1 1S Cours Physique Chap 2 : L`interaction gravitationnelle

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1S
Cours Physique
Chap 2 :
L’interaction gravitationnelle : EXERCICES
Ex1 : O Soleil mio…
Le Soleil a une masse MS = 1,99.1030 kg et un rayon moyen RS = 7,00.10 km, la Terre a une masse MT = 5,98.1024 kg et un rayon
moyen RT = 6,37.103 km. Le rayon moyen de l’orbite de la Terre autour du Soleil est r = 1,49.108 km.
1) Peut on utiliser la loi de la gravitation donnée par Newton pour décrire l’interaction entre ces 2 corps ? Justifier.
2) Calculer la valeur de la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre.
3) Calculer la valeur de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le Soleil.
Ex2 : Gare au TIROS no saure…
La trajectoire du satellite américain TIROS 9 est elliptique.
Données à utiliser seules : rayon moyen de la Terre RT = 6,37.103 km, champ de gravitation à sa
surface G0 = 9,81 m/s2. J’insiste, ne pas utiliser la masse de la Terre…
1) Calculer la valeur du champ de gravitation crée par la Terre à l’apogée du satellite
(d’altitude hA = 2967 km) et au périgée du satellite (d’altitude hP = 2806 km).
2) Représenter en ces 2 points les vecteurs champ de gravitation.
3) Représenter quelques lignes du champ gravitationnel terrestre.
Ex3 : G demandé à la Lune….
Voici quelques données sur la Lune :
Rayon équatorial : 1 737,4 km , Rayon polaire : 1 735,97 km, Apogée : 405 696 km, Périgée : 363 104 km, Masse : 7,34.1022 kg.
1) Donner la valeur du rayon moyen de la Lune avec le bon nombre de chiffres significatifs.
2) Ecrire l’expression du vecteur champ de gravitation de la Lune à une certaine distance r.
3) Calculer la valeur du champ de gravitation de la Lune à sa surface G0L et la comparer à la valeur du champ de gravitation de
la Terre à sa surface G0T = 9,81 m/s2. On donne G = …folsavoir !
4) Calculer la valeur maximale du champ de gravitation de la Lune à la surface de la Terre.
Données : rayon moyen de la Terre RT = 6,37.103 km.
5) Lors de la dernière mission lunaire (Apollo 17), les astronautes ont rapporté 117 kg de roches. Quel était le poids de ces
roches à la surface de la Lune et à la surface de la Terre ?
Ex4 : Youpi…Terre !
Voici quelques données sur Jupiter et sur Ganymède, l’un de ses 7 satellites. Ganymède est aussi le
plus grand satellite naturel du système solaire avec un rayon moyen de 2631 km.
Jupiter : Masse : 1,8986×1027 kg
Ganymède : Péricentre : 1 069 008 km, Apocentre : 1 071 792 km, Masse : 1,4819 x 1023kg
1) Donner la valeur du rayon moyen l’orbite de Ganymède (supposée circulaire) avec le bon
nombre de chiffres significatifs.
2) Calculer la valeur de la force gravitationnelle entre Jupiter se Ganymède.
3) En 1979, la sonde voyager 1 est passée entre les 2 astres à 1,15.105 km de Ganymède.
Calculer le rapport des forces d’interaction gravitationnelle, dues à Jupiter d’une part et à
Ganymède d’autre part, subie par la sonde lorsqu’elle est passée entre les astres. Rem : eh
oui, vous n’avez pas la masse de la sonde, mais ce n’est pas un oubli… Débrouillez vous
sans… !
Ex5 : un uniforme pour le champ de pesanteur…
La Terre a une masse MT = 5,98.1024 kg et un rayon moyen RT = 6,37.103 km.
1) Etablir la relation donnant la valeur du champ de pesanteur terrestre g(h)à l’altitude h, en
fonction du rayon de la Terre RT, de l’altitude h et de la valeur du champ de pesanteur
terrestre à la surface g0 = 9,81 m.s2. Attention MT et G ne doivent pas intervenir dans la
formule.
2) Calculer l’altitude h pour laquelle g(h) vaut encore 99,9 % de g0.
3) Calculer la distance sur la Terre correspondant à une variation de la direction du vecteur
champ de pesanteur de 1/10è de degré.
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Ex6 : Lire dans les lignes… du champ
Voici des lignes de différents champs (4
figures de droite).
1) Quelles situations peuvent correspondre à
des champs gravitationnels ?
2) A quelles situations concrètes ces lignes
de champ pourraient elles correspondre ?
3) Ex7 : Il fait trou noir ici…
Voici ce que l’on peut lire sur wikipédia au sujet
des « trous noir ».
Instruisons nous
imprécisions…
et
corrigeons
quelques
Présentation : en astrophysique, un trou noir est
un objet céleste si compact que l'intensité de son
champ gravitationnel empêche toute forme de
matière ou de rayonnement de s’en échapper. De
tels objets ne peuvent ni émettre, ni réfléchir la
lumière et sont donc noirs, ce qui en astronomie
revient à dire qu'ils sont invisibles (...).
Formation : la relativité générale (…) prédit que les trous noirs peuvent exister, mais aussi qu’ils seront formés partout où
suffisamment de matière peut être compactée dans une région de l’espace. Par exemple, si l’on compressait le Soleil dans une
sphère d’environ trois kilomètres de rayon (…) il deviendrait un trou noir. Si la Terre était compressée dans un volume de quelques
millimètres cubes, elle deviendrait également un trou noir.
Un trou noir peut être considéré comme le stade ultime d’un effondrement gravitationnel. Les deux stades de la matière qui (…)
précèdent l’état de trou noir, sont ceux atteints par exemple par les naines blanches et les étoiles à neutrons. Dans le premier cas,
c’est la pression de dégénérescence des électrons qui maintient la naine blanche dans un état d’équilibre face à la gravité. Dans le
second, il ne s’agit pas de la pression de dégénérescence des nucléons, mais de l’interaction forte qui maintient l’équilibre. Un trou
noir ne peut se former à la suite de l’effondrement d’une naine blanche : celle-ci, en s’effondrant, initie des réactions nucléaires qui
forment des noyaux plus lourds que ceux qui la composent. Ce faisant, le dégagement d’énergie qui en résulte est suffisant pour
disloquer complètement la naine blanche, qui explose en supernova . (…) Ouais ! c’est tout comme on a vu en chimie…
Un trou noir se forme lorsque la force de gravité est suffisamment grande pour dépasser l’effet de la pression, chose qui se produit
quand l’astre progéniteur dépasse une certaine masse critique. Dans ce cas, plus aucune force connue ne permet de maintenir
l’équilibre, et l’objet en question s’effondre complètement. En pratique, plusieurs cas de figures sont possibles : soit une étoile à
neutrons accrète de la matière issue d’une autre étoile, jusqu’à atteindre une masse critique, (…) soit le cœur d’une étoile massive
s’effondre directement en trou noir.
Note : pression de dégénérescence : on dit de la matière qu'elle est dégénérée lorsque sa densité est suffisamment élevée pour que
le principe d'exclusion de Pauli intervienne à l'échelle macroscopique (…)
À partir d'une certaine pression (ou d'une certaine densité), la matière est déstructurée et se comporte comme un gaz. Elle subit
alors une force qui s'oppose à sa contraction et empêche sa densité d'augmenter, c'est la pression de dégénérescence. Cet état de
la matière se rencontre à l'état naturel dans les étoiles, et plus particulièrement dans les étoiles en fin de vie que sont les naines
blanches et les étoiles à neutron.
Le principe d'exclusion de Pauli interdit à deux électrons d'être dans le même état quantique (4 nombres quantiques identiques)
dont les deux variables sont le spin, de valeur +½ ou -½, et le niveau d'énergie qui correspond à une orbitale (sous-couche) autour
du noyau atomique. Or, lorsque la densité de la matière augmente, certaines orbitales (sous-couches) finissent par se juxtaposer
avec celles d'atomes voisins. La pression de dégénérescence s'exerce lorsque les orbites (sous-couches) concernées sont
effectivement occupées par des électrons : les atomes ne peuvent plus se rapprocher davantage sans violer le principe d'exclusion.
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1) Rayon d’un trou noir (TN) : la zone sphérique qui délimite la région d’où lumière et matière ne peuvent s’échapper, est
appelée « horizon des événements ». On parle parfois de « surface » du trou noir, quoique le terme soit quelque peu impropre (il
ne s’agit pas d’une surface solide ou gazeuse comme la surface d’une planète ou d’une étoile). Il ne s’agit pas d’une région qui
présente des caractéristiques particulières : un observateur qui franchirait l’horizon ne ressentirait rien de spécial à ce moment-là.
En revanche, il se rendrait compte qu’il ne pourrait plus s’échapper de cette région s’il essayait de faire demi-tour. C’est une sorte
de point de non retour. En substance, c’est une situation qui est un peu analogue à celle d’un baigneur qui s’éloignerait de la côte.
Si par exemple le baigneur ne peut nager que deux kilomètres, il ne ressentira rien s’il s’éloigne à plus d’un kilomètre de la côte ;
mais s’il doit faire demi-tour, il se rendra compte qu’il n’a pas assez d’énergie pour atteindre la rive.
Comment calculer ce « rayon » ? On peut se reposer sur une autre définition d’un TN : c’est un corps suffisamment massique pour
que sa vitesse de libération (vitesse que doit posséder un objet pour s’en échapper) soit supérieure à la vitesse de la lumière (ainsi,
même la lumière ne peut vaincre sa force gravitationnelle). On peut le dire autrement. Pour s’échapper d’un TN, un objet de
masse m doit posséder une énergie cinétique supérieure à l’énergie potentielle de gravitation que lui impose le TN. Au
niveau du rayon, ces 2 énergies sont juste égales.
a) Exprimer l’énergie cinétique Ec et l’énergie potentielle de gravitation Epp. Pour cette dernière on pourra reprendre la
formule connue de 2nde en remplaçant la pesanteur terrestre g par le champ de gravitation du trou noir G et l’altitude h par la
distance r à partir du centre du TN.
b) Ecrire qu’au niveau du rayon noté R du TN, les deux énergies sont égales et trouver l’expression du rayon R en
remplaçant la vitesse v de l’objet par la vitesse limite de la lumière c. Vous devez arriver à la conclusion que le rayon d’un
TN est proportionnel à sa masse.
c) Calculer les rayons d’un TN d’un corps de 1,0 kg, d’un TN d’une masse solaire MS = 2,0.1030 kg et d’un TN supernassif
de 17 milliards de masses solaires (plus gros TN découvert en 2012, dans la galaxie NGC 1277 situé à 220 millions d’annéeslumière dans la constellation de Persée). Données : G et c à connaître !
d) Calculer la valeur du champ de gravitation à la surface de chacun des deux TN précédents.
2) Densité d’un TN :
a) Donner l’expression de la masse volumique d’un TN supposé sphérique en fonction de sa masse M et de son rayon R. On
rappelle le volume d’une sphère V = 4/3*π*R3.
b) Exprimer cette masse volumique en fonction de c, G et R.
c) Calculer les masses volumiques d’un TN de 1,0 kg, d’un TN d’une masse solaire et du TN supermassif de 17 milliards
de masses solaires découvert en 2012.
d) Comparer la masse volumique du TN supermassif à celle de l’air ρair = 1,3 kg/m3.
e) Conclusion issue du dernier calcul : un TN n’est pas toujours très ……………………. Et Na, wikipédia !
3) Dilatation du temps au voisinage d’un TN : la relativité
générale montre que le temps s’écoule plus lentement dans un
champ gravitationnel fort. Dans le cas extrême d’un TN ce genre
d’effet est particulièrement spectaculaire. Le facteur de dilatation
du temps s’exprime par = 1 / √ (1 – R / r) avec R : rayon du TN
et r : distance à laquelle on se trouve du centre du TN.
Calculer à quelle distance du centre du TN se situe la planète du
film Interstellar en sachant « qu’une heure passée sur cette
planète correspond à 7 années écoulées sur la Terre ». L’échelle
est-elle respectée sur les images du film (figure de droite) ?
TN (Gargantua)
planète
4) Bonus : entrée dans un TN : imaginez-vous en train d’observer au loin un ami suffisamment intrépide pour vouloir plonger
dans un TN. Au fur et à mesure qu’il va s’approcher de celui-ci, vous verrez sa montre tourner de plus en plus lentement. Le
déplacement de l’aiguille correspondant à une seconde prendra de plus en plus de temps, une minute, une heure, un jour, un mois…
Au moment où il atteindra le rayon du TN, ce mouvement prendra un temps infini. L’image de votre ami restera figée pour
l’éternité…
Pour votre ami par contre la situation sera inversée. Quand il lira l’heure sur sa montre,
il ne remarquera rien de spécial. Mais en regardant la vôtre il sera surpris. Il verra
tourner l’aiguille de plus en plus rapidement, un tour sera accompli en une seconde, une
milliseconde, une microseconde… Il observera bientôt la vie des étoiles se dérouler en
une fraction de seconde, puis, en atteignant finalement le rayon du TN, il pourra
observer toute l’histoire future de l’Univers !!
Evidemment n’y a pas de billet retour pour un tel voyage. La frontière définie par le
rayon du TN ne laisse passer que dans un sens.
La description ci-dessus n’est pas tout à fait correcte. En fait, un autre effet vient se
superposer à la distorsion du temps. En effet la lumière elle-même est affectée par la
présence de la gravité : plus le champ gravitationnel d’un astre est fort, plus les photons
qui s’en échappent (la lumière) sont affaiblis et décalés vers de plus grandes longueurs
d’onde (vers le rouge).
Ainsi, lorsque votre ami se rapproche du rayon du TN, les photons constituant son image deviennent pour vous moins énergétiques. Ils
sont d’abord décalés vers le rouge, puis sortent du domaine visible. Son image, au lieu de rester suspendue, va peu à peu disparaître et
laisser place à un noir plus caractéristique de l’objet central.
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Notons un dernier effet qui va se révéler dramatique : l’entrée en jeu des forces de marée.
Si l’intensité du champ gravitationnel autour d’un TN est énorme, ses variations avec la
distance au centre le sont également.
Imaginons que votre ami tombe les pieds en premier vers le centre du TN. Le champ de
gravité sera plus fort au niveau des pieds qu’au niveau de la tête. Cela signifie que les
pieds de votre ami seront plus accélérés (ou attirés) que sa tête. Par conséquent, son corps
va être étiré dans le sens de la longueur, d’abord légèrement puis de plus en plus fort, avec
les conséquences fatales que l’on peut craindre (d’où le charmant nom d’effet spaghetti).
La région où ces effets de marée deviennent importants est entièrement située dans
l’horizon pour les TN super massifs, mais peut sortir du rayon pour des TN plus petits.
Ainsi, un observateur s’approchant d’un TN stellaire serait déchiqueté avant de passer
l’horizon, alors que le même observateur qui s’approcherait d’un TN super massif
passerait l’horizon sans problème. Il serait tout de même inéluctablement détruit par les
effets de marée en s’approchant de la singularité centrale du TN, sauf si tout se passe
comme dans le film Interstellar…(voir le meilleur article sur Interstellar en PDF pour les
plus curieux).
La gravité déforme l’espace-temps (3min15) https://www.youtube.com/watch?v=g3X-Y_-uZas
Intro sur les TN (5min39) : https://www.youtube.com/watch?v=fW1WlUbycn8&spfreload=10
Entrée dans un TN (2min42) : http://www.maxisciences.com/trou-noir/que-se-passerait-il-si-l-039-on-tombait-dans-un-trounoir_art34615.html
A l’intérieur d’un TN (3min29) https://www.youtube.com/watch?v=RoOaYxkuK-o
Interstellar, science ou fiction ?
Très simple (6min19) https://www.youtube.com/watch?v=jGUeadHiYeY
Plus sérieux et très précis (27min27) https://www.youtube.com/watch?v=EBScRTFDVDw (dilatation tps 800- 1021 et trou de vers
1747-2230)
Interstellar à la loupe : http://www.atlantico.fr/decryptage/interstellar-quelle-credibilite-scientifique-reponses-experts-filmchristopher-nolan-1852846.html
http://www.bfmtv.com/planete/trou-noir-trou-de-ver-le-film-interstellarest-il-scientifiquement-exact-844739.html?referer=app
http://www.futura-sciences.com/magazines/espace/infos/actu/d/trous-noirs-decryptez-physique-trous-noirs-film-interstellar-55916/
http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/actu/d/relativite-generale-trous-ver-nouveau-espoir-voyagesinterstellaires-53824/
Le meilleur article sur Interstellar en PDF pour les plus curieux :
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:bH0XzVt9JMsJ:www.futurasciences.com/getpdf/actualite/55993/5a4dfb09
58dcbff9bb1a32d467d090c4+&cd=2&hl=fr&ct=clnk&gl=fr
Les voyages dans le temps (10min58) : https://www.youtube.com/watch?v=nsHZ_Xh6yRA
Tout sur les voyages dans le temps (18 vidéos très claires de 15min) : http://voyages-temps.cegepmontpetit.ca/
Pour en savoir plus sur la dilatation du temps : https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/11/24/interstellar-et-le-paradoxe-desjumeaux/