Devoir corrigé sur les exponentielles

DEVOIR DE MATHÉMATIQUES
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les
épreuves écrites de mathématiques et entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Problème
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x - 1 + (x2+ 2)e-x
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;
Error!
,
Error!
) (unité graphique
2cm).
Pour tout l'exercice on pourra admettre ou démontrer que
Error!
x2 e-x = 0 .
Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 1 - (x2 - 2x + 2)e-x
1°) Étudier les limites de g en - et .
2°) Calculer la dérivée de g et déterminer son signe.
3°) En déduire le tableau de variation de g.
4°) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique  dans IR .
Donner un encadrement d'amplitude 10-2 de 
5°) En déduire le signe de g.
Partie II : Étude de f
1°) Étudier les limites de f en - et .
2°) Déterminer f'(x) pour tout x réel.
3°) En déduire, à l'aide de la partie I, les variations de f et donner son tableau de variation.
4°) Démontrer que f() = (1 + 2e-)
5°) Démontrer que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à (C) en .
Préciser la position de (C) par rapport à .
6°) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0.
7°) Tracer , T puis (C).

CORRECTION DEVOIR
Problème
Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire
1°) On sait que
Error!
(x2 - 2x + 2) =
Error!
x2 =  et
Error!
e-x =
Error!
e X = 
Donc
Error!
(x2 - 2x + 2)e-x =  et
Error!
1 - (x2 - 2x + 2)e-x = - donc
Error!
.
D'autre part, lorsque x  0, on peut écrire g(x) = 1 - x2
Error!
e-x
On sait que
Error!
x2 e-x = 0 , et
Error!
Error!
= 1 donc
Error!
x2
Error!
e-x = 0
Donc
Error!
1 - x2
Error!
e-x = 1 donc
Error!
.
2°) g est définie sur IR par g(x) = 1 - (x2 - 2x + 2)e-x
g est donc somme, produit et composée de fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR.
g'(x) = 0 - [(2x - 2)e-x + (x2 - 2x + 2)(- e-x)] = (- 2x + 2 + x2 - 2x + 2)e-x = (x2 - 4x + 4)e-x
donc g'(x) = (x - 2)2 e-x pour tout x  IR
La fonction exponentielle étant strictement positive, on en déduit que g'(x) ³ 0 pour tout x  IR .
3°) g' étant positive sur IR et ne s'annulant qu'en 2, on en déduit que la fonction g est strictement croissante
sur ]- ; 2] et sur [2 ; [ , donc : g est strictement croissante sur IR .
De plus la fonction g est dérivable sur IR, donc elle est continue sur IR.
On peut donner le tableau de variations de g :
on a g(2) = 1 - 2e-2  0,73
4°) g est une fonction définie, continue et strictement croissante sur IR.
Donc g est une bijection de IR sur ]
Error!
g(x) ;
Error!
g(x)[ = ]- ; 1[.
On en déduit que pour tout k  ]- ; 1[ , l'équation g(x) = k a une solution unique dans IR.
Comme 0  ]- ; 1[,
Error!
On sait que g(2) > 0 et g(0) = 1 - 2 = -1 donc g(0) < 0
La fonction g étant strictement croissante,  appartient donc à l'intervalle ]0 ; 2[.
Par balayages successifs, on obtient avec une calculatrice : 0,3 <  < 0,4 puis
Error!
En effet g(0,35)  -0,0024 et g(0,36)  0,1656 donc g(0,35) < g() < g(0,36)
5°) g étant strictement croissante sur IR, on en déduit que :
pour tout x  ]- ; [ g(x) < g() , donc
Error!
.
pour tout x  ] ; [ g(x) > g() , donc
Error!
.
et g() = 0
Partie II : Étude de f
f est définie sur IR par f(x) = x - 1 + (x2+ 2)e-x
1°) Pour x  0, on peut écrire f(x) = x
Error!
On a
Error!
x +
Error!
= -
Error!
e-x =
Error!
e X =  donc
Error!
Error!
e-x = -.
De plus
Error!
1 -
Error!
= 1 , donc
Error!Error!
= - et
Error!
x
Error!
= 
c'est-à-dire
Error!
.
Pour tout réel x on peut écrire f(x) = x - 1 + x2 e-x + 2e-x
x
-
2
g'(x)
+
0
+
1
g
1-2e-2
-

On sait que
Error!
x - 1 =  ;
Error!
e-x = 0 et on admet que
Error!
x2 e-x = 0.
On en déduit alors par somme que
Error!
.
2°) f est la somme, le produit et la composée de fonctions dérivables sur IR, donc f est dérivable sur IR et :
f'(x) = 1 + 2xe-x + (x2 + 2)(-e-x) = 1 - (x2 - 2x + 2)e-x donc f'(x) = g(x) pour tout x  IR .
3°) En utilisant le signe de la fonction g déterminé dans la
partie I, on en déduit que :
f est strictement décroissante sur ]- ; ]
et strictement croissante sur [ ; [.
On peut alors donner le tableau de variation de f :
4°) On a f() =  - 1 + (2+ 2)e-
Mais on sait que  est la solution de l'équation g() = 0.
On a donc 1 - (2 - 2 + 2)e- = 0
c'est-à-dire 1 - (2 + 2)e- + 2e- = 0
donc (2 + 2)e- = 1 + 2e-
On en déduit alors f() =  - 1 + 1 + 2e- =  + 2e- donc f() = (1 + 2e-) .
5°) Pour tout x  IR, on a f(x) - (x - 1) = (x2+ 2)e-x = x2e-x + 2e-x .
On sait que
Error!
e-x = 0 et on admet que
Error!
x2e-x = 0.
On en déduit donc que
Error!
f(x) - (x - 1) = 0
La droite d'équation y = x - 1 est donc asymptote oblique à (C) au voisinage de  .
Pour tout réel x, on a f(x) - (x - 1) = (x2+ 2)e-x .
On sait que x2+ 2 et e-x sont strictement positifs, on en déduit donc que f(x) > x - 1 pour tout x  IR.
La courbe (C) se trouve donc au dessus de  .
6°) La tangente T à (C) au point d'abscisse 0 a pour équation : y = f'(0) (x - 0) + f(0)
On a f'(0) = g(0) = -1 et f(0) = -1 + 2e0 = -1 + 2 = 1
Donc (T) a pour équation y = -x + 1
x
-
f'(x)
-
0
+
f
f()

7°) Une calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée de f() : f()  0,85.
La courbe (C) a, au point d'abscisse , une tangente horizontale.
Annexe
Pour démontrer que
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x2 e-x = 0 , on peut écrire :
x2 e-x = 4
Error!
Error!
2 = 4
Error!
2
On sait que
Error!
X e-X = 0 donc
Error!
Error!
= 0 car
Error!
Error!
= 
On en déduit
Error!
4
Error!
2 = 0 donc
Error!
.
D'une manière similaire, on pourrait démontrer que pour tout n  IN* :
Error!
xn e-x = 0 .
T
f()
(C)