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Chapitre 8 : Grandeurs sinusoïdales
Partie A.3.2.2 du programme officiel
Cours
Compétences antérieures mathématiques
- coordonnées cartésiennes (algébriques) : z=a+ib représentation dans le plan complexe
- coordonnées polaires (trigonométriques) : z=[;] avec =|z| (module) et =arg(z) (argument)
- passage de polaire à cartésien : a=cos et b=sin
- passage de cartésien à polaire: = a²+b² et tan=b/a (cos=a/ a²+b² et sin=b/ a²+b²)
- somme de complexes : on utilise la notation cartésienne car c’est déjà une somme 
z1+z2=a1+a2+i(b1+b2)
- produit de complexes : on utilise la notation polaire car le module d’un produit est le produit des
modules et l’argument d’un produit est la somme des arguments  z1.z2=[1.2;1+2]
- division de complexes (analogue au produit) : z1/z2=[1/2;1–2]
1/ Définition : Une grandeur sinusoïdale est une grandeur alternative et sa forme est une sinusoïde (sinus
ou cosinus).
a) Intérêt du sinusoïdal : Décomposition d’un signal périodique (voir activité)
fondamental en fonction du temps
8
6
4
2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
-2
-4
-6
-8
harmonique de rang 3 seul en fonction du temps
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.002
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
Chaque harmonique est une sinusoïde.
0.004
0.006
0.008
0.01
fondamental+harmonique de rang 3
8
6
4
2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.008
0.01
0.008
0.01
-2
-4
-6
-8
fondamental+harmonique de rang 3+rang 5
8
6
4
2
0
0
0.002
0.004
0.006
-2
-4
-6
-8
fondamantal+somme harmoniques jusqu'au rang 13
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
-8
0.002
0.004
0.006
Que faut-il rajouter à la somme de sinusoïdes pour obtenir une valeur moyenne du signal recomposé non
nulle ?
Conclusion : une tension périodique quelconque peut être décomposée en une somme ci-dessous.
u= composante continue+fondamental+harmoniques
<u>=composante continue (offset)
f= fréquence du fondamental
les harmoniques enrichissent le signal pour lui donner une forme particulière, on dit qu’ils créent une
distorsion
b) Utilisation de la calculatrice
Tracer sinx puis 10sinx puis 10sin(72x) puis 10sin(72x+90) puis convertir les angles en radian et trouver
la relation entre la fréquence, la pulsation et 2
u(t)=Ûsin(t+u) avec u la phase à l’origine en rad et f, la pulsation en rad/s
i(t)=Ûsin(t+i)
Comme toute grandeur alternative, une grandeur sinusoïdale a une moyenne nulle.
Les lois du continu sont valables à chaque instant t ainsi qu’avec les vecteurs et les complexes.
2/ Valeur efficace : Seulement dans ce cas particulier U=U/ 2 avec U, la valeur maximale de u.
U peut se mesurer avec un TRMS an AC+DC ou dans ce cas particulier avec un voltmètre quelconque en
mode alternatif (~ ; AC).
3/ Vecteur de Fresnel : à u on peut associer un vecteur de Fresnel U tel que ||U||=U et d’angle égal à
Im

u
Somme de sinus avec Fresnel :
http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optiphy/repfresn.html
cos1
cos1
cos1
cos1
4/ Déphasage
On peut définir le déphasage entre 2 tensions, 2 intensités ou entre une tension et intensité.
Le déphasage est l’angle correspondant à la durée séparant les 2 sinusoïdes.
On note , le déphasage de u par rapport à i : =ui= avec  le décalage temporel entre u et i (si u
 
avant i alors >0 sinon <0). =( I, U)
Remarque : à une durée correspond un angle T360°(2rad) ; 
5/ Représentation complexe : à u on peut associer un complexe
U=[U ;u] ; |U|=U ; argU=u
Remarque : j²= 1.
Exemple récapitulatif : courbes sinus ci-dessous, t en ms , u en trait plein en V et i en pointillés en A
Déterminer la phase à l’origine de i, le déphasage de u par rapport à i. En déduire la phase à l’origine de
u. Donner les 3 représentations (horaire, vecteur, complexe) de u et i.
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
-8
1
2
3
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5
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7
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9
10
Re
Exemple récapitulatif : courbes sinus ci-dessous, t en ms , u en trait plein en V et i en pointillés en A
Déterminer la phase à l’origine de i, le déphasage de u par rapport à i. En déduire la phase à l’origine de
u. Donner les 3 représentations (horaire, vecteur, complexe) de u et i.
8
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0
0
1
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3
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-2
-4
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-8
Exemple récapitulatif : courbes sinus ci-dessous, t en ms , u en trait plein en V et i en pointillés en A
Déterminer la phase à l’origine de i, le déphasage de u par rapport à i. En déduire la phase à l’origine de
u. Donner les 3 représentations (horaire, vecteur, complexe) de u et i.
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-4
-6
-8
Exemple du triphasé :
u23=v2-v3
On applique cette relation en complexe trigo puis algébrique, on revient ensuite au trigo grâce à la
représentation graphique du complexe.
Exemple des intensités : i1=i2+i3 schéma géné lampe moteur
On cherche la valeur complexe à partir de l’expression temporelle et on fait le même travail qu’avec
l’exemple précédent
TP filtre sonore (démarche d’investigation)
Introduction : rôle du filtre
CR + suiveur (440Hz puis 4400Hz avec 10kΩ et 10nF)
Vérifier la loi des mailles en sinusoïdal sur ce circuit avec synchronie.
1/ Vérification instantanée
La loi des mailles est bien vérifié à chaque instant, la courbe u0=u–uC–uR est bien nulle.
Les valeurs efficaces ne vérifient pas la loi des mailles car elles ne tiennent pas compte du décalage entre
les courbes.
⃗UR
2/ Vérification vectorielle
La loi des mailles est donc vérifiée avec les vecteurs.
⃗UC
⃗⃗
U
3/ Vérification complexe
Après avoir écrit en coordonnées trigonométriques, on passe en algébriques pour faire la somme UC et
UR, on obtient U.
La loi des mailles est donc bien vérifiée.
4/ Faire la représentation vectorielle avec d’autres fréquences
2kHz
1kHz
4kHz
Exercices Grandeurs sinusoïdales sources Maazi (Nathan technique)
Elément de correction de l’exercice 11
t(ms)
u1(V)
u2(V)
u3(V)
0 0,125
0,25 0,375
10 9,2396 7,0739 3,8324
0 1,9125 3,5341 4,6183
10 11,152 10,608 8,4506
0,5 0,625
0,75 0,875
1 1,125
0,008 -3,818 -7,063 -9,233
-10 -9,246
5 4,6213 3,5398 1,9199 0,008 -1,905
5,008 0,8037 -3,523 -7,314 -9,992 -11,15
u3(V)
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Contrôle de connaissances sur le sinusoïdal
Courbes sinus ci-dessous, t en ms , u en trait plein en V et i en pointillés en A
Déterminer la phase à l’origine de i, le déphasage de u par rapport à i. En déduire la phase à l’origine de
u. Donner les 3 représentations (horaire, vecteur, complexe) de u et i.
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-5
-10
-15
Contrôle de connaissances sur le sinusoïdal
Courbes sinus ci-dessous, t en ms , u en trait plein en V et i en pointillés en A
Déterminer la phase à l’origine de i, le déphasage de u par rapport à i. En déduire la phase à l’origine de
u. Donner les 3 représentations (horaire, vecteur, complexe) de u et i.
15
10
5
0
0
1
2
3
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-5
-10
-15
Correction du contrôle de connaissances
= –360/T= –45°
u=10sin(1260t–0,8) et i=7sin(1260t)
𝐼
–45°
⃗ ‖ et I=Imax/√2=4,95A=‖𝐼 ‖
U=Umax/√2=7,07V=‖𝑈
U=[7,07; –45°]=5–5j et I=[4,95;0]=4,95
⃗
𝑈
10
Test Sinusoïdal
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1/ Placer les voies de l’oscilloscope afin de visualiser u et i du dipôle D.
On obtient les courbes ci-dessous :
D
i
R =1k.
u
ugén
R uR
u(V) en trait plein
i(mA) en pointillés
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-4
-6
-8
-10
2/ Donner <u> et <i>.
3/ Déterminer la période.
En déduire la fréquence et la pulsation.
4/ Déterminer la valeur maximale de u et de i.
En déduire les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité.
5/ Déterminer le déphasage 
de la tension par rapport à l’intensité.
6/ On prendra U=3,5V ; I=5,7mA ; i=0 ; u=60°. Donner les expressions temporelles de u(t) et i(t) puis les expressions
complexes de U et I. En déduire l’impédance Z=U/I.


7/ Exprimer UR en fonction de I. Tracer les vecteurs de Fresnel de u et uR. En déduire la valeur efficace et l’angle de u gén
9t(ms)
Correction test Sinusoïdal
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1/ Placer les voies de l’oscilloscope afin de visualiser u et i du dipôle D.
On obtient les courbes ci-dessous :
R =1k.
CH1
D
i
u
ugén
R uR
u(V) en trait plein
i(mA) en pointillés
–CH2
10
8
6
4
2

0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-4
-6
-8
-10
2/ Donner <u> et <i>.
La valeur moyenne d’une grandeur alternative est nulle, c’est le cas ici de la tension et de l’intensité.
3/ Déterminer la période.
En déduire la fréquence et la pulsation.
T=5ms  f=1/T=200Hz et =2f=1260 rad/s
4/ Déterminer la valeur maximale de u et de i.
En déduire les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité.
Umax=5V et Imax=8mA
U=Umax/√2=3,54V
I=Imax/√2=5,66mA
5/ Déterminer le déphasage 
de la tension par rapport à l’intensité.
=360/T=58°, le déphasage est positif car u est avant i
6/ On prendra U=3,5V ; I=5,7mA ; i=0 ; u=60°. Donner les expressions temporelles de u(t) et i(t) puis les expressions
complexes de U et I. En déduire l’impédance Z=U/I.
u=3,5√2 sin(1260t+/3)
i=5,7.10–3√2 sin(1260t)
U=[3,5 ;60°] et I=[5,7.10–3 ;0]
Z=[3,5/5,7.10–3 ;60–0]


7/ Exprimer UR en fonction de I. Tracer les vecteurs de Fresnel de u
et uR. En déduire la valeur efficace et l’angle de u gén


UR=R I donc à 1mA correspond 1V.
Par mesure graphique, la longueur donne Ugén=8V et l’angle est 22°.
⃗⃗ R
𝑼
⃗𝑼
⃗
⃗𝑼
⃗ gén
𝑰
9t(ms)