Leçon 30

Leçon 30
Diffraction. Principe de Huyghens-Fresnel. Diffraction à l’infini d’une onde
plane par une pupille rectangulaire ; cas de pupille fente (PC)
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Bibliographie :
 TecDoc Ondes : chapitre 10 (notations épouvantables, à éviter).
 Hachette Optique Ondulatoire : chapitres 6. Moyen.
 Bréal (Expériences d’Optique à l’agrégation de Physique)
 Dunod Optique : chapitres 9. Bien.
 Ellipses : La physique en Prépa : chapitre 20. Pour le plan.
I. PRINCIPE DE HUYGHENS-FRESNEL : plutôt Faroux.
1. Le phénomène de diffraction : définir la diffraction de Fraunhofer (à l'infini, le diaphragme
étant éclairé par une onde plane) & la diffraction de Fresnel (cas quelconque, influence du bord du dia-
phragme). Dans le premier cas (le seul au programme), en déduire (en supprimant les deux lentilles) qu'il
s'agit d'une interaction locale entre l'onde & le diaphragme. Mise en évidence expérimentale (manip :
LASER avec une fente réglable). Bien montrer que la largeur de la figure de diffraction varie en sens
inverse de celle de la fente.
2. Principe d'Huyghens - Fresnel : la lumière se propage de proche en proche.
* tout point M du diaphragme D atteint par la vibration lumineuse a(M) se comporte comme une source
secondaire ré - émettant la même vibration (en fait, il y a une avance de phase de /2) ;
* un élément de surface d de D émet une vibration da proportionnelle à d ;
* les ondelettes da sont cohérentes & interfèrent.
3. Technique de calcul : si Ao est l'amplitude du faisceau parallèle éclairant D, introduire une den-
sité d'amplitude
d
dAo
sur D. Pour une source ponctuelle, on aurait :
)(
.)( Mj
oeAMa 
, donc pour un
élément quasi – ponctuel :
 de
A
Mad Mj
o..)( )(
. En lumière cohérente, on intègre les amplitudes
puis on obtient l'intensité par :
I a a.*
.
II. DIFFRACTION PAR UNE PUPILLE FENTE :
Traduction : fente infiniment fine, de largeur a donc problème à une dimension. L'autre dimension
de la fente, soit L, est supposée très grande devant a, de sorte que la figure de diffraction suivant cette
direction est négligeable, puisqu'en 1/L (propriété générale de la transformée de Fourier). On a donc un
problème à une dimension. L'intensité diffractée ne dépendra que d'un seul angle . Prendre l'origine des
phases au point O, centre de la fente.
1. Calcul de l'amplitude diffractée : en posant OM = x, & en supposant  petit, on a : M = x.,
d'où :
)(
.)( Mj
oeAMa 
, avec
( )Mx 2
. Principe d'Huyghens-Fresnel :
dxe
a
A
da Mj
o.
)(
,
puis (ondes cohérentes) :
a
Adaao
a
a
sinc.)( 2/
2/
, avec
xx
xsin )(sinc 
(sinus cardinal).

2. Calcul de l'intensité diffractée :
 a IaaI o2
*sinc..
3. Franges de diffraction : les franges noires (I = 0) sont obtenues pour
a
m
n
 .
, la frange cen-
trale (I = Io), de largeur angulaire
a
 2
est obtenue pour
  0
, & les autres franges brillantes sont
obtenues en dérivant la fonction
I( )
, ce qui conduit à la résolution de l'équation
Tanx x
, donc ap-
proximativement aux valeurs suivantes :
a
m
b2
)12( 
&
2
).12( 2
. m II ob
4. Propriétés de la figure de diffraction : la frange centrale a une largeur double des autres, &
contient la quasi - totalité de la lumière diffractée : propriété caractéristique qui distingue des franges
d’interférences. Les autres franges sont peu visibles, à moins d'occulter la frange centrale ("apodisa-
tion"). La largeur angulaire de la frange centrale, égale à
a
 2
, varie en
a
1
, propriété générale de la
transformée de Fourier. A justifier par une manip (avec le LASER & un jeu de fentes fixes sur diapos).
Ne pas se perdre (comme Hachette) dans les autres propriétés (translation, théorème de Babinet par
exemple).
III. DIFFRACTION PAR UNE PUPILLE RECTANGULAIRE : plutôt Hachette.
On travaille avec une fente rectangulaire, de dimensions a & b (du même ordre). L'intensité diffrac-
tée dépendra alors de deux angles u & v. On prendra l'origine des phases au point O, centre de la fente.
1. Calcul de l'amplitude diffractée : la phase en M vaut :
( ) . ( )M k r xu yv  
2
, où les
angles u & v définissent la direction du vecteur unitaire
u
, avec
k u2
. Si on appelle  &  les coor-
données d'un point quelconque sur l'écran, placé dans le plan focal image d'une lentille de distance focale
f, on a les relations (les angles u & v étant nécessairement petits compte tenu des conditions de Gauss)
:
f
v
f
u  ,
. On en déduit :
vbua Avua osinc.sinc.),(
.
2. Calcul de l'intensité diffractée :
 vbua IaaI o22
*sinc.sinc..
.
3. Franges de diffraction : l'intensité diffractée n'est notablement différente de zéro que près des
axes. Alors un sinus cardinal tend vers 1, & on retrouve l'intensité d'une fente fine.
4. Propriétés de la figure de diffraction : on aura donc une frange centrale homothétique du dia-
phragme (de dimensions angulaires
a
&
b
), & des séries de franges sur les axes qui, dans un plan de
coordonnées (u, v) seront enveloppées par deux hyperboles équilatères. Manip avec LASER & diapos.
Ouverture circulaire, pouvoir séparateur, n fentes : hors sujet.