document professeur - Académie de Nancy-Metz

Fiche professeur
1. Niveau
Spécialité en série L ou S
2. Situation-problème proposée
Réalisation d’un algorithme de calcul du PGCD
3. Support utilisé
Tableur et logiciel de programmation
4. Contenu mathématique
En Arithmétique : division euclidienne et PGCD
5. Compétences mises en œuvre
5.1 Compétences mathématiques
 Effectuer une division euclidienne
 Déterminer un PGCD par la méthode d’Euclide
5.2 Compétences TICE
 Réaliser un algorithme
 Sur tableur : écrire des formules simples et les recopier
 Traduire en algorithme en langage de programmation. Tester le programme.
6. Stratégie pédagogique
 Dans un premier temps les élèves rédigent l’algorithme en langage naturel.
 Le professeur anime une mise en commun des productions des élèves et la rédaction définitive
 Traduction en langage algorithmique.
 Réalisation sur tableur
 Réalisation par programmation.
7. Place de l’activité dans la progression des apprentissages
 Etude de l’arithmétique
 Apprentissage de l’écriture d’un algorithme avec boucle et condition d’arrêt.
Fiche professeur
ACTIVITE PGCD
1°) Utiliser la méthode d’Euclide pour déterminer le PGCD de 187 et 102, puis de 204447 et de 102.
2°) Cette méthode d’Euclide est un algorithme. D’après le dictionnaire un algorithme est un ensemble de
règles opératoires dont l’application permet de résoudre un problème au moyen d’un nombre fini
d’opérations. Rédiger un texte décrivant cet algorithme de manière opérationnelle pour un élève de
seconde qui n’a pas encore connaissance de cette méthode.
Textes proposés par les élèves :
Texte finalisé par la classe :
« Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs A et B, on commence par effectuer la
division euclidienne de A par B. Si le reste R de cette division est nul, alors B est le PGCD de A et B. Si
ce reste n'est pas nul, alors on remplace A par B et B par R. Puis on recommence ce processus jusqu'à ce
qu'on obtienne un reste nul. Le PGCD de A et B est alors le dernier reste non nul. »
Fiche professeur
3°) Texte en langage algorithmique
Saisir deux nombres entiers naturels non nuls A et B.
Tant que B > 0 :
affecter à R le reste de la division euclidienne de A par B ;
affecter à A la valeur B et à B la valeur R.
Afficher A.
4°) Programmation de l’algorithme d’Euclide sur tableur.
On désire calculer le PGCD des nombres 204447 et 102101. Recopier le tableau suivant sur une feuille de
calcul automatisée.
1
2
3
A
A
204447
B
B
102101
C
Q
D
R
Quelles formules faut-il écrire :
- en C2 pour calculer le quotient entier de la division du nombre A écrit en A2 par le nombre B écrit
en B2 ?
- en D2 pour calculer le reste de cette même division ?
- en A3 pour affecter à A la valeur B ?
- en B2 pour affecter à B la valeur R ?
Recopier ces formules vers le bas pour faire tourner l’algorithme jusqu’à ce que B soit nul.
Que vaut le PGCD des nombres 204447 et 102101 ?
5°) Utiliser le tableur pour calculer le PGCD de 5720 et 2079, puis de 77777777 et 98765432.
6°) En langage Algobox
1 VARIABLES
2 A EST_DU_TYPE NOMBRE
3 B EST_DU_TYPE NOMBRE
4 Q EST_DU_TYPE NOMBRE
5 R EST_DU_TYPE NOMBRE
6
DEBUT_ALGORITHME
7
AFFICHER "Premier nombre"
8
LIRE A
9
AFFICHER A
10
AFFICHER "Deuxième nombre"
11
LIRE B
12
AFFICHER B
13
TANT_QUE (B>0) FAIRE
14
DEBUT_TANT_QUE
15
Q PREND_LA_VALEUR floor(A/B)
16
R PREND_LA_VALEUR A-B*Q
17
A PREND_LA_VALEUR B
18
B PREND_LA_VALEUR R
19
FIN_TANT_QUE
20 AFFICHER "Le PGCD est égal à "
21 AFFICHER A
22 FIN_ALGORITHME