geometrie sautee - ecole d`echecs de bagneux

Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous,
mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!!
GEOMETRIE SAUTEE !
Remarque : si vous ne l’avez encore fait je vous conseille de télécharger un logiciel de géométrie
dynamique gratuit sur internet (exemple : Geonext http://recitmst.qc.ca/geonext/) pour réaliser les figures
des exercices 3, 4 et 5. En particulier la 3 est intéressante à déformer…(il peut y avoir une question sur ce
type de logiciel au concours).
Exercice 1 :
1) Construire (compas et double-décimètre) un triangle ABC rectangle en C, dont l’angle A mesure 60°, et
sa médiane CI = 3 cm. Précisez simplement les étapes de votre construction.
2) Calculer la mesure de ses côtés, son aire, et sa hauteur CH.
Exercice 2 :
1) Construire (compas et double-décimètre) un triangle ABC tel que BC=10 cm , sa hauteur AH=5 cm, sa
médiane AI = 7 cm. Justifiez soigneusement toutes les étapes de la construction.
2) Emettre une conjecture sur la nature de ce triangle. Est-elle exacte ?
Exercice 3 :
Un étudiant pensait avoir trouvé une méthode plus rapide pour construire une tangente au cercle C(A, AB)
passant par le point C : il suffisait selon lui de construire le cercle de centre C et de rayon [CA]. Les intersections
des deux cercles donnaient les points de tangence. Si dessous (CD) et (CE) étaient donc les tangentes cherchées.
1) démontrez qu’il est impossible que (CD) soit tangente au cercle C(A, AB)
2) donnez la véritable construction de la tangente au cercle C(A, AB) passant par C
Exercice 4 :
1) Un segment [A C] est donné, AC = a. Construire (règle non graduée, compas) le carré ABCD.
2) Calculer son aire en fonction de a.
Exercice 5 :
1) Un segment [A H] est donné, AH = h. Construire (règle non graduée, compas) un triangle ABC équilatéral, de
hauteur [AH].
2) Calculer son aire en fonction de h.

Exercice 1 :
1) Il faut analyser la figure supposée construite : le cercle circonscrit à un triangle rectangle a son hypoténuse
comme diamètre. Si I est le milieu de l’hypoténuse on a IA=IB=CI=3, donc AB=6 cm.
Le plus simple est de construire un triangle équilatéral ABA’ de 6 cm de côté.
Il reste à construire [BC] perpendiculaire à [AA’] pour cela on peut construire C milieu de [AA’] puisque dans le
triangle équilatéral AA’B la hauteur [BC] est aussi médiatrice.
En fait ABC est un demi triangle équilatéral, mais on peut faire l’exercice sans tenir compte de cette remarque,
ce que je fais ci-dessous.
2) On a déjà justifié que AB = 2 x CI = 6 cm
Comme AI = CI = 3 ACI est isocèle, il possède un angle de 60°, il est donc équilatéral AC=CI= 3 cm
Pythagore appliqué dans le triangle rectangle ACB donne : CB²=AB²-AC² CB²=27 CB=3
3
cm
Avec la remarque faite plus haut on pouvait utiliser la formule donnant la hauteur d’un triangle équilatéral.
Aire du triangle : 1/2 AC.CB = 0.5 x 3 x 3
3
= 4,5
3
cm²
L’aire de ce triangle c’est aussi 1/2 CH.AB donc 4,5
3
= 0.5 x CH x 6 CH = 1,5
3
cm
Remarque : là aussi on pouvait imaginer que CAH était un demi triangle équilatéral de côté 3, et utiliser pour
calculer CH la formule donnant la hauteur !
A RETENIR : certains exercices sont souvent facilités par la reconnaissance d’un
demi triangle équilatéral. Dès qu’il y a un angle de 60 degrés pensez-y !!!
Exercice 2 :
1) Soit un segment [AH] tel que AH=5. Construire une perpendiculaire (d) en H à [AH] (méthode de la
médiatrice), et le cercle C (A , 7). Soit I l’un des points d’intersection de (C) et de (d) (ils se coupent car 5 < 7).
Placer B et C sur (d) depart et d’autre de I tel que : IB = IC = 5. Et n’oubliez pas de terminer votre soirée
branchée par un petit « joint » B A C. Par construction ABC est un triangle, BC=5+5=10 cm, AH (5cm) est sa
hauteur, AI (7cm) est sa médiane.
2) S’il est rectangle c’est que H est confondu avec l’un des sommets du triangle. Calculons HI en utilisant le
Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHI : HI =
2549
4,9 cm. Il manque environ 1 mm
pour que le triangle soit rectangle.
Exercice 3 :
1) La tangente est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact. L’angle ADC est donc droit. Mais
comme CD=CA (rayons du cercle construit) ADC est isocèle, ses angles à la base sont égaux : angle ADC =
angle CAD = 90° Il est impossible bien sûr qu'un triangle possède deux angles droits.
2) Voir cours ! Comme C est extérieur au cercle il faut construire le cercle de diamètre [C A]. Si C était sur le
cercle, il faudrait construire une perpendiculaire en C à [C A].
Exercice 4 :
1) Construire (d) médiatrice de [A C]. Soit I le milieu de [A C]. Construire le cercle C ( I, IA), il coupe (d) en B
et D. Tracer le quadrilatère ABCD.
Par construction : IA=IB=IC=ID donc AC=BD.
ABCD quadrilatère ayant des diagonales 1) perpendiculaires 2)de même longueur 3)qui se coupent en leur
milieu est un carré. (Il faut les 3 propriétés).
2) dans un carré d = c
2
ici AC = AB
2
donc AB = AC /
2
d’où l’aire du carré : AB² = a² / 2
Exercice 5 :
1) Construire (d) perpendiculaire en H à [A H] (méthode de la médiatrice). Construire un triangle équilatéral
AHX (inutile de tracer ses côtés, ses sommets suffisent) : on obtient un angle de 60°. La bissectrice de l’angle
HAX (il suffit de terminer le losange HAXY toujours sans tracer ses côtés, c’est inutile) donne l’angle de 30°,
elle coupe (d) en B. Il reste à construire le symétrique C de B par rapport à H. Joindre A à C. Par construction
[AH] est axe de symétrie du triangle ABC. On en déduit que angle CAB = 2 x 30°= 60° et que AC = AB. ABC
isocèle possédant un angle de 60° est équilatéral, [AH] est sa hauteur. N’hésitez-pas à faire cette construction
dans géonext !
2) dans un triangle équilatéral h = c
3
/ 2 d’où c = 2h /
3
Aire = 1/2 côté x hauteur : 1/2 2h /
3
h = h² /
3
= h²
3
/ 3