3 Introduction à l`hydrodynamique

Hydromécanique HZS-OE5-GN240 - C. Reynaerts
Version 7.0 Décembre 2011
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3 Introduction à l’hydrodynamique
Dans ce chapitre tu apprends,
 à discerner les sortes d’écoulements,
 à utiliser des modèles pour les liquides,
 à connaître la notion du débit et à l’utiliser pour exprimer le principe de la
conservation de la masse en une forme appropriée pour l’hydrodynamique,
 à connaître la notion de la viscosité et à en comprendre l’importance pour
l’écoulement des liquides,
 à être conscient du danger d’un phénomène appelé « coup de bélier » et à
connaître les mesures à prendre afin de l’éviter.

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3.1 Les sortes d‘ écoulements
3.1.1 L’écoulement en une et en deux dimensions
On parle d’écoulement en une dimension lorsque tant les propriétés du fluide, que
ceux de l’écoulement ne varient que dans une seule direction.
En pratique cette situation simple ne se produit que très exceptionnellement.
Beaucoup plus souvent les paramètres changent en deux directions, autrement dit, il
s’agit d’écoulement bi-dimensionnel.
Dans le cas d’écoulement bi-dimensionnel, il est souvent utile d’utiliser des valeurs
moyennes, calculés dans une section perpendiculaire par rapport à la direction de
l’écoulement. De cette façon la situation est ramenée à un problème uni-
dimensionnel, et donc plus simple.
3.1.2 L’écoulement stationnaire ou permanent
L’écoulement est appelé stationnaire ou permanent à condition que les paramètres
qui le décrivent ne dépendent pas explicitement du temps, mais uniquement des
coordonnées spatiales.
3.1.3 Les notions des lignes de courant, des trajectoires et de la veine
liquide
Une ligne de courant est une ligne, tracée telle que la tangente à cette courbe dans
un point indique la direction de la vitesse d’une particule de liquide qui se trouve à ce
moment à cette position. Dans le cas d’écoulement non-permanent la particule de
liquide qui se trouve au même endroit à un moment différent se déplace en général
dans une direction différente. La ligne de courant prend donc une forme différente.
Dans le cas d’écoulement permanent les trajectoires suivies par les particules
liquides sont indépendantes du temps. Les trajectoires et les lignes de courant sont
coïncidentes et elles ne se modifient pas en fonction du temps.

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La collection de lignes de courant qui passent par un contour fermé est appelée une
veine liquide. Remarquons qu’une veine liquide est apparemment enrobée par une
paroi imperméable: les vitesses des particules liquide dans la face latérale d’une
veine liquide sont notamment toutes parallèles à cette surface. Il n’y a pas de liquide
qui s’échappe de la veine liquide.
La section d’une veine liquide perpendiculaire par rapport aux lignes de courant est
appelée une section d’écoulement.
3.1.4 L’écoulement laminaire et l’écoulement turbulent
On parle d’écoulement laminaire lorsque des couches de liquide glissent les unes sur
les autres sans se mêler. Quand il y a de tourbillons qui se forment et que les
couches de liquides se mêlent, au moins dans une certaine mesure, l’écoulement est
appelé écoulement turbulent.
3.2 Les liquides parfaits et les liquides réels
En mécanique générale, l’étude des corps indéformables se fait en premier ressort
par le moyen du modèle idéalisé des forces conservatrices. L’équation fondamentale

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de l’hydrodynamique est fondée en premier ressort sur le modèle du fluide parfait. Un
fluide parfait satisfait à chacune des conditions suivantes:
 il n’y a pas de frottement entre les particules du fluide,
 il n’y a également pas de frottement entre les particules du fluide et les parois
avec lesquelles le liquide est en contact,
 le fluide est incompressible, autrement dit, sa densité est une constante,
 la vitesse d’écoulement est uniforme, elle a donc partout la même valeur dans
une section d’écoulement.
Dans le cas de liquides réels les effets de frottement visqueux ne sont pas
négligeables. En plus, la vitesse d ‘écoulement n’est en général pas uniformément
répartie à travers une section d ‘écoulement. Heureusement, cet inconvénient est
facilement contourné en utilisant la valeur moyenne de la vitesse dans une section
d’écoulement.
Il est évident que la densité des gaz ne peut nullement être considérée comme une
constante.
3.3 Le débit
3.3.1 Le débit massique
Le débit massique qui passe à travers une section d’écoulement, est la masse de
fluide qui croise la section par unité de temps.
dt
dm
Qm
[Qm] = kgs-1
3.3.2 Le débit volumétrique
Le débit volumétrique qui passe à travers une section d’écoulement, est le volume
de fluide qui croise la section par unité de temps.
dt
dV
QQv
[QV] = m3s-1
Lorsque l’indice V est omis et lorsqu’on parle de débit tout court, il s’agit en principe de débit
volumétrique.
3.4 L’équation de continuité de Castelli
En hydrodynamique, la loi de la conservation de la masse, est appelée l’équation de
continuité de Castelli. Cette équation est obtenue en exprimant que la même quantité
de liquide passe par unité de temps, à travers chaque section d’écoulement d’une
veine liquide.
Autrement dit, le débit massique Qm est une constante:
A1
A2
v1
v2

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222111m vAvAQ
dt
dm 
.
Cette forme s’applique tant aux liquides qu’au gaz.
Dans le cas de fluides incompressibles, donc pour les liquides dans la plupart des
circonstances, une forme alternative est souvent utilisée. Elle est obtenue en divisant
l’expression ci-dessus par la valeur constante de la densité  = 1= 2. Le débit
volumétrique QV est une constante:
2211
m
VvAvA
Q
Q
dt
dV 
.
Dans ces expressions les v’s représentent des valeurs moyennes de la vitesse
d’écoulement dans une section d’écoulement. Des expressions similaires
s’appliquent aux vitesses d’écoulement locales à condition de remplacer les
superficies macroscopiques, A, par des superficies élémentaires, dA.
3.5 La viscosité
3.5.1 La viscosité absolue ou dynamique
La viscosité d’un liquide est une indication pour la mesure dans laquelle un liquide
est sirupeux.
Considérons une quantité de liquide qui est inclus entre deux plaques parallèles,
chacune avec une superficie A et avec un écartement x entre les deux.
Afin de faire bouger la plaque supérieure à une vitesse constante, il faut y faire agir
une force parallèle aux plaques dont l’intensité F// est
 directement proportionnelle à la superficie A
 directement proportionnelle à la vitesse v
 inversement proportionnelle à l’écartement x.
Autrement dit, la contrainte de cisaillement
A
F//
est directement proportionnelle au
gradient de la vitesse,
dx
dv
. Le coefficient de proportionnalité est appelé le
coefficient de viscosité absolue ou dynamique du fluide:
dx
dv
A
F// 
.
x
v
0
F//
A