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SESSION DE 1995
BTS Electrotechnique
PHYSIQUE APPLIQUEE
Durée : 4 heures.- Coefficient : 3
Asservissement de vitesse d’un moteur à rotor plat commandé par un hacheur.
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes et peuvent être traitées dans un
ordre indifférent.
Le moteur étudié est un moteur à aimant permanent. Son rotor est constitué d’un disque
isolant sur lequel sont collés des conducteurs en lamelles. L’induit ne comportant pas de fer,
les pertes ferromagnétiques sont négligeables.
Caractéristiques du moteur :
Résistance d’induit : R = 1,5 ; inductance d’induit négligeable ;
Moment d’inertie : J = 2,35 10-4 kg.m2
Valeurs nominales :
Tension : U = 65 V
Courant absorbé : I = 8 A
Vitesse : 3000 tr/mn
1. ETUDE DU MOTEUR
Le moteur étudié doit vaincre dans tous les cas un couple de frottement mécanique dont le
moment est donné par la relation :
Tp = Tf + Kd
où Tf = 2,6 10-2 N.m
et Kd = 1,43 10-4 N.m/rad.s-1
 représente la vitesse angulaire du rotor exprimée en radians par seconde.
1.1.Pour le fonctionnement nominal, calculer :
Les pertes mécaniques, la puissance utile et le rendement du moteur.
1.2.Calculer la constante k liant la f.é.m E à la fréquence  par E = kMontrer que le
moment Tem du couple électromagnétisme est égal à kI ( I : intensité du courant dans
l’induit)
1.3. Calculer la vitesse v en rad.s-1 du moteur et l’intensité Iv du courant dans son induit, à
vide sous la tension nominale U = 65 V.
1.4.Le moteur étant à vide et à l’arrêt, on applique brusquement la tension U = 65 V .
-1-
1.4.1. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour le moteur en
mouvement.
1.4.2. Etablir la relation donnant le moment du couple Tem en fonction de U, 
et k
1.4.3. En déduire l’équation différentielle vérifiée par .
1.4.4. Mettre cette expression sous la forme aError! + = b.
Exprimer a et b.
1.4.5. En déduire la constante de temps mécanique m et la vitesse finale vf
atteinte par le moteur ?
2. ETUDE DU HACHEUR
Le montage étudié est celui de la figure n°1. Il comprend une batterie d’accumulateurs de
résistance interne négligeable et de tension Ub = 72 V, une inductance de lissage de résistance
négligeable et d’inductance L. La diode est supposée parfaite.
Le hacheur se comporte comme un interrupteur parfait. Il travaille à la fréquence f = 500 Hz
avec un rapport cyclique . Pour 0 < t < T , l’interrupteur est fermé ; pour T < t < T ,
l’interrupteur est ouvert.
2.1. Quelle est la relation existant entre la valeur moyenne Vmoy de la tension v(t) et la valeur
moyenne Umoy de la tension u aux bornes du moteur ? Justifier votre réponse.
Etablir la relation entre Ub et Umoy lorsque la conduction dans le moteur est ininterrompue.
Calculer alors la valeur de  permettant d’obtenir Umoy = 65 V.
2.2 Etude du courant dans le moteur : on suppose que la tension à ses bornes est constante et
égale à Umoy = 65 V ( l’ondulation du courant étudié ci-dessous entraîne une variation du
produit Ri autour de RImoy très inférieure à Umoy). La conduction est ininterrompue.
2.2.1. Pour 0 < t < T donner un modèle équivalent du montage. En déduire la
relation vérifiée par i(t) en sachant qu’à t = 0, i = Imin.
2.2.2. Etablir l’expression de l’ondulation de courant I = Imax –Imin en fonction de
, f, L, Ub.
2.2.3. Montrer que l’ondulation est maximale pour  = Error!
2.2.4. Calculer la valeur L de l’inductance de lissage pour que cette ondulation
maximale soit égale à 2,0 A.
2.2.5. Pour le fonctionnement nominal, Imoy = 8,0 A ;calculer Imin et Imax lorsque L
= 18 mH ( on conserve cette valeur par la suite ).
2.3. Donner une méthode expérimentale pour mesurer i(t) et l’ondulation
matériel choisi, le montage utilisé et le protocole de mesure.
-2-
I. On précisera le
2.4. Le moteur tourne à vide à 3000 tr/mn en absorbant Imoy = 0,42 A. On constate que le
rapport cyclique est alors  = 0,56.
2.4.1. Calculer la tension Umoy aux bornes du moteur à vide.
2.4.2. La conduction est-elle interrompue ? Justifier votre réponse.
2.4.3.On constate que le courant dans l’induit s’annule à un instant t1 compris entre
T et T. Que vaut la tension aux bornes du moteur pour : t1< t < T ?
Calculer la constante de temps électrique et la comparer à la période de hachage.
Sur le document réponse à rendre avec la copie, représenter la tension v(t) et
l’allurede i(t) sur une période T de hachage.
3- ASSERVISSEMENT DE VITESSE EN REGIME STATIQUE
La boucle de régulation comprend un opérateur effectuant la différence entre une consigne U a
et une tension UGT image de la vitesse du moteur ( fig.2). Cette tension est obtenue à l’aide
d’une génératrice tachymétrique de coefficient K donnant 3,0 V pour 1000 tr/mn. Le signal de
différence  est amplifié par un amplificateur d’amplification A = 5. Cet amplificateur
commande le rapport cyclique  du hacheur :  = B.Vc avec B = 0,10 V-1. La conduction est
ininterrompue.
Dans cette partie, on négligera le couple de pertes mécaniques du moteur pour lequel on
adopte les valeurs suivantes :
R = 1,5 ,
E = k avec k = 0,17 V/rad.s-1.
3.1 Le moteur est à vide et Umoy = E
3.1.1. Compléter le document réponse à rendre avec la copie, en indiquant la
transmittance littérale de chaque bloc.
3.1.2. Calculer numériquement la transmittance H =  de la chaine directe.
3.1.3. Calculer de même la transmittance K de la chaîne de retour.
3.1.4. Faire le schéma fonctionnel réduit faisant intervenir H, K et l’opérateur de
différence.
3.1.5. Exprimer la transmittance T du système bouclé en fonction de H et de K.
3.1.6. Calculer T et calculer la consigne Ua pour que le moteur tourne à 3000 tr/mn.
3.2 Le moteur est en charge et absorbe un courant d’intensité moyenne Imoy = 8 A.
3.2.1. Compléter le document réponse à rendre avec la copie en indiquant la
transmittance de chaque bloc.
3.2.2. Montrer que la transmittance de la partie en pointillé sur le document réponse
(question 3.2.1.) est Hk.
-3-
3.2.3. Exprimer  en fonction de , Imoy, H, R, et k.
3.2.4. En déduire que :
 = TUa- Error! * Error!
Préciser la signification des termes :
TUa
Error!
Error!
3.2.5. Calculer la vitesse exprimée en tours par minute en boucle fermée avec
Ua=10,5 V
3.2.6. Sur quel facteur doit-on agir si on veut diminuer la variation de vitesse entre le
fonctionnement à vide et le fonctionnement en charge ?
4-ETUDE DE LA GENERATRICE TACHYMETRIQUE
La génératrice délivre une f.é.m. EG(t) ondulée ( figure 3). Lorsque le moteur tourne à 3000
tr/mn, le fondamental de l’ondulation a une fréquence de 200 Hz et une valeur crête à crête de
1 V. La valeur moyenne de la tension de la génératrice est alors de 9 V.
4.1 Donner l’expression de EG(t) en définissant les valeurs numériques de tous les
paramètres, en admettant que EG(t) se compose uniquement de sa valeur moyenne et de son
fondamental.
4.2 Pour filtrer la tension délivrée par la génératrice, on place à ses bornes un
condensateur de capacité C ( figure 4).
4.2.1. Soit E1 l’expression complexe du fondamental de l’ondulation.
la génératrice a une résistance interne R’ de 50 ohms ; donner un modèle
électrique équivalent à l’ensemble génératrice condensateur pour le
fondamental de l’ondulation.
4.2.2. Calculer la transmittance du filtre UGT/ E1
4.2.3.Représenter la courbe de gain en coordonnées de Bode limitées aux
4.2.4. On veut atténuer de 20 dB le fondamental de l’ondulation. Quelle
valeur doit prendre le produit R’C ? En déduire la valeur de C nécessaire.
L
i
Ub = 72 V
v
M
-4-
Charge
u
charge
+

Vc
vitesse
Hacheur +
moteur
A
-
Ua
UGT
G.T
Figure n°2
EG(t)
t
Figure n°3
Figure n°4
G.T
-5-
C
UGT
DOCUMENT REPONSE
Question 2.4.3.
v(t)
t
i(t)
T
t1
T
t
Question 3.1.1.
Vc
Ua


Umoy = E
+ -
amplificateur
commande
hacheur
moteur
UGT
Génératrice tachymétrique
-6-
DOCUMENT REPONSE
Question 3.2.1.
Imoy
-
Umoy
+
Ua
 +
-
+
+
Amplificateur
commande
hacheur
UGT
Génératrice tachymétrique
-7-
moteur