Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1- Corrigé IE n° 1- 4/10/11
Exercice n° 1 :
La suite (un) est définie sur I; N par un = Error!.
1) n  I; N donc n  0 donc n + 2 > 0 et 2n + 1 > 0 d’où Error! > 0 (le quotient de deux nombres strictement
positifs est strictement positif).
On a un > 0 pour tout n de I; N donc la suite (un) est minorée par 0 (le minorant n’est jamais atteint)
On peut aussi montrer que la suite (un) est minorée par Error!.
En effet, un – Error! = Error! – Error! = Error! = Error! > 0 donc un < Error! pour tout n de Error!
Donc Error!
(Remarque : Error! est le plus grand des minorants)
2) Pour démontrer que la suite (un) est majorée par 2, montrons que un  2 pour tout n de I; N, pour cela, on
étudie le signe de un – 2 = Error! – 2 = Error! = Error! = Error!
Or, n  I; N donc – 3n  0 et 2n + 1 > 0 donc Error!  2
Donc un  2 pour tout n de I; N et la suite (un) est majorée par 2 (le majorant est atteint)
3) Pour étudier la monotonie de cette suite, on peut calculer un+1 – un et étudier son signe, on peut calculer
Error! et le comparer avec 1 ou étudier la fonction f définie par f(x) = Error! puisque un = f(n).
1ière méthode : un+1 – un = Error! – Error! = Error!
donc un+1 – un = Error! = Error! < 0 donc Error!
2ième méthode : On peut utiliser cette méthode car on sait que tous les termes sont strictement positifs.
Error! = Error! < 1 car 2n² + 7n + 3 < 2n² + 7n + 6
Bien sûr, on ne peut pas simplifier par 2n² ni par 7n
Error! < 1 donc un+1 < un et Error!
3ième méthode : La fonction f définie par f(x) = Error! est dérivable sur Error!+ et
f ’(x) = Error! = Error! < 0 donc f est strictement décroissante sur Error!+
donc la suite (un) est décroissante
Remarque : La suite (un) est décroissante donc majorée par son premier terme u0 = 2
Exercice n° 2 :
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un + 1 = Error! un + 1.
1) un+1 – un = Error! un + 1 – un = 1 – Error! un dépend de n donc un+1 – un n’est pas constant donc (un) n’est pas
une suite arithmétique.
un + 1 = Error! un + 1 donc il n’existe pas de réel q tel que un + 1 = q  un donc (un) n’est pas une suite
géométrique.
donc Error!.
2) On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel, par vn = un – 2.
a) vn+1 = un+1 – 2 = Error! un + 1 – 2 = Error! un – 1 = Error! (un – 2) = Error! vn
donc Error!
b) La suite (vn) est une suite géométrique donc vn = v0  qn soit Error!
c) Comme vn = un – 2 alors un = vn + 2 donc Error!.
3) un+1 – un = – 2  Error!Error! + 2 + 2 Error!Error! – 2 = 2 Error!Error! Error! = Error!Error! > 0
donc la suite (un) est strictement croissante .
4) On note : Sn = v0 + v1 + v2 + ….. + vn et Sn’ = u0 + u1 + u2 + ….. + un
Sn est la somme des premiers termes d’une suite géométrique donc Sn = v0  Error!
Soit Sn = – 2 Error! = – 2 Error! donc Error!
b) Sn’ = Sn + (n + 1)  2 donc Error!
Error!Error!Error!
Error!2(n
= 0 car 0 < Error! < 1 donc Error!Error! = 1 et Error!
+ 1) = + et Error! Sn = – 4 donc Error!
5) (un) est constante  un + 1 = un pour tout n de I; N  un = Error! un + 1  un – Error! un = 1  Error! un = 1
 un = 2
Error!