etude d`un champ electrique a l`aide d`une cuve rheographique

INSTITUT POLYTECHNIQUE DES
SCIENCES AVANCEES
Département de physique
TP N°1
ELECTROMAGNETISME
ETUDE D’UN CHAMP ELECTRIQUE A L’AIDE D’UNE CUVE
RHEOGRAPHIQUE
(Module Ph 22)
Cours de M. Bouguechal
(Edition 2010 - 2011)
INSTITUT POLYTECHNIQUE DES SCIENCES AVANCEES
5 / 9, rue Maurice Grandcoing – 94200 Ivry Sur Seine * Tél. : 01.44.08.01.00 * Fax : 01.44.08.01.13
Etablissement Privé d’Enseignement Supérieur Technique – SIRET N° 433 695 632 00011 – APE 803Z
1
ETUDE D’UN CHAMP A L’AIDE D’UNE CUVE RHEOGRAPHIQUE
A/ BUT
Le but de ce TP est de déterminer, par des mesures de potentiel, les équipotentielles ainsi que
le champ électrique en différents points de l’espace pour des armatures métalliques de forme
géométriques différentes auxquelles on applique une tension continue.
B/ MONTAGE EXPERIMENTAL
Le montage expérimental se compose d’un générateur de tension continu et d’une cuve
rhéographique en matière plastique transparente avec un quadrillage de 0 à 11 cm sur un axe
(axe Ox) et –9 cm à + 9 cm( axe y’Oy).
La cuve sera remplie d’eau distillée de manière à ce que le niveau d’eau affleure le sommet
des conducteurs. L’eau distillée ne contient pas beaucoup d’ions pour éviter les courants.
Le générateur sera réglé sur une tension de 12 V.
Un capteur de tension relié à un boitier d’acquisition de données ( microrphy ) et un logiciel
d’acquisition ( OrphyLab ) permettent la mesure en différents points de la cuve : maintenir la
sonde métallique fine (aiguille) bien verticale au cours des mesures pour obtenir une précision
maximale.
Cuve rhéographique ou électrolytique
2
Boitier d’acquisition
Capteur de tension ( volt )
0 V
Electrode en cuivre
Electrode en cuivre
12 V
SCHEMA DE LA CUVE
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C/ DETERMINATION DES EQUIPOTENTIELLES
On utilise des électrodes sous forme de plaques de cuivre et on cherche les équipotentielles,
en déterminant leurs coordonnées correspondantes. On tracera des tableaux du genre :
Equipotentielle 0 V :
Ordonnée (cm)
( -10 cm à +10 cm )
Abscisse en cm
( 0 à 11 cm )
On fixera y et on cherchera x pour une valeur déterminée de la tension.
Utiliser le logiciel Excel de Microsoft ainsi qu’orphyLab pour la mesure des tensions.
Il faudra faire plusieurs tableaux de 10 lignes à peu près, chaque tableau représente les
coordonnées des équipotentielles. Les équipotentielles 0 V et 12 V correspondent aux deux
plaques de cuivre. Il faudra relever les équipotentielles 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et 12 V tous les cm
au centre de la cuve et tous les 0.5 cm près de la plaque jusqu’au dernier point sur le bord de
la cuve.
1. Faire un schéma du montage expérimental.
2. Représenter sur un même graphique les bords de la cuve, des plaques en cuivre et les
équipotentielles obtenues. Conclusion.
3. Tracer, pour la ligne médiane des électrodes la courbe donnant le potentiel V en
fonction de la distance x. En déduire la valeur du champ électrique sur cette médiane.
Conclusion.
D/ DETERMINATION DES LIGNES DE CHAMP
Considérons un champ scalaire dont la valeur en M(x, y, z) est U(x, y, z) ; en un point voisin,
le champ scalaire a la valeur U+dU telle que :
dU 
U
U
U
dx 
dy 
dz
x
y
z
On pose :


dU  gr adU .d l
Le vecteur gradient est :
 Normal aux surfaces de niveau (équipotentielles).
 Orienté dans le sens des valeurs croissantes du champ scalaire et indique la direction
de variation la plus rapide du champ scalaire.
 Indépendant du repère choisi.
4
Attention :


E   gr adU .
Le champ électrique est donc orienté vers les potentiels décroissants.
1. Tracer les lignes de champ sur le même graphique avec une autre couleur.
2. Déterminer le vecteur champ électrique en cinq points différents de l’espace et
représenter les vecteurs en choisissant une échelle.
3. Que peut-on dire du rotationnel du champ électrique en chaque point de la cuve ?
justifier.
E/ DETERMINATION DES CHARGES A LA SURFACE D’UNE ARMATURE
1. Déterminer le vecteur champ électrique tout autour de l’armature et le représenter
2. Rappeler le théorème de Coulomb et dans quelle région la densité de charges est elle
la plus grande, la plus faible. Préciser son signe.
3. Calculer la densité de charges au centre de l’armature et le rapport entre les densités de
charges sur la face interne et la face externe de l’armature. Conclusion.
4. Que se passe-t-il si on rapproche les deux armatures de telle sorte qu ‘elles ne soient
plus séparées que d’un cm, la différence de potentiel restant la même.
Ce phénomène de condensation des charges sur la face interne des armatures est à l’origine du
nom de condensateur donné à l’ensemble de deux armatures conductrices en regard, très
proches l’une de l’autre.
F/ DETERMINATION DE LA CIRCULATION DU CHAMP ELECTRIQUE

La circulation élémentaire d’un vecteur E dont le point d’application décrit un élément

dl d’une courbe ( c ) est donnée par :
 
 
dC  E.dl .............................................C   E.dl
(c)
1. Déterminer la circulation du champ électrique sur une équipotentielle entre deux
points A et B.
2. Calculer la circulation du champ électrique entre deux points A et B quelconque.
3. Calculer la circulation du champ électrique sur un contour fermé qu’on choisira ( pas
trop long) et on prendra soin de déterminer tous les vecteurs champs électriques
concernés.
4. Que peut-on dire de cette circulation ?
5. Vérifier ce résultat en utilisant le potentiel.
5
G/ ELECTRODES DE FORMES CYLINDRIQUES
On utilise des électrodes de formes cylindriques en cuivre et on cherche les équipotentielles.
Electrodes cylindriques de rayons RA = 1.7 cm et RC = 5.7 cm en cuivre.
Récipient cylindrique transparent avec une trame de cercles concentriques de rayons
croissants au pas de 0.5 cm tracés sur une feuille de papier.
1. Faire un schéma du montage expérimental.
2. Quelle est la forme des équipotentielles. En déduire l’allure des lignes de champ.
3. On tracera les équipotentielles et les lignes de champ sur un même graphique sur du
papier millimétré à l’échelle 1. On utilisera le tableau de valeurs suivant.
r(cm) 0.5 1.0 1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.7 5.2
5.7
V(volt) 0.50 0.50 0.50 0.38 0.30 0.24 0.18 0.15 0.11 0.080 0.00
4. Tracer la courbe v = f(r ) pour des mesures effectuées le long d’un rayon. Conclusion.
5. Déterminer le champ électrique et le représenter en choisissant une échelle convenable
en différents points ( 4 points ). Conclusion..
6. Montrer que le circulation du champ le long d’un contour fermé est égale à 0.
H/ SIMULATION NUMERIQUE
FlexPDE is general-purpose software for obtaining numerical solutions to partial differential
equations in 2 or 3 dimensions. It is based on the Finite Element Method.
FlexPDE can solve steady-state or time-dependent problems; eigenvalue analysis; and free
boundary problems.
FlexPDE It is a commercial package; however a free student package is available that can
solve many practical problems. The student version is restricted in meshsize and the number
of variables allowed, but otherwise equivalent to the commercial version.
1. Télécharger le logiciel FlexPde (licence gratuite pour étudiant)
2. Consulter le tutorial de FlexPde, et regarder les applications en électrostatique.
http://www.flexpde.com/help/index.html?em.html
3. Retrouvez les résultats expérimentaux obtenus.
 Cuve rhéographique.
 Electrodes de formes cylindriques.
Lire l’annexe page suivante pour plus de détails.
6
FlexPDE 6 est un environnement d'analyse d'éléments finis pour la résolution d'équations
différentielles partielles. Il permet de résoudre des problèmes à 1,2 ou 3 dimensions dans
différents domaines de la physique et des sciences de l’ingénieur : électrostatique,
magnétostatique, résistance des matériaux, mécanique des fluides ….
Pour utiliser FlexPde, il ya quatre éléments de base à définir:
• Définir les variables et les équations
• Définir le domaine
• Définir les paramètres matériels
• Définir les conditions aux limites
• Précisez la sortie graphique.
Installation du logiciel
Une version gratuite est disponible pour les étudiants à cette adresse :
http://www.flexpde.com/student6.html
Cependant, cette version est limitée en calcul, on ne pourra pas faire de modélisations
poussées.
L’installation du logiciel ne doit pas poser de problème. La version du logiciel utilisée dans ce
tutoriel est la 5.1.0s
Notions de bases : Création d’un document
Pour modéliser ce qu’on veut étudier, on va créer un nouveau script (voir ci-dessous).
Le logiciel vous propose de l’enregistrer et de lui donner un nom.
On se retrouve avec le nouveau script sous les yeux. Un code source de base y est déjà
inscrit :
Exécutons le ce code. Pour cela, allez dans Controls > Run Script (ou Ctrl + R). Le calcul
s’exécute et on se retrouve avec plusieurs cadrans :
7

Un « mesh » ou treillis à gauche, c’est la décomposition de notre objet en un
maillage :
A.
• Définir les variables et les équations
Les variables et les équations sont étroitement liées. En effet à chaque variable
correspond une équation
Dans les cas simples on a une seule variable comme la tension électrique ou la température et
l’équation différentielle correspondante, comme dans l’exemple ci-dessous:
VARIABLES
V
EQUATIONS
Div (grad(V)) = 0
Dans des problèmes plus complexes, il y a plusieurs équations et plusieurs variables. Chaque
équation doit être associé à sa variable comme indiqué ci-dessous :
VARIABLES
A, B
EQUATIONS
A:
Div (grad (A)) = 0
B:
Div (grad (B)) = 0
Dans le cas général, pour résoudre une équation différentielle ou une équation aux dérivées
partielles, il faut nécessairement donner les conditions aux limites. On verra plus loin
comment les intégrer dans le programme.
B.
• Définir le domaine
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Un domaine à deux dimensions est composé de régions, chacune des régions a des
propriétés différentes. Une région peut contenir plusieurs boucles fermées ou des îles,
mais ils sont tous censés avoir les mêmes propriétés.
• On commence par la déclaration REGION <nombre ou nom>, nombre et nom sont le
numéro ou le nom de la région.
• La première région doit contenir l'ensemble du domaine. Il s'agit d'une convention qui
permet de mieux situer les limites du domaine étudié.
• Les régions définis plus loin peuvent se superposer et couvrir certaines parties des
régions.
Les régions sont décrites par leur périmètre, pas à pas, d’un point à l’autre avec LINE,
SPLINE ou ARC. Chaque tracé commence à la fin du dernier tracé, le début et la
fermeture de la région s’obtiennent avec START et CLOSE.
• une zone rectangulaire, par exemple, est composée de quatre segments:
START(x1,y1)
LINE TO(x2,y1)
TO (x2,y2)
TO (x1,y2)
TO CLOSE
(Bien entendu, tout quadrilatère peut être fait avec la même structure, simplement en
changeant les coordonnées. Et toute la figure polygonale peut être construite en ajoutant plus
de points.)
• Les arcs de cercle peuvent être construits de plusieurs façons, dont la plus simple consiste à
spécifier un centre et un angle:
START(r,0)
ARC (CENTER = 0,0) ANGLE = 360
La forme de prototype de la section des frontières est alors:
LIMITES
REGION 1
<closed boucles autour du domaine>
REGION 2
boucles <closed superpositions autour de la deuxième material>
...
The two primary things that FlexPDE needs to know are:
•
what are the variables that you want to analyze?
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•
what are the partial differential equations that define them?
•Définir les paramètres matériels
Une grande partie de la complexité des problèmes réels est du aux paramètres matériels des
différentes régions, et donc aux différents matériaux qui entrent dans le domaine étudié et
donc dans le système d’équations aux dérivées partielles.
D'abord, nous définissons le nom de la constante et lui donnons une valeur par défaut dans
la section de définitions :
DEFINITIONS
k=1
Cette valeur par défaut sera employée comme valeur de « k » dans chaque RÉGION du
problème, à moins d’être redéfini dans une région.
C.
•Définir les conditions aux limites
Les conditions aux limites sont données par l’instruction BOUNDARIES selon la
schéma suivant :
BOUNDARIES
REGION 1
REGION 2
D.
• Précisez la sortie graphique.
MONITORS et PLOTS contiennent les instructions pour tracer des graphiques..
MONITORS sont employés pour obtenir des informations continues sur l’avancement de
la solution.
PLOTS sont employés pour indiquer le rendement final, et ces graphiques seront
sauvegardés. FlexPDE recognizes several forms of output commands, but the primary
forms are:
•
•
•
•
•
CONTOUR
SURFACE
VECTOR
ELEVATION
SUMMARY
a plot of contours of the argument; it may be color-filled
a 3D surface of the argument
a field of arrows
a "lineout" along a defined path
text-only reports
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Any number of plots may be requested, and the values plotted may be any consistent
algebraic combination of variables, coordinates and defined parameters.
In our example, we will request a contour of the temperature, a vector map of the heat flux,
k*grad(Phi), an elevation of temperature along the center line, and an elevation of the
normal heat flux on the surface of the blob:
PLOTS
CONTOUR(Phi)
VECTOR(-k*grad(Phi))
ELEVATION(Phi) FROM (0,-1) TO (0,1)
ELEVATION(Normal(-k*grad(Phi))) ON 'ring'
Dans la plupart des cas, les instructions de FlexPDE sont simples.
La derive de u par rapport à x , c’est à dire du/dx, est représenté par dx(u). et la dérivée
seconde dxx(u) . Les opérateurs différentiels divergence, gradient et circulation sont notés :
Div, Grad and Curl.
Majuscules et minuscules sont identiques : "D" est la même lettre que "d".
Les commentaires sont placés entre { }.
Pour ignorer une ligne d’instruction, utiliser !
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