Sujet du devoir

Un devoir à la maison- A propos de la réouverture du tunnel du Mont Blanc en 2002
Adapté de "La physique de tous les jours" aux édition Vuibert
Le problème posé.
Après un très grave accident en mars 1999, le tunnel du mont Blanc a été réouvert aux voitures
particulières et aux poids lourds en 2002.
A quelle vitesse faut-il rouler pour qu'en respectant les distances de sécurité le débit soit maximal ?
Modélisation du problème.
On note l la longeur moyenne d'un véhicule, v la vitesse (en m/s). La distance de sécurité à respecter entre deux véhicules est celle
qui permet à chacun de s'arréter en cas d'incident sans emboutir la voiture qui le précède.
Une fois que le conducteur appuie sur le frein, la distance de freinage nécessaire pour s'arréter est
où a est la décélération (en m/s²). Cette dernière dépend du coefficient d'adhérence qui dépend lui-même de l'état de la chaussée.
Il faut aussi tenir compte du temps de réaction t qui s'écoule avant que le conducteur ne réagisse.
Si on note N le débit horaire du tunnel (dans un seul sens de circulation), justifiez que
Etude du problème
On prend 5 comme valeur de l. Dans le cas des situations 1 et 2, on prend t = 0.5 s et l = 5 m. Tous les tracés seront faits dans le
même repère (tracés sur ordinateur possibles)
 Situation n°1. On suppose que la chaussée est sèche, on prend a = 10.
a) Etudiez les variations de f et construisez son tableau de variations. Précisez la vitesse (en km/h) qui assure le débit maximal et le
débit associé.
b) Déterminez la tangente T en O à F, puis construisez F dans un repère orthogonal adapté.
 Situation n°2. On suppose que la chaussée est humide , on prend a = 5.
On notera g la fonction qui à v associe N et G sa courbe représentative.
a) Reprenez les même question que celle de la situation n°1.
b) F et G ont-elles des points communs autre que O ?
 Situation n°3. On considère ici que les conducteurs oublient de tenir compte du temps de réaction et
estiment mal la distance de freinage en pensant qu'elle est égale à 2v.
a) Vérifiez qu'alors
On note h la fonction définie dans R+ qui à v associe N et H sa courbe représentative.
b) Etudiez les variations de h et construisez son tableau de variations. Précisez la vitesse qui assure le débit
maximal ainsi que le débit correspondant.
c) Précisez les points d'intersection de H et de F ainsi que de H et de G. Précisez la tangente en O à H et
construisez H.
e) A partir de quelle vitesse y a-t-il danger si la chaussée est sèche ? Si la chaussée est humide ?