Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1- Corrigé IE n° 1- 4/10/11
Exercice n° 1 :
La suite (un) est définie sur I; N par un =
Error!
.
1) n I; N donc n 0 donc n + 2 > 0 et 2n + 1 > 0 d’où
Error!
> 0 (le quotient de deux nombres strictement
positifs est strictement positif).
On a un > 0 pour tout n de I; N donc la suite (un) est minorée par 0 (le minorant n’est jamais atteint)
On peut aussi montrer que la suite (un) est minorée par
Error!
.
En effet, un –
Error!
=
Error!
–
Error!
=
Error!
=
Error!
> 0 donc un <
Error!
pour tout n de
Error!
Donc
Error!
(Remarque :
Error!
est le plus grand des minorants)
2) Pour démontrer que la suite (un) est majorée par 2, montrons que un 2 pour tout n de I; N, pour cela, on
étudie le signe de un – 2 =
Error!
– 2 =
Error!
=
Error!
=
Error!
Or, n I; N donc – 3n 0 et 2n + 1 > 0 donc
Error!
2
Donc un 2 pour tout n de I; N et la suite (un) est majorée par 2 (le majorant est atteint)
3) Pour étudier la monotonie de cette suite, on peut calculer un+1 – un et étudier son signe, on peut calculer
Error!
et le comparer avec 1 ou étudier la fonction f définie par f(x) =
Error!
puisque un = f(n).
1ière méthode : un+1 – un =
Error!
–
Error!
=
Error!
donc un+1 – un =
Error!
=
Error!
< 0 donc
Error!
2ième méthode : On peut utiliser cette méthode car on sait que tous les termes sont strictement positifs.
Error!
=
Error!
< 1 car 2n² + 7n + 3 < 2n² + 7n + 6
Bien sûr, on ne peut pas simplifier par 2n² ni par 7n
Error!
< 1 donc un+1 < un et
Error!
3ième méthode : La fonction f définie par f(x) =
Error!
est dérivable sur
Error!
+ et
f ’(x) =
Error!
=
Error!
< 0 donc f est strictement décroissante sur
Error!
+
donc la suite (un) est décroissante
Remarque : La suite (un) est décroissante donc majorée par son premier terme u0 = 2
Exercice n° 2 :
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un + 1 =
Error!
un + 1.
1) un+1 – un =
Error!
un + 1 – un = 1 –
Error!
un dépend de n donc un+1 – un n’est pas constant donc (un) n’est pas
une suite arithmétique.
un + 1 =
Error!
un + 1 donc il n’existe pas de réel q tel que un + 1 = q un donc (un) n’est pas une suite
géométrique.
donc
Error!
.
2) On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel, par vn = un – 2.
a) vn+1 = un+1 – 2 =
Error!
un + 1 – 2 =
Error!
un – 1 =
Error!
(un – 2) =
Error!
vn
donc
Error!
b) La suite (vn) est une suite géométrique donc vn = v0 qn soit
Error!
c) Comme vn = un – 2 alors un = vn + 2 donc
Error!
.
3) un+1 – un = – 2
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+ 2 + 2
Error!Error!
– 2 = 2
Error!Error!
Error!
=
Error!Error!
> 0
donc la suite (un) est strictement croissante .
4) On note : Sn = v0 + v1 + v2 + ….. + vn et Sn’ = u0 + u1 + u2 + ….. + un
Sn est la somme des premiers termes d’une suite géométrique donc Sn = v0
Error!

Soit Sn = – 2
Error!
= – 2
Error!
donc
Error!
b) Sn’ = Sn + (n + 1) 2 donc
Error!
Error!Error!Error!
= 0 car 0 <
Error!
< 1 donc
Error!Error!
= 1 et
Error!
Error!
2(n + 1) = + et
Error!
Sn = – 4 donc
Error!
5) (un) est constante un + 1 = un pour tout n de I; N un =
Error!
un + 1 un –
Error!
un = 1
Error!
un = 1
un = 2
Error!