Problème 1

DM 5
CHIMIE – ÉLECTRICITÉ
Problème 1
On étudie le dosage d’un volume V0=100,0 mL d’une solution d’eau oxygénée
H2O2de concentration c0=9,0.10−3mol.L−1par une solution de permanga-
nate de potassium KMnO4àC=0,10 mol.L−1. La pression de l’air est égale à
1,0 bar et le pH est maintenu égal à 0. Soit E, le potentiel, par rapport à une
électrode standard à hydrogène, d’une électrode de platine platiné plongeant
dans la solution lors du dosage.
1. Écrire l’équation-bilan de la réaction de dosage ? Est-elle quantitative ?
2. Déterminer le volume V=Véq de solution de permanganate de potas-
sium versé à l’équivalence.
3. Établir les relations E=f(V): pour 0<V<Véq et pour V>Véq.
4. Calculer Epour V=Véq . Tracer l’allure de E=f(V).
Données :
E◦(MnO−
4/Mn2+)=1,51 V ; E◦(O2(g)/H2O2)=0,68 V.
L’air est constitué, en volume, de 4/5 de diazote et 1/5 de dioxygène.
Problème 2
On considère le montage ci-dessous :
Sachant que e=Ecosωt, on cherche les conditions portant sur R,L,Cet ω
pour que iet Usoient en phase quel que soit ω.
On proposera deux solutions pour ce problème :
– l’une ne fera intervenir que des calculs sur les impédances,
– la seconde s’appuiera sur un diagramme de FRESNEL et des calculs
simples de nature géométrique.
Problème 3
Étude d’un circuit électrique en régime sinusoïdal
Un générateur sinusoïdal alimente un circuit RLC constitué d’un conden-
sateur de capacité C=0.1 µF, d’une bobine réelle d’auto-inductance Let de
résistance rinconnues, placés en série avec une résistance R=480 Ω. Le gé-
nérateur est un générateur basse fréquence de résistance interne Rg=50 Ω
délivrant un signal sinusoïdal de pulsation ωet de f.é.m. efficace E,e(t)=
Ep2cos(ωt).
À toute grandeur réelle u(t)=Umcos(ωt+ϕ)est associée une grandeur com-
plexe u(t)=Umexp(jωt+ϕ)=Uexp(jωt)où j2=−1et Uexp(jϕ)) est l’amplitude
complexe. L’intensité circulant dans le circuit est i(t)=Ip2cos(ωt+ψ).
Le montage est donné ci-dessous.
1. Donner l’expression complexe de la tension e(t)ainsi que celle de i(t).
2. La tension efficace pour un signal quelconque f(t)est donnée par feff =
qf2®où f2®désigne la moyenne temporelle de f2. Si on considère la ten-
sion u(t)=Umcos(ωt+ϕ), montrer qu’on peut écrire ueff =α¯¯u¯¯où αest un
facteur de proportionnalité sans dimension et ¯¯u¯¯est le module de u.
Comment peut-on mesurer expérimentalement une tension efficace ?
3. Préciser les expressions des impédances complexes de la bobine, du résis-
tor et du condensateur.
4. Préciser le comportement limite de ces différents composants à haute et
basse fréquence. En déduire qualitativement le comportement de la tension
uc(t)aux bornes du condensateur à haute et basse fréquences.

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5. Donner l’expression théorique de l’amplitude complexe Ucassociée à la
tension aux bornes du condensateur en fonction des caractéristiques des
composants. Mettre Ucsous la forme canonique
Uc=A
1−³ω
ω0´2+jω ω0Q
où on exprimera A,ω0et Qen fonction des données du problème.
6. En déduire la tension efficace aux bornes du condensateur Uceff(ω)en fonc-
tion de ω,Q,ω0et E.
7. Écrire Uceff(ω)en fonction de x=ω
ω0
,Qet E.
Montrer que la tension efficace Uceff(x)passe par un extremum en x, si
Q>Qmin
Préciser xet Qmin.
En déduire la pulsation ωrde résonance. La comparer à ω0.
8. Exprimer Uceff(ω=ω0)en fonction de Qet E.
9. Tracer l’allure de Uceff(ω)pour les valeurs de Q=0,1,Q=1et Q=10.
10. Calculer l’impédance complexe Zdu circuit.
Mettre Zsous la forme Z=R0µ1+jQ µω
ω0−ω0 ω¶¶
Préciser R0en fonction de Rg,Ret r.
11. Donner l’expression théorique de l’amplitude complexe Iassociée à l’in-
tensité du courant traversant le circuit en fonction de R0,ω,Q,ω0et E.
12. En déduire que l’intensité efficace Ieff(ω)peut se mettre sous la forme
Ieff(ω)=A′
s1+B2µω
ω0−ω0 ω¶2
Préciser A′et Ben fonction de Q,Eet R0.
Était-il nécessaire de faire une autre série de mesure pour avoir la courbe
Ieff(ω)?
13. Montrer que Ieff(ω)présente un extremum pour ω=ω′
r. Préciser ω′ ret
Imax =Ieff(ω′
r).
14. On appelle bande passante l’intervalle de pulsation ∆ω=ωmax−ωmin pour
laquelle Ieff(ω)>Imax
p2.
Montrer que ∆ω=ω0
Q.
15. On donne ci-dessous les graphes de Ieff(f)et Uceff(f)où fest la fréquence
du générateur.
L’échelle de gauche est celle de Uceff(f), celle de droite est celle de Ieff(f). Iden-
tifier, en justifiant votre choix, les courbes Ieff(f)et Uceff(f)parmi les courbes
(1) et (2).
16. Déterminer à partir de ces courbes : la tension efficace du générateur E,
la fréquence propre f0et le facteur de qualité Qdu circuit, les limites de la
bande passante et Imax.
17. En déduire les valeurs de ret de L.
Dans les questions qui suivent, on utilise une bobine différente de la précé-
dente caractérisée par les valeurs L′et r′.
18. Préciser le déphasage ψentre i(t)et e(t)ainsi que ϕ′le déphasage entre
uc(t)et e(t).
Préciser ψ(ω0)ainsi que ϕ′(ω0).
19. Comment peut-on accéder expérimentalement à la mesure de i(t)avec
un oscilloscope ?

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On réalise l’expérience suivante sur le circuit. À l’aide d’un oscilloscope, on
mesure la tension e(t)sur la voie X et la tension UR(t)aux bornes de la résis-
tance Rsur la voie Y. On fait varier la fréquence du générateur sinusoïdal et
on constate que la voie Y passe par un maximum.
20. Interpréter la présence de ce maximum aux bornes de R.
On se place dorénavant à cette fréquence.
On s’arrange maintenant pour mesurer sur la voie Y la tension uc(t)aux
bornes du condensateur Cen gardant e(t)sur la voie X.
21. Les deux oscillogrammes suivants ont été enregistrés l’un pour la voie Y
aux bornes de C, l’autre pour la voie Y aux bornes de R.
Déterminer le déphasage entre la voie X et la voie Y pour chacun des oscillo-
grammes.
Préciser, en justifiant votre choix, à quel composant correspond chacun des
oscillogrammes.
22. En déduire les valeurs L′et r′de la nouvelle bobine.
Étude en régime transitoire
On alimente désormais le circuit avec une tension continue Eet l’on attend
que le régime permanent soit établi.
23. Préciser lorsque le régime permanent est atteint les valeurs de i,uL,uR
et uC.
Une fois le régime permanent atteint, on remplace l’alimentation par un fil.
On étudie donc la décharge d’un condensateur de capacité C=0,1 µF dans
une bobine d’auto-inductance Let de résistance interne, rinconnues placées
en série avec une résistance Rvariable.
24. Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de uc(t)et la mettre
sous la forme canonique :
d2uc
d t 2+ω0 Q′
duc
d t +ω2
0uc=0
où on exprimera ω0et Q′, le facteur de qualité du circuit, en fonction des
données du problème.
25. Rappeler les relations de continuité à l’intérieur d’une bobine et d’un
condensateur. En déduire les valeurs uc(0) et duc
d t (0).

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26. Comme le montre le graphe ci-dessous, on se trouve en régime pseudo pé-
riodique. Montrez que ceci n’est possible que si la résistance Rest inférieure
à une valeur maximale que l’on explicitera en fonction de L,ret de C.
27. Montrez que la solution physique s’écrit sous la forme
uc=e−λt[Acosωt+Bsinωt]
Préciser les expressions de λet ωen fonction de ω0et Q′. Préciser les valeurs
des constantes Aet B.
28. On donne les valeurs des deux premiers maxima pour (t6=0) :
S1S2
Tension en V 2,73 0,73
Date en ms 0,65 1,29
Donnez la valeur expérimentale de la pseudo-période Tet de la pseudo-
pulsation ω.
On pose δ=lnµu1
u2¶. Montrer que δ=ω0T 2Q′. En déduire l’expression de Q′en
fonction de δ.
On donne δ=1,28 et ³π
δ´2
≃6. Évaluer Q′et ω0.
29. À quelle condition peuton assimiler la pseudo-période à la période
propre ? Cette approximation est–elle vérifiée dans le cas étudié ?
30. Trouvez les valeurs numériques de Let Q′.
Problème 4
On s’intéresse dans ce problème à la cinétique de la réaction de réduction de
Hg2+par Fe2+.
1. Les deux couples impliqués sont Hg2+/Hg2+
2(E◦
1=0,91 V) et Fe3+/Fe2+
(E◦
2=0,77 V).
a. Préciser les nombre d’oxydation pour les quatre espèces.
b. Indiquer l’oxydant et le réducteur de chaque couple.
c. Écrire la réaction faisant intervenir 2 moles d’ions Fe2+et calculer
sa constante d’équilibre.
2. On suppose que la loi de vitesse est d’ordre ppar rapport à Fe2+et
d’ordre qpar rapport à Hg2+. Que vaudrait pet qsi la réaction suivait
la loi de VAN’THOFF ?
3. On suit la réaction par spectrophotométrie avec différentes concentra-
tions initiales [Fe2+]0et [Hg2+]0, on obtient les résultats suivants (le
temps est mesuré en unités arbitraires u.a. non précisées) :
Expérience n°1 : [Fe2+]0= 0,1 mol.L−1, [Hg2+]0= 0,1 mol.L−1
t(u.a.) 0 1 2 3 ∞
[Hg2+]/[Hg2+]01 0,50 0,33 0,25 0
Expérience n°2 : [Fe2+]0= 0,1 mol.L−1, [Hg2+]0= 0,001 mol.L−1
t(u.a.) 0 1 2 4 ∞
[Hg2+]/[Hg2+]01 0,66 0,45 0,20 0
Rappeler en quelques lignes le principe de la spectrophotométrie.
4. Expliquer l’intérêt du choix [Fe2+]0= [Hg2+]0dans la première expé-
rience, et l’intérêt du choix [Fe2+]0≫[Hg2+]0dans la seconde.
5. Montrer que l’ordre global de la réaction est 2.
6. Montrer qu’on peut raisonnablement estimer que les ordres partiels vé-
rifient p=q=1.
Problème 5
1 - Indiquer sans faire de calcul la nature des deux filtres suivants (l’amplifi-
cateur opérationnel AO est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire) :

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LR
RL
e(t)s(t)
r
R
L
−
+
vevs
∞
2 - Calculer les deux fonctions de transfert.
3 - Faire l’étude de la fonction de transfert du filtre avec l’AO et tracer son
diagramme de BODE. Est-ce en accord avec le résultat obtenu précédem-
ment ?
4 - On considère maintenant le filtre sans AO de la question 1. Établir l’équa-
tion différentielle liant les tensions e(t)et s(t).
5 - Montrer comment on peut retrouver l’équation différentielle de la ques-
tion précédente à partir de la fonction de transfert.
On considère maintenant le montage ci-dessous :
L
R
RL
e(t)s(t)
6 - Établir l’équation différentielle liant les tensions e(t)et s(t). Donner la
fonction de transfert de ce filtre.
7 - Conclure quant à la possibilité de lier équation différentielle et fonction
de transfert.
Problème 6
On étudie dans ce problème différents filtres en électronique. Les dia-
grammes demandés seront tracés directement sur la copie en apportant le
plus grand soin à leur réalisation.
A - Étude préliminaire
On dispose d’un générateur BF (basse fréquence) qui permet de produire les
deux signaux u1(t)et u2(t)suivants de même fréquence f=1000 Hz :
u1(t)=2sin(2πf t)
et
(u2(t)=+2si 0<t≤T
2
u2(t)=−2si T
2<t≤T
avec T=1/f=10−3s
1) Représenter les fonctions u1(t)et u2(t)en fonction du temps.
2) Calculer les valeurs moyennes <u1(t)>et <u2(t)>.
3) Rapeller la définition de la valeur efficace, quelles sont les valeurs effi-
caces des deux tensions qu’on notera Ueff
1et Ueff 2. Faire l’application numé-
rique.
Dans la suite du problème, on exploitera le fait que la fonction u2(t)est dé-
composable en série de Fourier sous la forme :
u2(t)=8
π·sin(2πf t)+1 3sin(2π(3f)t)+1 5sin(2π(5f)t)+...¸
B - Étude de filtre passe–bas et passe–haut
On réalise les deux circuits suivants avec R=50 kΩet C=3,2 nF
R
R
C
C
e e
v1v2
4) Écrire les fonctions de transfert des deux montages H1et H2
5) Etudier les comportements de ces deux circuits en BF et en HF.
6) Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques pour ces deux circuits. On
précisera pour chacun d’eux, la nature du filtre et la pulsation de coupure à
-3 dB. On calculera numériquement la fréquence de coupure.