c = K e - E

1-Introduction:
Exemple 1 : Régulation de niveau d’eau
Chaque agglomération est dotée d’un château d’eau, assurant son alimentation en eau potable.
Le château est alimenté par une arrivée d’eau dont le débit est réglé par une vanne Ve.
Les robinets des différents abonnés sont représentés par une vanne Vs :
le débit de
peut
on dit que
sur
est une
Vanne Ve
Hma
Arrivée d’eau
Règle graduée
…. Hmin
L’instruction est de maintenir le niveau d'eau dans le château à une hauteur fixée dite
……………………………….
Pour cela il faut :
- mesurer la hauteur H,
- la comparer à HC, (calculer l'écart HC - H)
- agir sur Ve (ouvrir si HHC ; fermer si HHC)
: sont les trois tâches principales de l'asservissement.
*Pour mesurer, on utilise :
*Pour comparer, on utilise :
*Pour agir, on utilise :
Automatisation du système :
+Vcc
+V
+V
R
+
R
Electrovanne

IC1-
l
+ 

R'
T
IC2
Hc
R
-
R
Vc
VT
2R
R
Vs
Par action sur
le curseur on
fixe Vcprop
ortionnelle à Hc
comparateur calculant la
différence  =Vc-Vs
IC2 = régulateur amplifiant le signal de différence
Si  >0 l'électrovanne s'ouvre et se ferme lorsque
Vs = Vc
Exemple 2 : Conduite d'une voiture
- Consigne :
- Actionneur :
-Capteur : …
Si la voiture
, le chauffeur
pour
1
Capteur constitué d'un potentiomètre fixé sur la paroi du
bassin et délivrant une
tension Vs proportionnelle
à la hauteur de l'eau
voiture + conducteur =
2- Définitions:
1°) Un système ……… est un ensemble d'organes physiques agissant de façon qu’une grandeur
dite de ……………, se comporte comme une grandeur …………… dite………
2°) Un ………. est organe physique, qui fournit ………….. (ou mesure) de la grandeur
de sortie :
sortie
capteur
3°) Un …………… est un dispositif physique, permettant ………… sur la grandeur de sortie.
Actionneur
sortie
4°) Un …………….. fournit un signal qui représente ……………. (la différence), entre la
consigne et la sortie.
………….
………
+…………
Le système asservi est constitué par la superposition des organes suscités :
…………
+-
………………..
………
……………
……………….
3 – Modélisation d’un système asservi :
Modéliser un système asservi, c’est le décrire par un ensemble d’équations mathématiques
qui peuvent être représentées par un schéma fonctionnel. Un schéma
fonctionnel est équivalent à un ensemble d’équations algébriques traduisant le fonctionnement
du système. Le schéma fonctionnel utilise les symboles graphiques suivants
+
Synoptique générale:
La chaîne de réaction, permet de ……………………les systèmes et …………… l'influence des
……………………………….. sur la sortie.
2
4 – SCHEMA FONCTIONNEL :
s
Exemple : Schéma fonctionnel de la station de pompage en eau u potable
Le schéma nous permet d’écrire :
H
la tension de consigne
V  C V
C
l
HS
la tension de sortie :
V s
V
l
l’écart :   VC  VS
l’action du régulateur : la tension d’attaque du transistor est VT = 3 .

Hc
Vc  = Vc-Vs
+
Vs
Hs
l
V
4– 1 – Simplification des schémas fonctionnels :
 Blocs en série :
s
e
e
s
B
A
 Déplacement d’un capteur d’amont en aval :
e
s
A
C
C
 Déplacement d’un capteur d’aval en amont :
e
s
s
e
C = Ae
C
Déplacement d’un sommateur d’amont en aval :
s =A (e + p)
e
e +p
+
e
+
A.e
s =A(e + p)
+
+
p
p


3
 Déplacement d’un sommateur d’aval en amont :
e
A.e
A
s =Ae + p
e
+
+
+
p
p
 Transformation d’un comparateur en sommateur :
 = e-p
e
 = e-p
e
+
+
+
-
p
p
 Passage d’un système d’équation à un schéma fonctionnel :
Exemple 1 : Soient les équations suivantes : ,   K et
Le schéma fonctionnel correspondant est :
 es
 = e-s
e
+
S
-
Exemple 2 : système à deux équations à deux inconnus :
x  3 y  5e

2x  y  e
Le schéma fonctionnel relatif à ce système d’équations :
+
+
 Passage d’un schéma fonctionnel à un système d’équations :
e
x
+
A
+
B
s
Y
y
1
Les équations sont : ……………………………………………………………………..
FORMULE DE BLACK :
Soit le schéma fonctionnel suivant :
e

+
-
4
A
s
On peut écrire les équations suivantes : ………………………………………………………
On définit alors la transmittance du système par :
Cette relation est connue sous le nom de formule de BLACK, elle permet de réduire de le schéma fonctionnel cidessus à :
s
e
5– PERFORMANCES D’UN SYSTEME ASSERVI :
Prenons l’exemple de régulation de température dans une habitation et visualisons la variation de la grandeur de
sortie, c’est à dire la température de l’habitation.
Température en °
20°
………….
15°
10°
5°
0
30 min
60 min
90min
t
temps en minutes
Explication du diagramme :
Nous constatons qu’entre la mise en route du système et le moment ou nous obtenons la température désirée il a
fallut un certain temps ,c’est le temps de réponse du système. Pour le système : c’est le régime transitoire
Dès que la température souhaitée est obtenue nous rentrons dans le régime normal du système :
c’est le régime permanent
Nous constatons également que le temps de réaction du système est loin d’être nul, ceci est du à l’inertie thermique
de l’habitation. Nous voyons une oscillation autour de la valeur souhaitée, avec un temps de mise en température.
5–1
Performances
Les performances des systèmes asservis sont caractérisées par les 3 qualités suivantes :
LA PRECISION,
LA RAPIDITE,
LA STABILITE.
Il sera difficile, voir impossible d’avoir un système précis, rapide, et stable car ces qualités sont contradictoires, le
technicien doit trouver le compromis de façon à respecter le cahier des charges.
5–2
La précision
la précision d’un système asservis est définie par deux grandeurs :
l’écart statique,
l’écart dynamique.
Ecart statique s : c’est la différence entre la consigne et la réponse en régime permanent (ou établi).
5
Exemples d’écart dynamique
Rampe de commande
v = 0
v = infini
5–3 La rapidité
On définit la rapidité par le temps qui est mis par le système à atteindre la valeur de consigne.
Ce laps de temps s’appelle le temps de réponse.
Exemple de rapidité pour un système à 5 % de sa valeur finale.
consigne
5%
1
95%
Autre exemple dans le cas d’un système est oscillant
mais rentre dans écart souhaité.
Dépassement
1.05
1
0.95
5–4 La stabilité (ou amortissement)
Définition : c’est l’aptitude du système à faire osciller ou non la partie opérative autour d’une valeur finale au
minimum de fois. On distingue 4 types d’amortissements suivant le système utilisé.
Exemples : dans le cas d’une machine à commande numérique, un dépassement de la position n’est pas acceptable,
pour une régulation de température cela est possible dans certaines limites.
consigne
Insuffisamment amorti
dépassement trop important,
temps de réponse rapide ,
danger, trop d’oscillations.
consigne
Correctement amorti
dépassement faible,
temps de réponse correct,
pas d’oscillation.
Consigne
Bien amorti sans dépassement
pas de dépassement,
temps de réponse un peu long,
pas d’oscillation.
Consigne
Trop amorti
-
UN SYSTEME ASSERVI SERA PERFORMANT S’IL EST
6
pas de dépassement,
temps de réponse trop long,
pas d’oscillation.
RAPIDE PRECIS STABLE
6- TYPES D'EXCITATIONS ENTREE DU SYSTEME
Le signal d'entrée (excitation) d'un système peut prendre plusieurs formes. Nous retiendrons trois familles pour ce
signal d'entrée.
Signal de type impulsion W.(t) (Dirac
On peut définir l'énergie W de l'impulsion en posant W = E. . En faisant tendre  vers 0, on tend vers l'impulsion
"idéalisée" d'énergie W et d'amplitude E  W / 
Signal de type "échelon" E.(t) Ce signal impose, à partir de t = 0,
une grandeur E constante:
Remarque : L'échelon d'amplitude 1 sera noté (t)
Signal de type "rampe" a.t Ce signal impose, à partir de t = 0, une grandeur croissante de coefficient
directeur a :
{
7- CIRCUITS DU PREMIER ORDRE
Les circuits du premier ordre sont ceux qui sont régis par une équation différentielle du premier ordre. C’est le cas,
par exemple d’un circuit R-C ou R-L alimenté par un générateur :
Circuit R-C :
E  RC dvc / dt  V
Circuit R-L :
E  R  i  Ldi / dt
On trouve également de tels systèmes en mécanique, dans un entraînement présentant un frottement visqueux où Cm
est un couple moteur et f le coefficient de frottement visqueux : C m  f   J
Dans tous les cas, ces systèmes peuvent se mettre sous la forme : G a  dx / dt  b  x où G est le signal appliqué
au système est un echelon
La résolution de l’équation sans second membre donne : x  K  e -bt /a
Si le système est soumis à un signal de type échelon : G=E pour t0 G=0 pour t<0
Une solution particulière peut être obtenue à l’état stable, soit : dx/ dt  , ce qui donne : E  b  x .
On a donc la solution générale de l’équation : : x  K  e- bt /a + E / b
La valeur de K est obtenue en t = 0 : En t = 0, x = x0 => K  x - E / b
On obtient finalement : quand t  , x  a / b , et le rapport (a/b) étant assimilable à une constante de temps 
-bt /a  x(
on écrit : x 
0  x ( e
Connaissant la valeur finale et la valeur initiale d’un système du premier

ordre soumis à un échelon, la solution peut donc toujours se mettre sous
Valeur finale
la forme
( étant la constante de temps du système).
Remarques :
On note que pour un système du premier ordre, la pente à l’origine est
non nulle. Il ne peut y avoir de dépassement avec de tels systèmes. La
7
Valeur initiale
construction graphique de la réponse est simplifiée si on trace au préalable les tangentes de la courbe.
Exemple d'un système électrique
Soit le système constitué de la partie électrique simplifiée d'un enroulement de moteur pas-à-pas :
L'entrée du système sera la tension ve d'alimentation du moteur (échelon E .(t)
d'amplitude E) et la sortie du système sera le courant i traversant le circuit (on rappelle
que le moteur ne tourne que si le courant est suffisant).
v
di(t)
Soit en notation simplifiée : v e (t)  Ri(t)  Li(t)
v (t)
 L i(t) /R  i(t)  e
 E
dt

.i(t)  i(t) 
Solution :
E
R
L
e
mise en équation du système commandé
v (t)  Ri(t)  L
i
R
E
R
i(t)  
R
E
.
R
R
E
R
e t /  1  e t /  
14
0,2
Ve(t) (V)
12
10
Remarque: E / R (e  t /  ) représente le régime transitoire et
6
E / R le régime permanent.
Le chronogramme ci-dessous représente v (t) et i(t) pour
E = 12V, R = 80 et L = 80mH ( =L/R=1ms ) :
0,15
100%
0,1
63%
i(t) (A)
8
4
0,05
2
0
-2
-1
t (ms)
0
0
1
2

3
4
5
6
7
8
Propriétés de la courbe de réponse à un échelon (1° ordre)
Courbe générale s(t) de réponse à un échelon d'un système du 1°ordre
La courbe s(t) possède les propriétés importantes ci-dessous :
L'asymptote horizontale a pour ordonnée
S  lim s(t) .
t  
L'asymptote horizontale coupe la tangente à l'origine à l'instant t = τ .A l'instant t = τ , s(t) atteint 63% de sa valeur
s(t)
finale S (s(τ) = 0,63 S).
tange nte à l'origine
Aux instants t = 2τ , 3τ et 5τ la sortie s(t)atteint
86% , 95% et 98% de S.
.
as ym ptote horizontale
s
0,86S 
63%de s 

0,63S 

0,95S 
0,99S 

t
0
0

 
 
 
 
8- CIRCUITS DU SECOND ORDRE
Définition Un système du 2°ordre d'entrée e(t) et de sortie s(t) sera régit par une équation différentielle du 2°ordre à
coefficients constants :
1
1
s''(t)  2m
0
20
s’(t)  s(t)  f (t)
 f(t) est proportionnel au signal d'entrée e(t) et on aura f(t) = s() si le système est stable (plus de
variations lorsque t+).
 0 est une constante qui caractérise la pulsation d'oscillation propre du système (pulsation propre).
 m est une constante qui caractérise l'amortissement du système(coefficient d'amortissement m >0
La solution générale de l'équation dépend de la valeur de m
m > 1 (réponse non oscillante )
s(t)  s()  A1 ea 1 .t  A2 e a 2 .t
Graphe de s(t) :
s(t (2°ordre pour m>1)
)
s 
0,95s

8
0
0
tr5%
100%
95%
m < 1 (réponse oscillante amortie)
La solution est
Graphe de s(t) :
s(t)
s(t
Réponse (2°ordre m = 0,1)
)
Réponse indicielle (2°ordre m = 0,3)
s
s


t
0
s(t)
t
0
0
0
Réponse indicielle
(2°ordre m = 0,7)
s(t )Réponse indicielle
(2°ordre m = 0,99)
s

m=0,7  meilleur temps
de réponse à 5%
s

t
0
0
0
s(t)
s  Réponse indicielle (2°ordre m = 1)

m = 1 (régime intermédiaire)
La solution est :
s(t)  s() + 1  1  t e 0 .t 
0
t
0
R
Exemple d'un système électrique
i
Soit le schéma suivant ( circuit 2°ordre) :
ve
v
E
C
On ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0; ve(t) sera donc un échelon E.(t)
s
d'amplitude E. La sortie du système sera la tension vs aux bornes du condensateur C (tension sortie du filtre).
Mise en équation du système commandé
Soit en notation simplifiée :
LC v’’s  RC v’s  vs  E
L'équation est conforme à celle de la définition :
2
s’’(t) /  2m s’(t) /   s(t)  f (t)









9
Graphe de réponse indicielle du filtre avec E = 10V L = 0,1H ; C = 1µF et R = 47 puis 220.
ve(t) vs(t)
ve(t) vs(t)
16
R m

16
14
R = 47m


14
12
12
10
8
8
t (s)
0
4
-0,001
2
t (s)
6
6
4
-0,001 0 0,0001 0,0012 0,0023 0,0034 0,0045 0,0056 0,0067 0,0078 0,0089
0,0001 0,0012 0,0023 0,0034 0,0045 0,0056 0,0067 0,0078 0,0089
2
On constate que la résistance agit sur le coefficient d'amortissement m (plus R est élevée, plus l'amortissement est
important); il suffit d'observer la relation donnant m en fonction de R,L et C.
Exemple d'un système électromécanique (moteur à courant continu)
Le système est le moteur à courant continu à aimant permanent (excitation constante) avec frottements négligés.
L'entrée du système sera la tension d'alimentation u(t) (échelon d'amplitude E) et la sortie sera la vitesse de rotation
(t) du moteur.
Tension u
Vitesse 
Moteur CC
Mise en équation du système commandé
Equation électrique :
u  e  Ri  L di / dt
i
Equation électromécanique (vitesse  et couple T) :
e  k. Et Cm  k .i  u  k.  Ri  L di / dt
Equation mécanique (moment d'inertie J):
T  J d  / dt
R
u
 i  J d  / k . dt
L

on rappelle que u(t)=E (échelon)
L'équation est conforme à celle de la définition
e=k.

Le graphe de réponse indicielle du moteur :
Données : E = 10V R = 2 L = 0,1H J = 1.10-4 m2.kg
k = 0,1V.rad-1.s m= 0,31
Propriétés de la courbe de réponse à un échelon
Le graphe ci-dessous représente la réponse à un échelon d'un système du 2° ordre avec m < 1.
 (rad/s)
u (V)
20
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0 t (s)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
!0,5
10
0,8 1,45
2,1 2,75 3,4 4,5 4,7 5,35
6
Dépassement :
Le maximum de la courbe Smax permet de définir Le dépassement d = ( Smax -S ) / S 
s (t)
Smax
105%
Le dépassement d ne dépend que de la valeur de m et
vaut :
S() 100%
95%
90
%
10
L'abaque ci-dessous représente les variations du
dépassement d en fonction de l'amortissement m (les
deux axes sont en coordonnées logarithmiques):
1
%
tr5%
d
.
- m
d = e  1m²
0,1
m
0,01
0,01
0,1
1
:
Temps de réponse 5% :
Le temps de réponse à 5% tr5% est le temps au bout duquel la grandeur de sortie s(t) reste comprise entre 95%
et 105% de sa valeur finale S.
tr5% dépend de m et de 0 ; il n'existe pas de relation simple comme dans le cas du dépassement.
L'abaque ci-dessous permet de trouver une valeur approchée de tr5% (attention, il faut multiplier la valeur
trouvée ordonnée par 2π/0 pour avoir tr5%) :
tr5%
r5
2
o
1
0,44
m
0,1
0,1
0,7
1
10
On constate sur le graphe que tr5% est minimal pour m = 0,7 et sa valeur est tr5% min = 0,44.2 / 0
Temps de montée
Le temps de montée tm est le temps que met la grandeur de sortie s(t) pour passer de 10% à 90% de la valeur
finale S
t se mesure directement sur la courbe s(t) Le temps de montée caractérise la vitesse de variation de la
grandeur de sortie dès le début de l'excitation (échelon en entrée).
Etude d'un exemple (2°ordre avec 0 = 5rad/s ; m = 0,15 et échelon d'entrée de 10V):
Recherche de d ; tr5% et tm à partir de la courbe s(t) ci-dessous ( tension en volt)
11
t
s (t)
(volt)
20
18
Smax = 16,2V16
14
12
105%
S()=10V (100% )
95%
90%
10
8
6
4
2
0
t
10%
5
0
tm = 0,23s
1
2
3
4
tr5% = 3,92s
La tension atteint 1V (10%) à t1 = 0,095s
et atteint 9V (90%) à t2 = 0,325s
 tm= t2 - t1 = 0,325-0,095  tm  0,23s.
Recherche de d et tr5% à partir des abaques
lorsque m et 0 sont donnés Sachant que m = 0,15 , on trouve
directement d = 0,62 ou 62% à partir de l'abaque ci-dessous :
1,000
d1=0,62
d= e
- m
 1-m²
0,100
0,010
0,010
0,100
m = 0,15
Sachant que m = 0,15 et 0 = 5rad/s, on trouve d'abord la valeur
10
tr5%
2
2
o
3,11
1
m
0,1
0,1
0,15
1
10
12
13
LES REGLAGES DES ASSERVISSEMENTS OU CORRECTIONS
1- GENERALITES
L’objectif c’est d’améliorer les performances du système pour obtenir la :
- Meilleure stabilité : intervention sur les fréquences autour de fos.(Diminution du régime transitoire)
augmenter le gain de la boucle d’asservissement afin de diminuer les écarts.
Meilleure sensibilité : intervention sur la gain statique. (Réduction du temps de montée) Remarque : attention
au temps de réponse du système qui croit avec le gain. augmenter la stabilité sans modifier le gain.
- Meilleur précision : intervention sur les basses fréquences. (Réduction de l’erreur) rendre stable le système qui
ne l’est pas .
Ils existent différents types de correcteurs dont les actions ciblent une des propriétés
Correcteur Proportionnel : Sensibilité
Correcteur Dérivée : Stabilité action qui amplifie les variations brusques de la consigne. Elle a une action opposée
à l'action intégrale
Correcteur Intégrale : Précision Une action qui tend à annuler l'erreur statique
Généralement les correcteurs utilisés combinent plusieurs propriétés :
Correcteur Proportionnel et Dérivée
Correcteur Proportionnel et Intégrale
Correcteur P.I.D.
On intercale la correction dans la chaîne directe
entrée
 entrée
 corrigée
correcteur
chaîne directe
sortie
Chaîne retour
2- LA CORRECTION A ACTION PROPORTIONNELLE OU GAIN PROPORTIONNEL
 c = K e
P
 corrigée = K  d’entrée
 d’entrée
L’action proportionnelle permet de jouer sur la vitesse de réponse
du
procédé. Plus le gain est élevé, plus la réponse s’accélère, plus
l’erreur statique diminue (en proportionnel pur), mais plus la stabilité se dégrade : trop de gain peut rendre le système
instable, il se met alors à osciller.Il faut trouver un bon compromis entre vitesse et stabilité
S=K(M-C)+S0
So se règle en général à 50% de la plage de variation de sortie, appelé centrage de la bande proportionnelle.
3- LA CORRECTION A ACTION INTEGRALE I
Le signal de commande est proportionnel à l’intégrale qui sert d’écart.
 c = K  e * dt
L’action intégrale permet d’annuler l’erreur statique (écart entre la mesure et la consigne).
Plus l’action intégrale est élevée (Ti petit), plus la réponse s’accélère et plus la stabilité se dégrade.
Il faut également trouver un bon compromis entre vitesse et stabilité.
14
Dans les régulateurs industriels on affiche 1/Ti, alors Ti est d’autant plus grand que l’action intégrale est faible.
Pas d'action I : Ti infini
Action I
Si l'action P ne suffit pas, on ajoute un effet intégrateur. C'est un grand classique de la régulation.
t
Définition :
K
S  K ( M  C )   (M  C )dt  U 0
Ti 0
Temps d’intégration Ti [sec.] ou en nombre de
répétition par minute
Sens physique de Ti, intégrons S(t) de 0 à Ti :
t
K
S  K ( M  C )   (M  C )dt  S 0
Ti 0
S  2K (M  C )  S0
2 fois l'action de P
4-LA CORRETION A ACTION DERIVEE D
L’action dérivée est anticipatrice. En effet, elle ajoute un terme qui tient
compte de la vitesse de variation de l’écart, ce qui permet d’anticiper en
accélérant la réponse du processus lorsque l’écart s’accroît et en le
ralentissant lorsque l’écart diminue.
Plus l’action dérivée est élevée (Td grand), plus la réponse s’accélère !
Là encore, il faut trouver un bon compromis entre vitesse et stabilité.
Le signal de commande c est proportionnel à la dérivée du signal d’écart
. c(t) = T.de /dt
Pour une entrée en rampe Xe = at la sortie sera Xs = a constante

Kd
d .d/dt
s
Kd
t
t
5- Tableau des actions par les correcteurs
Action proportionnelle
En statique : diminue l’écart entre
consigne et mesure si k augmente
Action intégrale
En statique : élimine l’écart entre
consigne et mesure donne une
erreur de position nulle
En dynamique : augmente la rapidité En dynamique : diminue la rapidité
tant que le système n’est pas trop
et augmente l’instabilité
oscillant
Action dérivée
En statique : n’a aucun effet
En dynamique : augmente la rapidité grâce à
son effet stabilisant
Les meilleurs résultats sont obtenus en associant les 3 actions pour réduire l’instabilité, de conservé un gain élevé et
d’obtenir un temps de réponse faible.
6- Exemple de réalisation des correcteurs PID série et parallèle
montages de base de réalisation de correcteurs utilisant comme composants des
amplificateurs opérationnels, des résistances, et des condensateurs.
La fonction de transfert V2 / V1 de ce montage est :
V2 / V1 = 1 + Z2 / Z1 .
7- Matérialisation des correcteurs classiques
Correcteur P.I.
R(p) = V(p) / (p) = K(1 + 1/ Tip)
K = 1 + R2/R1
Ti = R3C
15
Correcteur P.D.ou à avance de phase
R(p) = K(1+bTap)/(1+Tap)
K = K =1 + R2/R1
Ta Ta = R4C b = R3/(R3+R4) d = R3/R4
Correcteur P.I.D. série
R(p) = K(1 + 1/ Tip)[1 + Tdp/(1+ dTdp)]
K = 1 + R2/R1 Ti = R3C1
Td = R5C2 d = R4/R5
Correcteur P.I.D parallèle
R(p) = K[1 + 1/ Tip + Tdp/(1+ dTdp)]
K = R2/R Ti = R3C1
Td = R5C d = R4/R5
8-Méthode pour le choix des correcteurs :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Analyse du système (identification, performances dynamiques, réponse fréquentielle)
Analyse du cahier de charges (traduction en termes d'erreur, de rapidité, de marge de phase, de pulsation ωco)
Choix de la structure du correcteur compte tenu du cahier des charges et des caractéristiques du système
Calcul des paramètres du correcteur
Vérification des performances du système corrigé. Si le cahier des charges n'est pas satisfait, retour à 3
Réalisation de l'asservissement et tests
Tableau récapitulatif des correcteurs usuels :
Correcteurs
Avantages
Inconvénients
P
PI
Avance de phase
PID
Retard de phase
Simplicité Meilleure précision
Simplicité erreur statique nulle
Amélioration stabilité et rapidité
Très utilisé en industrie Action PI + PD
Diminution de l’erreur statique
Risque d'instabilité si Kc >> 1
Système parfois lent en BF
Sensibilité du système aux bruits
Réglage des paramètres plus difficile
Rapidité diminuée
CORRECTEUR PROPORTIONNEL : SENSIBILITE
CORRECTEUR DERIVEE
: STABILITE
CORRECTEUR INTEGRALE
: PRECISION
16
ASSERVISSEMENT DE VITESSE
1.
CODEUR OPTIQUE
Constitué d’un disque, portant N lignes, solidaires de l’arbre moteur, et qui coupe
le flux lumineux entre une LED et phototransistor.
Il délivre une impulsion à chaque passage d’une ligne entre la LED et le
phototransistor .la tension u0 à la sortie du codeur est donc constituée d’une suite
d’impulsion dont la période est T dépend de la vitesse Ω du moteur .T étant
l’intervalle de temps entre le passage de deux lignes consécutives du disque, on
peut dire alors
2.
MONNOSTABLE
Principe de fonctionnement
La sortie d'un circuit monostable ne peut avoir que deux états :
- un état stable ou de repos,
- un état speudo-stable ou instable ne pouvant être occupé
que pendant une durée déterminée.
Le passage à l'état speudo-stable se fait à partir d'un signal de
commande sur l'entrée du circuit. Cette commande peut être
caractérisée en fonction du type de circuit par un changement
d'état, une impulsion ou encore la détection d'un front montant
ou descendant.
La durée de l'état instable est indépendante du signal d'entrée,
elle est fixée par les caractéristiques du montage utilisé. En général un circuit RC est associé au
monostable afin de calibrer cette durée.
Différents types de monostables
Un monostable est redéclenchable si une nouvelle impulsion d'entrée avant la fin de l'état instable
entraîne la prolongation de celui-ci.
Dans le cas contraire, le monostable est monocoup ou non redéclenchable
17
Monostable non redéclenchable
La deuxième impulsion de commande
ne provoque pas le démarrage
d'une nouvelle durée T2 sur la sortie.
Monostable redéclenchable
Chaque nouvelle impulsion de commande
prolonge l'état instable de sortie d'une
durée T2. Dans cette configuration pour
avoir
un fonctionnement normal il faut que
T1 > T2
Réalisations structurelles
Il existe de nombreuses possibilités pour réaliser un monostable
parmi celles-ci, on trouve principalement les structures suivantes :
* Association de portes logiques, résistances et d'un condensateur;
* Association d'un ALI, de résistances et d'un condensateur;
* Utilisation d'un circuit intégré spécialisé associé à des
résistances et un condensateur
Pour plus de détails, sur le N° des broches et les calculs plus
poussés de
18
Le codeur optique est suivi d’un monostable qui fait correspondre sur la tension ui de sortie ,un créneau
d’amplitude E et de durée τ . En régime permanent, la tension ui est périodique de période
Et se mettre sous la forme
Avec
3. FILTRE
Le monostable est suivi d’un filtre passe bas second ordre , permettant d’éliminer les grandeurs
variable de ui et ne laisse passer que la valeur moyenne Ui0, dont la transmit tance est définie par :
Tous les harmoniques de la tension ui sont éliminés seul la valeur moyenne Ui0 qui est image de la
vitesse de rotation Ω est laissée passer donc
4. AMPLIFICATEUR
L’amplificateur délivre une tension uE proportionnelle à la différence entre la tension de
commande uc et la tension uR image de la vitesse
5. COMPARATEUR
le comparateur compare la tension uE à une rampe (V) d’amplitude V0 et de période T0
V = a t à t = T0 V = V0
V0 = a T0  a = V0 / T0
à t = TH V = UE
UE = a TH  a = UE / TH
d’ou (V0 / T0 ) = (UE / TH )  ( TH / T0 ) = ( UE / V0 ) = rapport cyclique a
6. COMMADE MOTEUR
6 .1 commande transistor
Suivant l’état de sortie de comparateur le transistor se trouve bloqué ou saturé la diode
élimine la tension négative de sortie .L’inductance L est suffisamment élevée pour prolonger le
courant i jusqu’à la prochaine mise en conduction du transistor ,la tension est donc une tension
carrée d’amplitude E et de rapport cyclique a sa valeur moyenne est
6 .2 relation UDmoy et Ω
La fréquence de découpage de la tension uD est de plusieurs dizaines de kilo hertz .
Elle est fixée par la fréquence de la tension v. compte tenu de l’inductance L et de l’inertie de la
partie tournante du moteur ,la vitesse Ω ne peut suivre les variations de la tension uD .Elle se fixe
à une valeur qui dépend uniquement de la valeur moyenne.

19
7. ANALYSE DU SYSTEME ASSERVIS
système de second ordre L'équation est conforme à celle de la définition si on néglige un des paramètres le terme qui
lui correspond dans l’équation du système sera éliminé
J =1.10-3 m2.kg k = 0,2V.rad-1.s
H0 = 200 ω0 = 6,3245 rd /s m = 0,316  () 120 rd /s
Exemple : f = 0 ; E = 24 V R = 4  L = 1H
200 = 0,025 d2 
12,965 d
dtdt

Déduction de dépassement en utilisant l’abaque :
1
d
0,1
m
0,01
0,01
0,1
:
20
1
Déduction de tr 5% en utilisant l’abaque :
10
1
m
0,1
10
0,1
1
Déduction de précision et réponse indicielle du moteur :
uD (V)
 (rad/s)
28
160
140
24
120
20
100
16
80
12
60
8
40
20
4
0 t (s)
0
0,5
1
1,5
2
3
8. SCHEMAS FONCTIONNELLE
21
4
5
9.
AUTRES DISPOSITIF
Vcc
e

x
moteur
hacheur
J, f
A
xr
charge

U

M
DT
Lorsque x = xr ,  = 0 , l’amplificateur de puissance A délivre une tension U = Uo.Le moteur tourne à la
vitesse angulaire  = o. Si la vitesse du moteur augmente sans que la consigne x soit modifiée, > o,
xr > x,  < 0 et A délivre une tension inférieure à Uo et le moteur ralenti. Si la vitesse du moteur diminue
sans que la consigne x soit modifiée, < o, xr < x,  > 0 et A délivre une tension supérieure à Uo et le
moteur accélère
les constituants du système
le potentiomètre de consigne : délivre une tension x = k e.
R
R
le comparateur le comparateur est un montage soustracteur de tension
à amplificateur opérationnel dont la tension de sortie
xr
vaut
 = x - xr.
R
x

R
le capteur de vitesse est soit électromagnétique soit à impulsions
 la dynamo tachymétrique DT:
Une dynamo désigne une machine à courant continu fonctionnant en génératrice à flux constant.
Tournant à la fréquence  (tr/min ou tr/s), il produit une force électromotrice (f.é.m.) xr = E = K ,
donc proportionnelle à la fréquence de rotation.
La commutation des balais ou des charbons sur les lames du collecteur, ainsi que le redressement des
f.é.m. de chaque conducteur de l’induit, sont à l’origine des ondulations et des nombreux parasites dont
est affecté la tension produite. Il est donc souvent nécessaire de filtrer cette f.é.m. à l’aide d’un montage
passe-bas.
 le générateur à courant alternatif :
un aimant permanent tourne à la fréquence  à mesurer.
détecteur de
v
En supposant que la bobine induite embrasse un flux
crête
purement sinusoïdal =  sin t, la force électromotrice
n
induite vaut,au signe près, e =d dt =  cos t.
v = A  cos t
xr = Ko 

La fréquence  est donnée par l’amplitude de cette tension.
s
le générateur tachymétrique à réluctance variable :
Les dents de la roue dentée métallique renforcent le champ
magnétique produit par un aimant permanent lorsqu’ils
passent devant le noyau ferromagnétique de la bobine

induite.
v
conversion
fréq. / tension
xr = K o  
La conversion fréquence / tension se fait, à l’aide soit d’un monostable, soit d’un compteur numérique

le tachymètre optique
La partie tournante à la fréquence  à mesurer est solidaire d’un
disque à trous. Les trous sont placés dans un optocoupleur.
À chaque passage, le phototransistor délivre une impulsion v.
Un module de conversion fréquence / tension donner la tension
souhaitée, xr = Ko .
22
xr
.

le tachymètre à sonde à effet Hall :
La sonde à effet Hall délivre une tension UH = K i B
proportionnelle à l’intensité du champ magnétique B appliqué
perpendiculairement au courant constant i qui la traverse. La partie
tournante dont on veut capturer la fréquence de rotation doit donc
comporter une zone aimantée. Cette dernière, en passant devant
la sonde à effet Hall,sera à l’origine d’une variation de la tension UH.
Un module de conversion fréquence / tension donnera la tension
xr = Ko .
le moteur M
Le moteur M a une transmittance du premier ordre (on néglige donc l’inductance de l’induit) dont on rappelle
encore les expression trouvées au chapitre précédent :
K
Rf
RJ
.
et la constante de temps  =
K2 + R f
où le gain statique vaut H o =
K2 +
K est la constante du moteur, R, la résistance de l’induit, f, le coefficient de frottement visqueux
et J, le moment d’inertie de la partie tournante
l’amplificateur de puissance est souvent un montage hacheur série, dévolteur
on rappelle le principe et les qualités :
Le moteur à courant continu en rotation est simulé par le
dipôle r, E. La bobine L est appelée bobine de lissage.
La diode est une diode de roue libre (DRL)
L’interrupteur électronique désigné par H est un transistor
et parfois un thyristor. La tension de commande ec(t) est un
signal rectangulaire de rapport cyclique  variable
La condition L / R >>T la période de hachage impose un
courant i(t) ininterrompu et positif et pratiquement constant
i = < i > ( i moy ) = (U - E ) / R.
schéma fonctionnel du système réduit et transmittances
+VCC
moteur
J, f
charge

x
e
A

M
xr
23


DT
ASSERVISSEMENT DE POSITION
concerne aussi les systèmes suiveurs et les servomécanismes.
. schéma du dispositif étudié
Lorsque les curseurs sont dans la même position, x = xr et  = 0 puis u = 0,le moteur est à l’arrêt.
Si e > s,  > 0, u > 0 et le moteur tourne dans le sens positif, jusqu’à ce que e = s.
Si e < s,  < 0, u < 0 et le moteur tourne dans l’autre sens, jusqu’à ce que e = s.
. les constituants du système
le potentiomètre d’entrée P1 délivre une tension x(t) = k e(t)où k vaut par exemple 2 V/rad ou 360 V/°
le potentiomètre de recopie P2 délivre une tension xr(t) = k s(t)
l’amplificateur de différence A produit la tension de commande du moteur u(t)u(t) = A[x(t) - xr(t)]
le réducteur de vitesse a un rapport de transformation
m =
C2
C1
=
1
2
=
n1
n2
=
d2
d1
=
R2
R1
où C1 et C2 sont les moments des couples en N.m, les fréquences n1 et n2 en tr/min sont proportionnelles
aux vitesses angulaires 1 et 2 en rad/s(n = 60  / 2 ) d1 et d2 sont les nombres de dents des
engrenages, R1 et R2 sont les rayons des poulies,
le passage de la vitesse  (rad/s) à l’angle de déviation (position en radians)
est donné par la relation différentielle (t) =ddt le moteur M a une transmittance du premier ordre (on
néglige donc l’inductance de l’induit) dont on rappelle les expression trouvées 
K est la constante du moteur, R, la résistance de l’induit, f, le coefficient de frottement
visqueux et J, le moment d’inertie de la partie tournante.
le schéma fonctionnel et la transmittance de la boucle fermée
24

RJ d E

k
k 2 dt

d
 
dt
potentiomètre
x
e d’entrée
k

RJ
k
 
2
amplification

E
k
moteur
u
Ho
1 + p
A
xr
réducteur
1
1
M
2
1
p
s
k
potentiomètre de recopie
En boucle ouverte C’est un système du deuxième ordre, comme l’était déjà la boucle ouverte.
Par identification avec la transmittance canonique on peut écrire que
e d2 s mds + s )
dt2
dt
)
En boucle fermée
1
To
La pulsation propre est  =
et le coefficient d’amortissement m =
.
To.

Remarquons aussi que le seul paramètre qu’on peut régler est l’amplification A.
Exemple numérique
 Le moteur a comme paramètres nominaux : 30 V, 7,5 A, 130 W, la résistance de l’induit vaut R = 0,76 et
sa constante est K = 0,1 V/ rad/s. Le moment d’inertie du rotor du moteur est Jm = 0,008 kg.m2 et le moment
d’inertie du rotor accouplé à sa charge est Jtotal = 0,010 kg.m2 .
 Les frottements visqueux sont négligés, donc f = 0.
 Le réducteur a un rapport de réduction de m = 100. La tension E est de 5 V.
On peut vérifier les résultats suivants, si on accepte un dépassement de 20% :
- m
k = 0,8 ,  = 0,76 , To = 0,8 A , o = 0,324
A comme d = 100 exp (
)
1 - m2
m = 0,455 qui est finalement obtenu pour une amplification A = 20 et on a alors o = 1,45 rad/s, fo = 0,24 Hz,
To = 3,5 s et tr5% = 0,85 s .
To augmente,
Remarquer que si on augmente A, To = A.Ho.k augmente, o =
M

1
mais le coefficient d’amortissement m =
diminue et avec lui la stabilité du montage. et est appelée
2 To.
l’erreur statique  =e - s.
lim  (t) = lim [e(t) -s(t) ]
t+
t+
D’une manière générale si l’erreur statique est infinie. L’asservissement doit être corrigé. Au bout d’un certain
temps, il ne donne plus du tout en sortie ce qu’on lui demande à l’entrée.
K
Rf
RJ
.
la constante de temps  = 2
K +Rf
le gain statique vaut H
o
=
25
K2 +