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ANGLES ORIENTES DE VECTEURS
1 ) ORIENTATION DU PLAN
Orienter un cercle, c'est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct ( ou positif )
L'autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde)
Orienter le plan, c'est orienter tous les cercles du plan dans le même sens.
L'usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d'une montre.
( appelé aussi sens trigonométrique )
Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1.
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
2) MESURES DE L’ANGLE ORIENTE D’UN COUPLE DE VECTEURS NON NULS
A ) ENSEMBLE DES MESURES
Soit
et
deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point quelconque
et C le cercle trigonométrique de centre O.
On considère A’ et B’ les points définis par
’ =
et
’ =
.
Les demi-droites [ OA’ ) et [ OB’ ) coupent le cercle trigonométrique C
respectivement en A et en B .
Les vecteurs
=
et
=
sont unitaires,
respectivement colinéaires à
et
et de même sens qu’eux .
Vous avez vu dans l’activité comment on définit les mesures en radian del’angle
orienté de vecteurs unitaires (
,
) à partir de celles de l’arc orienté
...
Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs (
) sont celles de
l’angle
orienté de vecteurs unitaires (
) c'est à dire , celles de l’angle orienté de
vecteurs unitaires (
) .
Il en résulte que si x est une mesure de (
) , alors les autres mesures sont
de la forme
x + 2 k , k
On définit de même l’angle orienté
d’un couple de demi-droites [ Ox ) et
[ Oy ) que l’on note ( Ox , Oy ) .
On dit que les angles orientés de
vecteurs sont définis modulo 2 .
Notation :
La notation usuelle est
, mais s’il n'y a aucun risque de confusion , on notera seulement (
,
) cet angle orienté.
Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures.
On écrit, par exemple, (
,
) =
signifiant qu’une mesure de (
,
) est
; les autres mesures
sont alors de la
forme
2 + 2 k , k
On écrit aussi (
,
) =
+ 2 k , k
ou encore (
,
) =
[ mod 2
B ) MESURE PRINCIPALE
Une seule des mesures de l’angle orienté de vecteurs (
) appartient à l'intervalle ] - ; ] ; On l'appelle
mesure principale de l’angle orienté de vecteurs (
Rem :
La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté de vecteurs (
,
) est la mesure de l’angle géométrique formé
par ces deux vecteurs.
Ex :
La mesure principale de (
,
) est
La mesure principale de (
,
) est
La mesure principale de (
,
) est
Sauf avis contraire, les
angles sont mesurés en
radian.