Devoir surveillé N°8.

¤ PCSI ¤ 03/04. Physique.
Devoir surveillé N°8.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Problème 1. Etude d’un wattmètre électronique.
On se propose d’étudier le fonctionnement d’un wattmètre constitué de deux amplificateurs
logarithmiques, d’un amplificateur exponentiel et d’un additionneur.
1. Caractéristique d’une diode.
Dans tout le problème, les amplificateurs qui vont être étudiés utilisent une diode, schématisée
sur la figure 1, dont la caractéristique courant-tension a pour équation :
1
o
v
V
o
i I e
où i est l’intensité du courant traversant la diode, v la tension à ses bornes, et Io et Vo sont des
constantes positives.
Pour les applications numériques, on prendra : Io = 10 µA et Vo = 25 mV.
Tracer qualitativement l’allure de la courbe i(v).
2. Amplificateur logarithmique.
On réalise le montage de la figure 2 :
L’amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal et on note Vsat sa tension de saturation
égale à ± 20 V.
2.1. L’amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, montrer que vs(t) est de la
forme :
ln(1 t )
se
v t A Bv
Déterminer A et B en fonction de Vo, Io et R.
2.2. On suppose que
( ) 2sin
ee
v t V t
et que
2
eo
V RI
et on remarquera que Vsat >> Vo.
Pour
0t
, et compte tenu des signes de ve et de vs, justifier s’il y aura ou non
saturation de l’amplificateur.
Remarque importante : Le comportement non linéaire du montage ne sera pas attribué au
fait que la diode puisse se bloquer car celle-ci est toujours traversée par un courant
(question 1) mais au fait que la tension vs puisse atteindre la tension de saturation.
Répondre à la même question pour
2t
.

2.3. Tracer l’allure des courbes (
1e Bv
) et vs, en fonction du temps, sur une période complète,
pour
2
eo
V RI
.
3. Amplificateur exponentiel.
On réalise le montage de la figure 3 :
3.1. L’amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer vs(t) en fonction
de ve(t), Vo, Io et R.
3.2. On suppose que
( ) 2sin
ee
v t V t
; pour
0t
, donner la condition que ve(t) doit
satisfaire pour que l’amplificateur soit effectivement en régime linéaire ; calculer la valeur
numérique de la limite trouvée pour ve(t) à partir des valeurs suivantes : R = 106 Ω et
Vsat = 20 V.
3.3. Obtenir la condition entre Vsat et RIo nécessaire pour que l’amplificateur opérationnel soit
en régime linéaire lorsque
2t
, quelle que soit la valeur de Ve.
4. Wattmètre électronique.
On réalise maintenant le montage de la figure 4, dans lequel les amplificateurs opérationnels
sont en régime linéaire :
4.1. Exprimer vS3 en fonction de vS1 et vS2, puis en fonction de v1 et v2 et des éléments du
montage.
4.2. En déduire la relation vS = f(v1,v2) de ce montage, en fonction de Io et R.

4.3. On considère que les tensions d’entrée sont de la forme :
1 1 2 2
2cos t et 2cos t- v t V v t V
.
Déterminer l’expression de la valeur moyenne dans le temps de la tension de sortie,
notée < vS>.
4.4. Proposer un moyen simple pour mesurer < vS>.
4.5. On considère un dipôle constitué de résistances, bobines et condensateurs, d’impédance
complexe équivalente
éq éq éq
Z R jX
et alimenté par une tension
2cos tv t V
(fig.5).
Exprimer la valeur moyenne P de la puissance instantanée reçue par le dipôle en fonction
de V, Réq et Xéq, dite aussi « puissance active ».
On veut mesurer cette puissance avec le montage de la figure 4, noté W ; on réalise dans ce but
le montage de la figure 6, alimenté par la tension
2cos tv t V
.
On posera :
2cos t - 'i' t I'
.
On considère que les intensités dans les deux entrées du wattmètre W sont nulles.
4.6. Quel est le rôle de la résistance r dans le montage ?
Comment doit-on choisir la valeur de celle-ci ?
4.7. Sachant que le wattmètre mesure < vS>, montrer que la puissance moyenne totale mesurée
par le wattmètre est de la forme : P’ = k< vs>.
Expliciter la constante k et exprimer P’ en fonction de V, Réq, r et Xéq.
4.8. Déterminer l’expression de l’erreur systématique relative
rP' P
P
et montrer qu’elle est
majorée par r/Réq.
4.9. Quel montage pourrait-on associer au précédent afin d’éliminer l’erreur introduite par la
résistance r ? Comment le disposer ?

Problème 2. Structure hydrostatique d'une étoile.
Une étoile est formée d'une certaine masse Mo de gaz, qui adopte une configuration sphérique du
fait de l'interaction gravitationnelle entre les atomes d'hydrogène qui la composent. On négligera
tout effet de rotation et on considérera qu'à tout instant cette masse de gaz est en équilibre
hydrostatique, disposée dans le vide. A tout instant de la formation, les répartitions de masse
volumique, de pression et de température dans l'étoile sont à symétrie sphérique. On notera G la
constante de la gravitation universelle (ou constante de Cavendish) et on appellera R le rayon de
l'étoile à un instant donné. Le rayon final sera noté Ro.
Données numériques:
Constante de Cavendish G = 6.67 10-11 m3.kg-1.s-2
Constante de Boltzmann k = 1,38 10-23J.K-1
Nombre d'Avogadro NA = 6,02 1023 mol-1
Masse de l'atome d'Hydrogène m = 1,67 10-27 kg
Masse du Soleil Mo = 1,99 1030kg
Rayon du Soleil Ro = 6,96 108 m
Distance de la Terre au Soleil D = 1,49 1011 m
On appelle µ(r) la masse volumique de l’étoile à la distance r du centre et M(r) la masse de la
fraction de l'étoile qui est située à une distance de son centre inférieure ou égale à r. On appelle
aussi p(r) la pression qui règne à cette distance r du centre.
1. Relier µ(r) et M(r).
2. Relier M(r) et la composante gr(r) du champ de gravitation à la distance r < R du centre et à
la constante G.
3. Etablir l'équation d'équilibre hydrostatique du gaz qui forme l'étoile, sous forme d'une
équation différentielle liant p(r) et M(r) et leurs dérivées, la distance r et la constante G.
Pour les questions 4 et 5, on considère que l'hydrogène atomique constituant l’étoile est un fluide
incompressible
4. Etablir l’expression de la pression pc au centre C de l'étoile, en fonction de G, de la masse
Mo de l’étoile et de son rayon Ro. On supposera que la pression à la surface de l’étoile est
nulle. Application numérique : Calculer pc dans le cas du Soleil.
5. Assimilant localement l’hydrogène au gaz parfait, déterminer la température TC au centre C
de l'étoile en fonction de G, Mo, Ro, de la constante de Boltzmann k et de la masse m de
l’atome d’hydrogène. Application numérique : Calculer TC dans le cas du Soleil.
Pour les questions 6 et 7, on considère que l'hydrogène atomique constituant l’étoile est un fluide
quelconque.
On considère le modèle simple suivant de formation progressive de l'étoile : après accumulation
de la masse M(r) dans la sphère de centre C et de rayon r, une masse dM est apportée de façon
quasi-statique depuis l'infini et disposée régulièrement sur une couche sphérique comprise entre
les rayons r et r + dr.
6. Calculer le travail fourni dans ce processus.
7. Calculer, sous forme d'une intégrale portant sur la fonction M(r), le travail, noté WG, néces-
saire à la formation de l'étoile. Ce travail est l'énergie gravitationnelle de l'étoile.
Pour les questions 8 et 9, on considère à nouveau que l'hydrogène atomique constituant l’étoile
est un fluide incompressible.

8. Montrer que l’énergie gravitationnelle de l’étoile s’écrit alors:
2
0
0
3
5
GGM
WR
.
9. Lors de sa phase de formation, le Soleil (supposé formé d’hydrogène incompressible) s'est
contracté à partir d'une nébuleuse originelle de gaz de très grand rayon initial jusqu'à sa
taille actuelle. Donner l'expression de l'énergie rayonnée par le Soleil pendant cette durée.
Effectuer l'application numérique pour la puissance moyenne correspondante en supposant
la durée de contraction égale à 1 milliard d'années. Quelle est le flux énergétique
correspondant (puissance par unité de surface) reçu au niveau du sol terrestre ?
Problème 3. Transformations adiabatiques.
Une certaine masse de gaz parfait est placée dans un cylindre C d’axe vertical, de section droite
S = 16 cm². Un piston P de masse M = 48 kg, mobile sans frottement, isole ce gaz dans une
colonne cylindrique de longueur l. C et P sont isolés thermiquement. La masse M est reliée à une
autre masse M’ de valeur réglable, à l’aide d’une corde passant sur deux poulies. Ce système
mécanique est sans frottement.
Pendant les expériences suivantes, la pression atmosphérique reste égale à Po = 105 Pa.
On prend g = 10ms-2 ; R = 8,32 J.K-1.mol-1.
1. Première transformation.
Le gaz est en équilibre (1) caractérisé par les valeurs :
5
1 1 1
1 0 m, = 10 Pa et 300 Kl , P T
.
En diminuant progressivement la masse M’ dont la valeur passe de M à zéro, un opérateur fait
une compression adiabatique infiniment lente de ce gaz qui atteint un nouvel état d’équilibre
(2) :
2 2 2
, et l P T
. Calculer :
1.1.
2 2 2
, et V P T
.
1.2. Le travail échangé.
1.3. Les variations d’énergie interne et d’enthalpie qui accompagnent cette compression.
2. Deuxième transformation.
On remet le gaz dans les conditions de l’équilibre (1), c’est-à-dire
1 1 1
, et V P T
avec les masses
précédentes M et M’ en équilibre. On brûle le fil en B. Après quelques oscillations du piston, un
nouvel état d’équilibre (3) s’établit caractérisé par
3 3 3
, et V P T
.
2.1. Etablir la relation donnant T3 en fonction de
1 1 3
, et PTP
.
2.2. Calculer
3 3 3
, et V P T
.
2.3. Les variations d’énergie interne et d’enthalpie qui accompagnent cette compression.