2nde TRANSFORMATIONS ET TRIANGLES I_ Transformations du plan 1. La symétrie centrale Définition : O est un point fixé. L’image d’un point M par la symétrie de centre O est un point M’ tel que O est le milieu de [MM’]. Error! = Error! Le seul point invariant est le point O. N O M Construire M’ = So(M) N’ = So(N) d' = So((MN)) 2. La symétrie axiale Définition : est une droite fixée. L’image d’un point M par la symétrie axiale d’axe est un point M’ tel que est la médiatrice du segment [MM’]. Tous les points de la droite sont invariants par la symétrie axiale d’axe . M N Construire M’=S(M) N’= S(N) d' = S((MN)) stepec Page 1 sur 5 769787671 2nde 3. La translation Définition : Error! est un vecteur fixé. L’image d’un point Error!est un point M’ tel que Error! = Error! M par la translation de vecteur Si Error! Error! aucun point n’est invariant. Error! N M Construire M’= Tu (M) N’= Tu(N) d' = Tu((MN)) 4. La rotation Définition :O est un point fixé et un angle orienté fixé. L’image d’un point M par la rotation de centre O et d’angle est le point M’ tel que OM = OM’ et ;MOM’ = . Le seul point invariant est le point O. On pose = 30° et C le cercle de centre M et de rayon 3 cm O M Construire M’= R(o,) (M) C’= R(o,)(C) II_ Propriétés communes des transformations du plan stepec Page 2 sur 5 769787671 2nde 1 Isométrie Les symétries centrales, axiales, les translations et les rotations sont des isométries c’est à dire qu’elles conservent les distances. Si A A’ et B’, B alors AB = A’B’ Les symétries centrales, axiales, la translation et la rotation possèdent les propriétés suivantes : 2 Conservation de l’alignement Trois points alignés ont pour images 3 points alignés. 3 Conservation des angles Si les points A, B et C ont pour images A’, B’ et C’ alors ;ABC = ;A’B’C’ 4 Conservation des aires L’image d’une figure F est une figure F’ qui possède la même aire que F. 5 Si Conservation des milieux I milieu de [AB] I’ image de I A’ image de A B’ image de B alors I’ milieu de [A'B'] 6 Conservation du parallélisme et de l’orthogonalité Deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles. Deux droites sécantes ont pour images deux droites sécantes. Deux droites orthogonales ont pour images deux droites orthogonales. III_ Principaux théorèmes sur les transformations Par la symétrie centrale Par la symétrie axiale Par la translation Par la rotation d’angle L’image d’une droite Une droite parallèle Une droite Une droite parallèle Une droite qui fait un angle avec la droite initiale L’image d’un cercle de centre O Un cercle de même rayon de centre O’= S(O) Un cercle de même rayon de centre O’= Sd (O) Un cercle de même rayon de centre O’=Tu(O) Un cercle de même rayon de centre O’ = R (O) Un triangle de même L’image d’un triangle sens dont les côtés ont la même longueur IV stepec Un triangle de sens contraire dont les côtés ont la même longueur Un triangle de même Un triangle de même sens dont les côtés ont sens dont les côtés ont la même longueur la même longueur Page 3 sur 5 769787671 Triangles isométriques 2nde A E x y x B y D z z C F Que pouvez vous dire sur les triangles ABC et DEF? ………………………………………………………………………………………………………… Définition : Deux triangles sont isométriques si les côtés de l’un sont égaux aux côtés de l’autre. Propriété : Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles sont égaux 2 à 2. La réciproque de cette propriété est-elle vraie ?……………………………………………………… : Deux triangles dont les angles sont égaux 2 à 2 ………………….. Activité : Construire un triangle connaissant certains éléments. Théorème 1: Si deux triangle ont un angle égal compris entre deux côtés égaux 2 à 2 alors ils sont isométriques. B E A C D F Théorème 2 : Si deux triangles ont un côté égal compris entre 2 angles égaux 2 à 2 alors ils sont isométriques. A D B V C E F Triangles semblables (ou de même forme) Définition : Deux triangles ABC et MNP sont semblables si leurs angles sont égaux 2 à 2. Propriétés des triangles semblables C’ stepec Page 4 sur 5 769787671 2nde C B’ B A A’ Sur [A’B’] construire le point A1 tel que AB = A’A1 Construire la droite (d) (C’B’) passant par A1 elle coupe (A’C’) en C1. Montrer que les triangles ACB et A’A1C1 sont isométriques en déduire Error! = Error! = Error!. Théorème : Si deux triangles sont semblables alors leurs côtés sont proportionnels On peut alors écrire :Error! = Error! = Error! = k k est le rapport de similitude. Le rapport des aires est k2 Remarque : Deux triangles semblables sont des agrandissements ou des réductions. Nous allons maintenant vérifier si la réciproque est vraie : Supposons que Error! = Error! = Error! et montrons que cela implique A’B’C’ et ABC sont semblables. Théorème : Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels tel que Error! = Error! = Error! alors ils sont semblables stepec Page 5 sur 5 769787671