Leçon 30

Leçon 30
Diffraction. Principe de Huyghens-Fresnel. Diffraction à l’infini d’une onde
plane par une pupille rectangulaire ; cas de pupille fente (PC)
---------------Bibliographie :
 TecDoc Ondes : chapitre 10 (notations épouvantables, à éviter).
 Hachette Optique Ondulatoire : chapitres 6. Moyen.
 Bréal (Expériences d’Optique à l’agrégation de Physique)
 Dunod Optique : chapitres 9. Bien.
 Ellipses : La physique en Prépa : chapitre 20. Pour le plan.
I. PRINCIPE DE HUYGHENS-FRESNEL : plutôt Faroux.
1. Le phénomène de diffraction : définir la diffraction de Fraunhofer (à l'infini, le diaphragme
étant éclairé par une onde plane) & la diffraction de Fresnel (cas quelconque, influence du bord du diaphragme). Dans le premier cas (le seul au programme), en déduire (en supprimant les deux lentilles) qu'il
s'agit d'une interaction locale entre l'onde & le diaphragme. Mise en évidence expérimentale (manip :
LASER avec une fente réglable). Bien montrer que la largeur de la figure de diffraction varie en sens
inverse de celle de la fente.
2. Principe d'Huyghens - Fresnel : la lumière se propage de proche en proche.
* tout point M du diaphragme D atteint par la vibration lumineuse a(M) se comporte comme une source
secondaire ré - émettant la même vibration (en fait, il y a une avance de phase de /2) ;
* un élément de surface d de D émet une vibration da proportionnelle à d ;
* les ondelettes da sont cohérentes & interfèrent.
3. Technique de calcul : si Ao est l'amplitude du faisceau parallèle éclairant D, introduire une dendAo
sité d'amplitude
sur D. Pour une source ponctuelle, on aurait : a( M )  Ao .e  j( M ) , donc pour un
d
A
élément quasi – ponctuel : d a ( M )  o .e  j( M ) .d . En lumière cohérente, on intègre les amplitudes

*
puis on obtient l'intensité par : I  a. a .
II. DIFFRACTION PAR UNE PUPILLE FENTE :
Traduction : fente infiniment fine, de largeur a donc problème à une dimension. L'autre dimension
de la fente, soit L, est supposée très grande devant a, de sorte que la figure de diffraction suivant cette
direction est négligeable, puisqu'en 1/L (propriété générale de la transformée de Fourier). On a donc un
problème à une dimension. L'intensité diffractée ne dépendra que d'un seul angle . Prendre l'origine des
phases au point O, centre de la fente.
1. Calcul de l'amplitude diffractée : en posant OM = x, & en supposant  petit, on a : M = x.,
A
x
d'où : a( M )  Ao .e  j( M ) , avec ( M )  2 
. Principe d'Huyghens-Fresnel : da  o e  j( M ) .dx ,

a
a/2
puis (ondes cohérentes) : a () 
sin x
 a 
(sinus cardinal).
 , avec sinc ( x ) 
x
 
 da  Ao .sinc 
a / 2
 a 
2. Calcul de l'intensité diffractée : I  a.a *  I o .sinc 2 

  

3. Franges de diffraction : les franges noires (I = 0) sont obtenues pour n  m. , la frange cena

trale (I = Io), de largeur angulaire   2 est obtenue pour   0 , & les autres franges brillantes sont
a
obtenues en dérivant la fonction I () , ce qui conduit à la résolution de l'équation Tanx  x , donc ap-
proximativement aux valeurs suivantes : b  ( 2m  1)


2

& I b  I o .

2a
 ( 2m  1). 
2
4. Propriétés de la figure de diffraction : la frange centrale a une largeur double des autres, &
contient la quasi - totalité de la lumière diffractée : propriété caractéristique qui distingue des franges
d’interférences. Les autres franges sont peu visibles, à moins d'occulter la frange centrale ("apodisa
1
tion"). La largeur angulaire de la frange centrale, égale à   2 , varie en , propriété générale de la
a
a
transformée de Fourier. A justifier par une manip (avec le LASER & un jeu de fentes fixes sur diapos).
Ne pas se perdre (comme Hachette) dans les autres propriétés (translation, théorème de Babinet par
exemple).
III. DIFFRACTION PAR UNE PUPILLE RECTANGULAIRE : plutôt Hachette.
On travaille avec une fente rectangulaire, de dimensions a & b (du même ordre). L'intensité diffractée dépendra alors de deux angles u & v. On prendra l'origine des phases au point O, centre de la fente.
  2
( xu  yv ) , où les
1. Calcul de l'amplitude diffractée : la phase en M vaut : ( M )  k . r 

 2 

u . Si on appelle  &  les coorangles u & v définissent la direction du vecteur unitaire u , avec k 

données d'un point quelconque sur l'écran, placé dans le plan focal image d'une lentille de distance focale
f, on a les relations (les angles u & v étant nécessairement petits compte tenu des conditions de Gauss)


 ua 
 vb 
: u  , v  . On en déduit : a (u, v )  Ao .sinc 
.sinc 
.
f
f
  
  
 ua 
2  vb 
2. Calcul de l'intensité diffractée : I  a.a *  I o .sinc 2 
.sinc 
.
  
  
3. Franges de diffraction : l'intensité diffractée n'est notablement différente de zéro que près des
axes. Alors un sinus cardinal tend vers 1, & on retrouve l'intensité d'une fente fine.
4. Propriétés de la figure de diffraction : on aura donc une frange centrale homothétique du dia

phragme (de dimensions angulaires
& ), & des séries de franges sur les axes qui, dans un plan de
a
b
coordonnées (u, v) seront enveloppées par deux hyperboles équilatères. Manip avec LASER & diapos.
Ouverture circulaire, pouvoir séparateur, n fentes : hors sujet.