SPECTRES DE GRAPHES Yves COLIN de VERDI

SPECTRES DE GRAPHES
Yves COLIN de VERDI` ERE
Institut Fourier et Institut Universitaire
de France.

1991 Mathematics Subject Classification. 05C10, 05C15, 05C50,
35J10, 58G25
Key words and phrases. graphe, spectre de graphe, plongement de
graphe, perturbation singuli`ere de valeurs propres, effet tunnel,
´el´ements finis, ´equation de Schr¨odinger
PR´ EFACE
L’origine de ce livre est un cours de DEA donn´e `a l’ENS Lyon de
f´evrier `a juin 1994.
Je me suis ´egalement inspir´e de plusieurs textes de survol que j’ai
´ecrit (r´ef´erences [Col93] et [Col97b]).
Le sujet ´etant extrˆemement vaste, je n’ai pas tent´e de le d´ecrire
compl`etement (l’intersection avec les livres [CDS80], [Chu97] et [Lub94]
est presque vide), mais me suis laiss´e guider par mes propres centres
d’int´erˆet.
Remerciements. J’ai largement utilis´e les notes prises par Fr´ed´eric
Math´eus que je tiens `a remercier ici. Je remercie aussi Roland Bacher
qui a relu le texte avec une grande rigueur et sugg´er´e de nombreuses
et pr´ecieuses am´eliorations.
Enfin, je tiens `a exprimer ici tout ce que je dois `a Fran¸cois Jaeger
(1947-1997) dont la disparition laisse un grand vide : c’est `a lui que
je dois ce que j’ai pu apprendre de th´eorie des graphes ; sa patience,
sa disponibilit´e et sa culture m’ont toujours ´emerveill´e. Plus qu’un
coll`egue et un maitre, c’est surtout un ami que nous avons perdu.
J’esp`ere qu’il aurait aim´e ce livre ...
Adresse de l’auteur.
Institut Fourier, UMR 5582 CNRS-UJF,
BP 74,
F-38402-St MARTIN D’H ` ERES CEDEX.
[e-mail]

Table des mati`eres
PR´ EFACE ii
INTRODUCTION 1
Chapitre 1. D´ EFINITIONS ET EXEMPLES 5
1. GRAPHES 5
2. SPECTRE D’UN GRAPHE 6
3. EXEMPLES DE SPECTRES DE GRAPHES 8
4. TROU SPECTRAL D’UN GRAPHE ET EXPANSION 13
5. MULTIPLICIT´ ES DES VALEURS PROPRES ET
PLONGEMENTS DE GRAPHES 14
6. R´ ESEAUX ´ ELECTRIQUES 14
7. AUTRES PROBL` EMES 15
Chapitre 2. SPECTRES 17
1. LAPLACIENS SUBORDONN´ ES ` A UN GRAPHE 17
2. PRINCIPE DU MINIMAX 18
3. TH´ EOR` EME DE COURANT 20
4. GRAPHES DE CAYLEY 24
5. CALCUL FONCTIONNEL ET MESURES SPECTRALES 26
6. GRAPHES INFINIS 28
7. CAS D’UN ARBRE HOMOG` ENE DE DEGR´ Eq+ 1 29
8. TH´ EORIE DE FLOQUET ET SPECTRES DE BANDES 32
9. LE CAS P´ ERIODIQUE DE DIMENSION 1 34
Chapitre 3. LE TROU SPECTRAL DES GRAPHES ET LEURS
PROPRI´ ET´ ES D’EXPANSION 37
1. CONSTANTES DE CHEEGER 37
2. λ1, TROU SPECTRAL ET IN´ EGALIT´ ES DE CHEEGER 39
3. CHEEGER POUR LES PROCESSUS DE MARKOV 41
4. EXPANSEURS ET GRAPHES DE RAMANUJAN 42
5. LES GRAPHES DE GABBER-GALIL 44
6. LA PROPRI´ ET´ E (T) DE KAZHDAN 48
7. LA PROPRI´ ET´ E (Tf) POUR (SA2(Z),Z2) 50
8. LA PROPRI´ ET´ E (Tf) POUR SL3(Z) 52
iii

iv TABLE DES MATI` ERES
Chapitre 4. LIMITES SINGULI` ERES ET Γ-CONVERGENCE 55
1. ESPACES LAGRANGIENS ET OP´ ERATEURS AUTO-
ADJOINTS AVEC DOMAINES 56
2. EXEMPLES DE Γ-CONVERGENCE 58
3. Γ-CONVERGENCE ET MINEURS 66
4. COMPACTIFICATION DE OG71
Chapitre 5. MULTIPLICIT´ ES DES VALEURS PROPRES ET
INVARIANTS ASSOCI´ ES 75
1. INTRODUCTION 75
2. PERTURBATIONS DES VALEURS PROPRES
MULTIPLES ET TRANSVERSALIT´ E 76
3. INVARIANTS SPECTRAUX DE GRAPHES 83
4. MONOTONIE PAR MINEURS 85
5. MU ET LA PLANARIT´ E 86
6. NU ET LA LARGEUR D’ARBRE 88
7. PROBL` EMES 96
Chapitre 6. DISCRET ET CONTINU 99
1. INTRODUCTION 99
2. MAJORATIONS DES MULTIPLICIT´ ES 99
3. L’EFFET TUNNEL SEMI-CLASSIQUE 101
4. LA M´ ETHODE DES ´ EL´ EMENTS FINIS REVISIT´ EE 104
Chapitre 7. R´ ESEAUX ´ ELECTRIQUES 109
1. R´ EPONSE D’UN R´ ESEAU ´ ELECTRIQUE 109
2. LIMITES SINGULI` ERES 115
3. REPR´ ESENTATIONS G´ EOM´ ETRIQUES 116
4. LA COMBINATOIRE DES RPC 120
5. LE PROBL` EME INVERSE POUR LES REPC 128
Bibliographie 135
Index 141

INTRODUCTION
Le but est de d´evelopper pour les graphes finis l’analogue de la
th´eorie spectrale pour les op´erateurs du type laplacien riemannien ou
op´erateur de Schr¨odinger (voir [BGM71], [CFKS87]). Si on se donne
une vari´et´e compacte X, il y a plusieurs familles naturelles d’op´erateurs
diff´erentiels elliptiques auto-adjoints sur X: les laplaciens rieman-
niens ∆gconstruits `a partir d’une m´etrique riemnannienne gsur X,
les op´erateurs de Schr¨odinger qui sont de la forme H= ∆g+Vo`u
V∈C∞(X, R) et les op´erateurs de Schr¨odinger avec champ magn´etique
plus compliqu´es `a d´efinir, utilisant outre la m´etrique g, la donn´ee d’un
fibr´e hermitien de dimension 1 sur Xmuni d’une connection hermiti-
enne ∇.
Ces op´erateurs ont un spectre discret infini
λ1≤λ2≤ ··· ≤ λk≤ ···
qui ne s’accumule qu’en +∞. On adopte (ici et d’une fa¸con g´en´erale
dans ce livre) la convention de r´ep´eter chaque valeur propre suivant sa
multiplicit´e.
De fa¸con un peu schm´ematique et arbitraire, on peut diviser la
th´eorie spectrale de ces op´erateurs en 2 th`emes : la th´eorie asympto-
tique (asymptotique semi-classique) des grandes valeurs propres et la
th´eorie des premi`eres valeurs propres (minoration du trou spectral en
termes g´eom´etriques, multiplicit´es).
Dans le cas des graphes, on a les anlogues des 3 familles pr´ec´edentes.
Les objets de base sont les op´erateurs de type Schr¨odinger (avec ou
sans champ magn´etique) sur un graphe G. Ces ensembles (MGet OG)
contiennent les laplaciens canoniques ´etudi´es habituellement [CDS80].
Ils contiennent aussi ceux que l’on rencontre comme limites singuli`eres
d’op´erateurs continus, dans les m´ethodes num´eriques du type ´el´ements
finis ainsi que les g´en´erateurs de processus de Markov r´eversibles.
Bien sˆur, ce n’est pas seulement une analogie formelle entre le
cas continu et le cas discret : il y a de multiples passages de l’un `a
l’autre (effet tunnel semi-classique, limites singuli`eres de domaines ou
de vari´et´es, m´ethodes des ´el´ements finis). Certains th`emes ou r´esultats
ont des versions dans les 2 contextes :
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