1. Illustration de la synthèse de Fourier.

Analyse harmonique des signaux. Filtrage.
 Le programme devra commencer par l’instruction restart puis par le chargement de la library plots nécessaire
au tracé des graphes. En revanche, aucun restart n’est conseillé en cours de programme.
 En outre, on rappelle que lorsqu’on souhaite relancer un calcul ou un tracé en modifiant un paramètre du
problème, il ne faut pas remonter dans le haut du programme afin de faire des modifications sauvages, mais
entrer la nouvelle valeur du paramètre puis retaper l’instruction de calcul ou de tracé.
I. SYNTHESE DE FOURIER.
1. Illustration de la synthèse de Fourier.
 On donne les décompositions de Fourier des trois fonctions périodiques usuelles suivantes :
 Fonction créneau impaire de période T, symétrique d’amplitude E :
f (t ) 
4E



1
 2k  1 sin  2k  1
k 0
2 t 

T 
 Fonction triangle impaire de période T, symétrique d’amplitude E :
g (t ) 
 1
k
2 t 

sin  2k  1

 k 0  2k  1
T 

8E
2


2
 Fonction en dents de scie de période T, positive d’amplitude E :
h(t ) 
E E  1
 2 t 
  sin  p

2  p 1 p
 T 
 Travail demandé :
 Analyser et interpréter les graphes des fonctions suivantes, en vous aidant si besoin de l’aide de Maple :





frac(x) - x-round(x) et abs(x-round(x)) - Heaviside(sin(x)) - signum(sin(x)).
En utilisant l’étude précédente, définir les fonctions f(t), g(t) et h(t).
Les tracer après avoir choisi T = 1 ms et E = 1V.
Définir les fonctions « coefficient », notées bf(p), bg(p) et bh(p), qui associent à un entier p positif ou nul le
coefficient de Fourier d’indice p de la décomposition de la fonction associée : f(t), g(t) et h(t).
Attention : pour f et g, seuls les entiers impairs de la forme 2k+1 donnent lieu à un coefficient de Fourier non
nul ; en outre, seule la fonction h possède un coefficient de Fourier non nul d’indice 0. Afin de distinguer le
cas des entiers impairs (odd) et pairs (even), on pourra utiliser la fonction piecewise.
Définir une procédure notée somme qui, prenant comme variable un entier n et une fonction « coefficient »,
calcule la somme de Fourier associée à ces coefficients jusqu’au rang n, à un instant t fixé. On introduira une
variable locale i servant d’indice de sommation et on utilisera la fonction sum ou add (si l’une semble poser
problème, essayer l’autre…).
Pour une valeur de n donnée (n = 1 pour commencer), définir à partir de la procédure précédente, en utilisant
la fonction unapply, la fonction du temps correspondant à la somme de Fourier au rang n.
Pour chacune des fonctions f(t), g(t) et h(t), tracer sur le même graphe la fonction elle-même et la somme de
Fourier associée, en augmentant progressivement le nombre n de termes de la somme. Observer la
recomposition (ou synthèse) du signal à partir des sinusoïdes sommées. Evaluer dans chaque cas le nombre
de termes à sommer pour obtenir une recomposition satisfaisante. Justifier les éventuelles différences entre
les trois fonctions.
Rq : Dans toute la suite, on se limitera, dans les sommes de Fourier, à un nombre n de termes réalisant un
bon compromis entre une recomposition correcte et un temps de calcul acceptable.
2. Visualisation du spectre d’un signal.
 On souhaite visualiser le spectre des signaux, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs absolues des coefficients de
Fourier, soit en fonction de l’indice p, soit en fonction de la pulsation  de la sinusoïde associée.
Ce spectre se présente habituellement sous forme de graphe en bâtonnets :
 Travail demandé :
 Sachant que pour tracer un segment de droite entre deux points de coordonnées (x1,y1) et (x2,y2),
l’instruction est : plot ( [ [x1,y1], [x2,y2] ] ), utiliser la fonction seq pour générer la série de bâtonnets
associée au spectre étudier ; tracer alors le spectre comme la juxtaposition des différents bâtonnets en
utilisant la fonction display.
 Varier les plaisirs en choisissant en abscisse, tantôt l’indice p, tantôt la pulsation .
 Superposer le spectre du créneau et celui du triangle en choisissant deux couleurs différentes et deux
épaisseurs de trait différentes (thickness) afin de pouvoir les comparer.
II. ACTION D’UN FILTRE SUR UN SIGNAL PERIODIQUE.
 On s’intéresse à deux filtres, dont les fonctions de transfert sont les suivantes :
- Passe-bas du 1er ordre : H 
1
1 j 
0
-
Passe-bande du 2nd ordre : H 
H0
1  jQ   
 0
0 
 
Dans toute la suite, on appelle Ve une tension excitatrice pouvant être en créneaux, un triangles ou dents de
scie, et Vs la tension obtenue à partir de Ve après action de l’un des filtres.
 Commandes utiles :
 Ecrire la commande qui permet de tracer sur un même graphe, avec en abscisse la pulsation, le gain du filtre,
le spectre de Ve et le spectre de Vs.
 Définir une procédure qui, prenant comme variable un entier n, une fonction « coefficient » associée aux
coefficients de Fourier de Ve, et un fonction de transfert H, calcule la somme de Fourier jusqu’au rand n
associée à Vs.
 Ecrire la commande qui permet de tracer sur un même graphe les sommes de Fourier associées à Ve et Vs.
Rappel : les sommes de Fourier sont calculées avec un nombre n de termes réalisant un bon compromis entre
une recomposition correcte et un temps de calcul acceptable.
 Etude du filtre passe-bas :
 Pour une pulsation de coupure 0 donnée et pour chacune des fonctions Ve, tracer tout d’abord sur le même
graphe, avec en abscisse la pulsation, le gain du filtre, le spectre de Ve et le spectre de Vs.
 Prévoir qualitativement l’allure de la tension Vs puis tracer sur le même graphe les sommes de Fourier
associées à Ve et Vs. Comparer aux prévisions.
 Recommencer en changeant la pulsation de coupure ; les cas à envisager sont :
- 0 ≫ 2/T - 0 ≪ 2/T
 Dans quel cas obtient-on un comportement intégrateur ? Expliquer.
0  2/T
 Etude du filtre passe-bande :
 Même travail en faisant varier la pulsation centrale 0 et le facteur de qualité Q.
 Utiliser le programme afin de mettre en évidence le principe d’un analyseur de spectre.