Chapitre_5

Chapitre 5
Ordre dans IR
I Comparaison de deux nombres réels
A] Méthode de la différence
Définition :
Soient a et b deux nombres réels. Dire que a est inférieur ou égal à b revient à dire que la
différence b – a est positive ou nulle.
On écrit b  a équivaut à b – a  0.
Méthode de la différence :
Exercice :
x étant un nombre réel, comparer ( x + 1 ) 2 et x 2 + 1 .
( x + 1 ) 2 – ( x 2 + 1 ) = 2x
Ainsi si x  0, alors ( x + 1 ) 2  x 2 +1
Si 0  x, alors x2 + 1  ( x + 1 ) 2
Règle des signes :
Le produit et le quotient deux nombres réels est :
 Positif si les deux nombres sont de même signe.
 Négatif si les deux nombres sont de signes opposés.
Remarques :
 Un carré est toujours positif.
 La somme de deux nombres négatifs est négative.
 La somme de deux nombres positifs est positive.
 Si l’un des nombre est positif et l’autre négatif on ne peut rien conclure.(Donner des
contre exemples).
Exercice 13 a)p51.
B] Comparaison de deux nombres
1)
Pour comparer deux nombres décimaux
 S’ils sont positifs, alors on compare les chiffres de même ordre.
Exemple :
1,314 < 1,315
 S’ils sont négatifs, alors on compare les chiffres de même ordre.
Exemple :
– 3,314 > – 3,315
Exercices 17 et 20p51.
2) Pour comparer deux nombres en écriture scientifique
On regarde les signes puis la puissance de cette écriture puis enfin les nombre devant la
puissance.
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Chapitre 5 seconde
Exemples :
6,029 10 23 et 3.10 8
6 10 5 et 6,025 10 5
– 1,34 10 2 , 1,34 10 –2 et –1,6.10–19
Exercices 14 et 19p51.
3) Comparaison de fractions
Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur positif et on compare leur
numérateur. Les fractions se rangent alors dans l’ordre de leur numérateur.
Exemple :
Comparer Error! et Error!.
4)
Comparaison de nombres irrationnels
Méthode :
On les élève au carré après avoir regardé leur signe.
Exemples :
53 et 2 19 puis – 32 et – 23
Exercices 25p51.
II Règles sur les inégalités
Exercices 7 et 9p50.
A] Opérations portant sur une inégalité
Soient a, b et c trois réels.
1)
Ajouter un même nombre aux deux membres de l’inégalité conserve l’ordre de
celle-ci.
Ie : si a  b, alors a + c  b + c
2)
Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve l’ordre de
cette inégalité.
Ie : si a  b et c > 0 alors a c  b c.
3)
Multiplier par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.
Ie : si a  b et c<0 alors b c  a c.
Exercices 30 puis 29p52.
B] Avec deux inégalités
On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens.
Ie si a  b et si c  d alors a + c  b + d.
Attention on ne peut pas soustraire.
Contre-exemple : 1  0 et 1  – 2
Exercice 33p51.
C] Théorème de rangement
Théorème :
Soient a et b deux réels.
 Si a  1, alors a  a 2  a 3.
 Si 0< a  1, alors a  a 2  a 3.
 Si 0  a  b, alors 0  a 2  b 2.
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Chapitre 5 seconde
Démonstration
 a  1 >0 On multiplie par a >0 chaque membre de l’inégalité, ainsi on obtient
a 2  a. On recommence le procédé pour obtenir a 3  a 2 . En regardant ces deux inégalités on
trouve alors a 3  a 2  a >0.
 0<a  1 On multiplie chaque membre de l’inégalité par a qui est strictement positif et
on obtient ainsi 0< a 2  a .On recommence le procédé pour obtenir 0 < a 3  a 2. En
rassemblant ces deux inégalité on trouve alors 0 <a 3  a 2  a  1
III Valeur absolue
A] Définition
Exemple :
La distance de – 4 à 0 est OA = 4.
La distance de 3 à 0 est OB = 3.
La distance de x à 0 est OM = x.
Soit x un nombre réel et M le point d’abscisse x.
La distance de x à 0 est OM qui vaut :
 x si x  0
 – x si x  0
Définition :
Sur une droite graduée d’origine O, soit M le point d’abscisse x. La valeur absolue de x, notée
x , est la distance OM.
On note OM = x.
Exemples :
3 = 3 et  – 4 = 4.
Remarque :
 Une distance est toujours positive donc pour tout x de IR  x   0.
 On a ainsi x = x si x  0.
– x si x  0.
Module Aline.
Exercices 57p55.
B] Propriété
On a vu que  – 3  = 3 = 3
De façon plus générale on a que deux nombres opposés ont même valeur absolue : x=–x
Conséquences :
 Si b > 0 l’équation x = b a deux solutions, b et – b.
 Pour tout x réels positif x = x
 Pour tout x  IR–, x  = – x.
C] Distance entre deux nombres
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Chapitre 5 seconde
1)
Exemples
On donne deux points A et B d’une droite graduée. On note a l’abscisse de A et b l’abscisse
de B.
1er cas : a < b
exemple a = 3 et b = 5
Alors AB = 5 – 3 = 2 = 5 – 3  .
2ème cas : a > b
exemple a = 6 et b = 2
Alors AB = 6 – 2 = 4 = 2 – 6 
2)
Généralisation
Dans le cas général, la distance entre les points A et B d’abscisses respectives a et b est a–b
. On parle de distance entre les nombres a et b.
Exercices 62p55.
D] Résolution d’équations et d’inéquations
1) Exemple pour les équations
Trouver tous les nombres x tels que x – 1  = 3
a)
tel que AM = 3.
Soit A le point d’abscisse 1 et le point d’abscisse x sur une droite graduée
Les nombres cherchés sont donc –2 et 4. S = {4, – 2}
b)
Donc S = {4, –2}
Pour x – 4 = 3 faire de même.
2) Exemple pour les inéquations
a)
Trouver les nombres tels que x – 1  > 3
Soit A le point d’abscisse 1 et le point d’abscisse x sur une droite graduée tel que AM > 3.
Les nombres cherchés sont représentés par l’intervalle ] – , – 2 [  ] 4, + [.
b)
Pour x – 4 > 1 faire de même.
Exercices 66, 70, 69 et 74p56.
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Chapitre 5 seconde