Masque page de garde des TP de SI en 1ère et Tale

Classe de S Sciences de l’Ingénieur
CENTRE D’INTERET :
Lycée PE MARTIN
CI.6 : Comportement statique des solides
Cours
Sommaire:
THEMATIQUES :
E13: Principe de l’isolement et étude de l’équilibre
statique d’un solide
I DEFINITIONS :
1) Solide , Système matériel :
1.1) Le solide réel
1.2) Le solide indéformable
1.3) Le système matériel :
2) Actions mécaniques :
2.1) Force, moment, couple
2.2) Classification
2.2.1) Classification globale
2.2.2) Exemple :
II MODELISATION :
1) Définition :
2) Composantes d’un torseur :
3) modélisation des actions mécaniques :
3.1) modélisation d’une action à distance : cas de la pesanteur:
3.2) Modélisation des actions mécaniques de contact :
III ISOLEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL :
1) Définition :
2) Frontière d’isolement :
3) Actions mécaniques extérieures et intérieures :
IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE :
1) Equilibre d’un solide, d’un ensemble de solides :
2) Enoncé du principe fondamental de la statique :
2.1) Définition
2.2) Théorèmes généraux :
2.2.1) Théorème de la résultante statique :
2.2.2) Théorème du moment statique :
3) Principe des actions mutuelles :
V APPLICATIONS :
1) Problèmes plans :
1.1) Définition d’un problème plan :
1.2) Propriétés :
2) Equilibre d’un solide soumis à l’action de deux forces :
3) Equilibre d’un solide soumis à l’action de trois forces:
4) Algorithme de résolution d’un problème de statique :
4.1) Schéma d’analyse du mécanisme :
4.2) Algorithme de résolution :
5) Cas particulier d’un système soumis à trois forces parallèles coplanaires :
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 1/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
I DEFINITIONS :
1) Solide , Système matériel :
Qu’appelle-t-on solide en mécanique ? Les réponses différent suivant l’objectif à
atteindre. Le mot solide à une signification différente suivant qu’on le considère, dans la
réalité, en résistance des matériaux, en statique ou en dynamique. Il est donc très
important de bien définir cette notion.
1.1) Le solide réel :
Le solide réel est le solide tel qu’il apparaît réellement. C’est un solide qui possède une
masse constante et un volume dont les limites varient sous l’action d’un système
d’actions mécaniques extérieures à sa frontière suivant une loi qui n’est pas connue à
priori.
1.2)Le solide indéformable :
Le solide indéformable possède une masse constante et un volume dont les limites sont
invariantes quelles que soient les actions mécaniques auxquelles il est soumis. La
distance entre deux points quelconques d’un solide indéformable est une constante.
1.3) Le système matériel :
On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse
reste constante pendant son étude. Un ensemble de solides, un mécanisme peuvent être
considérés comme des systèmes matériels.
2) Actions mécaniques :
On appelle action mécanique toute cause susceptible de modifier la vitesse et la trajectoire
d’un objet, de déformer un corps ou de le maintenir au repos par rapport à un repère pris
comme référence.
2.1) Force, moment
2.1.1 Notion de force
On appelle force, l'action mécanique (attraction ou répulsion) qui s'exerce mutuellement
entre deux solides. Ces deux solides ne sont pas obligatoirement en contact.
Une force s’applique en un point. L’action mécanique exercée par une force sur une pièce
dépend de : l’intensité de la force,
•
la direction de la force,
•
du sens de la force.
L’entité mathématique « Vecteur » est, lui,
S2
F (S1 S2 )
S1
aussi caractérisé par sa Norme, sa Direction
et son Sens. Une force sera donc modélisée par
un vecteur, associé à un Point d’application.
P

Point dÕappli cation P
Unité : Une force s’exprime en Newton
Notation : F ( S1S2 )
Ordre de grandeur : Une personne de masse 70 Kg a un poids d’environ 700 N, soit, 70
daN.
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 2/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
2.1.2 Notion de moment
- Moment d’une force par rapport à un point
z
Considérons un utilisateur qui souhaite, à
l’aide d’une clé, fixer la jante d’un véhicule
automobile.
y

Il positionne sa main au point A.

Puis il commence par exercer une force F1
intégralement portée par x . Malgré sa
bonne volonté, il n’arrive pas à obtenir le
serrage de la vis.

Il décide, alors, 
d’incliner légèrement son
F 4 
action mécanique pour obtenir la force F2
portée par x et  z . Le serrage semble
s’amorcer.


x
F3
F2



 F
Finalement il exerce une force
F1
A
O
3
intégralement portée par z . Son action
mécanique semble être efficace… Pour
 une force F4
retirer sa clé, il exercera

intégralement portée par y .


L’exemple précédent montre que les effets physiques d’une A.M. dépendent de la position
du point d’application et de l’orientation dans l’espace (direction et sens) de la force F
associée à cette A.M.
Nous sommes donc conduits à introduire la notion de moment de la force F par rapport à

un point pour caractériser complètement l’A.M.

_MA(£F )
On appelle moment par rapport au point A
de la force F appliquée au point M, le
vecteur d’origine A ci-contre
1 SSI
()
y
Unité : Newton mètre (N.m)

(// à )
z
Statique des mécanismes
O
x
A
d
M
£F
Page 3/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
Ce vecteur moment M A (F ) sera représenté par une double flèche. Il possède les
caractéristiques suivantes :
Une origine : Le point A
Une direction : perpendiculaire au plan formé par les vecteurs AM et F .
Un sens : Le trièdre ( AM , F , M A ( F )) est direct.

Une norme : M A ( F )  AM . F . sin( AM , F )
- Application aux problèmes Plans
Lorsque nous étudions un problème plan, les vecteurs moments sont nécessairement
portés par l’axe perpendiculaire au plan d’étude. Nous introduisons donc la notion de
moment d’une force par rapport à un axe : M O z (F ) .
M Bz (F)
y
Il est judicieux d’utiliser la relation dite
du « Bras de Levier ». En effet,
moyennant l’utilisation d’un peu de
trigonométrie, il est aisé de déterminer
la longueur d.
z
O 
B
d
x
M
£F


M B z ( F )  d . F
La longueur d sera affectée d’un signe plus (+) si la force tend à faire tourner le système
dans le sens positif, du signe moins (–) dans le cas contraire. C’est donc une grandeur
algébrique.
2.1.3 Notion de couple
Notre opérateur souhaite
desserrer la vis bloquée installée
sur la jante. Après avoir utilisé le
premier modèle de clé sans grande
réussite, il préfère utiliser un
modèle de type « croix ». Il pose
ses mains en A et en B et exerce
z
y


deux forces FA et FB telles que :
FA  FB  F  F.z

B
x
O
Un rapide calcul lui donne les
moments par rapport au point O de
ces deux forces:
L
M O (FA )  F. .y
2 et
L
M O (FB )  F. .y
2
FA  F
O
FB  F
A
L

2
L
2





1 SSI

Statique des mécanismes
Page 4/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
Le bilan des A.M. exercées par l’utilisateur sur la croix est composé :
FU  FA  FB  F .z  F .z  0
• d’une résultante des forces :
• d’un moment résultant par rapport au point O : M O ( FU )  M O ( FA )  M O ( FB )   F .L. y
La résultante de ces deux forces est nulle. Par contre, ces mêmes deux forces génèrent un
moment que l’on appellera : un Couple.
2.2) Classification :
2.2.1) Classification globale :
Les actions mécaniques s’exerçant sur des systèmes matériels peuvent être de
deux natures différentes :


Les actions mécaniques de contact qui agissent au niveau des différentes
liaisons entre les solides (on les appelle aussi actions mécaniques surfaciques).

Les actions mécaniques à distance qui agissent sur l’ensemble des systèmes
matériels. Ce sont par exemple les actions de pesanteur, les actions dues à un
champ électrique. (on les appelle aussi actions mécaniques volumiques)
2.2.2) Exemple
Un ensemble de corps étant défini (isolement), on distingue les actions mécaniques
extérieures des actions mécaniques intérieures à cet ensemble.
Soient trois solides S1, S2 et S3.
Soit E l'ensemble constitué par les
corps S1 et S2 : E={ S1, S2 }.
Le bilan des actions mécaniques
extérieures qui agissent sur l’ensemble
E s’établit ainsi:
A
Poids de l’ensemble E (Action
Mécanique à distance : Poids de S1 et
S2).
(S1)
(S2)
B
C
(S3)
D
Actions mécaniques de contact
exercées par S3 sur l’ensemble E aux
points A, C et D (Actions Mécaniques
de contact).
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 5/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
II MODELISATION :
1) Définition :
D’un point de vue global, les actions mécaniques, sont représentées (modélisées) par un
torseur, appelé torseur statique.
Par exemple l’action mécanique du solide (1) sur le solide (2) sera représentée en un point A
par :
A
T 
12






A 


F

A
M
A







A 

F
On voit apparaître ici que le torseur est avant tout caractérisé par deux vecteurs, appelés
aussi éléments de réductions du torseur :
 La force

FA
qui représente la force exercée par (1) sur (2) en A, son unité est le
Newton (N)

 
Le moment M F
A
A qui
représente le moment mécanique exercé par (1) sur (2), son unité
est le newton mètre (N.m)
2) Composantes d’un torseur :
Un torseur étant composé de deux vecteurs, il est possible en déterminant les composantes
de chaque vecteur dans une même base de préciser ainsi les composantes du torseur.


Soit R(O;x,y,z) un repère où O est l’origine et (x,y,z) la base de projection associée.
Ecrivons les composantes des deux vecteurs du torseur statique
A
T 
12
représentant
l’action de (1) sur (2) dans cette base :
La résultante s’écrit
XA

FA 
YA et le moment :

M
LA

F

A
A
M A donc finalement
  
( x , y ,z )
  
( x , y ,z )
NA
ZA

le torseur peut s’écrire en projection dans (x,y,z) de la manière suivante :
T
A
1 2
X
  Y
Z

A
1 SSI
A
LA
A
MA
A
NA





Statique des mécanismes
  
( x , y ,z )
Page 6/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
3) modélisation des actions mécaniques :
3.1) modélisation d’une action à distance : cas de la pesanteur:
Cette action mécanique à distance se modélise par le torseur suivant, écrit au centre
de gravité G du système que l’on étudie.
Exemple : Modélisation de l’action de la pesanteur sur le solide (1) :
Cette action se représente par :
G
T
Terre 2

 P
0





G 








 G étant le centre de gravité du solide (1),



 P représentant le poids du solide (1) , on rappelle que P mg (m étant la masse du

solide (1) et g l’accélération de la pesanteur,

Nota : le poids P est toujours dirigé par la verticale descendante.
3.2) Modélisation des actions mécaniques de contact :
Nom de la
liaison
Nombre de
degré de liberté
Torseur transmissible
Cas général (espace)
5
0 0
0 0   
O Z 0 (x,y,z)
 
4
0 0 
0 M(x,y,z)
Z 0
O
4
 0 0
Y 0(x,y,z)
Z 0
O
Appui plan de

normale (O;z)
3
0 L 
0 M(x,y,z)
Z 0
O
Rotule de
centre O
3
X 0
Y 0(x,y,z)
Z 0
O
Ponctuelle de

normale (O;z)
Linéaire
rectiligne de

normale (O;z)

d’axe (O;x)
Linéaire
annulaire

d’axe (O;x)
1 SSI
Schéma
Statique des mécanismes
Torseur transmissible cas
du problème plan

(projection dans (O;x,y) )
Page 7/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
Pivot glissant

d’axe (O;x)
Hélicoïdale à
droite d’axe

(O;x)
0 0 
Y M(x,y,z)
Z N
O
2
1
(2 mobilités
liées)
X L 
Y M(x,y,z)
Z N
O
avec L  -
p
X
2.
Pivot d’axe

(O;x)
1
X 0 
Y M(x,y,z)
Z N
O
glissière d’axe

(O;x)
1
0 L 
Y M(x,y,z)
Z N
O
0
X L 
Y M(x,y,z)
Z N
O
encastrement
III ISOLEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL :
Pour conduire l’analyse d’un système matériel, on est amené souvent à le fractionner en soussystèmes, qu’il faut séparer de leur environnement. Cette opération est désignée sous le nom
« isolement ».
1) Définition :
Un système isolé est tout ou partie d’un système matériel que l’on rend distinct de son
environnement. Ce peut-être par exemple une partie de pièce, une pièce ou un ensemble de
pièces appartenant à un mécanisme.
L’isolement consiste à couper l’espace en deux parties disjointes de façon à séparer le
système étudié E de son environnement E puis à remplacer cet environnement par des
actions mécaniques que l’on appelle actions mécaniques extérieures
2) Frontière d’isolement :
La frontière d’isolement d’un système matériel E est la surface fermée qui sépare E de
l’extérieur E .
Exemple :
Supposons
que
la
figure
ci-dessous
représente le graphe des liaisons d’un
mécanisme. si on considère que le système
matériel E est constitué des solides 3 et 4,
la frontière d’isolement sépare E = {3,4} de
l’extérieur
E = {0,1,2}.
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 8/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
3) Actions mécaniques extérieures et intérieures :
- Une action mécanique extérieure au système matériel E est une action mécanique
provenant de E et agissant sur E.
- Une action mécanique intérieure au système matériel E est une action mécanique
s’exerçant mutuellement entre deux éléments de E.
Dans l’exemple précédent, les actions mécaniques extérieures à E sont :
- L’action mécanique de contact de 1  4 (lire 1 sur 4)
- L’action mécanique de contact de 2  3
- L’action mécanique à distance de pesanteur  E
les actions mécaniques intérieures sont :
- L’action mécanique de contact de 3  4
- L’action mécanique de contact de 4  3
IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE :
1) Equilibre d’un solide, d’un ensemble de solides :
Un système matériel E est en équilibre par rapport à un repère Ro, si à instant donné tous
ses éléments sont immobiles par rapport à Ro. Ceci s’explique par le fait que la vitesse d’un
point M quelconque du système E est nulle par rapport au repère Ro :


M
E est en équilibre  M  E VE/Ro
0
2) Enoncé du principe fondamental de la statique :
2.1) Définition : Pour qu’un système matériel E soit en équilibre par rapport à une repère
galiléen, il faut que le torseur représentatif de toutes les actions mécaniques
extérieures à E appliqué à E soit égal au torseur nul.

 T E  E   0
Remarques :
- Pour la plupart des mécanismes étudiés en laboratoire, un repère lié à la terre
constitue une bonne approximation d’un repère galiléen.
- Il existe des systèmes matériels pour lesquels le torseur des actions mécaniques
extérieures est nul, mais qui ne sont pas en équilibre.
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 9/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
- La condition nécessaire est suffisante pour qu’un système matériel soit en équilibre
s’énonce de la manière suivante :
- Le système doit être en équilibre au début de l’étude
- Pour tout système matériel e de E :

 T e  e  0
2.2) Théorèmes généraux :
En écrivant qu’en tout point de l’espace, les éléments de réduction du torseur des
actions mécaniques extérieures à E sont nuls, on obtient deux équations vectorielles
appelées théorèmes généraux de la statique.

R ( E  E)
Posons :  T ( E  E ) 

M ( E  E)





A

A







2.2.1) Théorème de la résultante statique :
Pour un système matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen, la résultante du
torseur des actions mécaniques extérieures à E est nulle :


R( E  E)  0
2.2.2) Théorème du moment statique :
Pour un système matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen, le moment du
torseur des actions mécaniques extérieures à E est nul.
A  Rg


MA ( E  E)  0
3) Principe des actions mutuelles :
Soit une partition du système matériel E en sous systèmes E1 et E2, appliquons le Principe
fondamental de la Statique successivement à E, E1 et E2 :
Principe Fondamental de la Statique appliqué à E :
A

T (E  E)   T (E  E ) T (E  E )  0
1
A
2
A

Principe Fondamental de la Statique appliqué à E1 :
A

T (E  E )  T (E  E )  T (E  E )  0
1
1
A
1
A
2
1

Principe Fondamental de la Statique appliqué à E2 :
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 10/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
A
 T (E
2
 E )
2
A
T (E  E ) T (E
2
A
1

 E ) 0 
2
En réalisant la combinaison -- on obtient :
A
 T (E
2
 E )
1
A
 T (E
1

 E )  {0}
2
Théorème : L’action mécanique d’un système matériel E1 sur un système matériel E2 (E1  E2 )
est opposée à l’action mécanique de E2 sur E1
A
 T (E
2
 E )   T(E  E )
1
A
1
2
V APPLICATIONS :
1) Problèmes plans :
1.1) Définition d’un problème plan :
- Lorsque les mouvements des solides constituant le mécanisme s’effectuent dans des
plans parallèles, il est possible de représenter toutes les liaisons dans un même plan.
- Dans les problèmes réels étudiés, rares sont les cas où les efforts transmis possèdent
toutes les composantes définies dans le repère local associé à la liaison. Si la répartition
des efforts extérieurs est symétrique par rapport à un plan, il est possible de
représenter toutes les actions mécaniques de liaison par des glisseurs dont la résultante
appartient à ce plan.
Finalement : Lorsqu’il est possible de représenter dans un même plan, les liaisons ainsi
que les résultantes des glisseurs des Actions Mécaniques Extérieures et des Actions
Mécaniques de liaison le mécanisme est dit plan.
1.2) Propriétés :
L’hypothèse du problème plan permet de simplifier l’étude de l’équilibre du système

matériel choisi. En effet si, par exemple, le plan d’étude est le plan (O; x, y) de la base du

repère général R( O; x, y, z) , le représentant type des Actions Mécaniques est de la
forme :

X 0 
 Ri  j 


 T (i  j)   
Q
  Y 0 
M
i

j




 Q  0 N ( x , y, z)
Q


Q
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 11/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
En conséquence la résolution des deux équations vectorielles issues de l’écriture du
Principe Fondamental de la Statique (PFS) :



Ri

j

0


MOi  j  0 
Fait apparaître les trois équations scalaires :

- projection de  sur l’axe ( O; x) (proj /x)

- projection de  sur l’axe ( O; y ) (proj /y)

- projection de  sur l’axe ( O; z) (proj /z)
2) Equilibre d’un solide soumis à l’action de deux forces :
Soit le solide (S) en équilibre par rapport à un
repère galiléen sous l’action de deux forces
modélisées par les torseurs suivants :

F 
 T (ext  S)    
0

 T (ext  S)  F 
0
A
A
B
B
Enoncé du PFS dans ce cas particulier :
Si un solide (S) est en équilibre sous l’action de deux forces alors les représentants des
forces (les résultantes) sont directement opposés :
- Ils ont le même support,
- Les valeurs algébriques des résultantes sont opposées
3) Equilibre d’un solide soumis à l’action de trois forces:
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 12/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
Soit le solide (S) en équilibre par rapport à un
repère galiléen sous l’action de trois forces
modélisées par les torseurs suivants :

 T (ext  S)  F 
0

 T ' (ext  S)  F 

  

 0

 T ' ' (ext  S)  F 

  

 0
A
A
B
B
C
C
Enoncé du PFS dans ce cas particulier :
Si un solide (S) est en équilibre sous l’action de trois forces alors, les résultantes des
trois torseurs représentants les trois forces sont :
- coplanaires,
- concourantes ou parallèles,
- de somme vectorielle nulle.
4) Algorithme de résolution d’un problème de statique :
4.1) Schéma d’analyse du mécanisme :
Le schéma d’analyse (ou d’architecture) d’un mécanisme, est construit à partir du
graphe des liaisons du mécanisme, sur ce schéma figurent également les Actions
Mécaniques Extérieures au mécanisme.
4.2) Algorithme de résolution :
- Réaliser le schéma d’analyse du mécanisme,
- Faire l’isolement du solide ou du système matériel dont on désire étudier l’équilibre,
- Faire, si possible, des hypothèses au niveau :
- des liaisons (parfaites ou non)
- de la géométrie du système, de la symétrie des A.M. (problème plan ou
spatial)
- des A.M. à distance (peut-on négliger le poids du système devant les autres
A.M. ?)
- Etc.
- Faire un inventaire des Actions Mécaniques Extérieures agissant sur le Système
Matériel isolé, modéliser ces A.M.E. par des torseurs,
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 13/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur
- Enoncer le P.F.S.
- Résoudre (analytiquement ou graphiquement)
- Faire l’analyse et le commentaire des résultats
5) Cas particulier d’un système soumis à trois forces parallèles coplanaires :

B2S

A3S
S
C
B
A
Dans ce cas la résolution graphique n’est pas indiquée, on lui
préfère une résolution analytique.

C1S
a
Le principe fondamental de la statique s’énonce donc de la
manière suivante :
d

o
Q
y
Sens positif de
« rotation »
T   0
Q
S S
Dans l’exemple ci-contre nous allons choisir par exemple le point A
pour écrire le principe fondamental :
A
T
S S
x

  0  M





FA  FB  FC  0




  M   M   0
A FA
A FB
A FC

z
Avec :
X 0
F    Y 0 

 0 0
0
X 0 
F    Y 0 

 0 0
0
A
A
A
  
( x , y ,z )
C
B
B
A
A
X 0 
F    Y 0 

 0 0
0
B
B
C
  
( x , y ,z )
B
C
C
  
( x , y ,z )
C
A ce stade de la résolution deux options s’ouvrent à vous :


1 SSI
Soit vous lancez le calcul par le biais d’un logiciel
Soit vous procédez « manuellement » de la manière suivante :
Statique des mécanismes
Page 14/15
Classe de S Sciences de l’Ingénieur

Principe : Le moment de la force Fi  j

par rapport au point A, noté M A i j
possède une intensité égale au produit
de l’intensité Fi  j

de Fi  j par le
Solide j
A
bras de levier d ( d longueur du
segment AA’ avec A’
projeté orthogonal de A sur le

Fi  j
d

support de Fi  j )
A’
M A i j  Fi  j  d
Convention de signe : Si

Fi  j
a
tendance à faire « tourner » le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment
est compté positif (négatif dans le sens rétrograde)
En reprenant l’exemple de la page précédente : on calcule la somme des moments
comme suis :

M

M

M
A

FA

A FB
A

FC

0

 a. F

z
B
 
 d. F z
C
Lorsqu’on additionne ces trois termes et en les projetant sur l’axe z, il vient :


0  a. F - d. F
B
C
0
Le principe fondamental donnera les trois égalités suivantes :

de la somme des moments en A :

de la somme des forces :


0  a. F - d. F
B
C
0
X  X  X  0

Y  Y  Y  0
A
A
B
B
C
C
Nota : Pour que la résolution soit complète il faut au moins connaître une force

complètement par exemple ici C1S et bien entendu les longueurs a et d.
1 SSI
Statique des mécanismes
Page 15/15