regime variable

Chapitre 1
REGIME VARIABLE
1
I.
Définitions générales
L’intensité du courant électrique dans un conducteur est une mesure à
un instant donné du débit de la quantité d’électricité qui traverse une
dq ( t )
section droite de ce conducteur : i( t ) 
dt
t
t+dt
dq
i1
L’intensité du courant est une grandeur algébrique : un courant positif
correspond à une circulation dans le même sens que le sens
conventionnel : celui de charges positives (sens inverse des électrons
dans les conducteurs métalliques).
i1' i1
uBA
A
Dipôle
La tension est une mesure de la différence de potentiel entre deux
points d’un circuit. L’énergie d’une particule portée au potentiel V est
égale à qV où q représente la charge de la particule ( 1,61019C pour
les électrons).
La tension est une grandeur algébrique : uABvA vB(vBvA)uBA
B
uAB=-uBA
La puissance instantanée p(t) fournie ou reçue par un dipôle est égale au produit de la tension
multipliée par le courant traversant au même instant le dipôle : p( t )  u ( t )  i( t )
En convention générateur (u(t) et i(t) fléchés dans le même
sens), p(t) est positif si le dipôle est effectivement
générateur.
i(t)
u(t)
Récepteur
Générateur
i(t)
En convention récepteur (u(t) et i(t) fléchés en sens inverse),
p(t) est positif si le dipôle est effectivement récepteur.
tf
La puissance mesure le débit d’énergie W fournie ou reçue par le dipôle : p dW ou Wp(t).dt
dt
t
i
II.
Lois de Kirchoff

Loi des nœuds (conservation de la charge électrique) :
« Somme des courants entrants = Somme des courants sortants »
quel que soit le signe des ces courants :
i1
i3
i2
i1i2 i3i4
i4
2
la loi des nœuds peut être généralisée à un contour fermé englobant une partie d’un montage :
iC
iB
iE iC iB
iE

Loi des mailles :
u2
Orientation de la
maille
u1
u1u2 u3u4 0
u3
Point de départ
u4
Exemple :
-
Circuit à une seule maille : loi de Pouillet
R1
i
e1R1iR 2ie2R3i0
e1e2
soit i
R1R 2 R 3
R2R2
e1
R3
e2
Généralisation :
e
i  i en comptant positivement les f.e.m. orientées dans le même sens que i
Ri
et négativement celles orientées dans le sens inverse.
3
Loi d’Ohm généralisée
III.
En convention récepteur :
i(t)
R
tf
u(t)Ri(t)
Wti tf Ri2(t)dt
p  R  i (t)
2
ti
u(t)
i(t)
L
u(t)

p  L  i( t ) 
du ( t )
dt
p  C  u(t) 
C
i(t)
i( t )  C 

Wti tf  1L i2(tf )i2(ti)
2
di( t )
dt
di( t )
dt
u(t)  L 
du ( t )
dt


Wti tf  1C u2(tf )u2(ti)
2
u(t)
 Conséquences :
-
un condensateur s’oppose aux variations de tension : u C ( t  0 )  u C ( t  0 ) car
duc ic(t)

dt C
est fini si i(t) est fini
-
une bobine s’oppose aux variations de courant : i L ( t  0 )  i L (t  0 ) car
diL u L(t)

est fini
dt
L
si u(t) est fini
-
en régime continu établi (hors régimes transitoires) : u = constante = U et i = constante = I :
C1
K
ic C
≡
dUc
0
dt

L
u L L
≡
dIL
0
dt

L,r
r
≡
uUrILdI rI
dt
4
IV.
Régimes transitoires
Lorsqu’on perturbe temporairement un circuit électrique (mise sous tension ou hors tension,
changement de régime, modification d’un paramètre), il s’écoule toujours une durée variable appelée
régime transitoire avant que le système retrouve un régime permanent stable. La recherche de
l’évolution des courants et des tensions ou de toute autre variable pendant un régime transitoire
conduit à la démarche systématique suivante :
(1) Etablir l’équation différentielle associée à la variable étudiée (en utilisant les lois de
Kirchoff et la loi d’Ohm généralisée pour les signaux de tension et de courant)
(2) Résoudre l’équation différentielle
(3) Déterminer les constantes d’intégration de la solution trouvée en utilisant les
Conditions Initiales (C.I.)
1) Systèmes du premier ordre
La forme générale de l’équation différentielle est du type : a
ds(t)
bs(t)f(t)
dt
s(t) = SGESSM(t) + SPET(t)
avec
et
SGESSM = Solution Générale de l’Equation Sans Second Membre
SPET = Solution Particulière de l’Equation Totale
La SGESSM représente le régime transitoire qui s’amortit dans le temps alors que la SPET
correspond au régime permanent qui subsiste seul une fois le régime transitoire terminé. On
montre que (cf. cours de mathématiques) :


t

a
= constante de temps [s] et k: constante qui sera
b
définie par les conditions initiales (C.I.).
SGESSM  k  e
avec  
Remarque :
On vérifie que le régime transitoire « disparaît » au bout d’un temps arbitrairement
long pour tous les systèmes où les constantes a et b sont positives ou de même signe :
t
lim tke  0 si >0

La SPET dépend de la forme de f(t) : par exemple, si f(t) = E = constante alors
E
SPET 
b

Le temps de réponse à 95% d’un système du premier ordre soumis à un signal d’entrée
en échelon est égal à trois fois la constante de temps  : tr953
5

Les équations différentielles du type
ds(t)
f(t) doivent être traitées à part :
dt
SGESSMk et SPET dépend de f(t). Si f(t)cons tan teE alors
s(t)Et k : s(t) varie linéairement en fonction du temps.
SPETEt et
Remarque :
On aboutit au même résultat en intégrant directement l’équation initiale:
s(t)
t
s(t 0)
t0
t
dsf(t)dt  s(t)  [F(t)]t 0  s(t 0 ) où F(t) est une primitive de f(t).
Exemple :
Evolution de uc à la fermeture de K ; C.I. : condensateur initialement déchargé
R
K
C
uc
E
A la fermeture de K : RC
t
d’où uc(t)ke  E
 t
duc(t)
uc(t)E  SGESSM = ke RC avec  = RC ; SPET = E ;
dt
(1)
Pour trouver k, il faut utiliser les C.I. :
D’après l’énoncé uC(t=0-) = 0V (condensateur initialement déchargé) or à t = 0+ on a d’après
(1) : uC(t=0+) = k + E.
Comme uc(t = 0+) = uc(t=0-) = 0V (un condensateur s’oppose aux variations de tension), on en
t
déduit k = -E et uc(t)E(1e )
uc
tangente à l’origine
E
0,95E
0,63E
t
Remarque :
-

3
on montre que la tangente à l’origine atteint le niveau final au bout d’une durée
égale à la constante de temps 
6
2) Systèmes du deuxième ordre
La forme générale de l’équation différentielle est du type :
d2s(t)
ds(t) 2
0s(t)f(t)
2 2m0
dt
dt
avec :
- m : coefficient d’amortissement (sans unité)
- 0 : pulsation propre
La forme de la SGESSM dépend de la valeur du coefficient d’amortissement m :
-
m>1 : régime apériodique
-
m=1 : régime apériodique critique
-
m<1 : régime pseudopériodique ; si m=0, on parle alors de régime libre (sinusoïdal).
Exemple : décharge d’un condensateur dans un circuit R, L, C série
uc
ic
R
C
L
C=10F ; L=1H
Conditions initiales : le condensateur est initialement chargé : uc=uc0=10V et ic=0 à t=0
d2uc
du
dic
duc
Equation différentielle : uc Ri c L
avec ic C
 LC 2 RC c uc 0
dt
dt
dt
dt
d2uc R duc 1
Soit
   u 0  0  1 ; m R  C
2 L
dt 2 L dt LC c
LC
R=1266   m=2 ; R=633   m=1 ; R=158   m=0.2
7
Allure de uc(t) pour les trois valeurs de R précédentes :
V.
Valeurs caractéristiques des signaux variables
Par exemple, pour un signal de tension u(t) :
1) Valeur moyenne
<u> = valeur moyenne de u(t) sur l’intervalle de temps titf :
tf
u 1 u(t)dt 1  Surface algébrique délimitée par le signal et l’axe temporel
(tf ti) t
(tf ti)
i
t 0 T
Si le signal est périodique, on calcule la valeur moyenne sur une période : u 1  u(t)dt
T t
0
Exemple :
u(t)
E1
u 1 [E1TE2(TT)]E1E2(1)
T
<u>
-E2
T
t
T
8
Remarques :
-
la valeur moyenne d’un signal périodique est aussi appelée composante continue
-
tout signal périodique peut être décomposé en la somme de sa valeur moyenne et de
son ondulation (partie variable du signal de valeur moyenne nulle) : u(t)uuond(t)
u(t)
uond(t)
=
<u>
+
-
on mesure la valeur moyenne d’une tension ou d’un courant en sélectionnant la
position DC de l’appareil de mesure
-
la valeur moyenne d’un signal de tension peut aussi être notée Uc, U ou umoy
2) Valeur efficace
U ou Ueff = valeur efficace de la tension u(t) sur une période T :
t 0 T
U u2(t)  1  u2(t).dt
T t
0
Si on utilise la méthode graphique (pour les signaux de forme simple), il faut :
(1) Tracer u2(t)
(2) Calculer la valeur moyenne de u2(t)
(3) Prendre la racine carrée du résultat obtenu
Remarques :
-
-
la valeur efficace d’un courant (resp. d’une tension) correspond à la valeur du courant
(resp. de la tension) continu qui dissiperait la même puissance active dans une
résistance identique
2
pour un signal périodique, on montre que : U2u2Uond
avec
uond(t) = u(t) - <u> = ondulation du signal (partie variable)
-
on mesure la valeur efficace d’un courant ou d’une tension en sélectionnant la position
AC+DC de l’appareil de mesure qui doit être « TRMS »
-
on mesure la valeur efficace de l’ondulation d’un courant ou d’une tension en
sélectionnant la position AC de l’appareil de mesure
-
la relation U
UMax
n’est valable que pour un signal alternatif sinusoïdal
2
9
3) Facteur de forme et taux d’ondulation
Pour les signaux issus des montages redresseurs, on définit :
-
le facteur de forme F U
u
U
le taux d’ondulation  ond avec Uond : valeur efficace de l’ondulation du signal
u
Ces deux paramètres permettent de quantifier la qualité du signal redressé par rapport à
son ondulation résiduelle. Pour un signal parfaitement lissé (constant) : F=1 et =0. On montre
facilement que F et  sont liés par la relation : F2 12
4) En régime périodique établi

La valeur moyenne de la tension aux bornes d’une bobine est nulle :
i
L
<uL>=0V
uL
t 0 T
t 0 T
0
t0
uL  1  uL(t).dt 1 
T t
T

i(t 0 T)
i(t T)
L di.dt 1  L.di Lii(t00)  L(i(t0T)i(t0))0 car
dt
T i(t )
T
T
le
0
courant est par hypothèse périodique

La valeur moyenne du courant « circulant » dans un condensateur est nulle :
ic
C
<ic>=0A
u
t 0 T
t 0 T
u(t 0 T)
0
t0
u(t 0)
ic  1  ic(t).dt 1 
T t
T

Cdu.dt 1 
dt
T
C.duTLu
u(t 0 T)
u(t 0)
 C(u(t0T)u(t0))0 car
T
la
tension est par hypothèse périodique.
10
5) Les résultats à connaître
u E
<u> = E
U=E
u(t) U E
u(t)
E
E
t
u(t)
T
t
T
i IMax Imin
2
uE(21)
U=E
i(t)
IMax
E
Imin
T
u
u(t)
t
T
U
T
UMax

T
t
u2 UMax

U UMax
u(t)
2
U Max
2
UMax
UMax
T/2
T
t
t
11