliserons dans ce chapitre des sources de
courant et de tension continues et nous nous intéresserons aux régimes transitoires des circuits. Les
circuits alimentés par un générateur de tension ou courant variables seront vus en deuxième partie
de l’année.
II. DIPÔLES R, L, C SOUMIS A UN ECHELON DE TENSION OU DE COURANT
1) Echelon de tension
Un échelon de tension ou de courant est une variation brutale de la grandeur physique concernée
(figure 6.1.).
Figure 6.1. : Echelon de la grandeur x
Dans la pratique, l’une des valeurs initiale ou finale de x est souvent nulle : on réalise alors le
montage en ouvrant ou en fermant un interrupteur K à la date 0
tt
=
(figures 6.2., où les résistances
internes des générateurs sont considérées négligeables). Nous chercherons dans la suite à décrire
quantitativement le régime transitoire au cours duquel le circuit passe d’un régime stationnaire à un
autre.
Figure 6.2.a. : Réalisation d’un échelon de courant Figure 6.2.b. : Réalisation d’un échelon de tension
x
t
t
0
()
it
η
K
e
K
()
ut

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2) Association en série d’un condensateur et d’une résistance
a. Equation d’évolution
On considère le circuit R,C de la figure 6.3. soumis à un échelon de tension.
Figure 6.3. : circuit R,C série soumis à un
échelon de tension
La loi des maille nous permet d’écrire :
eRiu
=
+
(si la résistance interne de la source r n’est pas négligeable, il faut faire la substitution
R
Rr→+).
Nous avons vu au chapitre 5 qu’un condensateur était caractérisé par la relation entre la tension et la
charge portée par son armature ⊕ :
qCu= soit, en dérivant par t : iCu
=
La loi des mailles se met donc sous la forme d’une équation différentielle linéaire à coefficients
constants portant sur la tension :
uRCue
+
=⇔
 uue
τ
+
=
où l’on a posé
R
C
τ
≡, grandeur caractéristique du circuit ayant la dimension d’une durée (afin que
u
τ
 ait la même dimension que u), et appelée constante de temps du circuit. La solution générale de
l’équation sans second membre est :
t
uAe
τ
−
=
La solution particulière évidente est
ue
=
La solution générale pour la tension aux bornes du condensateur est la somme de ces solutions :
t
uAe e
τ
−
=
+
où la constante A est ajustée suivant les conditions initiales.
Les variations des grandeurs physiques caractérisant le circuit évolueront donc significativement sur
des durées de l’ordre de grandeur de la constante
τ . Pour les circuits usuels, 3 10R
Ω
∼ et
6
10 FC− ∼, d’où 3 10 s τ
−
∼ : retenons que le régime transitoire d’un circuit RC est très bref. Notons
que ce résultat permet de vérifier a posteriori que, même si ces durées sont brèves, les conditions de
l’utilisation de l’ARQS sont bien vérifiées :
8
10 s Lc
τ
−
∼
Etudions maintenant plus en détails quelques cas particuliers intéressants :
b. Charge du condensateur
L’interrupteur se ferme à t = 0 et le condensateur est initialement déchargé. On a donc, l’indice 0 se
référant à la date t = 0 :
00 0 uqC A e=×=⇒=−⇒ 1
t
ue e
τ
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
e
K
(
)
ut
R
C
+
i

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τ
La tension augmente exponentiellement aux bornes du condensateur, ainsi que la charge des
armatures du condensateur qui lui est proportionnelle (figure 6.3.a.). La constante de temps
τ est la
durée au bout de laquelle la valeur de l’exponentielle est divisée par e 1 : le condensateur est donc
pratiquement chargé au bout de quelques
τ . Cette durée est aussi appelée temps de relaxation du
circuit. Comme nous l’avions annoncé dans le chapitre 5 par un raisonnement énergétique, on
retrouve le fait que la tension est continue aux bornes d’un condensateur.
Figure 6.3.a. : Evolution de la tension aux bornes du
condensateur au cours de sa charge
Figure 6.3.b. : Evolution de l’intensité traversant le
condensateur au cours de sa charge
On obtient la loi d’évolution du courant en dérivant par le temps (figure 6.3.b.) :
t
u
iCu e
R
τ
−
==
L’intensité dans le circuit est donc discontinue en t = 0.
Le bilan énergétique instantané s’écrit, en multipliant l’équation de la maille par ..idt Cudt= :
() () () () ()
222
1
2e
d
eitdtRitdt CutdtRitdt tdt
dt
⎛⎞
=+ =+
⎜⎟
⎝⎠ E
L’énergie fournie par le générateur pendant dt se répartit donc entre l’énergie électrique e
E stockée
dans le condensateur et l’énergie dissipée par effet joule dans la résistance (figure 6.4.).
Le bilan énergétique s’obtient par intégration sur l’axe des temps (en pratique, l’intégration sur
quelques
τ suffit). En notant que lim
tue →∞
=
, on voit que :
22222
000 0
11
22
ttt t
d
eCudt Ri dt Cu dt Ce Ri dt Ce
dt
∞∞∞ ∞
=== =
⎛⎞
=+ ⇒=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫ ∫
D’où, globalement :
2
0
e
t
R
idt
∞
=
=∫ E où
(
)
lim
ee
tt
→∞
=EE
Le condensateur stocke donc la moitié de l’énergie fournie par le générateur, l’autre moitié étant
dissipée dans la résistance par effet Joule.
c. Décharge du condensateur
On s’intéresse maintenant à la décharge d’un condensateur à travers une résistance (figure 6.5.) : on
a donc comme conditions initiales : 00
0 ; euCQ
=
= . L’équation d’évolution se réduit à :
1 voir note 4, chapitre 3.
τ
=10
0
100 ; 1µF ; 5RCeV
=
Ω= =

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Figure 6.4. : Evolution des puissances au cours de la charge d’un
condensateur
0uu
τ
+
=
De solution :
()
0
t
ut Qe
τ
−
=
qui est continue et exponentiellement décroissante (figure 6.6.a.). L’intensité s’en déduit
aisément (figure 6.6.b.) :
0
t
CQ
iCu e
τ
τ
−
==−
La puissance reçue par le condensateur est donc négative, ce qui n’est pas surprenant puisque, en
restituant l’énergie électrique qu’il stockait, il se comporte comme un générateur. Le bilan de
puissance instantané est simplement :
20 Cuu Ri
+
=⇔
(
)
(
)
2
etRit−=E
La puissance fournie par le condensateur est donc dissipée intégralement par effet Joule dans la
résistance. Le bilan énergétique intégral est :
Figure 6.5. : décharge d’un condensateur )
travers une résistance
Figure 6.6.a. : Evolution de la tension aux bornes du
condensateur au cours de sa décharge
Figure 6.6.b. : Evolution de l’intensité traversant le
condensateur au cours de sa décharge
P
uissance fournie par le générateu
r
P
uissance dissipée par la résistance
P
uissance stockée dans le condensateu
r
K
(
)
ut
R
C
+
i

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2
0
0
e
t
R
idt
∞
=
+=
∫
E où
(
)
0
ee
t
=
<EE
3) Association en série d’une bobine et d’une résistance
a. Equation d’évolution
On considère le circuit R,L de la figure 6.7. soumis à un échelon de tension.
Figure 6.7. : circuit R,C série soumis à un
échelon de tension
La loi des maille nous permet d’écrire :
eRiu
=
+
Nous avons vu au chapitre 5 qu’une bobine était caractérisée par la relation :
di
uL
dt
=
La loi des mailles se met donc sous la forme d’une équation différentielle portant sur le courant :
Ldi e
iRdt R +=⇔ di e
idt R
τ
+
=
où LR
τ
≡ est la constante de temps du circuit. Le traitement de cette équation différentielle et
plus généralement le traitement mathématique de ce problème, sont maintenant bien connus, la
solution pour i est :
te
iBe
R
τ
−
=
+
Typiquement, 21
10 ; 10 HRL
−
Ω∼∼, d’où 3 10 s τ
−
∼ : les phénomènes transitoires sont donc brefs,
mais dans les conditions d’application de l’ARQS. Envisageons maintenant les deux situations
limites de cet échelon de tension.
b. Fermeture de l’interrupteur à t = 0
La condition initiale
(
)
00i= permet de trouver B = – e / R :
1
t
e
ie
R
τ
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
Le courant est donc continu (figure 6.8.a.), comme des arguments énergétiques nous l’avaient
indiqué au chapitre précédent. La tension s’obtient par dérivation :
()
exp
di
uL e t
dt
τ
==×−
ce qui est assez malheureux comme notation. La tension est discontinue aux bornes de la bobine en
t = 0 (figure 6.8.b).
Le bilan énergétique instantané s’obtient en multipliant la loi des mailles par i.dt :
e
K
R
i
L
u