3.9 Mo - La Cosmologie précise, par Philippe Magne

TROUS NOIRS 2
Philippe Magne
( texte initial de 2000 )
1
Introduction
Trous noirs 1 montre que l’issue fatale des étoiles géantes est de devenir trous
noirs entourés d’un horizon qui se comporte comme une censure cosmique rendant
invisible une singularité ponctuelle de l’espace temps.
Dans le proche voisinage extérieur à cet horizon, le champ de gravitation est
énorme, l’espace temps est fortement courbé, la capture et l’orbite de particules
nécessitent un traitement relativiste.
Trous noirs 2 traite ce problème à l’aide du potentiel effectif qui sera d’abord décrit
dans la condition non relativiste en mécanique de Newton.
Ensuite cette notion sera développée dans la condition ultra relativiste à l’aide de la
métrique de Schwarzschild.
Einstein considérait que la métrique de Schwarzschild est une très bonne
approximation de la théorie géométrique de la gravitation.
_________________________________________________________
La table des matières se trouve à la fin du texte
2
1 Rappels de la notion de potentiel effectif en mécanique de Newton
Le potentiel effectif facilite considérablement l’analyse du mouvement d’une petite
masse d’épreuve ne participant pas au champ de gravitation, voire très peu quand la
masse centrale est prépondérante et génère une force centrale attractive.
Dans un espace vide où ne se produit aucun frottement, il n’existe que deux sortes
de trajectoires possibles :
Hyperboliques
Ouvertes
Paraboliques
Elliptiques
Fermées
Circulaires
En général la force centrale est dirigée vers une masse importante M placée à
l’origine du référentiel, qui attire une petite masse m0 , si petite qu’elle n’intervient
pas dans le champ de gravitation.
1.1 Position du problème
La vitesse
La vitesse V de m0 ( figure 1 ), dans un système de coordonnées polaires r, a
deux composantes, de sorte que V
2
 Vr2  V2
Figure 1
3
Les forces
La force centrale d’attraction Fa est toujours dirigée suivant r , on la dit centrale
car M ne produit pas de couple .
Figure 2
Son module, vaut, d’après la gravitation Newtonienne :
Fa 
GMm0
r
2
M en kg
m0 en kg
r en mètres
G : constante universelle de la gravitation ( CUG ) = 6.67  10
11
La force d’inertie FI centrifuge a un module qui vaut :
Fi 
m0 V2
r
avec V  r
d
dt
Les lois de conservation
Les deux grandeurs qui se conservent pendant un mouvement sans frottement sont :
L’énergie totale, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
Le moment cinétique dont le module est :
J  m0 r V 
1 .2
Potentiels dont dérivent Fa et
Fi
Potentiel Ua de Fa : c’est le travail qu’il faudrait fournir pour déplacer m0 depuis
un point situé à la distance r de O jusqu’à l’infini.
4
C’est une définition qui permet de se débarrasser de la constante d’intégration en
l’annulant.


r
r
Ua   Fadr   GMm0
Ua  
dr
r2
GMm0
r
Potentiel Ui de Fi : la même définition conduit à un potentiel de signe négatif
puisque la force Fi tend à éloigner m0 de o.

Ui    Fdr
i
r
Plaçons nous dans la condition où le module du moment cinétique est constant et en
utilisant la formule écrite à la page précédente, on en déduit la vitesse V puis la
force Fi .
V 
Fi 
m0 V2
r
J
m0r
m0J2
J2
 23 
m0r
m0r 3
D’où :

J2dr
J2
Ui   

3
m
r
2m0r 2
0
r
1. 3 Le Potentiel effectif Ueff est la somme de Ua et de Ui
Ueff
GMm0
J2


2m0r 2
r
Ce potentiel peut être positif ou négatif lorsque
r
varie de 0 à l’infini
5
Expression de la vitesse radiale déduite de Ueff et de l’énergie E
L’intérêt de calculer cette expression est de connaître d’emblée pour quelles valeurs
de r on a
dr
 0 , éventualité qui se produit au périastre P et à l’apoastre A
dt
lorsqu’il s’agit de trajectoires fermées ( figure 3 )
Figure 3
Pour exprimer la vitesse exprimons comment elle intervient dans l’énergie :
E
GMm0
1
m0 V 2 
2
r
V2 
2E 2GM

m0
r
J2
D’autre part : V  V  V d’où V  V  V et nous savons que V  2 2
m0r
2
Finalement :
2
r
2

2
r
2
2

2

2E 2GM
J2
Vr 

 2 2 expression qui n’a de sens que si ce qui
m0
r
m0r
est sous le radical est supérieur ou égal à zéro, dans ce dernier cas les racines de
l’équation donne la valeur de r en P ou en A .
6
1.4 Choix d’une unité de longueur naturelle et applications numériques
L’ intérêt de ce choix apparaîtra plus loin ; cette unité est utilisable, aussi bien en
mécanique de Newton qu’en Relativité générale, c’est le rayon de Schwarzschild qui
est égal à :
rs 
2GM
c2
On pourra vérifier qu’il s’agit bien d’une longueur par l’équation aux dimensions
G  L3M1T 2
c  LT 1
Dans le cas du Soleil M  M  2  10 kg on trouve la longueur suivante :
30
rs  2.9697  103 m  3km
rs étant proportionnel à M cette unité de longueur peut universaliser les formules
applicable aux autres étoiles .
Adoptons cette unité de longueur dans l’expression du potentiel effectif Ueff , lui
2
même normalisé à m0c :
2
Ueff
J2
 r  1 2GMm0

 s   
2
2 2 2
m0c
2m0c rs  r  2 m0c 2r
2GM
 2GM  rsc 2 on aboutit à :
2
c
2
Ueff
1  J2
 rs   rs  
 



m0c 2 2  m02c 2rs2  r   r  
r
Le changement de variable u  s paraît utile
r
et puisque rs 

Ueff
1  J2
2


u

u


m 0 c 2 2  m02c 2rs2

Il est intéressant aussi de connaître la vitesse Vr et de savoir quand elle s’annule ce
qui détermine un périastre ou un apoastre ; nous la normalisons à la vitesse de la
lumière c et tenons compte des expressions ci-dessus :
 E

Vr
1  J2
2
 2

u

u
 
 m c 2 2  m2c 2r 2
c
 0 s

 0
 E
U 
Vr
 2
 eff 2 
2
c
m0c 
 m0c
7
1.5 Application numérique
Ainsi, lorsque
Ueff
E

 0 la vitesse radiale s’annule et r prend les valeurs
m0c 2 m0c 2
qui correspondent au périastre et à l’apoastre,
on les obtient en résolvant
2
l’équation suivante :
2E
J

u2  u  0
2
2 2 2
m0c
m0c rs
Pour illustrer ce que peut donner rapidement cette formule, nous avons pris en
compte trois potentiels effectifs concernant le système solaire celui de Vénus, celui
de la Terre et celui de Mars ; la tâche est facilité par le fait que les orbites de ces
planètes sont quasi circulaires et que l’on connaît le rayon r de la trajectoire qui est la
distance de ces planètes au Soleil, la vitesse radiale Vr est pratiquement nulle vue
l’hypothèse simplificatrice adoptée
Pour effectuer des calculs numériques il faut connaître J  m0rV
Il se trouve que dans le cas du mouvement circulaire l’expression de V est
particulièrement simple : V 
2
GM
r
On en déduit aisément le carré de J c’est à dire J  m0r 
2
2 2
GM
r
J2
Plus exactement ce qu e nous avons à connaître c’est 2 2 2
m0c rs
2GM
1 r
 3km )
On obtient : 
( rappel rs concerne le Soleil et vaut
c2
2 rs
J2
1 r
Ainsi
 
2 2 2
m0c rs 2 rs
Pour la Terre qui se trouve à 150  10 km du Soleil on obtient : 25  10 dont la
3
racine carrée est 5  10
6
6
Planète
J
m0crs
Vénus
4.2426  103
Terre
5  103
Mars
6.1237  103
Voir figure 4 comment le potentiel effectif varie en fonction de
r
rs
8
Figure 4
9
Calcul du périhélie et de l’aphélie ( points P et A ) à l’aide de l’équation :
2E
J2

u2  u  0
2
2 2 2
m0c
m0c rs
rs
r
r
et ce que nous voulons calculer c’est M et m ( voir figure 4 )
rs
rs
r
Les constantes de l’équation ci-dessus sont, dans le cas de Vénus :
Rappel : u 
2E
 2  5  109  10  10 9
m0c 2
J2
 (4.2426  103 )2  1.8  107
2 2 2
m0c rs
D’où l’équation à résoudre :
1.8 * 107  u2  u 
10
109
Résultats donnés par MAPLE
Bien noter que ce calcul est un pur exemple et ne concerne en aucune façon l’orbite
réelle de Vénus qui est circulaire, alors que les conditions que nous avons introduites
la rendent elliptique !
Remarquer que le rayon des trajectoires circulaires se trouve aux creux du potentiel
effectif et que l’énergie de la particule d’épreuve E est négative.
Le point P correspond au périhélie d’un exemple de trajectoire hyperbolique qui
implique que l’énergie E de la particule d’épreuve soit positive.
10
2 Calcul relativiste des trajectoires des particules autour des trous noirs.
2 .1 Pourquoi faut-il utiliser la Relativité Générale pour traiter ce problème ?
On peut le deviner en se plaçant dans la condition J  0 , c’est à dire dans la
condition d’une chute radiale libre depuis l’infini, ce qui implique E  0 comme
condition initiale.
La formule de la vitesse radiale Vr 
2E 2GM
J2
2GM

 2 2 tend vers Vr 
m0
r
m0r
r
Et, compte tenu des notations adoptées :
r
Vr
2GM

 s
2
c
rc
r
rs
ne peut
r
plus être considéré comme très petit, ce qui implique que Vr n’est plus du tout petit
devant la vitesse de la lumière c .
Comme nous nous plaçons implicitement au voisinage d’un trou noir,
L’espace temps est très distordu, courbé par la présence de M , sa géométrie n’est
plus Euclidienne.
Cette théorie s’applique assez facilement dans ce cas simple où une seule masse
intervient.
Les distorsions de l’espace temps sont formalisées dans le cadre d’une métrique qui
se présente comme la différence de deux carrés, l’un du genre temps, l’autre du
genre espace, cette différence est un invariant.
2 . 2 Métrique de Schwarzschild
2.2.1 Qu’est-ce qu’une métrique ?
Une métrique est un ensemble de règles de mesures dans un espace fondé sur la
définition de la distance entre deux points infiniment voisins.
Dans l’espace temps de la Relativité la métrique est fondée sur l’intervalle entre
deux évènements, cet intervalle est invariant dans les changements de coordonnées.
Passant d’un espace vide à un espace occupé par une seule masse située à l’origine
des coordonnées, la notion de métrique se décline de la matière suivante.
On part de la Relativité Restreinte dont l’invariant d’espace temps s’écrit :
s2  c 2 t 2  l2
11
C’est par sa forme différentielle que l’on exprime l’invariance de la vitesse de la
lumière au sens d’une propriété locale.
ds2  c 2dt 2  dl2
Lorsque le problème possède une symétrie sphérique on l’exprime dans un système
de coordonnées sphériques ( figure 5 ).
dl2  dr 2  r 2d2  r 2 sin2 d2
Figure 5
Ainsi, dans un espace vide et sans gravitation s’écrit- elle :
ds2  c 2dt 2  (dr 2  r 2d2  r 2 sin2 d2 )
Si on place une masse M en 0 il s’établit un champ de gravitation dont la
conséquence relativiste est une courbure de l’espace temps.
Si  
GM
est le potentiel de gravitation et en remarquant que :
r
2 2GM rs


c2
rc 2
r
rs étant le rayon de Schwarzschild
On aboutit à la métrique de Schwarzschild :
dr 2
 r 
ds2  c 2dt 2  1  s  
 r 2 d2  sin2 d2
r
r

 1 s 

r 



12
2.2.2 La vitesse déduite de la métrique
La symétrie du problème donne à penser que les trajectoires recherchées sont dans

le plan qui contient 0 ( figure 5), par exemple, faisons donc    Cte ,donc d  0
2
Plaçons nous d’abord dans le cas de l’espace vide, plan x0y.
Les composantes de la vitesse sont définies dans la figure 1 :
Vr 
dr
dt
et
V  r
d
dt
( rappel  

,
2
sin   1
d  0 )
Maintenant plaçons nous dans le cas de la métrique de Schwarzschild, les éléments
d’espace et de temps sont fonction de la coordonnée r et cela, par suite de la
présence de la masse M en 0.
1
 r 2
Temps : dt  1  s 
r

dr
Espace :
1
 rs  2
1 r 


Ainsi, les composantes de la vitesse deviennent-elles les suivantes :
dr
1
 rs  2
1 r 
dr
 
Vr  
1
 r 
 rs  2 dt  1  s 
dt  1  
r

r

V  r
d
1
 r 2
dt  1  s 
r

Le module de la vitesse V de la figure 1 devient maintenant :
d2
2
 r 
rs 
2
dt 2  1  s 
dt  1  
r

r

Le facteur  de la Relativité restreinte est réutilisable, c’est à dire :
1

1
2 2


V
1  2 

c 


2
V 
dr 2
 r2
13
2.3 Lois de conservation
Elles concernent les mêmes quantités qu’en mécanique de Newton, à savoir :
l’énergie E et le module du moment cinétique J
2.3.1 L’énergie
C’est la même que celle de la Relativité Restreinte :
E  m0c 
m0c 2
2
 V 
1 2 
c 

2
1
2
Mais dans le cadre de la métrique de Schwarzschild, l’interaction entre m0 et M
modifie la valeur de cette énergie qui devient fonction de r .
1
 r 2
Cette interaction oblige à introduire le facteur  1  s 
r

Ainsi l’énergie de m0 s’exprime-t-elle, compte tenu de la présence de M, par la
formule :
1
 r 2
E  m0c 2  1  s 
r

2.3.2 Le moment cinétique
Dans le cadre de la Relativité Restreinte, il s’écrirait :
J  m0rV
Tenant compte de la métrique de Schwarzschild il devient
J  m0
r 2d
1
 r 2
dt  1  s 
r

14
2 . 4 Potentiel effectif relativiste
Pour obtenir ce potentiel il nous faut, en s’inspirant de ce qui a été exposé en
mécanique Newton faire apparaître le carré de la vitesse radiale normalisée à c :
2
Vr2 V 2 V V 2




c2 c2 c2 c2
V2 2  1
 2 et en introduisant le moment cinétique :
c2

En remarquant, par ailleurs que :
Vr2  2  1
 2 
c2

r 2d2
 r 
c 2dt 2  1  s 
r

r 2d2
1
J2 
 2   2  1 2 2 2 
m0c r 
 r   
c 2dt 2  1  s 
r

Par ailleurs on peut tirer  de l’énergie :
E

1
2  1 

 r 2
m0c  1  s 
r

2
E2
1
rs 
2 4
m0 c  1  
r

Finalement on arrive à :

 r 
m02c 4  1  s  

2
2
V
E
J
r 




1

c
E2
m02c 2r 2 
 2 4  rs 
 m0c  1  r 





2
r
2
Adoptons le changement de variable u 
rs
r


Vr2 m02c 4  E2
J2
J2
2


1

u

u

u3  

2
2 
2
4
2
2
2
2
2
2

c
E  m0c
m0c rs
 m0c rs

Le potentiel effectif Ueff normalisé à m0c 2 s’en déduit en écrivant :
U2eff 
Vr2 m02c 4  E2




c2
E2  m02c 4 m02c 4 
15
D’où la formule du Potentiel effectif relativiste :
Ueff
J2
J2
3


u

u2  u  1
m0c 2
m02c 2rs2
m02c 2rs2
Ueff
r 1
 et, s’agissant d’orbites
en fonction de
2
rs u
m0c
r
autour d’un trou noir dans l’intervalle 1   15 le plus intéressant.
rs
La figure 6 est un diagramme de
On pourra constater que le potentiel effectif est toujours positif a contrario du
Newtonien, cela vient de l’introduction de l’énergie de masse invariante m0c 2 que
Newton ignorait.
Il peut présenter un maximum et un minimum si la dérivée de l’expression sous le
radical peut s’annuler, c’est à dire si :

3J2
2J2
2
u

u 1 0
m02c 2rs2
m02c 2rs2
Ce qui n’est possible que si :
4J4
12J2

0
m04c 4rs4 m02c 2rs2
J
 3
mocrs
16
Figure 6
17
Commentaires sur le diagramme de la figure 6
J
Max
Ueff
3m0crs
Min
Ueff
Commentaires
r
3
rs
Une particule ayant ce moment cinétique ne peut
avoir de périastre. Venant de l’  elle tombe dans le
trou noir
Une particule de
2m0crs
r
2
rs
r
6
rs
2.2m0crs
1.85
7.82
2.4m0crs
1.77
9.74
3m0crs  J  2m0crs pour laquelle
E est plus petite que m0c 2 peut décrire une trajectoire
fermée avec périastre et apoastre.
Si E est plus grande que m0c 2 , une particule venant
de  tombera dans le trou noir.
Sur la figure 6, on constatera que la droite sur laquelle
Ueff
r
sont portées les abscisses
coupe l’axe
au
rs
m0c 2
point 1 et est tangente à la courbe correspondant à
r
J  2m0crs au point  2
rs
Pour J  2m0crs l’orbite a un comportement quasi
Képlerien en ce qui concerne le déplacement du
périastre
r
qui
rs
correspondent aux Max et min de Ueff , la variable u de l ‘équation à résoudre page
Remarque : dans la deuxième et troisième colonne sont inscrites les abscisses
16 est égale à
rs
r
Remarque concernant les orbites circulaires
Ueff
E
Si
est égal au minimum de
( creux de potentiel figure 6) alors les orbites
2
m0 c
m0c 2
sont circulaires.
L’orbite circulaire particulière J  2m0crs , E  m0c 2 , r  2rs se trouvant à un max de
potentiel est instable. Lorsqu’elle est perturbée, la particule peut tomber dans le trou
noir ou s’échapper à l’  .
E  0.942809m0c 2 l’orbite est stable, de rayon r  3rs , c’est
Pour J  3m0crs ,
l’orbite la plus proche possible du trou noir.
18
3 Calcul des orbites au voisinage d’un trou noir
Ce que l’on veut obtenir, c’est une relation entre r et  puisque nous adoptons
implicitement un système de coordonnées polaires.
Cela revient à établir l’équation différentielle des trajectoires possibles.
Nous adoptons l’approche suivante :
10 exprimer la vitesse de deux manière lesquelles constituerons les deux membre
de l’équation différentielle :
Fin de la page 13 (en conservant la notation u 
V2 
dr 2
dt 2 1  u 
2

rs
)
r
rs2 d2
r 2d2
dr 2
1


 2 
2
2
2
dt 1  u  dt 1  u  u
dt
1 u
et V 2  c 2 
2  1
2
D’où cette première forme de l’équation désirée :
rs2 d2
dr 2
1
2  1
2
 

c  2
dt 2 (1  u)2 u2 dt 2 1  u

20 exprimer
d
dr
et
en tenant compte du changement de variable u
dt
dt
r  du  d
dr dr du d



  s2  

dt du d dt
u  d  dt

c’est ce que nous cherchons
Tirons
d
du moment cinétique ( bas de la page 14 ) et conservons la notation u
dt
1
d J 1  u  2 u2

 2
dt
m0 
rs
19
L’équation différentielle des trajectoires est la suivante :
rs2
u4
2
2
rs2 J 1  u  u4
 du  J 1  u  u4
1
1
2  1
2









c


m02  2
rs2 1  u 2 u2
m02  2
rs2 1  u
2
 d 
2
Après les simplifications qui s’imposent, on obtient :
2
 du 
J2
1
J2



u2   2  1


2 2 2
2 2 2
d

m
c
r
1

u
m
c
r
  0 s


0
s
Quant à  2  1 voir page 14 ( énergie)
E2
1
 1 2 4 
1
m0c 1  u
2
Finalement on arrive à :
2
E2rs2 m02c 2rs2
 du 
2
3
1  u

 u u  2 2 
Jc
J2
 d 
L’angle  est donné par l’intégrale :
u2


u1
du
u3  u2 
m02c 2rs2
E2rs2 m02c 2rs2

u


J2
J2c 2
J2
Composantes orbitales de la vitesse :
1
Vr m0c 2

c
E
 J2
2
J2
E2
  2 2 2  u3  2 2 2  u2  u  2 4  1
m0c rs
m0c
 m0c rs

1
J
 u  1  u  2
V m0crs

E
c
m0 c 2
20
3.1 Applications numériques
L’orbite dans le système de coordonnées polaires qui a été choisi au début de ce
r
document ( figure 1 ) conduit à calculer  en fonction de u  s .
r
Comme nous avons choisi rs comme unité naturelle de longueur, la distance
s’exprime en nombre de fois rs . Si r   et si rm est le périastre :
0u
rs
rm
Pour les tracés proprement dits on utilisera le logiciel MAPLE et donc les
1
coordonnées rectangulaires x  r cos( ) et y  r sin( ) avec r  .
u
Les différentes orbites dépendent du choix des invariants : énergie E et moment
cinétique J
Exemple 1
E  1.1m0c 2
J  2.4m0crs
Pour la suite des calculs les valeurs suivantes sont utiles :
J
 2.4
m0crs
E2
J2
 5.76
m02c 2rs2
m02c 2rs2
 0.173611
J2
2
Er
m2 c 4
 1.1 
 2 0

 0.2100694
J 2 2 2  2.4 
Jc
m0c rs
2 2
s
2 2
E2rs2 m02c 2rs2

 0.0364583333
J2c 2
J2
Valeur de u au périastre, elle correspond à l’annulation de la vitesse radiale, c’est
une racine de l’équation :
5.76u3  5.76u2  u  0.21  0
Racines :
-0.1188952579, 0.4798285472,
0.6300667107
La racine négative ne présente pas d’intérêt, pour choisir la bonne racine il faut
tracer la courbe de la fonction qui se trouve sous la racine carrée de l’intégrale qui
donne  , voir la figure 7.
21
Figure 7
r
u 1
r
 radians
r cos 
r sin 
10
8
7
6
5.44
5
4
3.5
2.5
2.3
2.2
2.1
2.08
0.1
0.125
0.1428
0.16666
0.18382
0.2
0.25
0.285
0.4
0.434
0.45454
0.47619
0.47977
3.5539
3.4357
3.3507
3.2359
3.1415
3.0709
2.8079
2.6029
1.7420
1.3335
0.9997
0.3760
0
+9.16
+7.65
+6.84
+5.97
+5.44
+4.98
+3.77
+3
+0.425
-0.54
-1.18
-1.953
-2.08
-4
-2.31
-1.45
-0.56
0
+0.35
+1.31
+1.79
+2.46
+2.23
+1.85
+0.77
0
Remarque : le sens de rotation choisi est trigonométrique voir la figure 8
Pour le calcul de  voir page 20
22
Figure 8
Cette figure 8 montre la trajectoire d’une particule autour d’un trou noir dans les
conditions de l’exemple 1 des calculs numériques.
Le cercle de centre 0 est l’horizon de Schwarzschild de rayon rs pris comme unité de
2GM
longueur comme déjà annoncé ( rappel, rs  2 où M est la masse du trou noir ).
c
Pour calculer l’intégrale donnant  on peut utiliser le logiciel MAPLE, saisir :
evalf ( Int (1/ ((u^3)-(u^)+0.173611*(u)+0.03645833)^(1/2),u=0.479 .. 0.1)) ;
Les résultats du calcul sont dans le tableau de la page 22
23
Exemple 2
E  m0 c 2
J  2m0crs
Pour la suite des calculs, les valeurs suivantes sont utiles :
J
2
m0crs
E2
J2
4
m02c 2rs2
m02c 2rs2
 0.25
J2
2
Er
m2c 4
 1
 2 0
    0.25
J 2 2 2 2
Jc
m0c rs
2 2
s
2 2
E2rs2 m02c 2rs2

 0.25  0.25  0
J2c 2
J2
Valeur de u au périastre, elle correspond à l’annulation de la vitesse radiale, c’est
une racine de l’équation :
4u3  4u2  u  0
Racines
0,
1
,
2
1
2
rs
), la racine
r
double annonce une instabilité comme nous allons le montrer voir la figure 9 qui
représente le polynôme qui est sous la racine carré du dénominateur de l’intégrale
qui donne  page 20
La racine 0 ne présente pas d’intérêt puisqu’ alors r  
( rappel u 
24
Figure 9
On s’aperçoit que pour u  0.5
la courbe ci-dessus est tangente à l’axe horizontal.
D’autre part, en se rapportant à la figure 6 page 17, le potentiel effectif est maximum
r
r
pour  2 , ce qui correspond à u  s  0.5 .
rs
r
Ce n’est que pour un creux de potentiel que l’on peut espérer une orbite stable.
On n’a jamais pu faire tenir un crayon en équilibre sur sa pointe sur une table de
bureau.
25
Figure 10
Cette figure est une approche pour faire comprendre l’instabilité. En réalité la
particule parcourt l’orbite circulaire r  2 pendant un grand nombre de tours avant
q’une faible instabilité ne lui fasse prendre la partie intitulée « Vers la chute
inéluctable dans le trou noir » de la figure 9 page 25
26
Exemple 3
E  0.9428090416m0c 2
J  3m0crs
1
Vr
0
c
1  1 2
3   1 
V
3  3

 0.5
c
0.942809
Figure 11
Orbite circulaire stable, le rayon correspond au creux du potentiel effectif voir figure6
27
E  0.9744063635m0c 2
Exemple 4
J  2.2m0crs
Pour la suite des calculs, les valeurs suivantes sont utiles :
J
 2.2
m0crs
2 2
s
2 2
J2
 4.84
m02c 2rs2
m02c 2rs2
 0.206611570
J2
E
0.9744063635
m0c 2
E2
Er
m02c 4
0.949677613
 2

 0.196171025
J 2 2 2
Jc
4.84
m0c rs
E2rs2 m02c 2rs2

 0.1962143808  0.2066115702  0.0103971894
J2c 2
J2
Valeurs de u au périastre et à l’apoastre, elles correspondent à l’annulation de la
vitesse radiale, racines de l’équation :
4.84u3  4.84u2  u  0.949677613  1
4.84u3  4.84u2  u  0.05053223866
0.07705573490, 0.1831501832, 0.7397940819
Les racines qui peuvent être utilisées nécessitent le tracé de la courbe du polynôme
qui est sous la racine carrée du dénominateur de l’intégrale qui donne  page 20
seule la région positive est exploitable.
28
Figure 12
Seules les racines um  0.183 qui donne le périastre rp 
1
 5.46 et
um
uM  0.0771
1
 12.97 peuvent être conservées étant dans la partie
uM
positive de la figure 12, ( voir aussi la figure 6 page 17 où l’on peut constater que les
valeurs de rp et de ra correspondent aux intersections d’une droite parallèle à l’axe u
qui donne l’apoastre ra 
coupant l’axe vertical au point 0.97 ).
La trajectoire est montrée figure 13 page 30.
29
Figure 13
Vitesses : au périastre
V
 0.37
c
Vr
 0,
c
L’angle  entre l’axe polaire gradué en
à l’apoastre
V
c
 0.166
Vr
0
c
r
et la première rencontre avec le périastre
rs
est donné par l’intégrale :
0.1831501832


0.07710100231
du
u
 3

2
 u  u  4.84  0.0103971894 


1
2
 3.616 radians  207°
Obtenue par le logiciel MAPLE, saisir :
evalf(int(1/((u^3-u^2+u/4.84-.010397189)^(1/2)),u=0.07710100231..0.1831501832)) ;
30
Equation approchée de l’exemple 4
r
7.686424831

rs 1  0.4074374876  cos(0.8687676414  )
Tracé avec le logiciel MAPLE ( par commodité t   )
0<  < 4 
Figure 14
31
Tracé avec le logiciel MAPLE
0 <  < 64 
Figure 15
Pour une remarquable animation du mouvement de la particule, voir :
Orbits in Strongly Curved Spacetime
By John Walker
http://www.fourmilab.ch/gravitation/orbits/
32
4 Trajectoires radiales
4.1 Les deux temps d’un Trou noir : le temps vécu par un observateur lointain,
et le temps propre d’une particule en chute libre.
Pour un observateur à grande distance du trou
noir on peut penser qu’il vit le temps universel
encore appelé temps cosmique si il est comobile
avec le trou noir., d’autre part le champ de
gravitation de M est négligeable étant donnée la
distance qui l’en sépare.
Pour la particule en chute libre, sa vitesse
toujours
croissante,
modifie
pour
elle
l’écoulement du temps en raison de la théorie de
la Relativité.
0n notera que, s’agissant de trajectoires radiales
le moment cinétique est nul.
La formule donnant la vitesse radiale( page 20 )
se réduit à :
1
2
Vr m0c 2  E2


u

1


c
E  m02c 4

E
peut être connu en exprimant la
m0 c 2
condition initiale de la chute :
Le rapport
Si r  R alors V  Vr  0 ( voir figure 5 )
Il s’ensuit que :
1
Figure 16
E
 r 2
V0
 1
 1 s 
2
m0c
 R
V2
1 2
c
1
1
La vitesse radiale s’écrit alors : Vr 
c
 rs 
1 R 


1
2
 rs
2
 1  R  u  1


( rappel u 
rs
)
r
33
( R est la distance à partir de laquelle la particule est lâchée en chute libre fig 16)
dr
Nous avons vu page 13 que Vr 
 r 
dt  1  s 
r

 r 
1
c 1 s 
dr
r   rs rs  2

On en déduit que : 
( noter que 0< r < R ) , pour r  rs
  
1
dt
r
R


 rs  2
1 r 


dr
 0 . Pour l’observateur lointain, les évènements tendent à se figer
curieusement
dt
lorsque la particule atteint l’horizon de Schwarzschild ( voir plus loin la curieuse
expérience de pensée imaginée par J.P. Luminet figure 17).
En plus le red shift de la lumière devient de plus en plus grand en raison de l’effet
d’un champ de gravitation sur la propagation d’un champ électromagnétique.
Calculons l’instant t qui serait affiché par une horloge au voisinage de l’observateur
lointain lorsque la particule m0 se trouve à la distance r de 0 ( figure 16 ), étant
entendu qu’elle a été mise a zéro au moment du lâché ( point désigné par « début de
la chute » figure 16 ), on se sert de l’expression de la dérivée de r(t) écrite ci-dessus.
1
 rs  2
 1  r  dr


rs  rs  r
 1
1
c  R  R
 rs rs  2  rs 
 r  R   1 r 

 

r
r
Conservons le changement de variable u  s  dr   s2 du
u
r
r
1
3km
 u  1, s 
Application numérique pour : R  3rs
 10s
3
c
c
t
1
 1 2
t  10   1    
 3 1
u
du
1
les résultats sont ci-dessous
1 2
2
3 u
 u  3  1  u 


Résultats de l’intégrale
r
rs
3
2.5
2.
1.5
1..25
1.1
1.01
1.001
1
u
0.333333333
0.4
0.5
0.6666666666
0.8
0.909090909
0.9900990099
0.9990009990
1
0
6.38051163478
9.125220143
11.558739389
13.0522804302
14.5245321365
17.542137175
20.38090707

t en s
0
52
74.5
94.37
106.57
118.59
143.23
166.4

34
Figure 17
Expérience de pensée de J.P. Luminet
35
4 .1 Temps propre affiché par une horloge liée à la particule en chute libre et
indiquant 0 au moment du lâché.
Appelons ce temps  pour ne pas le confondre avec le temps t
dr
La vitesse radiale pour la particule est
, alors que pour l’observateur lointain on
d
dr
l’écrivait :
.
 rs 
dt  1  
r

 r 
Maintenant
d  dt  1  s 
r

dr dr dt dr
1
 
 
D’où :
r
d dt d dt
1 s
r
D’autre part, la chute libre en mouvement accéléré annule le champ de gravitation au
voisinage proche de la particule, il faut faire R   dans le numérateur de l’intégrale
donnant t, mais conserver R dans le dénominateur :

D’où :
1
c
dr
 rs rs 
 r R


1
2
on retrouve une expression Newtonienne
Application numérique, on conserve les mêmes données que pour l’observateur
rs
r
lointain u  s R= 3km
0.3333333<u< 
 10s
c
r
u
r
du
 s 
1
c 0.333333 2
u u  0.3333333  2
r
rs
3
2.5
2
1.5
1.25
1.1
1.01
1
0
u
0.333333333
0.4
0.5
0.6666666666
0.8
0.90909090909
0.9900990099
1

Résultats de
l’intégrale
s
4.1216521798
5.6476162347
6.67912478186
7.07782913353
7.286351135122
7.40116708848
7.41346050374
8.16209714027
41.21
56.47
66.79
70.77
72.86
74.01
74.13
81.62
r
r
Les courbes t   et    sont sur la figure 18
 rs 
 rs 
36
Figure 18
Ordre de grandeur lorsqu’il s’agit de trous noirs géants pouvant contenir plusieurs
millions d’étoiles, par exemples au centre des galaxies (chute à partir de 3rs )
Plaçons nous dans le cas où M  107  M
Le temps de chute libre pour atteindre l’horizon de Schwarzschild est de l’ordre de
30 minutes constaté par l’observateur lointain.
La durée de temps propre de la particule pour atteindre la singularité est de
13 minutes.
37
5 Période T d’une orbite quasi képlerienne
En se reportant à la figure 6 page 17 et, en examinant en particulier, l’orbite
J
 2.2 et en adoptant les valeurs numériques de l’exemple 4, il est par ailleurs
m0crs
r
T
évident que lorsque
varie de 5.46 à 12.97 il s’écoule un intervalle de temps
2
rs
D’autre part, il a été montré que :
dr
 Vr (1  u)  page 13
dt
dr
du
dt 
 rs 
2
Vr (1  u)
Vr  u  (1  u)
rs
r
puisque u 
En explicitant Vr en fonction de u ( formule de la page 20 )
dt  
rs

c
du
1
 J2
2
m0c 2
J2
E2
 u2 (1  u)  2 2 2  u3  2 2 2  u2  u  2 4  1
E
m0c rs
m0 c
 m0c rs

0.183
rs
T  2   1.02  
c
0.071
du
1
u2 (1  u)(4.84  u3  4.84  u2  u  0.05)2
En adoptant les mêmes valeurs numériques que dans l’exemple 4 page 28, on
aboutit à :
r
du
dt   s  1.02 
1
c
u2 (1  u)(4.84  u3  4.84  u2  u  0.05) 2
T  2  1.02 
rs 0.183

c 0.0771
du
u  (1  u)  (4.84  u  4.84  u  u  0.05)
2
3
2
1
2
Le résultat de l’intégrale ci-dessus obtenu par le logiciel MAPLE
En adoptant rs  3km la période est de : T  2  1.02  (10s)  128  2611s
M
Pour un trou noir plus gros d’une masse M  M multiplier les s par
M
Ne pas s’étonner de la petitesse de T vu que la distance à la singularité n’est en
moyenne que dix fois l’horizon de Schwarzschild.
38
Période dans le temps propre de la particule
l’intégrale est modifiée comme il suit :
rs 0.183
T  2  1.02 

c 0.0771
du
1
u2  (4.84  u3  4.84  u2  u  0.05) 2
Le résultat de l’intégrale ci-dessus obtenu par le logiciel MAPLE est
Cette période vaut maintenant : 2611
113
 2305s
128
On constate qu’une horloge liée à la particule retarde par rapport à une horloge
éloignée du trou noir qui elle, mesure le temps cosmique du référentiel comobile
dans lequel se trouve l’observateur, le trou noir, et la particule en orbite.
6 Mission possible ou impossible ?
Il s’agit d’une expérience de pensée consistant à placer une fusée en immobilité au
dessus d’un trou noir, son poids étant exactement compensé par une poussée égale
(voir figure 19), c’est un équilibre instable purement théorique pour mettre en
évidence une propriété particulière du voisinage proche d’un trou noir.
Comme on peut s’attendre à une attraction gravitationnelle énorme, les effets de
marée seront ressentis par l’astronaute, l’importuner, le blesser voire le tuer.
Cet effet est bien connu, il est analogue à l’influence de la Lune sur les océans.
En l’occurrence il s’agit d’un étirement entre la tête et les pieds, l’astronaute étant
censé se tenir debout dans la fusée, parallèlement au champ de gravitation.
L’attraction gravitationnelle, encore appelée accélération «a » en un point situé à une
distance r du centre d’une masse sphérique M est donnée par l’expression :
a
GM
r2
39
La singularité est en M a  
Figure 19
Pour une petite différence de distance r il s’ensuit une petite variation du champ de
gravitation « a » que l’on peut calculer en dérivant l’expression de « a » par rapport à
«r»:
2GM
a  3  r
r
En l’occurrence, r est égale à la hauteur « h » de l’astronaute, disons 2mètres pour
fixer les idées.
Nous pouvons encore écrire a sous la forme suivante :
2GM c 2
a  2  3  r
c
r
40
On aura reconnu que
2GM
 rs  l’horizon de Schwarzschild
c2
Que peut supporter le corps humain ?
Facilement a  1 g , g étant l’accélération de la pesanteur sur la Terre 10m / s2
très dangereusement 15  g soit 150m / s2 , au delà c’est mortel !.
On peut résoudre l’équation ci-dessus en
r
en fonction du a supportable et de
rs
«h»
1
r  c2 h 3
 

rs  rs2 a 
6.1 Application numérique
Données : Trous noir de 7M dont le rs  21 103 m et h  2m
1
On aboutit à :
r 
1010  3
  0.040816326 

rs 
a 
Pour a  1 g  10m / s2 on trouve
r
 344
rs
Pour a  15  g  150m / s2 on trouve
r
 139
rs
Ainsi, pour une distance « r » inférieure à 139  27  3753km c’est la mort pour
l’astronaute, pour une distance plus petite la fusée est complètement déchiquetée !
6.2 Paradoxe des trous noirs géants
Considérons maintenant un trou noir d’une masse de 107 M masse acquise par
accrétion de nombreuses étoiles piégées par l’énorme champ de gravitation.
Alors l’échelle est la suivante rs  3  1010 m
1
r  2  10 4  3

La formule ci-dessus devient :

rs  a 
r
 2.7  10 2 ce qui veut dire que l’on peut
Pour a  1 g  10m / s2 on trouve
rs
pénétrer dans le trou noir au delà de son horizon, mais on ne pourra jamais en
ressortir et que l’on atteindra fatalement la singularité centrale où le champ de
gravitation est infini ; il s’ensuivra la destruction de toute matière.
41
Durée de survie de l’astronaute
Admettons que la limite extrême de a soit de 15g soit 150m / s2 la distance
r
minimale de survie par rapport à la singularité est de :  102 soit 300000km
rs
Si le commencement de la chute est à 3rs on trouve une durée de survie de 815
secondes soit environ 13 minutes ( en utilisant les formules de la page 36 ,qui
exprime le temps propre de la particule )
42
7 Rayons lumineux autour des trous noirs
Comme on le sait, les rayons lumineux sont constitués de photons.
Le photon est la particule élémentaire du rayonnement électromagnétique, particule
de masse nulle, de charge électrique nulle, de spin 1, classé parmi les bosons.
Pour calculer leur chemin, lorsqu’ils sont en très grand nombre, on reprend l’équation
2
 du 
de la page 20 qui donne 
 , en faisant m0  0 (ce chemin est une géodésique)
 d 
2
E2rs2
 du 
2
3

u

u

0


J2c 2
 d 
Les constantes du mouvement sont donc E et J.
Bien que les photons n’aient pas de masse, J n’est pas nul, car ils véhiculent une
E
quantité de mouvement qui est égale à , E étant l’énergie du photon.
c
Pour mener les calculs nous allons introduire une constante L telle que
E2rs2
1
 22
2 2
Jc
L rs
L : a la dimension de l’inverse d’une longueur.
D’où l’équation remaniée :
2
 du 
1
2
3

  u u  2 2  0
L rs
 d 
Pour alléger l’équation, adoptons une nouvelle notation pour la variable liée à la
distance :
  Lrsu 
du 
d
Lrs
L’équation prend maintenant la forme :
2
1  d 
2
3
1

  2 2  3 3  2 2 0
2 2
L rs  d  L rs L rs L rs
2
 d 
3
2



1 0


Lrs
 d 
43
Nous pouvons maintenant obtenir l’intégrale qui donne  :

d

 2  1
Lrs
3
Les composantes orbitales de la vitesse ( comme page 20 ) peuvent s’en déduire :
1
Vr 
3  2
  1  2 

c 
Lrs 
1

 2
  1

c
 Lrs 
V
On obtient, bien évidemment :
Vr2  V2  c 2 en accord avec l’invariance de la vitesse de la lumière
7.1 Calculs numériques
Remarquons, tout d’abord que lorsque r est très grand devant rs :
  Lrsu  L 
rs2
est très petit
r
L’expression sous le radical qui figure dans l’intégrale qui donne  ( ci-dessus )tend
vers : 1-  2

Lr 2
d
D’où :   
 arcsin   arcsin s
2
r
0 1 
On peut en voir les conséquences sur la figure 20
Figure 20
Lrs2
il s’ensuit que, loin de 0 le rayon
r
lumineux ce propage parallèlement à l’axe polaire et à une distance Lrs de cet axe,
 est à considérer comme un paramètre d’impact .
On constate que r sin    et comme sin  
44
Remarquons que des équations écrites précédemment on peut obtenir :
1
2
d  3

 2  1
d  Lrs

d
 0 ,  est à un extremum, en l’occurrence r passe par un minimum, la
d
bissectrice des deux asymptotes est un axe de symétrie de la trajectoire.
Lorsque
Exemple 1
Lrs  3
3
 2  1  0 qui correspond au périastre est 1.347296356
3
L’intégrale qui donne l’angle  des coordonnées polaires est donnée page 44
La racine de
r
rs
2.22668
2.35
2.5
2.75
3
4
5
6
7
8
9
10

u
rs
r
  Lrsu
 radians
0.4490987843 1.34729635
0
0.4255319149 1.276595745 0.5644322234
0.4
1.2
0.8112780488
0.3636363636 1.0909090909 1.064764294
0.333333333
1
1.234711399
0.25
0.75
1.607960790
0.2
0.6
1.794801426
0.16666666
0.5
1.910111949
0.1428571429 0.4285714286 1.989118253
0.125
0.375
+2.046893787
0.1
0
0.3
0
2.126011081
2.430334720
1390
r cos 
r sin 
-2.22668
-1.985
-1.72
-1.33
-0.989
+0.148
+1.11
+1.997
+2.84
+3.666
0
-1.257
-1.81
-2.4
-2.83
-3.99
-4.87
-5.658
-6.39
-7.11
+5.27
-8.497
La figure 21 représente la géodésique parcourue par les photons, le trou noir en 0
se comporte comme un déflecteur de lumière.
45
Figure 21
46
Effet paradoxal de la déflexion de la lumière par un trou noir
( expérience de pensée)
Se plaçant dans les conditions de l’exemple 1 où l’angle de déflexion est de 82° la
figure 22 montre comment on pourrait imaginer qu’un astronome puisse observer
la même étoile dans deux directions différentes. En outre, si l’on suppose que le
chemin direct a une longueur de 50000 AL, le chemin indirecte produit par la
déflexion est plus long, il est de 76200 AL.
Conclusion : on peut voir, au même instant le même astre tel qu’il était il y 50000
ans et comme il était il y a 76200 ans, l’écueil est probablement que la quantité
de lumière déflectée est faible devant celle que l’on reçoit directement.
Figure 22
47
Exemple 2
Lrs  2.612
La racine la plus grande de l’expression qui est sous le radical de l’intégrale donnant
 page 44 est 1.635498.
Résultats du calcul de cette intégrale :
r
rs
1.597
1.65
1.70
1.8
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u
rs
r
  Lrsu
 radians
0.6261477825
1.635498
0
0.606060606
1.5830303
0.991440957
0.5882352941 1.536470588 1.326190545
0.555555555
1.45111111 1.736407923
0.5
1.306
2.196824004
0.333333333
0.87066666 3.009495987
0.25
0.653
3.294156680
0.2
0.5224
3.446910380
0.16666666
0.43533333
3.54352282
0.1428571429 0.3731428573 3.610521680
0.125
0.3265
3.659858058
0.11111111
0.29022222 3.697759942
0.1
0.2612
3.727825288
r cos 
r sin 
-1.597
-0.9
-0.41
+0.296
+1.17
+2.97
+3.95
+4.762
+5.52
+6.24
+6.949
+7.64
+8.33
0
-1.38
-1.649
-1.775
-1.62
-0.395
+0.607
+1.5
+2.347
+3.16
+3.96
+4.75
+5.53
Le tracé de la géodésique est à la page suivante ( figure 23 )
48
Figure 23
49
Exemple 3
Lrs 
3 3
 2.598076212
2
Pour cet exemple l’angle  donné à la page 44 est le résultat de l’intégrale
numérique suivant :


0
d
3
 2  1
3 3
2
D’autre part, le périastre se trouve en un point qui correspond à l’annulation de la
vitesse radiale Vr  c 1   
2
La fonction 1  2 
3
3 3
2
3
3 3
2
s’annule alors
D’autre part l’annulation de la dérivée de cette fonction coïncide avec le périastre, la
racine est
m  3
Comme   Lrs  u finalement u 
r

r
2
on en déduit que m  1.5 telle est.
 m 
rs 3 3 3
rs
2
la position du périastre.
Ces constatations sont l’indice d’un enroulement possible du rayon lumineux autour
du trou noir comme nous allons le voir.
Pour calculer l’approche de la lumière nous allons utiliser le paramètre d’impact 
mis en évidence figure 20 page 44.
Sur cette figure on constate que r sin    , on peut commencer
mettons r =10 ( rappel rs est notre unité de longueur et vaut donc 1 )
l’approche à

1 3 3


 0.2598076212 radian ( environ 15 °)
r 10
2
Le tableau suivant donne les coordonnées par lesquelles passe la géodésique suivie
par la lumière.
  Arc sin
50
r
rs
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.8
1.7
1.6
1.5
u
0.1
0.111111111
0.125
0.1428571429
0.1666666666
0.2
0.25
0.3333333333
0.5
0.5555555555
0.5882352941
0.625
0.66666666666
  2.598076212  u
0.2598076212
0.2886751346
0.3247595265
0.3711537447
0.4330127021
0.5196152424
0.649519053
0.866025404
1.2998038106
1.443375673
1.528280125
1.623797633
1.732050808
 radians
r cos
r sin 
0.2625886919
0.2924800155
0.3301633585
0.3792039096
0.4457892773
0.5417679988
0.6934095946
0.9754737729
1.773950649
2.208536452
2.574445652
3.226223706

9.65
8.61
7.56
6.5
5.41
4.28
3
1.68
-0.4
-1.07
-1.43-1.59
2.59
2.59
2.59
2.59
2.58
2.57
2.55
2.48
1.95
1.44
0.91
- 0.135
Figure 24
51
Exemple 4
Lrs  2.2
Cet exemple a une particularité que l’on décèle en traçant la courbe de la vitesse
Vr
3
 1  2 
est égal à 1 lorsque
c
2.2
  0 , ce qui a lieu si r   , ensuite passe par un minimum lorsque la dérivée de
3
s’annule c’est à dire   1.46 et remonte à 1lorsque   2.2 , cette valeur
1  2 
2.2
correspond à r  rs en fin de parcours du rayon lumineux, lequel est capturé par le
trou noir ( figure 25 )
radiale en fonction de  . On s’aperçois que
Figure 25
52
Calcul de la courbe représentant le rayon lumineux.
r
rs
10
8
6
5
4
3
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
u
  2.2  u
 radians
r cos
r sin 
0.1
0.125
0.1666666
0.2
0.25
0.3333333
0.5
0.5555555
0.625
0.7142857143
0.833333333
1
0.22
0.275
0.366666666
0.44
0.55
0.7333333
1.1
1.2222222
1.375
1.57428571
1.83333333
2.2
0.2215749254
0.2782398263
0.3742514623
0.4530174894
0.5752867727
0.7934075192
1.309348864
1.51207255
1.786409856
2.158827753
2.597317222
3.051336714
9.75
7.69
5.58
4.49
3.35
2.104
0.516
0.105
-0.34
-0.776
-1.02
-0.99
2.198
2.197
2.19
2.188
2.17
2.13
1.93
1.79
1.56
1.164
0.621
0.0901
Nota : dans cette figure l’unité de longueur est rs
Figure 26
L’impact est à l’intersection de la ligne rouge et de l’horizon en pointillé noir.
Conclusion
Aucun rayon lumineux ne peut s’enrouler autour d’un trou noir si le paramètre
3 3
d’impact  est >
.
2
3 3
Si  
le rayon lumineux est capturé et ne pourra jamais ressortir du trou noir
2
Ce la permet de définir une aire sphérique de capture 4 2  27rs2
53
8 Cas des masses stellaires non effondrées
Prévisions que fit Einstein concernant le Soleil
Nous nous plaçons maintenant dans le cas où le paramètre d’impact  est très
2GM
grand de le rayon de Schwarzschild rs  2 .
c
Pour fixer les idées, s’agissant du Soleil par exemple,dont le rayon est R= 700000km
2GM
et rs 
 3km et que le rayon lumineux frôle sa surface, le facteur d’impact est
c2
700000
 2.33  105 . On aura constaté l’énorme différence des ordres
énorme  
3
de grandeur avec les précédents exemples.
En premier lieu, cherchons vers quoi tend l’équation différentielle de la page 43
réécrite de façon un peu différente :
2
 d 
3
 2  1

 
Lrs
 d 
Dérivons cette expression par rapport à  :
2
 d
d d2  32
 2 
 2  
d d
 Lrs
 d
d2 32


d2 2Lrs
Ecrivons la plutôt sous la forme :
d2
32



d2
2Lrs
On connaît une solution de cette équation sans second membre :
d2
   0  dont la solution est   sin 
d2
Une solution approchée avec second membre est la suivante dont nous montrerons
l’opportunité :
  sin  

1
sin2   2cos2 
2Lrs

54
Ecrivons cette équation de manière à faire apparaître la coordonnée polaire r
r
Sachant que :   Lrsu  Lrs 
rs
On obtient :
Lrs2
r


1
sin2   2cos2 
2Lrs
Nous allons maintenant étudier la fonction r( ) à partir de la figure 27 qui n’est pas
du tout è l’échelle ( volontairement ).
sin  
Figure 27
Pour l’observateur, l’étoile lointaine, avant l’éclipse, se trouvait dans la direction
représentée par la ligne horizontale , mais au tout début de l’éclipse, lorsque le rayon
lumineux commence à frôler la surface du Soleil elle semble s’être déplacée d’un
angle   2 ( doublement de l’angle  comme dans la figure 21 page 46 )
Dans l’expression ci-dessus r( ) , faisons   0
On trouve que r = OA = L2rs3  L2rs2  rs ( Lrs est un nombre pur lorsque rs n’est pas
choisi comme unité de longueur ) .
Lrs2

Faisons   on trouve maintenant que r  OB 
1
2
1
2Lrs
Lrs2
r
r
r
OB
1
1

 23
 s2
 étant petit, tg   s2  s
OA 1  1
L rs Lrs Lrs
Lrs R
2Lrs
2r
4GM
et   2  s 
prévision d’Einstein dont la valeur numérique pour le Soleil
R
Rc 2
donne 1.74 ‘’ d’arc .
Cette prévision fut effectivement observée par Arthur Eddington en 1919 lors d’une
éclipse favorable, la formule d’Einstein fut confrontée à l’observation de nombreuses
fois en 1922, 1929, 1936, 1952, et 1973.
tg 
55
9 Lentilles gravitationnelles
D’une certaine façon, la constatation que les rayons lumineux peuvent
faiblement courbés par la gravitation fait penser aux mirages atmosphériques.
être
Le déflecteur des rayons lumineux est, en général, une galaxie géante qui est loin
d’être ponctuelle comme dans les calculs déjà présentés.
Ce n’est pas non plus un effet d’opacité comme dans le cas des rayons lumineux
rasant la surface du Soleil.
En somme pour aborder les mirages gravitationnels il faut abandonner, soit la
densité infinie d’une masse ponctuelle, soit la densité finie du Soleil ou d’une autre
étoile, responsable de son opacité.
S’agissant maintenant d’une galaxie déflectrice de 1011 à 1012 étoiles liées par la
gravitation ou encore de d’amas de galaxies, par exemple d’étoiles contenues dans
un disque de l’ordre de 50 kpc ( 160000 AL ou 10 21 m ) et de faible épaisseur 2kpc
(6500 AL ou 1021m ) nous abordons un milieu dilué de densité que l’on peut évaluer
à 0.1 étoile par pc 3 ( 3.26AL3 ou 3.4  1044 m3 ).
Si la masse moyenne des étoiles, comme il est admis est de l’ordre de grandeur de
la masse solaire M  2  1030 kg cela fait une densité moyenne de 1020 kg / m3 , il
peut aussi s’y ajouter la mystérieuse matière noire .
Enfin, les distances source-déflecteur-observateur étant de l’ordre de plusieurs
milliards d’AL ( 10 25 m ), très grandes devant le diamètre du déflecteur, il faut
s’attendre à ce que les angles soient très petits : quelque secondes d’arc, il peut
s’ensuivre aussi une amplification de l’éclat apparent des objets observés.
Ajoutons enfin qu’aujourd’hui les lentilles gravitationnelles contribuent à percer le
mystère de la matière noire dont l’existence conforte le modèle d’univers proposé par
la cosmologie moderne.
Figure 28
56
La figure 28 montre la disposition relative d’une source ( qui pourrait être un Quasar
par exemple ), d’une galaxie déflectrice jouant le rôle d’une lentille gravitationnelle,
d’un observateur qui constate trois images dont deux en projection sur le disque de
la galaxie déflectrice.
9.1 Modélisation élémentaire
Se plaçant dans le cas le plus simple où le plan de la galaxie est perpendiculaire à la
droite qui joint directement l’observateur à la source, le disque galactique sera
considéré comme infiniment mince.
Nous tiendrons compte de la décroissance de la distribution des étoiles depuis le
bulbe central jusqu’à la périphérie du disque galactique.
A. Toomre a proposé une répartition de la densité surfacique de masse d’une galaxie
idéalisée sous la forme :

(r)  0 1  r
2


3
2
Figure 29
57
Lorsqu’un rayon lumineux impacte le disque à une distance  du centre de gravité,
la masse à prendre en compte pour la déviation est :

M(  )  0 
0
2rdr
3
1 r 2  2
 : est le paramètre d’impact en nombre de fois le rayon de Schwarzschild
4GM(  )
La déviation est obtenue par la formule d’Einstein : (  ) 
c 2
4G
1
Pour simplifier les calculs, faisons 20  1
c2

1
rdr
est la déflexion dans une unité arbitraire ( figure 30)
(  )  
3
0
2 2
1 r


 et  ont le même signe sur cette figure
Figure 30
58
9.2 Equation simplifiée d’une lentille gravitationnelle
Le but est d’obtenir une autre relation (  ) qui dépende des positions relative de la
source (Quasard), de la lentille ( Galaxie) et de l’Observateur.
Figure 31
Les distances xQ et xG étant très grandes devant le paramètre d’impact
angles , , , sont très petits, et l’on peut écrire :

D’où l’équation :
 QM  QI

xG
xQ

QM
xQ

 les
QI
xQ  xG
 xQ  (xQ  xG )

xG
xQ
1



 x 
 xG 
xG  1  G 
1

x
Q


 xQ 
Que nous écrivons sous la forme :
  a    b  équation d’une droite
59
9. 3 Position angulaire des images

1
On les obtient à l’intersection des courbes : (  )  a    b et (  )  
0
rdr
3
2 2
1 r 
Figure 32
La figure 32 montre ces intersections, on constate que le nombre d’images est
impair : un point D ou trois points A, B, C .
60
9.4 Anneaux d’Einstein
C’est un cas théorique où l’angle  de la figure 31 est nul, c’est à dire à l’alignement
parfait de la source, du centre de la lentille, et de l’observateur.
Si le déflecteur est parfaitement symétrique, alors tous les points de la source sont à
égale distance du centre et sont déviés d’un même angle.
L’image formée est un anneau.
La taille d’un anneau s’exprime par un angle appelé « Rayon d’Einstein ».
1
 4GM x  x G  2
( mêmes notations qu’à la page 59, figure 31 )
 radians   2  Q

xG  xQ 
 c
Si l’on déplace légèrement la source, alors on obtient des arcs.
Paradoxalement le télescope de Hubble a photographié un anneau d’Einstein !
.Et des images multiples d’une même source ( croix d’Einstein )
61
Effets de la dilution de la matière dans l’espace :
Figures 33
9.5 Autre effet de la courbure des rayons lumineux
On constate une augmentation de l’éclat apparent d’objets très lointains qui
n’auraient jamais pu être distingués sans cet effet, en somme l’univers nous fait
cadeau de télescopes naturels.
L’amplification de l’éclat apparent est de la forme : A 
M

M : masse de la lentille
 : facteur d’impact
62
10 L’espace-temps est courbé par la présence de matière, qu’en est-il plus
particulièrement pour le temps ?
Retard d’écho radar Shapiro.
Nous avons vu, à partir d’exemples numériques que l’espace-temps est
géométriquement modifié par la présence de matière ;
S’agissant, plus particulièrement du temps, Irwin Shapiro a, en 1961( à la suite de
travaux pour améliorer la détermination de l’Unité Astronomique ) montré que son
écoulement est affecté par la présence de matière.
Ses travaux ont suggéré une expérience effectuée lors de la conjonction supérieur
de Mars en 1970 et de la présence de la sonde Mariner 6 équipée d’un répondeur
radar ( plusieurs autres expériences furent réalisées avec Mariner 7 et 9 ).
La confrontation entre le calcul et l’expérience fut remarquablement cohérente.
La figure ci-dessous montre les positions respectives de la Terre, du Soleil et de
Mars, et le trajet rasant la surface du Soleil de l’onde électromagnétique radar
( un peu comme sur la figure 27 ).
Etant donnée la petitesse de la déviation angulaire déjà calculée, on a fait
l’approximation d’une trajectoire rectiligne.
Figure 34
L’équation de la trajectoire Terre Mars se réduit à :
Lrs2
tg 
et
x
On utilise maintenant la métrique de Schwarzschild ( voir page 12 ), et puisqu’il

s’agit d’ondes électromagnétiques ds=0 et on adopte  
et d  0 , c’est à dire
2
que les calculs concernent un plan.
r 2   2  x 2  L2rs4  x 2
dr 2
 r 
0  c 2dt 2  1  s  
 r 2 d 2
r
r



 1 s

r 

63
De l’équation de la trajectoire écrite page précédente on tire :
  arctg
Lrs2
x
d  
1
r  (L2rs4  x 2 ) 2
dr 
Lrs2dx
L2rs4  x 2
xdx
(L r  x 2 )
2 4
s
En portant ces valeurs dans la métrique de Schwarzschild , il vient :
c 2dt 2 
Finalement :
 x2
L2rs4 
 rs 
2


1


 2 2 4 
 x 2  L2r 4   dx
1
x

L
r
r


s
s 
 rs  2 
1


r 


On fait l’approximation
rs
 rs 
 1  r  1 vu que r est très petit


c 2 dt 2 
1
1
 rs 
1 r 


2
 dx 2
Et puisque rs <<<< r
dt

rs
1  rs 
1 
  1   dx    1 
c 
r
c 
x 2  L2rs4



1
2


  dx


Le temps que l’onde radar met pour aller de x T à + xM est donné par l’intégrale :
t(  x T  xM ) 
r
1
dx  s

c
c

dx

x 2  L2rs4

1
2
2
2 4
x T  xM rs  xM  xM  L rs

t(  x T  xM ) 
 ln
c
c   x T  x T2  L2rs4





ln veut dire logarithme népérien
x T et XM étant très grands devant   Lrs2 qui est égal au rayon de la sphère
solaire, on écrit la partie concernant le logarithme népérien sous la forme :

1 L2rs4
 2xM  
rs
2 xM
 ln 

c
1 L2rs4


2 xT







64
Négligeons
L2rs4
devant xM , on obtient finalement le retard Shapiro
xM
rs  4xM x T 
ln 

c  L2rs4 
Pour le trajet depuis la Terre jusqu’à Mars s’ajoute évidemment :
xM  x T
c
Comme le retard Shapiro est à comparer avec une expérience radar il faut le
multiplier par 2 par suite de l’aller et du retour
TS 
2rs  4xMx T 
ln 

c  L2rs4 
Application numérique
X T : distance Terre Soleil = 1UA = 1.5  108 km
xM ; distance Mars Soleil = 1.5 UA= 2.25  108 km
Lrs2  distance d’impact  par rapport au centre du Soleil
rs 2GM
3km


 10s
3
c
c
3  105 km / s
RS  rayon de la sphère solaire = 700000km
En tenant compte du facteur d’impact  on peut se placer dans la condition qui ne
rase pas tout à fait la surface du Soleil :
Lr 2

On a s 
RS RS
On aboutit à l’expression suivante :
  4x x 
 2  
2rs  ln  M2 T   ln  2  
 RS  
  RS 
TS 
c

  
TS  250s  1  0.16  ln   


 Rs  

La figure 35 montre la variation de TS en fonction de

700000km
65
Figure 35
On ne perdra pas de vue que la durée d’un aller et retour entre la Terre et Mars lors
de la conjonction était de :
2  (xM  x T ) 2  (1.5  2.25)  108

 2500 secondes
c
3  105
3
d’heure
4
Une conclusion hâtive pourrait être que la vitesse de la lumière n’est pas constante !
La concordance entre le calcul conduit selon la théorie de la Relativité et
l’expérience, confirme bien que l’invariance de la vitesse de la lumière est une
propriété locale, et que c’est la présence de la matière qui affecte l’écoulement du
temps .
66
11 Aventure de la lumière émise par un laser en chute libre vers un trou noir
Cette aventure est racontée par Kip S. Thorne dans son livre :
Trous noirs et distorsions du Temps
Il s’agit de la lumière émise par un laser à l’argon de longueur d’onde  e =0.5145 m
( dans le vert ), cette lumière est reçue par un observateur lointain situé à 162030 km
de la singularité du trou noir.
La figure 16 page 33 donne une idée de ce dont nous voulons parler, la particule
est, en l’occurrence, un robot porteur d’un laser ; en outre le trou noir choisi a une
masse de 10 fois celle du Soleil, donc rs  30km en conformité avec nos précédents
calculs.
Le déroulement de l’expérience de pensée de Kip S. Thorne montre qu’au cours de
la chute libre la longueur d’onde reçue par l’observateur ne cesse de dériver vers le
rouge, appelons  0 cette longueur d’onde.
Après un premier quadruplement de la longueur de la longueur d’onde reçue, on se
trouve dans l’infrarouge, ensuite cette longueur d’onde double toutes les 140 s
environ, c’est ce que nous allons démontrer.
Ce phénomène est communément appelé « red shift gravitationnel » de la lumière.
r, distance du laser par rapport à la singularité du trou noir, la formule est déduite de
la métrique de Schwarzschild ( page 12 ) :
1 z 
Calculons u 
0

e
1
1
 rs  2
1 r 


rs
lorsque la longueur d’onde a quadruplée :
r
4
1
1
 rs  2
1 r 


On trouve :
u
rs
1 15
 1

r
16 16
La formule donnant
0
permet d’établir le tableau de la page suivante.
e
67
0
e
Rang
Du doublement
u
 8  23
1
42
2
4 2 2
 16  24
3
4 2  2  2
= 32  25
rs
r
1
1
26
1
1
28
1
1
210
I
I
I
I
k
2k 2
1
1
2
2(2k  2)
I
I
I
I
31
233
1
1
266
Calculons maintenant l’intervalle de temps t pendant lequel l’observateur lointain
constate que  0 double.
Comme r est voisin de rs au moment où les doublements se produisent, on admettra
rs
r
 0 puisque les
est voisin de 1, sans être tout à fait égal à 1 et que
R
r
données sont rs  30km et R = 162030 km, distance à partir de laquelle commence
la chute.
que u 
68
On utilisera la formule de la page 34 simplifiée puisque
r
t  s
c
r
que u  s
r
t 
Comme uk  1 
Comme

uk
rs
 1 on rappelle
r
du
1 u
rs
r  1  uk 1 
u
ln (1  u) uk 1  s ln 

k
c
c  1  uk 
1
2(k  2)
2
Et que uk 1  1 
Il vient :
uk 1
rs
0
R
1
2
2(k  3)
rs  22(k 3)  rs
r
t  ln  2(k 2)   ln 4  1.3863  s
c 2
c
 c
rs
30km

c 300000km / s
on trouve t  138.63s
Après les 33 doublements signalé par Kip S. Thorne, la longueur reçue  0 est égale
à 0.5145  (106 )  233  4149m elle se trouve dans la gamme des grandes ondes, et
l’on peut supposer qu’elle est en delà des bandes recevables par un observateur
resté au lieu où la chute libre du laser a commencé.
Les 33 doublements de longueur d’onde auront eu pour effet de balayer toute la
partie du spectre électromagnétique comprise entre la fréquence de la lumière verte
et la fréquence zéro, et, cela pendant :
138.63  33  4575s
11.1 Remarque sur la chronologie des évènements observés
L’intégrale qui donne le temps t qui s’est écoulé depuis l’instant où la chute libre a
commencé et l’instant où le laser est à la coordonnée r du centre du trou noir est
écrite ci-dessous :
1
1
30  2
dr
t  1


c  160.30  R162030  30
30   30 


   1 
r 
 r 162030  
r
La vitesse de chute est donnée par la formule :
1
Vr 
c
1
30  2

 1  162030 


30  2
 30



 r 162030 
On trouvera page suivante un tableau des résultats de calcul.
69
r km
t secondes
Vr km / s
162030-2630 = 159400
9.923
523.9
162030-10500 = 151530
19.833
1073.7
162030-135000 = 27030
60.336
9115.6
14030
61.550
13248
1730
62.216
39263
32
62.247
290217
30
62.2515
299792
Conclusion : c’est donc juste avant que le robot qui transporte le laser n’atteigne la
vitesse de la lumière que le décalage spectral rend inobservable son rayonnement
dans le vert.
70
12 Interprétation géométrique de la gravitation
L’utilisation de la métrique de Schwarschild ( page 12 ) nous a permis d’effectuer
un certain nombre de calculs révélateurs des propriétés de l’espace temps, mais,
peut être, sans se rendre compte vraiment, de l’aspect physique de sa courbure.
C’est ce que nous allons maintenant tenter de visualiser
12.1 La courbure
Réécrivons les éléments différentiels de l’espace est du temps.
1
 r 2
Pour l’espace : dr  1  s 
r

Pour le temps :
dt
1
 rs  2
1 r 


12 .1 . 2 De l’espace
Imaginons qu’un observateur en orbite circulaire de longueur C autour d’un trou noir
puisse diminuer progressivement la distance qui le sépare de la singularité centrale,
en agissant, par exemple sur la propulsion d’une fusée.
Admettons aussi qu’il puisse mesurer les deux choses suivantes :

Une petite diminution de sa distance à la singularité dr ,
coordonnées de Schwarzschild ; par exemple dr = 1 km

Une petite diminution dC de la longueur de la circonférence orbitale
résultant de la petite diminution dr
r étant la
dC
 6.283185307 .
dr
On aura reconnu que ce rapport n’est autre que 2 , conformément à la géométrie
euclidienne. Ce rapport qui devrait rester constant après de nombreuses diminutions
dr va considérablement se réduire lorsque l’on se rapproche de l’horizon du trou
noir.
Loin du trou noir, l’observateur trouvera que le rapport
Le tableau de la page suivante montre ce qu’il en est, sachant que :
1
dC
 r 2
 2   1  s 
dr
r

Nous avons adopté la notation Ch  2rs pour la longueur de la circonférence
« horizon »
71
Rang de la
diminution dr  1km
dC
dr
C
Ch
1
2
3
4
5
6
6.283185307
5.960752959
1.89445165
0.6252003053
0.1985924939
0.06282871172

10
1.1
1.01
1.001
1.0001
C
dC
 6.283185307  1 h
dr
C
C
dC
 1 est l’indice que la géométrie de
Cette diminution très rapide de
lorsque
dr
Ch
l’espace n’est pas euclidienne au voisinage d’un trou noir, car la longueur d’une
circonférence n’est pas égale à 2 fois son rayon
Rappel :
12 .1 . 3 Du temps
Pendant la même expérience, mettons en évidence le ralentissement que subirait
une horloge en se rapprochant de la singularité.
Pour cela nous comparerons les durées enregistrées par deux horloges, l’une très
loin du trou noir et l’autre dans les conditions où sont repérées le rang de la
diminution dr de la première colonne du tableau précédent.
Rang de la
diminution dr = 1km
1
2
3
4
5
6
Rappel : t 
Durée enregistrée
par l’horloge sur l’orbite
de longueur de
circonférence C

20.94395102 s
19.86917653
6.314838833
2.084001017
0.6619749795
0.209429039
Durée enregistrée
par l’horloge lointaine
t
20.94395102 s
20.94395102
20.94395102
20.94395102
20.94395102
20.94395102
2dr 6.283185307  1km

 20.94395102
c
300000km
C
  t  1  h
C
72
12.2 Invariance locale de la vitesse de la lumière
Faisons le rapport de la variation dC de la longueur de la circonférence C au produit
dr   , la variation qui accompagne celle de l’espace et qui s’applique au temps, est
pour l’horloge sur l’orbite C, l’intervalle  .
Rang de la
diminution dr
De 1 km
dC
dr  
1
6.283185307
=300000
20.94395102  10 6
2
5.960752959
=300000
19.86917653  106
3
1.89445165
 300000
6.314838833  106
I
I
I
0.06282871172
 300000
0.209429039  106
6
Remarque 1
Faisons ds  0 dans la métrique de Schwarzschild ( page 12 )
dr 2
 rs 
0  c dt  1   
r   rs 

1 r 


2
2
et   Cte
d  0
73
C’est l’équation différentielle de la géodésique suivie par les photons, on peut
calculer le temps mis par la lumière pour franchir la distance comprise entre les
C
C
 10 et
 1.0001, ce qui correspond à 1.0001 rs  r  10  rs
circonférence
Ch
Ch
10r
s
1
t
 r
c 1.0001
s
dr
1
 rs  2
1 r 


Si rs  3km on trouve 1890 s , alors que la distance parcourue semble plutôt de
30km, que la lumière parcourt en 100 s .
De prime abord cela donnerait à penser que la lumière ralentit au voisinage d’un trou
noir !
Il n’en est rien, car la vitesse de la lumière est une propriété locale, ce sont l’espace
et le temps qui sont distordus par la présence de matière, en l’occurrence effondrée.
Remarque 2
En Relativité générale la relation de Képler 2r 3 = Constante s’applique comme nous
allons le démontrer à partir de la figure 11 page 27
E  0.942809m0c 2
Et page 14 dans le cas général :
J  3m0crs
J  m0r 2
r  3rs
d

dt
d

dt
1
1
 rs  2
1 r 


Résolvons l’équation :
J  m0r 2
1
 rs 
1 r 


1
2
 3m0crs
Dans la condition r  3rs et sachant que Vr  0, donc que le terme concernant la
d
vitesse est égale à V  r
, on trouve :
dt
2r 3 
1
1 2GM
 rs  c 2   2  c 2  GM
2
2
c
C’est exactement la relation de Képler, M étant la masse du trou noir
74
13 Visualisation de la courbure de l’espace
13 .1 Artifice du « Plongement »
Il consiste à plonger un espace donné dans un espace de dimension supérieur.
Dans son livre Les Trous noirs, Jean Pierre Luminet l’exprime très bien :
« On visualise parfaitement la forme d’un cercle de dimension 1 en le plongeant dans
le plan de dimension 2, ou, la surface d’une sphère de dimension 2 dans l’espace
euclidien de dimension 3, ce n’est alors qu’un espace fictif ne servant qu’à encadrer
l’espace temps sectionné ».
Reportons nous à la figure 5 page 12, on y constate une symétrie évidente par

rapport à l’axe oz, s’agissant des trajectoires dans le plan xoy (   ).
2
Il nous suffit de calculer la méridienne d’une surface de révolution, laquelle surface
se trouvera plongée dans l’espace euclidien habituel.
Les propriétés géométriques de cette surface doivent satisfaire la partie spatiale de
la métrique de Schwarzschild : on obtient le résultat avec le paraboloïde de L. Flamm
13 . 2 Paraboloïde de L. Flamm
Figure 36
La figure 36 montre comment aborder ce problème : la partie spatiale dl de la

métrique à prendre en compte est, sachant que  
2
2
r
dr
dl2 
 r 2 d2
posons
sin2   1  s
rs
r
1
r
75
Sur la figure 36, on constate que :

1  sin2 
dz
 cot g 
dr
sin 
dr
 tg
dz

 rs

= r
 1  rs

r
1
2

1
 =
1
  r
2
   1
 rs

1
r
2
Intégrons cette équation à partir du changement de variable w    1
 rs

dr
dr
On a alors dw 

1
2rs w
r
2
2rs   1
 rs

1
r
2
wdw
la solution recherchée est z2  4rs r  rs 
z  2rs 
 2rs   1
w
r
 s

C’est l’équation d’une parabole passant par r  rs z=0 ( figure 37 )
Figure 37
76
Paraboloïde de L. Flamm ( 1916 )
Figure 38
13.2.1 Commentaires sur le Paraboloïde de L. Flamm
C’est une surface obtenue par la rotation de la méridienne autour de l’axe oz.
On aura remarqué la symétrie verticale par rapport au plan qui découpe la gorge de
Schwarzschild dont on peut se demander quelle signification elle a ?
D’aucuns prétendent que ce pourrait être une connexion avec un autre univers !.......
C’est une opinion très spéculative …….
Quant à la gorge proprement dite, elle a pour rayon rs 
2GM
c2
S’agissant du feuillet supérieur il s’étant à l’infini et perd peu à peu sa courbure, il est
asymptotiquement plat.
Les trajectoires des particules en chute libre et les rayons lumineux sont les
géodésiques du paraboloïde. Celles-ci sont d’autant plus courbées qu’elles passent
plus près du puits de potentiel de gravitation.
Sur les figures 39 et 40 sont tracées 5 géodésiques. 1, 2, 3, …sont de plus en plus
infléchies par la courbure de l’espace. La géodésique 4 plonge dans le puits et se
77
recoupe elle même en ressortant. La géodésique 5 tombe radicalement dans le trou
noir et ne remonte pas.
La figure 40 projette les géodésiques précédentes sur un plan parallèle au cercle
horizon.
« Le résultat illustre parfaitement le principe d’équivalence en rendant l’illusion
newtonienne d’un univers plat dans lequel les particules sont déviées de la ligne
droite par les forces de gravitation au lieu d’épouser librement les contours de la
géométrie courbe »selon une remarque pertinente de Jean-Pierre Luminet.
D’après Jean Pierre Luminet
Figure 39
78
D’après Jean Pierre Luminet
Figure 40
79
14 .1 Les Trous noirs existent-ils vraiment ?
14.1.1 La découverte et la localisation de sources X et  en est peut-être la
preuve
Les aspects principaux de ces sources sont :
 l’énormité de leur luminosité X et 
 la faiblesse voire l’absence d’une contrepartie dans le visible
De prime abord on pourrait considérer que la température de ces sources est telle
que le maximum de leur spectre correspond à celui d’un corps noir à la même
température. La figure ci-dessous montre l’allure de ce spectre, en fonction de la
longueur d’onde.
8k 4 T 4
1
kT
x



Les notations sont les suivantes :
, la densité spectrale 3 3 
hc
hc
 1

x 5  e x  1


23
34
k : constante de Boltzmann 1.38  10 J / K , h : constante de Planck 6.62 10 J  s
c : vitesse de la lumière
Figure 41
Le maximum de la densité spectral a lieu pour x  0.2 , la fonction de répartition est
alors égale à 21.2.
Poursuivons l’analyse par l’évaluation de la température et de la luminosité dans les
domaines X et  .
80
Dans le domaine X
Plaçons nous à la longueur d’onde   0.1nanomètre.
En résolvant l’équation :
x  0.2 
kT
 (0.1 10 9 )
hc
On obtient une température de l’ordre de T = 30  10 6 K
La densité surfacique de puissance rayonnée dans tout le spectre est donnée par la
loi du corps noir :
5.67  108  T 4
4.6  1022 w / m2
La luminosité L est le produit de cette densité par la surface rayonnante S qui, dans
le cas d’une sphère vaut S  4R 2 où R est le rayon.
Adoptons, pour fixer les idées celui du Soleil R =700000 km, d’où S  6  1018 m2
On obtient une luminosité de L
3  10 41 watts
Dans le domaine 
Plaçons nous à la longueur d’onde   3 picomètres (0.003 nanomètre )
On obtient une température de l’ordre de 4.8  108 K
La densité surfacique du rayonnement atteint 3  1027 w / m2
La luminosité dans les mêmes conditions que ci-dessus L 1.8  10 46 watts
Conclusion :
L’énormité de ces luminosités vis à vis de la luminosité du Soleil dont la température
de surface n’est que de 6000 K et la luminosité de 4  1026 watts donne à penser
qu’il doit y avoir une faille dans ce calcul !
Cette faille vient de ce qu’il y a une limite supérieure à la luminosité d’une étoile :
81
14.2 Limite d’Eddington de la luminosité d’une étoile
Rappelons que la stabilité d’une étoile résulte d’un équilibre entre l’attraction
gravitationnelle qui maintient sa cohésion, et, la pression qu gaz à haute température
qui la constitue… ou la pression de radiation lorsque la luminosité est très grande.
La luminosité limite d’Eddington s’obtient en se plaçant dans la condition où ces
forces sont égales.
Voici un calcul rudimentaire qui permet de situer cette limite.
Notons d’emblée que la pression de radiation agit plutôt sur les électrons, alors que
l’attraction gravitationnelle concerne plutôt les protons et les neutrons plus
massiques.
Notons aussi que le nombre de protons et le nombre d’électrons sont égaux en vertu
de la neutralité électrique de l’état de plasma du gaz stellaire.
L’attraction gravitationnelle qui s’exerce sur un proton dépend de la masse du proton
m p et de la masse totale M de l’étoile, elle est donnée par l’expression :
GMmp
R2
G : constante universelle de la gravitation 6.67259 1011
R : distance au centre de gravité en mètres
mp : masse du proton 1.67265  1027 kg
La pression de radiation qui s’exerce sur les électrons se traduit par une force qui est
proportionnelle à la section efficace T de choc de l’électron libre
T 

8 
e2
 0.66  1028 m2

2 
3  40mec 
e : charge de l’électron 1.602190  1019 Coulomb
1
: constante des unités MKSA 8.9877  109
40
me : masse de l’électron 0.910954  1030 kg
c : vitesse de la lumière 2.99792458  108 mètres / sec onde
Si L est la luminosité limite, la densité de puissance qui traverse l’unité de surface à
la distance R du centre de gravité est :
L
4 R 2
82
La force répulsive est proportionnelle à la puissance qui traverse la section efficace
LT
divisée par la vitesse de la lumière c .
T , c’est à dire
4R2
LT 1

4R2 c
L’égalité entre la force attractive et la force répulsive donne la limite de luminosité :
GMmp
R
2

Lmax T
4R2c
Pour une masse égale à celle du Soleil M  2  1030 kg on trouve :
Lmax 
4GMmpc
T
 1.3  1031 watts
En fait, cette luminosité est très supérieure à la luminosité actuelle du Soleil qui n’est
que de 4  1026 watts , cela est dû à un effet d’opacité des couches supérieures qui
modèrent le rayonnement.
Plus généralement, pour une étoile de masse M la limite de luminosité est donnée
par :
M
Lmax 1.3  1031 
Msolaire
Pour avoir une idée de l’évolution d’une étoile, le tableau suivant montre comment se
succèdent les étapes de la fusion thermonucléaire.
Réaction
de
fusion
Température
en
K
Rayon R en km
de l’étoile
MM
Densité kg/ m
Hydrogène
Hélium
Carbone
Oxygène
Silicium

Fer
Mort de l’étoile
10 7
10 8 à 5  108
6  108 à 1.8  109
10 9 à 3.6  109
7  103
7  104
10 4
7  103
1.78  103
1.78  10 6
3.84  108
1.78  109
3  109 à 8  109
2.3  103
4.8  1010
3
Durée
de l’étape
en années
10 6 à 1010
10 5 à 10 8
10 2 à 10 3
10 2 à 10 3
1
Les températures indiquées sont celles qui peuvent régner au centre d’une étoile,
mais la température de surface est, en général, beaucoup plus faible, cela est dû à
un effet d’opacité déjà évoqué qui joue un rôle modérateur pour le rayonnement :
Par exemple la température interne du Soleil est probablement voisine de 10 7 K alors
que la température de surface n’est que de 6000K.
83
On aura noté qu’au cours de la vie d’une étoile, sa concentration ( colonne 3 ) joue
un rôle de thermostat fonctionnant par paliers.
Un aspect, de prime abord contre intuitif, est que, plus une étoile rayonne d’énergie,
plus elle se réchauffe ( colonne 2 ) contrairement à ce qui se passe lorsqu’un corps
se refroidit en rayonnant son énergie thermique.
Voyons maintenant ce que peut rayonner, au maximum, une étoile effondrée mais
qui n’atteint pas le stade de trou noir
14.3 Rayonnement d’une étoile à neutrons de 2M et de rayon R=8km
Plaçons nous à la limite d’Eddington
Alors L  2  1.3  1031 watts
La température T est donnée par l’équation :
4R2  5.67  108  T 4  2  1.3  1031
T  2.75  107 K
A cette température le maximum du rayonnement est la longueur d’onde M telle
que :
kT
X  0.2 
 M
hc
On trouve M de l’ordre de
0.1 nanomètre
Par ailleurs on peut s’attendre à ce qu’un observateur lointain reçoive ce
rayonnement affecté d’un red shift gravitationnel donné par :
1
 rs 
1 R 


1
2

1
 6
1 8 


1
2
2
14.4 Conclusion
Les étoiles ne peuvent pas rayonner des  tout au plus des X mous
Les sources de  proviennent de phénomènes confinés dans un très petit volume le
rayonnement n’en sortant qu’à travers une très petite surface.
Le confinement ne peut provenir que d’un champ de gravitation extrêmement intense
régnant dans ce petit volume.
D’où l’hypothèse attrayante que les sources de  pourraient bien être confondues
avec le voisinage immédiat des trous noirs, ce qui accréditerait qu’ils existent bien.
84
15 Le disque d’accrétion d’un trou noir, possible source de gammas
Et d’abord, qu’est-ce qu’un disque d’accrétion ?
D’une manière générale, l’accrétion est un processus d’agglomération d’éléments.
Lorsqu’il d’agit d’un trou noir, c’est l’accroissement de sa masse par capture de
particules selon les trajectoires calculées dans la deuxième partie de ce document.
Le disque d’accrétion peut être considéré comme le lieu de la simultanéité de toutes
les trajectoires possibles, il se présente un peu comme ce que montre la figure 45, la
matière occupe une bande circulaire aplatie comme une crêpe entre des limites qui
semblent comprises entre 3 et 10 à 15 fois le rayon de Schwarzschild.
Disque d’accrétion autour d’un trou noir
Les gaz du disque décrivent des spirales avant d’être capturés
Figure 45
Dans la partie la plus proche de l’horizon se détachent certaines particules qui sont
absorbées par la singularité, on a vu que leur vitesse est très proche de celle de la
lumière, certaines l’atteignent réellement lors de captures au périastre où se
réalisent les conditions V  0 et Vr  exactement c.
En somme, un trou noir est en quelque sorte un accélérateur de particules naturel,
accélérateur parfait puisqu’il est capable de communiquer à certaines la vitesse de la
lumière.
On pense qu’il se forme un bourrelet à environ 2 à 3 rs de la singularité dont la
température est extrêmement élevée, les milliards de degrés nécessaires à la
production de  . Dans ces régions, très proches de l’horizon, s’établit un équilibre
entre la pression de radiation et la gravitation, lequel régule l’accrétion de matière.
85
Figure 46
On peut s’interroger sur le réservoir de matière nourrisseur d’un trou noir. D’aucuns
pensent que, dans certain cas, ce pourrait être une géante rouge, par une sorte de
cannibalisme stellaire qui serait régi par la limite de Roche (1849), calculable par
l’attraction différentielle entre astres de densité différente.
En résumé, l’émission  ne peut avoir lieu que dans une très petite région de
l’espace, la matière devant être piégée par un énorme champ de gravitation.
Rappelons que pour un trou noir de 10 masses solaires, le rayon de Schwarzschild
est de rs  30km , pour un géant de 10 7 masses solaires il est de 3  107 km , c’est à
dire le cinquième de la distance Terre Soleil pour loger une importante fraction de
galaxie ( une galaxie contient, en moyenne, 100 milliards de masses solaires )
16 A l’intérieur des trous noirs, l’interrogation de Kip S. Thorne ?
Evoquant cet intérieur il précise avec humour : où les physiciens se collectant avec
les équations d’Einstein tentent de percer le secret de l’intérieur.
Est-ce une route vers un autre univers ?
Une singularité où les forces de marée sont infinies ?
La fin de l’espace et du temps et la naissance de l’écume cosmique ?
Il semble qu’il y ait eu beaucoup de débats sur sujet sans résultats bien précis.
Finalement c’est Roger Penrose qui proposa du nouveau : professeur de
mathématiques à Oxford il eut l’idée d’appliquer la Topologie à ce problème, c’est
une branche des mathématiques qui s’intéresse à la façon dont les objets sont
connectés entre eux et à eux mêmes.
En 1969 Penrose émis la conjecture de la censure cosmique : aucun objet ne peut
en s’effondrant donner naissance à une singularité nue.
Si une singularité se forme, elle est obligatoirement habillée d’un horizon qui la rend
invisible depuis l’univers extérieur.
Osons maintenant une remarque personnelle : pouvons nous subodorer qu’à
l’intérieur de la sphère horizon il n’y a rien, si ce n’est un point au sens géométrique
où la densité est infinie puisque toute la matière s’y est engouffrée et où semblent
converger toutes les lignes de force du champ de gravitation situées au dehors de
l’horizon.
86
Conclusion
Le calcul des trajectoires des particules autour d’un trou noir, en utilisant la notion de
potentiel effectif issu de la mécanique classique ajusté à l’aide de la métrique de
Schwarzschild, montre que, comme l’avait souhaité Einstein, sa théorie de la
Relativité générale est dans le prolongement de la gravitation Newtonienne qui en
constitue la limite lorsque les vitesses sont faibles devant celle de la lumière.
La forte courbure des rayons lumineux et leur enroulement autour des trous noirs
montrent qu’il existe d’autres géométries que l’euclidienne tout aussi licites.
La notion de rectitude ne nous vient-elle pas de la propagation des rayons lumineux
dans la région du cosmos où nous vivons, région réputée occupée par des champs
de gravitation faibles ?...
Ce qui nous fait dire : le plus court chemin d’un point à un autre, c’est la ligne droite
En Relativité Générale, le plus court chemin est une géodésique de l’espace-temps
obéissant à une condition d’extremum ( ds2  0 ), ce plus court chemin, c’est celui
qu’empruntent les rayons lumineux.
Non seulement la courbure de l’espace est tributaire de la présence de matière mais
aussi l’écoulement du temps.
L’espace-temps à quatre dimensions fait partie de la tendance moderne à la
géométrisation de la physique. En Relativité Générale on dit, a contrario de la
Relativité Restreinte, qu’il devient « mou » puisque la présence de matière le
déforme, il devient alors « mollusque ».
On aura constaté que l’artifice du plongement d’un espace à n dimensions dans un
espace à n+1 dimensions permet de visualiser cette déformation, des coupes à
temps constant conviennent à nos habitudes sensorielles.
La dépendance de l’espace et du temps à la présence de matière est bien ressentie
en constatant que les unités naturelles d’espace et de temps sont :

loin de la matière, comme dans le système solaire, l’Unité Astronomique U.A.
qui vaut 150 millions de kilomètres et l’année, voire le siècle

autour d’un trou noir, plutôt le kilomètre et la microseconde
Enfin, si dans le passé on a pu douter qu’il puisse exister des trous noirs, les
récentes découvertes des sources X et  confortent plutôt leur réalité au regard de la
limite de luminosité d’Eddington.
Philippe Magne
2006
87
Bibliographie
Les trous noirs
Jean Pierre Luminet
Belfond 1987
Editions du Seuil, pour mise à jour, novembre 1992
ISBN original 2-7144-2039-7
ISBN 2-02-015948-1
Le destin de l’univers
Trous noirs et énergie sombre
Jean Pierre Luminet
Le temps des Sciences Fayard 2006
Trous noirs et distorsions du temps
Kip S. Thorne
Nouvelle Bibliothèque Scientifique
Flammarion, 1997 pour la traduction française
ISBN 2-08-211221-7
Gravitation
Charles W. Misner
University of Maryland
Kip S. Thorne
John Archibald Wheeler
California Institute of technology
W. H. Freeman and Company
Princeton University
New York
1997
88
Table des matières
Introduction p1
1 Rappels de la notion de potentiel effectif en mécanique de Newton p3
1.1 Position du problème p3
1.2 Potentiel dont dérivent Fa et Fi p4
1.3 L e Potentiel effectif p5
1.4 Choix d’une unité de longueur naturelle et application numériques p7
1.5 Application numérique p8
2 Calcul relativiste des trajectoires des particules autour des trous noirs p11
2.1 Pourquoi faut-il utiliser la Relativité Générale pour traiter ce problème ? p11
2.2 Métrique de Schwarzschild p12
2.2.1 Qu’est-ce qu’une métrique p12
2.2.2 La vitesse déduite de la métrique p13
2.3 Lois de conservation p14
2.3.1 L’énergie p14
2.3.2 Le moment cinétiquep14
2.4 Potentiel effectif relativiste p15 et p17
3 Calcul des orbites au voisinage d’un trou noir p19
3.1 Applications numériques
Exemple 1 p21
Exemple 2 p24
Exemple 3 p27
Exemple 4 p28
4 Trajectoires radiales p33
4.1 Les deux temps d’un trou noir : le temps vécu par un observateur lointain et le
temps propre d’une particule en chute libre p36
5 Période T d’une orbite quasi képlérienne p38
6 Mission possible ou impossible? p39
6.1 Application numérique p41
6.2 Paradoxe des trous noirs géants p41
7 Rayons lumineux autour des trous noirs p43
7.1 Calculs numériques p44
Exemple 1 p45
Effet paradoxal de la déflexion de la lumière par un trou noir p47
Exemple 2 p48
Exemple 3 p50
Exemple 4 p52
8 Cas des masses stellaires non effondrées
Prévision d’Einstein concernant le Soleil p54
89
9 Lentilles gravitationnelles p56
9.1Modélisation élémentaire p57
9.2 Equation simplifiée d’une lentille gravitationnelle p59
9.3 Position angulaire des images p60
9.4 Anneau d’Einstein p61
9.5 Autre effet de la courbure des rayons lumineux p62
10 L’espace temps est courbé par la présence de matière, qu’en est –il plus
particulièrement pour le temps. Retard Shapiro p63
11Aventure de la lumière émise par un laser en chute libre vers un trou noir p67
11.1Remarque sur la chronologie des évènements observés p56
12 Interprétation géométrique de la gravitation p71
12.1La courbure p71
12.1.2 De l’espace p71
12.1.3 Du temps p 72
12.2 Invariance locale de la vitesse de la lumière p73
Remarque 1 p73
Remarque 2 Relation de Kepler en RG p74
13 Visualisation de la courbure de l’espace p75
13.1Artifice mathématique du plongement
13.2 Paraboloïde de Flamm p75
13.2.1 Commentaire sur ce paraboloïde p77
14 Les trous noirs existent-ils vraiment ? p80
14.1 La découverte et la localisation des sources X et  en est peut-être la preuve
p80
14.2 Limite d’Eddington de la luminosité d’une étoile p82
14.3 Rayonnement d’une étoile à neutrons de 2 masses solaires p84
14.4 Conclusion p84
15 Le disque d’accrétion d’un trou noir possible source de gammas p85
16 L’intérieur des trous noirs, l’interrogation de Kip S. Thorne, réponse de Penrose
p86
Conclusion générale p87
Bibliographie p88
90