regime variable

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Chapitre 1
REGIME VARIABLE

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I. Définitions générales
La puissance instantanée p(t) fournie ou reçue par un dipôle est égale au produit de la tension
multipliée par le courant traversant au même instant le dipôle :
)t(i)t(u)t(p 
La puissance mesure le débit d’énergie W fournie ou reçue par le dipôle :
dt
dW
p
ou
f
i
t
tdt).t(pW
II. Lois de Kirchoff
 Loi des nœuds (conservation de la charge électrique) :
« Somme des courants entrants = Somme des courants sortants »
quel que soit le signe des ces courants :
i(t)
i(t)
u(t)
L’intensité du courant électrique dans un conducteur est une mesure à
un instant donné du débit de la quantité d’électricité qui traverse une
section droite de ce conducteur :
dt )t(dq
)t(i 
La tension est une mesure de la différence de potentiel entre deux
points d’un circuit. L’énergie d’une particule portée au potentiel V est
égale à qV où q représente la charge de la particule (
C106,1 19
pour
les électrons).
La tension est une grandeur algébrique :
BAABBAAB u)vv(vvu 
L’intensité du courant est une grandeur algébrique : un courant positif
correspond à une circulation dans le même sens que le sens
conventionnel : celui de charges positives (sens inverse des électrons
dans les conducteurs métalliques).
Récepteur
En convention générateur (u(t) et i(t) fléchés dans le même
sens), p(t) est positif si le dipôle est effectivement
générateur.
En convention récepteur (u(t) et i(t) fléchés en sens inverse),
p(t) est positif si le dipôle est effectivement récepteur.
i4
i3
i2
i1
Générateur
4321 iiii 
uBA
1
'
1ii 
1
i
dq
t
t+dt
B
A
uAB=-uBA
Dipôle

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la loi des nœuds peut être généralisée à un contour fermé englobant une partie d’un montage :
 Loi des mailles :
Exemple :
- Circuit à une seule maille : loi de Pouillet
Généralisation :
i
i
R
e
i
en comptant positivement les f.e.m. orientées dans le même sens que i
et négativement celles orientées dans le sens inverse.
u4
u3
u1
u2
0uuuu 4321 
BCE iii 
Point de départ
Orientation de la
maille
0iReiRiRe 32211 
soit
321
21 RRR ee
i
iE
iC
iB
i
R2
R1
R3
R2
e1
e2

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III. Loi d’Ohm généralisée
En convention récepteur :
)t(iR)t(u 
)t(iRp 2
f
i
fi
t
t
2
tt dt)t(iRW
dt )t(di
L)t(u 
dt )t(di
)t(iLp 
)t(i)t(iL
2
1
Wi
2
f
2
tt fi 
dt )t(du
C)t(i 
dt )t(du
)t(uCp 
)t(u)t(uC
2
1
Wi
2
f
2
tt fi 
 Conséquences :
- un condensateur s’oppose aux variations de tension :
)0t(u)0t(u CC  
car
C)t(i dt
du cc 
est fini si i(t) est fini
- une bobine s’oppose aux variations de courant :
)0t(i)0t(i LL  
car
L)t(u dt
di LL 
est fini
si u(t) est fini
- en régime continu établi (hors régimes transitoires) : u = constante = U et i = constante = I :
≡
≡
≡
0
dt
dU
Ci c
c
0
dt
dI
Lu L
L
Ir
dt
dI
LIrUu 
u(t)
i(t)
R
u(t)
i(t)
L
u(t)
i(t)
C
L
C1
K
L,r
r

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IV. Régimes transitoires
Lorsqu’on perturbe temporairement un circuit électrique (mise sous tension ou hors tension,
changement de régime, modification d’un paramètre), il s’écoule toujours une durée variable appelée
régime transitoire avant que le système retrouve un régime permanent stable. La recherche de
l’évolution des courants et des tensions ou de toute autre variable pendant un régime transitoire
conduit à la démarche systématique suivante :
(1) Etablir l’équation différentielle associée à la variable étudiée (en utilisant les lois de
Kirchoff et la loi d’Ohm généralisée pour les signaux de tension et de courant)
(2) Résoudre l’équation différentielle
(3) Déterminer les constantes d’intégration de la solution trouvée en utilisant les
Conditions Initiales (C.I.)
1) Systèmes du premier ordre
La forme générale de l’équation différentielle est du type :
)t(f)t(bs
dt )t(ds
a
s(t) = SGESSM(t) + SPET(t)
avec SGESSM = Solution Générale de l’Equation Sans Second Membre
et SPET = Solution Particulière de l’Equation Totale
La SGESSM représente le régime transitoire qui s’amortit dans le temps alors que la SPET
correspond au régime permanent qui subsiste seul une fois le régime transitoire terminé. On
montre que (cf. cours de mathématiques) :
t
ekSGESSM
avec
b
a
= constante de temps [s] et k: constante qui sera
définie par les conditions initiales (C.I.).
Remarque :
On vérifie que le régime transitoire « disparaît » au bout d’un temps arbitrairement
long pour tous les systèmes où les constantes a et b sont positives ou de même signe :
0eklim t
t 
si >0
 La SPET dépend de la forme de f(t) : par exemple, si f(t) = E = constante alors
b
E
SPET 
 Le temps de réponse à 95% d’un système du premier ordre soumis à un signal d’entrée
en échelon est égal à trois fois la constante de temps  :
3tr95