Exercices sur la gravitation

Unité VII
Les mouvements célestes
Quelques découvertes historiques
1. L’antiquité :
a) Naissance de la plus ancienne des sciences : l’astronomie; aucune
autre accumule une quantité de données aussi considérable et pendant
une période aussi prolongée.
b) Distinction est faite entre « étoile » et « planète ».
c) Observations faites sur le mouvement des astres.
(i)
l’immobilité de l’étoile polaire.
(ii) le mouvement circulaire des étoiles autour de l’étoile polaire.
d) Les astres errants, le Soleil, la Lune, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et
Saturne font la base de l’astrologie.
2. Les grecs : élaboration d’un système géocentrique pour la description
du mouvement des planètes.
a) Platon (427 – 347 av. J.C.) : Les planètes décrivent des mouvements
circulaires parfaits.
b) Eudoxe (400 – 347 av. J.C.) : Élève de Platon; réalise que les
mouvements planétaires actuels n’étaient pas ceux d’objets traçant des
cercles parfaits; propose une théorie (pour sauver celle de Platon) de
sphères concentriques dans lequel chaque sphère est attaché par ses
axes à la sphère plus grande; devient le premier grec à produire une
carte des étoiles.
c) Hipparque (190-120 av. J.C.) : Le plus grand des astronomes grecs;
calcule correctement la distance de la Lune à la Terre par la méthode
de parallaxe; améliore la carte des étoiles par Eudoxe; développe
l’idée que les planètes se déplacent en un cercle autour d’un point qui
décrit un cercle autour de la Terre.
d) Ptolémée (100 – 170 ap. J. C.) : Développe un système qui prédit très
bien la position des planètes dans le futur.
3. Copernic, Nicolas (polonais, 1473 – 1543) : Commence la « Révolution
Scientifique » qui détrône la « science » grecque.
a) Description du mouvement des planètes par un système
héliocentrique où toutes les planètes sont en orbite autour du Soleil.
b) Les étoiles sont sur une grande sphère immobile.
c) La Lune est en orbite autour de la Terre.
d) Objections à la théorie copernicienne :
(i)
Si la Terre tourne rapidement sur son axe, elle éclatera.
(ii) Si l’oiseau lâche la branche, il ne pourra pas suivre la Terre.
(iii) Les objets tombent vers la Terre et non vers le Soleil.
(iv) Tout a été créé par l’homme; comment ne serait-il pas le centre
de l’univers?
e) La théorie copernicienne fut dénoncée comme « fausse et totalement
opposée aux Saintes Écritures ».
4. Brahe, Tycho (danois, 1546 – 1601) :
a) Retourne au système géocentrique.
b) Observations incroyablement précises de 177 étoiles et de la position
des planètes pendant plus de 20 ans.
c) Peu de goûts pour les mathématiques.
5. Kepler, Johannes (allemand, 1571- 1630) :
a) Expérimentateur maladroit mais mathématicien doué.
b) Un convertit de la théorie de Copernic.
c) En utilisant les observations de Brahe, il produit les trois lois de
Kepler pour décrire la cinématique des mouvements planétaires.
(i)
Chaque planète se déplace en suivant une trajectoire
elliptique dont le Soleil occupe un des foyers.
(ii) La droite joignant n’importe quelle planète au Soleil balaie
des aires égales en des temps égaux.
(iii) Le rapport T2/ R3 est le même pour toutes les planètes.
6. Newton, Isaac (anglais, 1642 – 1727) :
a) Newton essaya de comprendre pourquoi les planètes demeurent en
orbite plutôt que de continuer en ligne droite. C’est en observant une
pomme tomber qu’il réalisa que la force exercée par le Terre sur la
pomme est la même que celle qui donne à la Terre son accélération
centripète. C’est une force universelle qui existe entre tous les objets.
b) La loi générale de la gravitation universelle : Newton utilisa la
cinématique des mouvements planétaires élaborée par Kepler pour
élaborer une dynamique (explication du mouvement en fonction des
forces qui agissent) pour ces mêmes mouvements.
Dérivation de la loi : Si on assume un mouvement circulaire
uniforme d’une planète autour du Soleil, alors la force centripète
retenant la planète sur son orbite autour du Soleil est :
Fc = 42mR (1)
T2
où
m = masse de la planète,
R = rayon de l’orbite et
T = période de révolution
Selon la troisième loi de Kepler, T2 = C (une constante)
R3
ou T2 = CR3 (2).
Remplaçons (2) dans (1).
Alors Fc = 42mR = 42mR = 42 m (3)
T2
CR3
C R2
Donc, selon cette dernière équation, la force centripète maintenant une
planète dans son orbite est directement proportionnelle à la masse de la
planète et inversement proportionnelle à sa distance du Soleil au carré.
Mais d’où provient cette force?
Du Soleil.
En somme, on peut démontrer que l’attraction d’un corps pour un autre
est une propriété de la quantité de matière dans les deux corps (celui au
centre aussi bien que celui en orbite). Puisque m, la masse de la planète
en orbite parait déjà dans l’équation (3), la constante 42/C doit dépendre
de la quantité de matière du corps au centre de l’orbite. On remplace
donc la constante 42/C par la masse du corps au centre (symbole M) de
l’orbite (le Soleil) et une nouvelle constante G. Donc, 42/C = GM.
Substituant dans (3),
notre force centripète devient donc Fc = GMm .
R2
Puisque cette force centripète est vraiment due au fait que l’objet au
centre (le Soleil) et l’objet en orbite (la planète) ont une masse, on dit que
la force centripète est due à la force gravitationnelle entre le Soleil et la
Terre.
Donc Fc = Fg = GMm .
R2
De cette équation assez spécifique, Newton généralise pour dire :
Tout corps dans l’univers attire tout autre corps avec une force qui
est (a) directement proportionnelle au produit de leurs masses et (b)
inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Fg = Gm1m2
R2
où G est la constante de la gravitation universelle valant
6,67 x 10-11 Nm2
kg2
Exercices :
Équations importantes :
T2/R3 = constante
Constantes :
G = 6,67 x 10-11 Nm2
kg2
MTerre = 5,98 x 1024 kg
MUranus = 14,6 MTerre
MMercure = 0,055 MTerre
MLune = 7,34 x 1022 kg
Fggg = Gmm
R2
RTerre = 6,38 x 106 m
RUranus = 2,67 x 107 m
RMercure = 2,57 x 106 m
Distance Terre-Lune = 3,84 x 108 m
A. Problèmes se rapportant à la 3e loi de Kepler :
1. Un satellite artificiel tourne autour de la Terre à une altitude équivalente à 9,00 rayon
terrestres. Quelle est la période du satellite en jours si on sait que la Lune orbite autour de la
Terre en 28 jours et que le rayon de cet orbite est 60 rayons terrestre?
2. La période de révolution de la Terre autour du Soleil est 3,16 x 107 s et la rayon moyen de
son orbite est 1,49 x 1011 m. Estime le rayon moyen de l’orbite d’une autre planète dont la
période de révolution est 3,74 x 108 s.
B. Problèmes se rapportant à la loi de la gravitation universelle :
3. Calcule la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un satellite de 1200 kg dont le rayon
orbital est de 2 x 1012 m.
4. a) Trouve le poids d’un homme de 110 kg situé sur Uranus.
b) Trouve le poids du même homme sur Terre. Solutionne le problème de deux façons.
c) Trouve l’attraction gravitationnelle entre ce même homme et une femme de 65 kg à 1,00 m
l’un de l’autre.
5. Détermine la force d’attraction que la Terre exerce sur la Lune.
6. Qu’arrive-t-il à g et à G à mesure que l’on s’éloigne de la surface de la Terre?
7. Un satellite est en orbite à une distance R du centre de la Terre. On veut placer en orbite un
second satellite ayant une masse quatre fois plus grande. À quelle distance du centre de la
Terre doit-on le placer pour qu’il soit sous l’influence d’une attraction de la même grandeur?
8. Une personne pèse 900 N à la surface de la Terre. Que pèsera-t-elle à une distance de 3,0
rayons terrestre de la surface de la Terre?
9. Le poids d’une pomme près de la surface de la Terre est 1,00 N. Quel est le poids de la Terre
dans le champ gravitationnelle de la pomme?
Problèmes se rapportant à des satellites en orbite :
10. Que doit être la vitesse d’un satellite poursuivant un orbite circulaire à une altitude de 0,50
rayons terrestres?
11. Un « skylab » tourne autour de la Terre à une altitude de 350 km. Calculer la période à
laquelle il orbite sachant que le rayon de la Terre est de 6380 km.
12. À quelle altitude devra orbiter un satellite de télécommunication géostationnaire (restant
toujours au même point au dessus de la Terre et donc ayant une période de révolution de 24,0
heures comme la Terre)?
Exercices sur la gravitation
1. Mouvement d’un satellite a) en une orbite circulaire :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
b) en une orbite elliptique :
Les figures A et B ci-dessus montrent quatre positions d’un satellite en orbite
autour de la Terre. À chacune des positions, trace un vecteur pour représenter
la force gravitationnelle de la Terre sur le satellite. Légende les vecteurs avec
le symbole F.
Les quatre vecteurs F sont-ils de la même longueur sur chaque diagramme?
Pourquoi ou pourquoi pas?
Trace un vecteur pour représenter la vitesse vectorielle du satellite à chacune
des quatre positions sur chaque diagramme. Légende ensuite ces vecteurs avec
le symbole v.
Les quatre vecteurs v sont-ils de la même longueur sur chaque diagramme?
Pourquoi ou pourquoi pas?
Quel est l’angle entre F et v à chaque position sur chaque figure?
(vi)
Compare l’angle entre F et v pour les deux figures.
(vii)
Pour la figure B, trace les composantes de F qui sont parallèles et
perpendiculaires à v.
À quoi sert - la composante de F perpendiculaire à v?
(viii)
-
la composante de F parallèle à v?
2. Le navire spatiale ci-contre
est attirée aussi bien à la planète
qu’à sa lune. La planète a
quatre fois la masse de la lune.
La force d’attraction à la planète
est illustrée par le vecteur.
a) Trace un autre vecteur pour
illustrer son attraction à la lune.
Trace ensuite la force résultante.
b) Calcule l’endroit entre la planète
et la lune où les forces gravitationnelles
s’annulent. Indique l’endroit sur le diagramme.
3. On objet pèse 1kN à la surface d’une planète juste avant qu’elle s’effondre.
Calcule le poids de l’objet à la surface de la planète à mesure qu’elle s’effondre et
ensuite lorsqu’il est placé à sa position initiale mais avec la planète ayant ses
nouvelles dimensions.
4. Dans une cave sous la surface de la Terre, il y a :
a) plus de gravité qu’à sa surface;
b) moins de gravité qu’à sa surface;
c) le même montant de gravité qu’à sa surface.
5. Des cinq endroits donnés ci-dessous, il serait plus facile de lancer un navire spatial :
a) du Nouveau Mexique (vers le sud au dessus du Mexique);
b) de la Californie (vers le nord au dessus du Pacifique);
c) de la Floride (vers l’est au dessus de l’Atlantique);
d) Moscou (vers l’est au dessus de la Sibérie).
6. Lequel est vrai?
a) La Lune tourne autour du centre de la Terre.
b) La Terre tourne autour du centre de la Lune.
c) Les deux tournent autour d’un point entre leurs centre.
7. La marée produite par la Lune est :
a) plus creuse sur le côté de la Terre le plus près de la Lune;
b) plus creuse sur le côté de la Terre le plus éloigné de la Lune;
c) environ aussi creuse d’un côté de la Terre que de l’autre.
Comparaison du système gravitationnel au système électrique
Système gravitationnel
La force gravitationnelle
seulement être attractive.
Système électrique
peut La force électrique
attractive ou répulsive.
peut
être
La force gravitationnelle agissant sur
un corps de masse m dans le champ
gravitationnelle, g, de quelque chose
d’autre est donnée par l’équation
Fg = mg.
La force électrique agissant sur une
sphère de charge q dans le champ
électrique, E, de quelque chose
d’autre également chargé est donnée
par l’équation Fe = qE
Puisque dans la majorité des
problèmes que nous faisons, la force
gravitationnelle demandée est celle
agissant sur des objets près de la
surface de la Terre, nous utilisons
pour g la valeur de -9.81 N/kg.
Pour les problèmes dans un système
électrique, il n’y a pas une valeur
unique pour E comme nous le
voyons
dans
le
système
gravitationnel. Noter cependant les
unités similaires pour g et E. E est
donné en N/C ou N/e.
Pour trouver g à un autre
emplacement que la surface de la
Terre ou pour un corps de masse M à
une distance R de son centre, nous
savons que
Fg = GMm = mg
R2
et donc g = GM
R2
Pour une source ponctuelle 2 dans le
champ électrique d’une autre source
ponctuelle 1, le champ électrique de
la q1 à une distance R de son centre
peut être trouvé sachant que
Fe = kq1q2 = q2E1
R2
et donc E1 = kq1
R2