LOGIQUE

ALGEBRE MA2 1/7
GROUPES, ANNEAUX ET CORPS
 Une loi de composition interne (ou opération) sur un ensemble
E
est une application  qui à tout couple
,xy
de
EE
associe un
xy
dans
E
. Une opération peut satisfaire différentes propriétés :
o associativité
*x y z x y z   
o commutativité
*x y y x
o existence d’un élément neutre
, *e x e e x x   
o élément inversible (symétrisable)
, x x x x x e
o distributivité de  sur
x y z x y x z     
une autre opération 
x y z x z y z     
L’élément neutre sera noté 0 pour l’addition et 1 pour la
multiplication. De même, l’inverse de
xE
sera noté
x
et
1
x
.
 Propriétés des groupes :
Quand ils existent, l’élément neutre et l’inverse sont uniques.
Tout élément est régulier à gauche et à droite,
c'est-à-dire
x y x z y z    
et
y x z x y z    
.
Le passage à l’inverse est idempotent, c'est-à-dire
11
()xx
.
 Propriétés des anneaux :
0 0 0xx   
x y x y x y       
Pour un
anneau commutatif, la formule du binôme de Newton est vérifiée.
0x
est un diviseur de zéro s’il existe
0y
tel que
0xy
.
Un anneau ne possédant pas de diviseur de zéro est dit intègre.
 Propriété des corps :
0 0 ou 0x y x y    
,E
groupe
 loi interne
 associative
 élément neutre
 inversible
,E
groupe abélien
 commutative
,,E
anneau
 loi interne
 associative
 distributive sur 
,,E
anneau commutatif
 commutative
,,E
anneau unitaire
 élément neutre
,,E
corps
 inversible pour
0x
,,E
corps commutatif
 commutative
,,K
est un corps :
o
,K
est un groupe commutatif
0,K
est un groupe
 est distributive sur
o anneau unitaire avec 1  0
tout élément différent de 0 est inversible pour 
o anneau unitaire et intègre

ALGEBRE MA2 2/7
ESPACES VECTORIELS
 Une espace vectoriel sur K est un ensemble E munis de deux lois :
o une addition interne notée  qui fait de E un groupe abélien
o une multiplication externe par des scalaires vérifiant :
x y x y
x x x
xx
1xx
Les éléments de K sont appelés des scalaires.
Les éléments de E sont appelés des vecteurs.
Propriétés :
00
x x x
00x
0 =0 ou 0xx
 Une sous-ensemble E’ de E est un sous-espace vectoriel si et
seulement s’il est stable par combinaison linéaire (
xy
E’) et
si l’élément nul lui appartient (c'est-à-dire qu’il est non vide).
 L’intersection d’un nombre fini de sev de E est un sev de E.
 Soit A une famille de vecteurs de E. L’ensemble des combinaisons
linéaires de A forment le plus petit sev contenant A, on le note <A>
 tout élément de <A> s’écrit comme combinaisons linéaires de A
 <A> est le sev engendré par A
 A est une famille génératrice de <A>
 E=E1+E2  xE, x1E1, x2E2, x=x1+x2 (somme)
 E=E1 E2  xE, !x1E1, !x2E2, x=x1+x2 (somme directe)
 E=E1+E2 et E1E2={0}
On dit que E1 et E2 sont supplémentaires. Le supplémentaire
d’un sev existe toujours mais il n’est pas forcément unique.
 Une famille de vecteurs
iiI
x
est dite libre et les vecteurs
i
x
sont
dits linéairement indépendants lorsque
0 , 0
i i i
iI x i I
.
 Si la famille n’est pas libre on dit qu’elle est liée et que les vecteurs
i
x
sont linéairement indépendants.
 Tous les éléments d’une famille libre sont distincts et non nuls.
Toute sous-famille d’une famille libre est libre. Toute famille qui
contient une famille liée est liée. Une famille
iiI
x
est liée si et
seulement si un des éléments est combinaison linéaire des autres.
 Un ev est de type fini si et seulement s’il est engendré par un
nombre fini de vecteurs.
 Une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice et libre
est appelée base de E.
 Soit E un ev de type fini et non réduit à {0}. Alors E a une base
finie et toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal.
Ce nombre s’appelle dimension de E et on le note dim E.
Convention : si E={0} alors dim E = 0 et E est engendré par .
 Soit
iiI
b
une base de E. Tout élément x de E s’écrit de manière
unique comme combinaison linéaire de
iiI
b
et les coefficients
sont les coordonnées de x dans la base
iiI
b
.
 Soit dim E = n et soit (b1,…,bp) une famille de vecteurs de E :
o (b1,…,bp) est libre p  n
o (b1,…,bp) est génératrice p  n
o (b1,…,bp) est libre maximale (p=n)  c’est une base
o (b1,…,bp) est génératrice minimale (p=n)  c’est une base

ALGEBRE MA2 3/7
 Théorème de la base incomplète : soit E un espace vectoriel de
dimension n et soient (y1,…, yp) une famille de p vecteurs libres de
E avec p<n. Alors il existe n-p vecteurs (yp+1, …, yn) de E tels que
la famille (y1, …, yp, yp+1,…, yn) forme une base de E.
 Soit E un ev de dimension n, et soit E’ un sev alors E’ est de type
fini et de dimension inférieure ou égale à n. E’=E  dim E’ = dim E
 Soit F’ et F’’ deux sev de types finies alors on a
dim (F’+F’’) = dim F’ + dim F’’ – dim (F’F’’)
 Soient E1…Ep des sev supplémentaires de dimensions finis de E
alors dim E = dim E1 + … + dim Ep.
 Soient E, F des ev de types finis. Alors EF est de type fini et on a
dim EF = dim E + dim F.
 On appelle algèbre sur K un ensemble A munis de deux lois
internes + et  sur A, une loi externe  (
K A A
) :
o
,,A
est un ev
o
,,A
est un anneau
o
, , , x y A K x y x y x y
APPLICATIONS LINEAIRES
 Rappels :
: est injective : , , f E F g F E x E g f x x      
: est surjective : , , f E F h F E y F f h y y      
: est bijective : , et
EF
f E F g F E g f id f g id     
 Soient E, F deux ev sur K et u une application de E dans F. On dit
que u est une application linéaire si et seulement si
, , x y E u x y u x u y    
et
, , x E K u x u x
.
 Une AL d’un ev dans lui-même est appelé endomorphisme. On
appelle isomorphisme une AL bijective. Une AL qui est à la fois un
endomorphisme et un isomorphisme est appelé automorphisme.
 Soit u une AL, alors u(0) est toujours égale à 0.
 u est une AL 
, , , , x y E K u x y u x u y
 La composée, la somme, le produit de deux AL sont des AL.
La composée de deux isomorphismes est un isomorphisme.
 Soient E, F deux ev et u : EF une AL (pas forcément bijective) :
o Si E’ est un sev de E, alors u(E’) est un sev de F
o Si F’ est un sev de F, alors u-1(F’) est un sev de E
 Le sev u(E) de F est appelé l’image de u et est noté Im(u).
Le sev
10u
de E est appelé le noyau de u et noté Ker(u).
 u est injective  Ker(u) = {0}
 l’image d’une famille libre de E est une famille libre de F

ALGEBRE MA2 4/7
 u est surjective  Im(u) = F
 l’image d’un générateur de E est un générateur de F
 u est bijective  l’image d’une base de E est une base de F
 Soit u : E F, si E est de type fini alors la dimension de l’image de
u est aussi appelé rang de u et on note Rg(u).
 dim E = dim Ker(u) + Rg(u) = dim Ker(u) + dim Im(u)
 Soient deux AL u : EF et v : FG alors :
o Rg(v u)  inf(Rg(u), Rg(v))
o u est surjective  Rg(v u) = Rg(v)
o u est injective  Rg(v u) = Rg(u)
 Soit u : EF une AL, E et F étant de types finis :
o u est injective  Rg(u) = dim E
o u est surjective  Rg(u) = dim F
o dim E = dim F  (u est injective  u est surjective)
 Soit p un endomorphisme de E :
p est un projecteur  p p = p (ou p²=p).
 Soit p un projecteur sur un ev E. On a :
o E = Im(p) Im(idE-p)
o Ker(p) = Im(idE-p)
o Im(p) = Ker(idE-p)
 L’ensemble des automorphismes de E est un groupe par rapport à
la composition des applications linéaires. Il est noté Aut(E) ou
GL(E) et on parle de groupe linéaire.
 L’ensemble
L
(E,F) des AL de E dans F est un sous-espace
vectoriel de FE = {f : EF}. Lorsque E = F,
L
(E) est muni d’une
addition, multiplication avec scalaire et, en plus, une multiplication
interne donnée par la composition des AL (algèbre).
APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES
 Soient u : E  F une AL et
iiI
e
une famille des vecteurs de E :
o
iiI
e
engendre E 
iiI
ue 
engendre u(E)
o
iiI
ue 
est libre 
iiI
e
est libre
o
iiI
e
est libre et u est injective 
iiI
ue 
est libre
o u bijective 
base de E base de u(E)
ii
i I i I
e u e
 Soient
iiI
b
une base de E et
iiI
f
une famille de vecteurs de F.
Il existe une unique AL u : EF telle que u(bi)=fi pour tout i dans I.
o u est injective 
iiI
f
est libre
o u est surjective 
iiI
f
est génératrice
o u est bijective 
iiI
f
est une base
 Soit E et F deux ev et
iiI
b
un base de E. L’application qui à tout
u dans
L
(E,F) associe
iiI
ub 
dans FI est un isomorphisme.
 L’addition et la multiplication par un scalaire donne à Mm,n(K) une
structure d’ev/K. L’élément neutre est la matrice nulle notée 0.
L’application Mm,n(K)  (Km)n qui à toute matrice A associe
1,, n
c A c A
est un isomorphisme d’ev/K.
L’application Mm,n(K)  (Kn)m qui à toute matrice A associe
1,, m
l A l A
est un isomorphisme d’ev/K.
La famille des matrices Er,s (tous les éléments sont nuls, sauf celui
à l’intersection de la ligne r et de la colonne s qui vaut 1) est une
base de Mm,n(K). La famille de matrices Er,s où 1≤r≤m et 1≤s≤n est
appelé base canonique (standard) de Mm,n(K).

ALGEBRE MA2 5/7
 Soient u : E  F une AL et
1,n
ee
,
1,m
ff
des bases
respectives de E, F. La matrice de u par rapport aux bases et
est donnée par :
11 1
,,
1
n
mn
m mn
M u M K
où les coefficients de la colonne j sont les coordonnées du vecteur
u(ej) dans la base . Les
(1 et 1 )
ij i m j n
sont uniquement
déterminés, de sorte que soit vérifié :
1
m
j ij i
i
u e f
 Soient u un endomorphisme de E et une base de E :
u est un isomorphisme 
,
Mu
est inversible
1
1
,,
M u M u
 Soient u une AL qui à tout
1,, n
x x E
associe
1,, m
y y F
et
, deux bases respectives de E, F. Alors on a :
11
,
nm
xy
Mu
xy
 Soient E, F deux ev/K et , deux bases respectives de E, F :
1 2 , 1 2 , 1 , 2
, , , , K, u u L E F M u u M u M u
 Soient E, F, G des ev munis de bases , , .
Soient u : E  F et v : F  G des AL alors :
, , ,
M v u M v M u
 La matrice de passage de la base
1,n
ee
vers la base
1,n
ee
est la matrice
,,
P M id
. Les coefficients de la
colonne j sont les coordonnées du vecteur ej’ dans la base .
Remarque :
,
P
est inversible et
1
,,
PP
.
 Soient X, X’ les coordonnées de x dans les bases et alors :
,
X P X
 Soient u une AL de E dans F, et deux bases de E, et
deux bases de F. Alors on a
, , , ,
M u P M u P
 A, A’  Mm,n(K) sont équivalentes (notation A A’)
  P  GLn(K),  Q  GLm(K), A’=QAP
Remarque :
,
M
et
,
M
sont équivalentes.
 réflexivité A A
symétrie A A’  A’ A
transitivité A A’ et A’ A’’  A A’’
 Soit E un ensemble et R une partie de E². On dit que R est une
relation d’équivalence si et seulement si : (notation e
R
e’)
 réflexivité  eE, (e,e)R
 symétrie (e,e’)R  (e’,e)R
 transitivité (e,e’)R et (e’,e’’)R  (e,e’’)R