GROUPES, ANNEAUX ET CORPS Une loi de composition interne (ou opération) sur un ensemble E est une application qui à tout couple x, y de E E associe un E, groupe loi interne associative élément neutre inversible E, groupe abélien commutative x y dans E . Une opération peut satisfaire différentes propriétés : o associativité o commutativité o existence d’un élément neutre o élément inversible (symétrisable) E, , anneau loi interne associative distributive sur L’élément neutre sera noté 0 pour l’addition et 1 pour la multiplication. De même, l’inverse de x E sera noté x et x 1 . E, , anneau commutatif commutative Propriétés des groupes : Quand ils existent, l’élément neutre et l’inverse sont uniques. Tout élément est régulier à gauche et à droite, c'est-à-dire x y x z y z et y x z x y z . E, , anneau unitaire élément neutre E, , corps inversible pour x 0 E, , corps commutatif commutative o distributivité de sur une autre opération x * y z x y z x* y y x e, x * e e x x x, x x x x e x y z x y x z x y z x z y z Le passage à l’inverse est idempotent, c'est-à-dire ( x 1 )1 x . Propriétés des anneaux : Pour un x y x y x y x 0 0 x 0 anneau commutatif, la formule du binôme de Newton est vérifiée. x 0 est un diviseur de zéro s’il existe y 0 tel que x y 0 . Un anneau ne possédant pas de diviseur de zéro est dit intègre. Propriété des corps : x y 0 x 0 ou y 0 ALGEBRE MA2 K , , est un corps : o K , est un groupe commutatif K 0 , est un groupe est distributive sur o anneau unitaire avec 1 0 tout élément différent de 0 est inversible pour o anneau unitaire et intègre 1/7 ESPACES VECTORIELS dits linéairement indépendants lorsque Une espace vectoriel sur K est un ensemble E munis de deux lois : o une addition interne notée qui fait de E un groupe abélien o une multiplication externe par des scalaires vérifiant : x y x y x x x x x Propriétés : x iI i i 0 i I , i 0 . Si la famille n’est pas libre on dit qu’elle est liée et que les vecteurs xi sont linéairement indépendants. Tous les éléments d’une famille libre sont distincts et non nuls. Toute sous-famille d’une famille libre est libre. Toute famille qui contient une famille liée est liée. Une famille xi iI est liée si et 1x x seulement si un des éléments est combinaison linéaire des autres. Les éléments de K sont appelés des scalaires. Les éléments de E sont appelés des vecteurs. Une famille de vecteurs xi iI est dite libre et les vecteurs xi sont 0 0 x x x 0x 0 x 0 =0 ou x 0 Une sous-ensemble E’ de E est un sous-espace vectoriel si et seulement s’il est stable par combinaison linéaire ( x y E’) et si l’élément nul lui appartient (c'est-à-dire qu’il est non vide). L’intersection d’un nombre fini de sev de E est un sev de E. Soit A une famille de vecteurs de E. L’ensemble des combinaisons linéaires de A forment le plus petit sev contenant A, on le note <A> tout élément de <A> s’écrit comme combinaisons linéaires de A <A> est le sev engendré par A A est une famille génératrice de <A> Un ev est de type fini si et seulement s’il est engendré par un nombre fini de vecteurs. Une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice et libre est appelée base de E. Soit E un ev de type fini et non réduit à {0}. Alors E a une base finie et toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal. Ce nombre s’appelle dimension de E et on le note dim E. Convention : si E={0} alors dim E = 0 et E est engendré par . Soit bi iI une base de E. Tout élément x de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de bi iI et les coefficients sont les coordonnées de x dans la base bi iI . E=E1+E2 xE, x1E1, x2E2, x=x1+x2 (somme) E=E1 E2 xE, !x1E1, !x2E2, x=x1+x2 E=E1+E2 et E1E2={0} (somme directe) Soit dim E = n et soit (b1,…,bp) une famille de vecteurs de E : o (b1,…,bp) est libre p n o (b1,…,bp) est génératrice p n o (b1,…,bp) est libre maximale (p=n) c’est une base o (b1,…,bp) est génératrice minimale (p=n) c’est une base On dit que E1 et E2 sont supplémentaires. Le supplémentaire d’un sev existe toujours mais il n’est pas forcément unique. ALGEBRE MA2 2/7 Théorème de la base incomplète : soit E un espace vectoriel de dimension n et soient (y1,…, yp) une famille de p vecteurs libres de E avec p<n. Alors il existe n-p vecteurs (yp+1, …, yn) de E tels que la famille (y1, …, yp, yp+1,…, yn) forme une base de E. Soit E un ev de dimension n, et soit E’ un sev alors E’ est de type fini et de dimension inférieure ou égale à n. E’=E dim E’ = dim E Soit F’ et F’’ deux sev de types finies alors on a dim (F’+F’’) = dim F’ + dim F’’ – dim (F’F’’) Soient E1…Ep des sev supplémentaires de dimensions finis de E alors dim E = dim E1 + … + dim Ep. Soient E, F des ev de types finis. Alors EF est de type fini et on a dim EF = dim E + dim F. On appelle algèbre sur K un ensemble A munis de deux lois internes + et sur A, une loi externe ( K A A ) : o A, , est un ev o A, , o x, y A, K , x y x y x y ALGEBRE MA2 est un anneau APPLICATIONS LINEAIRES Rappels : f : E F est injective g : F E, x E, g f x x f : E F est surjective h : F E, y F , f h y y f : E F est bijective g : F E, g f id E et f g id F Soient E, F deux ev sur K et u une application de E dans F. On dit que u est une application linéaire si et seulement si x, y E, u x y u x u y et x E, K , u x u x . Une AL d’un ev dans lui-même est appelé endomorphisme. On appelle isomorphisme une AL bijective. Une AL qui est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme est appelé automorphisme. Soit u une AL, alors u(0) est toujours égale à 0. u est une AL x, y E, , K , u x y u x u y La composée, la somme, le produit de deux AL sont des AL. La composée de deux isomorphismes est un isomorphisme. Soient E, F deux ev et u : EF une AL (pas forcément bijective) : o Si E’ est un sev de E, alors u(E’) est un sev de F o Si F’ est un sev de F, alors u-1(F’) est un sev de E Le sev u(E) de F est appelé l’image de u et est noté Im(u). Le sev u 1 0 de E est appelé le noyau de u et noté Ker(u). u est injective Ker(u) = {0} l’image d’une famille libre de E est une famille libre de F 3/7 u est surjective Im(u) = F l’image d’un générateur de E est un générateur de F u est bijective l’image d’une base de E est une base de F APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES Soient u : E F une AL et ei iI une famille des vecteurs de E : o Soit u : E F, si E est de type fini alors la dimension de l’image de u est aussi appelé rang de u et on note Rg(u). o dim E = dim Ker(u) + Rg(u) = dim Ker(u) + dim Im(u) o Soient deux AL u : EF et v : FG alors : o Rg(v u) inf(Rg(u), Rg(v)) o u est surjective Rg(v u) = Rg(v) o u est injective Rg(v u) = Rg(u) o ei iI engendre E u ei iI engendre u(E) u ei iI est libre ei iI est libre ei iI est libre et u est injective u ei iI est libre u bijective ei iI base de E u ei iI base de u(E) Soient bi iI une base de E et fi iI une famille de vecteurs de F. Il existe une unique AL u : EF telle que u(bi)=fi pour tout i dans I. o u est injective fi iI est libre fi iI est génératrice u est bijective fi iI est une base o u est surjective Soit u : EF une AL, E et F étant de types finis : o u est injective Rg(u) = dim E o u est surjective Rg(u) = dim F o dim E = dim F (u est injective u est surjective) Soit p un endomorphisme de E : p est un projecteur p p = p (ou p²=p). Soit p un projecteur sur un ev E. On a : o E = Im(p) Im(idE-p) o Ker(p) = Im(idE-p) o Im(p) = Ker(idE-p) L’ensemble des automorphismes de E est un groupe par rapport à la composition des applications linéaires. Il est noté Aut(E) ou GL(E) et on parle de groupe linéaire. L’ensemble L (E,F) des AL de E dans F est un sous-espace vectoriel de FE = {f : EF}. Lorsque E = F, L (E) est muni d’une addition, multiplication avec scalaire et, en plus, une multiplication interne donnée par la composition des AL (algèbre). ALGEBRE MA2 o Soit E et F deux ev et bi iI un base de E. L’application qui à tout u dans L (E,F) associe u bi iI dans FI est un isomorphisme. L’addition et la multiplication par un scalaire donne à Mm,n(K) une structure d’ev/K. L’élément neutre est la matrice nulle notée 0. L’application Mm,n(K) (Km)n qui à toute matrice A associe c1 A , , cn A est un isomorphisme d’ev/K. L’application Mm,n(K) (Kn)m qui à toute matrice A associe l1 A , , lm A est un isomorphisme d’ev/K. La famille des matrices Er,s (tous les éléments sont nuls, sauf celui à l’intersection de la ligne r et de la colonne s qui vaut 1) est une base de Mm,n(K). La famille de matrices Er,s où 1≤r≤m et 1≤s≤n est appelé base canonique (standard) de Mm,n(K). 4/7 Soient u : E F une AL et e1 , en , f1 , f m des bases respectives de E, F. La matrice de u par rapport aux bases et est donnée par : 1n 11 M , u M m,n K mn m1 M , v u M , v M , u La matrice de passage de la base e1 , e1 , où les coefficients de la colonne j sont les coordonnées du vecteur u(ej) dans la base . Les ij (1 i m et 1 j n) sont uniquement déterminés, de sorte que soit vérifié : u e j ij f i Soient E, F, G des ev munis de bases , , . Soient u : E F et v : F G des AL alors : en est la matrice en vers la base P , M , id . Les coefficients de la colonne j sont les coordonnées du vecteur ej’ dans la base . Remarque : P , est inversible et P , P , . 1 m i 1 X P , X Soient u un endomorphisme de E et une base de E : u est un isomorphisme M , u est inversible M , u 1 M , u Soient u une AL qui à tout x1 , 1 , xn E associe y1 , , deux bases respectives de E, F. Alors on a : , ym F et x1 y1 M , u x y n m Soient X, X’ les coordonnées de x dans les bases et alors : Soient u une AL de E dans F, et deux bases de E, et deux bases de F. Alors on a M, u P, M , u P , A, A’ Mm,n(K) sont équivalentes (notation A A’) P GLn(K), Q GLm(K), A’=QAP Remarque : M , et M , sont équivalentes. réflexivité symétrie transitivité Soit E un ensemble et R une partie de E². On dit que R est une relation d’équivalence si et seulement si : (notation e e’) Soient E, F deux ev/K et , deux bases respectives de E, F : u1 , u2 L E, F , , K, M , u1 u2 M , u1 M , u2 A A A A’ A’ A A A’ et A’ A’’ A A’’ R ALGEBRE MA2 réflexivité symétrie transitivité eE, (e,e)R (e,e’)R (e’,e)R (e,e’)R et (e’,e’’)R (e,e’’)R 5/7 On appelle classe d’équivalence d’un élément xE l’ensemble des éléments {eE / e x}. On la note x . Le rang de AMm,n(K) noté rg A est la dimension du sous-espace vectoriel de Km qui est engendré par les vecteurs colonnes de A. Si u : E F (dim E = n, dim F = m) est une AL alors : rg u rg M , u où , sont deux bases de E, F. Soient AMm,n(K), BMn,p(K) alors : o rg A ≤ inf (m,n) o rg (AB) ≤ inf (rg A, rg B) o P GLn(K), Q GLm(K), rg (QAP)=rg A o m=n (rg A = n A GLn(K)) A A’ rg A = rg A’ A, A’ Mn(K) sont semblables (notation A A’) Le rang d’une matrice A est le plus grand entier r pour lequel il existe une matrice carrée d’ordre rr extraite de A qui est inversible. Les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de Mn(K) sont deux sous espaces vectoriels. Si K est un corps, 02, alors Mn(K) = An(K) Sn(K). Si NMn(K) est triangulaire avec 0 sur la diagonale, alors Nn=0 et donc, N est nilpotente d’indice inférieur ou égal à n. Soit NMn(K). Si Nk=0 alors In-N est inversible et In N Remarque : c’est une relation d’équivalence A A S S A’ Ak A’k A’ (A inversible A’ inversible A-1 A’-1 La trace d’une matrice carrée A, notée tr A, est la somme des coefficients diagonaux. L’application qui associe une matrice carrée à sa trace est linéaire et donc tr (aA+bB) = a tr A + b tr B. Si AMm,n(K), BMn,m(K) alors tr(AB) = tr(BA). Soient A et A’ deux matrices carrées. Si A L’application qui associe une matrice à sa transposée est linéaire. ALGEBRE MA2 S A’ alors tr A = tr A’. i 0 Soit E un ev/K. On appelle sous-espace affine de E toute partie A de E de la forme F+a où F est un sev/K de E et a appartient à E. càd : A = { x+a / xF} Convention : on considère la partie vide comme un sea. S S k 1 Ni . NOTIONS AFFINES S P GLn(K), A’=P’AP 1 Soient F, F’ deux sev de E, a et a’ deux éléments de E alors F+a = F’+a’ F=F’ et a-a’ est dans F (ou F’). Soit A un sea non vide, A=F+a. On appelle F la direction de A. La dimension de F s’appelle dimension de A. Deux sea de même direction sont dits parrallèles. Les sea de dimension 0 (resp. 1, 2, n-1) sont appelés les points (resp. droites, plans, hyperplans) de E. 6/7 Soient A1,…,An des sea de E, de direction F1,…,Fn alors l’intersection des Ai est un sea et si A0 sa direction est l’intersection des direction. Soient RMn-p,n(K) avec rg R = n-p, et bKn-p. {xKn / Rx=b} est un sea de dimension p. Soit A un sea non vide de de dimension p, alors il existe RMn-p,n(K) avec rg R = n-p et bKn-p tel que A={xKn / Rx=b}. Soit A un sea non vide de Kn et de dimension p, de direction F, et soit b dans A, alors il existe RMn,p(K) telle que rg R=p et A={Rx+b / xKp}. Soient RMn,p(K) avec rg R = p, et soit bKn alors {Rx+b / xKp} est un sea de dimension p et de direction F où F est le sev de K n engendré par les vecteurs colonnes de R. Soient E, F deux ev/K. Une application u : E F est appelée application affine si u = t v avec v : E F une AL et t une translation de F, càd qu’il existe a dans F tel que pour tout x de F, t(x) = x+a. Kn, Soit u : E F un AA et A dans E un sea de direction D. Alors u(A) est un sea de F de direction v(D) avec v l’AL associée à u. Soit u : E F une AA et v l’AL associée alors : u injective/surjective/bijective v injective/surjective/bijective Soit E un ev/K. Les AA bijectives de E dans lui-même forment un groupe (pour la composition des applications) appelé le groupe affine de E. Ce groupe est noté Aff(E). Remarque : u(x)=v(x)+a Soit u une AA de E dans F, u = t1 v1 et u = t2 v2, où v1, v2 sont des AL de E dans F, et t1, t2 sont des translations de F. Alors v1=v2 et t1=t2. Soit u : E F une AA et u= t v. On appelle v l’AL associée à u. Soient E, F, G des ev/K. u1 : E F et u2 : F G des AA. Alors : o u2 u1 : E G est une AA o l’AL associée à u2 u1 est v2 v1 avec vi l’AL associée à ui (i=1,2). ALGEBRE MA2 7/7