Introduction aux différentes méthodes d`optimisation

Samuel BERNARD
Année 2003
V1.0.0.1
Algorithmes Evolutionnaires
Plan de l'exposé:
Introduction aux méthodes d'optimisations
Un problème concret: optimisation d'un commutateur optique
Présentation d'un commutateur TIR
Variables d'optimisation
Une manière pour le résoudre, les algorithmes évolutionnaires
Description
Algorithmes Génétiques
Initialisation
Evaluation
Sélection
Croisement
Mutation
Mise à jour
Les limitations
Adaptation au problème posé
Codage
Espace de recherche
Fonctions objectif
Fonction d'adaptation
Paramètres de l'algorithme
Résultats
Conclusion
Bibliographie
Introduction aux différentes méthodes d'optimisation
L'optimisation d'une fonction est un problème très important pour les ingénieurs. Et ce
dans tous les domaines. Pour cela, différentes méthodes sont utilisées:
Méthodes déterministes
Revient à la résolution de systèmes de n eq à n inconnues, linéaires ou non, donc on peut utiliser
la méthode du gradient ou de Gauss-Seidel (que l'on ne détaillera pas dans cet exposé)

Méthodes non déterministes
Font appel à des tirages aléatoires pour mieux explorer l'espace de recherche
Monte carlo: évaluation de la fonction en des points choisit aléatoirement.* Hybride: gradients
a partir de points choisis aléatoirement
Recuit simulé: A partir d'un point initial, on se déplace aléatoirement. Si la valeur est plus
grande, on l'accepte sinon on la refuse avec une certaine probabilité.
Algorithme évolutionnaire: Simulation d'évolution de populations de solutions. Les meilleurs
individus sont sélectionnés et croisés entre eux pour donner d'autres individus. C'est le thème
de cet exposé.
Optimisation d'un commutateur optique
Présentation d'un commutateur TIR
Nous allons chercher à optimiser les paramètres qui régissent un commutateur à
réflexion interne total (ou commutateur TIR). Un commutateur directionnel permet d'aiguiller la
lumière dans un guide ou dans un autre en faisant varier l'indice de réfraction au niveau de
l'embranchement. Ces composants servent à la réalisation de matrices de commutation pour la
génération de retards temporels, afin de commander des antennes actives. Ils sont constitués de
deux guides sécants et d'une électrode surplombant l'intersection. Une injection forte de courant
peut entraîner une diminution d'indice de réfraction suffisante pour induire une réflexion totale.
Principe d'un commutateur TIR.
Les commutateurs optiques sont caractérisés par le courant Is nécessaire pour
commuter, les pertes qui sont la différence en dB des puissances d’entrée et de sortie, et la
diaphonie qui est la différence en dB des puissances des deux sorties. Les pertes et la diaphonie
sont bien sûr données pour l’état passant // et l’état commutant X.

Variables d'optimisation
Schéma d'un commutateur TIR et ses principales variables.
Les sept variables prises en compte dans
l'optimisation sont:
- l’angle entre les deux guides
la largeur des guides l
- la largeur du miroir e
- la longueur du miroir lm
- le décalage de l’axe du miroir dm
- la largeur de la zone intermédiaire e2
- la consommation du miroir Is (fonction de la variation
d’indice dn).Algorithmes Evolutionnaires
Description
L'evolution naturelle a permis de créer des systèmes biologiques très complexes
adaptés à de nombreuses conditions. Ses mécanismes reposent sur le principe de compétition entre
les individus. Les individus les mieux adaptés aux conditions survivent et peuvent laisser une
descendance qui répandront leurs gènes.
Devant ces possibilités, quelques chercheurs des années 50 ont tenté d'en adapter le
principe a l'ingénierie. Mais la faible puissance des machines de l'époque et des connaissances de la
génétique naturelle n'a pas permis d'avoir de résultats concluants. Plus tard, dans les années 60 et
70, trois écoles utilisant le principe de l'évolution de façon différente apparurent:
Les algorithmes génétiques (GA) développés par J.H.Holland
La programmation évolutionnaire (EP) de L.J.Fogel
Les stratégie d'évolution (ES) de H.P.Shwefel
Plus tard, une autre classe d'algorithmes évolutionnaires vit le jour, la programmation

génétique (GP) de J.Koza qui était auparavant un sous groupe des GA.
Ces différentes classes d'algorithmes évolutionnaires ne différent que sur les détails
d'implantation des opérateurs et sur les procédures de sélection et remplacement de la population.
Malgré que leur but soient différent à l'origine, ils sont maintenant surtout utilisés pour résoudre des
problèmes d'optimisations. Dans la suite de cet exposé, nous verrons plus en détail les algorithmes
génétiques qui sont les plus connus des algorithmes évolutionnaires.
Algorithmes Génétiques
Les algorithmes génétiques suivent tous le même schéma de fonctionnement:
- Initialisation
*boucle
- Evaluation
- Sélection
- Croisement
- Mutation
- Mise à jour
recommencer a boucle
Initialisation:
Tout d'abord, on fixe l'espace de recherche; la plupart du temps, il s'agit de {0,1}N pour
des raisons de simplicité. On crée ensuite des fonctions de codage et de décodage entre le génotype
d'un individu qui est inclus dans l'espace de recherche et son phénotype qui est la valeur de la
fonction pour cet individu. L'efficacité de l'algorithme dépendra grandement du choix de ce codage
ce qui présente deux difficultés: limiter l'espace de recherche et fournir des solutions valides pour le
problème.
Puis on crée la première population qui sera amenée a évoluer. On définit ainsi à cette
étape la taille des populations N qui ne doit pas être trop élevée pour que le temps de calcul soit
raisonnable ni trop faible pour que la solution trouvée soit intéressante. Pour composer cette
première population, on fixe aléatoirement la valeur des gènes d'un individu selon une distribution
uniforme.
Evaluation:
On définit au préalable la fonction d'adaptation qui associe a chaque phénotype une
valeur dite d'adaptation, c'est la note de l'individu, plus elle est élevée, plus la solution donnée par
ce phénotype est optimale.
La construction de cette fonction doit être particulièrement optimisée car elle sera
executé un grand nombre de fois, jusqu'à N fois à toutes les générations, ce qui fait que la rapidité
de l'algorithme depend essentiellement d'elle.
Elle doit aussi pouvoir tenir compte des phénotypes invalides si le problème doit
satisfaire des contraintes que les opérateurs de mutation et croisement ne respectent pas.
Sélection:
Notons que les étapes de sélection et de remplacement sont indépendantes de l'espace
de recherche. Nous appelerons sélection l'ensemble des deux procédures.
On distingue deux types de sélection:

- la sélection déterministe:
On sélectionne toujours les meilleurs individus et on écarte totalement les plus mauvais. Cela
suppose un tri de l'ensemble de la population. On parle alors d'élitisme.
- la sélection stochatique
On favorise toujours les meilleurs individus mais de manière stochatique ce qui laisse une chance
aux individus moins performants. Il se peut que le meilleur individu ne soit pas sélectionné au
depens du plus faible et qu'aucun des enfants ne soit au niveau du meilleur parent.
Différentes techniques de sélection:
Tirage de roulette (RWS)
Chaque individu a une chance d'être selectionné proportionnelle à sa performance. Pour utiliser
l'image de la roulette, chaque individu possède une case de la roulette dont la taille dépend de
son adaptation. On lance la boule dans la roulette et on sélectionne l'individu qui possède la case
où elle est tombé. Cette méthode est très classique mais a une forte variance: avec un peu de
malchance, un individu très mauvais peut être choisi autant de fois qu'il y a de place pour la
génération suivante et de même, il se peut qu'aucun des 'bons' individus ne soit sélectionné.
Sélection universelle stochastique (SUS)
On prend l'image d'un segment decoupé en autant de sous segment qu'il y a d'individus. Les
individus sélectionnés sont désignés par un ensemble de points équidistants. Cela garantit alors
une variance faible.
Sélection par tournois
On choisit n individus et on sélectionne le meilleur qui pourra encore participer à un tournoi. On
organise aurant de tournois qu'il y a d'individus a repêcher. La variance de cette méthode est
élevée. Le nombre n permet de donner plus ou moins de chance aux individus peu adaptés. Avec
un nombre élevé de participants, un individu faible sera presque toujours sûr de perdre. Une
variante est d'accepter le gagnant qu'avec une certaine probabilité comprise entre 0.5 et 1.
Elitisme
On trie l'ensemble de la population suivant leur adaptation et on sélectionne les premiers. La
variance est nulle et la pression de sélection très élevée. (les faibles n'ont aucune chance au
contraire des forts qui sont toujours sélectionnés)
Croisement
Une fois certains individus sélectionnés, on les fait se reproduire entre eux, pour cela
on utilise l'opérateur croisement. C'est l'opérateur essentiel de recherche d'un algorithme génétique.
Il combine les génotype de deux individus pour en obtenir deux nouveaux. Avec cet opérateur, les
génotypes sont vus comme une chaîne de nombres binaires. Plusieurs méthodes de croisement sont
utilisées:
Croisement en un point:
On choisit au hasard un point de coupure identique sur les deux génotypes et on échange les
fragments situés après le point de coupure pour donner les deux nouveaux génotypes.
Croisement en deux points:
On choisit au hasard deux points de croisement et on échange les fragments situés entre ces deux
points.
Croisement en k points: